精品解析：广东江门市新会东方红中学2026-2027学年九年级上学期数学第一次能力提升训练

东方红中学2027届初三第一次能力提升训练数学科试题 一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 3. 若函数是关于的二次函数，则为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 5. ，，是抛物线上三点，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 已知二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 图像的对称轴为直线 D. 函数有最小值 9. 已知抛物线经过点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，部分图象如图所示．下列结论：①方程的两个根是，；②；③；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）． 11. 设、是一元二次方程的两个根，则______． 12. 若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是_____． 13. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程______________． 14. 在平面直角坐标系中，若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是__________． 15. 定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）． 16. 解方程： （1） （2） 17. 已知二次函数，求该函数图象的对称轴，顶点坐标． 18. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）． 19. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？ 20. 已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． （2）把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？ 21. 数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． （1）比较的大小； （2）若，证明：不可能小于0． 五．解答题（三）（本大题共2小题，22小题13分，23小题14分，共27分）． 22. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 23. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）判断的形状，证明你的结论； （3）点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东方红中学2027届初三第一次能力提升训练数学科试题 一．选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）． 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程是整理后形如其中的整式方程，解决本题的关键是根据一元二次方程的定义进行判断． 【详解】解：A选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是二元一次方程，不是一元二次方程，故A选项不符合题意； B选项：方程中，若，则方程是一元二次方程，若，则方程不是一元二次方程，故B选项不符合题意； C选项：方程中分母中有未知数，是分式方程， 不是一元二次方程，故C选项不符合题意； D选项：方程中含有个未知数，且未知项的最高次数是， 是一元二次方程，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 已知关于x的方程的一个根为，则实数m的值为（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由一元二次方程的解求参数，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键．将已知根代入方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，将代入方程得： 化简得： 解得， 故选：B． 3. 若函数是关于的二次函数，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 4. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 5. ，，是抛物线上三点，，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出函数值，再判断函数值大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 6. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1482张照片，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键． 如果全班有名同学，那么每名同学要送出张，共有名学生，那么总共送的张数应该是张，即可列出方程． 【详解】解：全班有名同学， 每名同学要送出张； 又是互送照片， 总共送的张数应该是． 故选：B． 7. 已知二次函数与一次函数的图象相交于点（如图所示），则能使成立的的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图象写出二次函数图象在一次函数图象下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：由图可知，时，． 故选D． 8. 已知二次函数，下列结论正确的是（ ） A. 其图像的开口向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 图像的对称轴为直线 D. 函数有最小值 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项分析即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数中，，∴图像开口向下，故A不正确； ∵，∴对称轴为直线，故C正确； ∵图像开口向下，对称轴为直线，∴当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，故B不正确； ∵，∴顶点坐标是，∴函数的最大值为，故选项D不正确． 故选C． 9. 已知抛物线经过点，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于点在抛物线上，可把点的坐标代入抛物线的解析式，得到的值，再代入代数式即可求出值． 【详解】解：∵抛物线经过点， ∴， ∴ ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查抛物线上点的坐标特征，求代数式的值，在解决问题的过程中用到了整体思想．把看成一个整体并求出其值是解题的关键． 10. 如图，已知抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，部分图象如图所示．下列结论：①方程的两个根是，；②；③；④当时，的取值范围是．其中结论正确的个数是（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系． 利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为，则可对①进行判断；由对称轴方程得到，然后根据时函数值为可得到，则可对③进行判断；根据二次函数的性质对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，而点关于直线的对称点的坐标为， ∴方程的两个根是，，所以①错误； 当时，，即；故②错误， ∵，即， 而时，，即， ∴， ∴，故③错误； 当时，函数图象在x轴的上面， ∴的取值范围是；故④正确； 故选A． 二．填空题（共5小题，每小题3分，满分15分）． 11. 设、是一元二次方程的两个根，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴由根与系数的关系得，， ∴将其代入得：． 12. 若抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，则所得的抛物线的解析式是， 故答案为：． 13. 受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x，根据题意列出方程______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据平均每月的增长率为x，结合三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升，进行列式，即可作答． 【详解】解：设该地92号汽油价格这两个月平均每月的增长率为x ∵某地92号汽油价格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升． ∴ 故答案为： 14. 在平面直角坐标系中，若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】由抛物线与轴有两个交点，可得到关于的不等式，解出即可求解． 【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点， ∴ ，即 ， 解得：． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了抛物线与 轴的交点，熟练掌握当 时，抛物线与轴有两个交点是解题的关键． 15. 定义新运算“*”：对于实数和，有，例如：，若关于的方程有两个实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，理解题中新运算定义是解答的关键．先根据题意得到方程，再根据方程解的情况得到，进而解不等式求解即可． 【详解】解：由题意，可化为，即， ∵该方程有两个实数根， ∴， 解得， 故答案为：． 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）． 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 17. 已知二次函数，求该函数图象的对称轴，顶点坐标． 【答案】 该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】利用配方法把二次函数化为顶点式，即可得答案． 【详解】解： ， 所以该函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为． 18. 已知二次函数的图象顶点坐标是，且经过． （1）求这个二次函数的表达式； （2）判断点是否在这条抛物线的图象上． 【答案】（1） （2）在这条抛物线的图象上 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解，这是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）计算时的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征判断是否在这条抛物线的图象上． 【小问1详解】 解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 把点代入得， ∴ ∴ 【小问2详解】 解：当时，， ∴点在这条抛物线的图象上． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）． 19. 如图，利用一面墙(墙的长度不超过45m)，用80m长的篱笆围一个矩形场地． (1)怎样围才能使矩形场地的面积为750m2？ (2)能否使所围矩形场地的面积为810m2 ，为什么？ 【答案】（1）围成矩形长为30m，宽为25 m时，能使矩形面积为750㎡． （2）不能．理由如下： 由得． ∵， ∴方程没有实数根． ∴不能使所围矩形场地的面积为810m2． 【解析】 【分析】（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为 米，根据矩形面积的计算方法列出方程求解； （2）假使矩形面积为810米，则方程无实数根，所以不能围成矩形场地． 【详解】解：（1）设所围矩形ABCD的长AB为x米，则宽AD为米． 依题意，得，即. 解此方程，得x1=30，x2=50. ∵墙的长度不超过45m，∴x2=50不合题意，应舍去． 当x=30时，. 答：当所围矩形的长为30m、宽为25m时，能使矩形的面积为750m2． （2）略 【点睛】本题考查：1.一元二次方程的应用（几何问题）；2. 矩形的性质；3.一元二次方程根的判别式. 20. 已知二次函数（是常数）． （1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点． （2）把该函数的图象沿轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点？ 【答案】（1） 证明：， ∴方程没有实数解， 即不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2）把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及表达式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意得到一元二次方程的判别式，进而证得不论为何值，该函数的图象与轴没有公共点； （2）将二次函数表达式改写成顶点式为，根据二次函数图象的性质得到，该图象沿轴向下平移个单位长度后，得到函数的图象，此时它的顶点坐标是， 此时这个函数的图象与轴只有一个公共点，据此进行解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：函数， 把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到函数的图象，它的顶点坐标是， 此时这个函数的图象与轴只有一个公共点， 因此，把函数的图象沿轴向下平移个单位长度后，得到的函数的图象与轴只有一个公共点． 21. 数学课上，老师在黑板上书写了两个整式；，． （1）比较的大小； （2）若，证明：不可能小于0． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）通过计算并判断的正负性，即可比较的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出，再利用配方法整理得，最后利用非负数的性质即可证明． 【小问1详解】 解：， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 证明：∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∴不可能小于0． 五．解答题（三）（本大题共2小题，22小题13分，23小题14分，共27分）． 22. 2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件 （2）（） （3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【解析】 【分析】（1）根据题意设每件A类特产的售价为元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于的一元一次方程求解即可； （2）根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； （3）结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设每件A类特产的售价为元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件； 【小问2详解】 解：由题意得， ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价， ∴， 答：（）； 【小问3详解】 解： ． ， ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 23. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标； （2）判断的形状，证明你的结论； （3）点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． 【答案】（1），顶点的坐标为 （2） 解：是直角三角形，证明如下： 在中，当时，， ， ∴； 在中，当时，， 解得，， ∴， ，， ∵，，， ， 是直角三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）把点的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数的方程，通过解方程求得的值；利用配方法把抛物线解析式转化为顶点式方程，根据该解析式直接写出顶点的坐标； （2）利用点、、的坐标来求线段、、的长度，得到，则由勾股定理的逆定理推知是直角三角形； （3）作出点关于轴的对称点，则，连接，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，当的值最小，即当三点共线时，的周长最小．利用待定系数法求得直线的解析式，然后把代入直线方程，求得． 本题综合考查了待定系数法求二次函数、一次函数解析式，抛物线的性质，勾股定理的逆定理以及轴对称--最短路线等重要知识点，综合性强，能力要求极高．考查学生数形结合的数学思想方法． 【小问1详解】 解：∵点在抛物线上， ， ∴， 抛物线的解析式为， 顶点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，作点关于轴的对称点，连接，则， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∵点C和点D都是定点， ∴的长为定值， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵两点之间线段最短， ∴当三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值， 设直线的解析式为，则， 解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，解得， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $