13.3.1.1 三角形的内角（课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 **13.3.1.1 三角形的内角** 专项练习题（目标约 1400 字） ## 一、基础巩固（直接运用内角和定理） **1.** 在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠C的度数是______。 **2.** 直角三角形中，一个锐角为35°，则另一个锐角的度数为______。 **3.** 若三角形三个内角的度数之比为2∶3∶4，则最大的内角是______。 **4.** 一个三角形的三个内角都小于90°，它是______三角形；若其中有两个内角之和等于90°，则它是______三角形。 ## 二、综合运用（列方程求角） **5.** 在△ABC中，∠A＝2∠B，∠C＝3∠A，求三个内角的度数。 **6.** 已知△ABC中，∠A比∠B大20°，∠C是∠A的2倍，求∠B的度数。 **7.** 等腰三角形中，顶角的度数是底角的4倍，求各角的度数。 **8.** 在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC与∠ACB，∠A＝80°，求∠BDC的度数。 ## 三、拓展提升（结论与证明） **9.** 在△ABC中，若∠A＝∠B＋∠C，试判断△ABC的形状。 **10.** 判断正误并说明理由：一个三角形中最多只能有一个直角或一个钝角。 **11.** 小明说：“若三角形中有一个角为60°，那么另外两个角一定相等。”他的说法对吗？请说明理由。 --- ## 参考答案与解析 **1.** ∠C＝180°－50°－70°＝**60°**。（内角和定理直接求第三角） **2.** 两锐角互余：90°－35°＝**55°**。 **3.** 设三内角为2x、3x、4x，则2x＋3x＋4x＝180°，得9x＝180°，x＝20°，最大角∠C＝**80°**。 **4.** **锐角**三角形；**直角**三角形。（按最大内角分类判断） **5.** 设∠B＝x，则∠A＝2x，∠C＝6x。列方程：x＋2x＋6x＝180°，9x＝180°，x＝20°。 所以∠A＝**40°**，∠B＝**20°**，∠C＝**120°**。 校验：40°＋20°＋120°＝180°，符合，答案正确。 **6.** 设∠B＝x，则∠A＝x＋20°，∠C＝2(x＋20°)。列方程： x＋(x＋20°)＋2(x＋20°)＝180° ⇒ x＋x＋20°＋2x＋40°＝180° ⇒ 4x＝120° ⇒ x＝**30°**。 校验：∠A＝50°，∠C＝100°，50°＋30°＋100°＝180°，成立。 **7.** 设底角为x，则顶角为4x。2x＋4x＝180° ⇒ 6x＝180° ⇒ x＝30°。 所以底角为**30°、30°**，顶角为**120°**。 （注意：等腰三角形两底角相等，故列式为2x＋4x，而非x＋x＋4x=180的重复——两者结果一致，此处为统一写法。） **8.** 因为BD、CD平分角，∠DBC＋∠DCB＝(∠ABC＋∠ACB)/2＝(180°－80°)/2＝50°。 在△BDC中，∠BDC＝180°－50°＝**130°**。 （结论：∠BDC＝90°＋∠A/2，即90°＋40°＝130°，可作记忆。） **9.** 由∠A＝∠B＋∠C，代入∠A＋∠B＋∠C＝180°，得∠A＋∠A＝180°，即∠A＝90°。 故△ABC为**直角三角形**。 **10.** **正确**。反证法：若有两个钝角（或两个直角），则两角之和已≥180°（或＝180°），第三个角必≤0°或不存，这与三角形内角和为180°、内角均大于0°矛盾。故最多一个钝角或一个直角。 **11.** **不对**。反例：∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝80°，满足内角和180°且有一个角为60°，但另外两角不相等。故“有一个角为60°”不能推出其余两角相等（只有当该角为顶角且为等腰时才有特例）。 --- **提醒**：第5、6、7题是“设未知数列方程”的典型，解题时务必把三个角都用同一未知数表示，最后代入180°检验，能有效避免漏算。 需要我把这份练习题整理成 Word 或 PDF 文件方便打印吗？ 人教版（新教材）数学八年级上册 13.3.1.1 三角形的内角 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/19 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十三章 三角形 会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 会运用三角形内角和定理进行计算. 应用三角形内角和定理解决实际问题，提高发现问题和解决问题的能力. 情境导入 请你帮忙评判一下这些关于三角形内角和的观点！ 【提示：本页音频单击鼠标播放，点击喇叭显示对话文字】 我是钝角三角形，我有一个钝角，我的内角和最大！ 我是直角三角形， 我的形状最大， 我的内角和肯 定最大！ 我是锐角三角形，我的形状最小，我的内角和也最小！ 新知探究 思考问题 问1.三角形按角可以分为哪几类？ 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 问2.三角尺的三个角之和是多少？ 问3.任意三角形的内角和都是180°吗？ 大胆猜想：三角形三个内角的和是个定值为180° 新知探究 方法一：测量法 操作歩骤 （1）画出一个任意三角形ABC （2）用量角器分别测量∠A、∠B、∠C的度数 （3）将三个角的度数相加，记录结果 （4）换不同形状的三角形，重复实验 观察发现： 无论三角形的形状如何，三个内角的度数之和都接近180°！ A B C 新知探究 方法二：折叠法 操作歩骤 (1)将三角形的三个角向内折叠 (2)使三个角的顶点重合于一点 (3)观察折叠后的形状 观察发现： 三个角折在一起，恰好组成一个平角（180°）！ 新知探究 方法三：剪拼法 操作歩骤 (1)画出一个三角形ABC (2)标出三个内角 ∠A、∠B、∠C (3)沿边剪下三个角 (4)将三个角拼在一起 观察发现： 三个角拼在一起，恰好组成一个平角（180°）！ 新知探究 三种探究方法对比 测量法 ✓操作简单，数据直观 ✗存在误差，.不够精确 剪拼法 ✓直观形象，操作有趣 ✗需动手剪裁 三种方法均验证： 三角形的内角和=180°，与三角形的形状、大小无关！ 折叠法 ✓不破坏纸片，可重复 ✗折叠需较精准 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明. 新知探究 验证结论 1 2 3 4 直线 直线 问1:观察图象∠1和∠2之间有什么关系, ∠3和∠4之间有什么关系？ ∠1和∠2是内错角，且∠1=∠2；∠3和∠4是同位角，且∠3=∠4； 问2.直线和直线有何特殊位置关系? // 你发现了证明的思路吗？ 新知探究 A B C 已知：如图. 求证：° 证法1：过点作， ∴.(两直线平行,内错角相等) .(两直线平行,内错角相等) ∵， ∴ 直线 1 2 新知探究 A B C 已知：如图. 求证：° 证法2：过点作， ∴.(两直线平行,内错角相等) .(两直线平行,内错角相等) ∵， ∴ 直线 1 2 新知探究 A B C 已知：如图. 求证：° 证法3：过点作， ∴.(两直线平行,内错角相等) .(两直线平行,同旁内角相等) ∵， ∴ 直线 1 D 新知探究 A B C 已知：如图. 求证：° 证法4：过边上一点作， ∴,,,. ∵， ∴ 直线 1 2 直线 D 3 4 三角形内角和定理：三角形内角和为180° 新知探究 规律与方法 (1)在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. (2)为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补，这种转化思想是数学中的常用方法. 典例分析 例1.(1)在中，，，则的度数为_______ (2)在中，，,则________ (3)求出下列各图形中的值 规律与方法：8字模型中： A B C D 1.如图，在中， ， ，则 的度数为( ) C （第1题） A. B. C. D. 返回 举一反三 16 （第2题） 2. 如图，已知 ， ， ，则 的度数为 ( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 17 3.［长沙中考］如图，在 中， ， ，，则 的 度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 18 典例分析 例2.（1）在中，若，求此三角形的内角度数 解：设，，. 由题意，得 即,解得， ∴，， 典例分析 例2.（2）在中，若，求此三角形的内角度数 解：设，，. 由题意，得 即,解得， ∴，， 典例分析 例2.（3）在中， , , 求，，的度数 解：设，，. 由题意，得 即,解得， ∴，， 典例分析 例2.（4）在中， 的度数是的度数的倍，比大，求，，的度数 解：设，，. 由题意，得 即,解得， ∴，， 规律与方法：已知三角形的三个内角之间的关系求内角的度数，可利用方程思想来解决，其中三角形内角和为180°就是等量关系. 例3.如图，在中，，，是的角平分线，求的度数. 解：∵， 是的角平分线， ∴. 在中， ∴. A B C D 典例分析 例4.如图是，，三岛的平面图， 岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向.从岛看，两岛的视角是多少度？从岛看, 两岛的视角呢？ 典例分析 北 北 C A B D E 法一：解：∵， 又∵ ，， ∴ ∵，∴ ∴ ， 在中，. 你能想出一个更简捷的方法来求∠C的度数吗？ 典例分析 北 北 C A B D E 方法二：解：由题意可得： ∠， ∠ 过点作 ∵ ， ∴ ， ∴, , ∴ F 例4.如图是，，三岛的平面图， 岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向.从岛看，两岛的视角是多少度？从岛看, 两岛的视角呢？ 4.在中， ，，则 _____. 返回 举一反三 26 5. ［教材 探究变式］数学课上，同学们通过撕、拼 的方法，探索、验证三角形的内角和等于 .下面是小彬的课堂笔记， 请阅读操作方法，补全证明过程. 如图①，的三个内角分别为，，.将和 撕下，按图 ②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与 重合，的一边与 重合. _______________________________________________________________ 举一反三 27 证明：由操作可知 ， （________________________）. 同理，， ____//____. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 点，， 在同一条直线上， _____ ， 即________ ______. 内错角相等，两直线平行 180 返回 举一反三 28 6．如图，AD为△ABC的角平分线，且∠B＝40°，∠C＝60°，求∠ADC的度数． 返回 举一反三 29 7.一副三角板拼成如图所示的图形，则 的度数为( ) A （第7题） A. B. C. D. 返回 举一反三 30 （第8题） 8.［教材 例2变式］如图，一轮船在海上往 东行驶，在处测得灯塔位于北偏东 方 向，在处测得灯塔位于北偏东 方向， 则 的度数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 31 9. 在探究证明“三角形的内角和是 ”时，综合实践 小组的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和是 ”的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 32 10.如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点 的对应点为点，交于点.若 ， 则 的度数为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 33 11.如图，是的高，的两条角平分线， 相交于点 ， ， . （1）求 的度数； 举一反三 34 解：是 的高， . 又 ， ， . 是的角平分线， ， . . 举一反三 35 （2）求 的度数. 解： ， ， ， ， ，是 的角平分线， ， . ， . 返回 举一反三 36 知 识 梳 理 课堂小结 探究方法 测量法 → 剪拼法 → 折叠法 核心定理 三角形内角和 = 180° 证明思路 借助平行线，将三个内角转化为一个平角 谢谢观看 THANKS 解：∵∠BAC＋∠B＋∠C＝180°，∠B＝40°，∠C＝60°， ∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝180°－40°－60°＝80°. ∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠DAC＝∠BAC＝×80°＝40°， ∴∠ADC＝180°－∠DAC－∠C＝180°－40°－60°＝80°. $