精品解析：广东深圳实验学校初中部2026-2027学年九年级第一学期第2次数学检测卷(2026.10.13)

2026-2027学年初三第一学期第2次数学检测卷（2026.10.13） 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：几何体的左视图为选项A的图形．故选：A． 2. 若分式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式有意义，分母不为0，二次根式的被开方数是非负数列式解答即可． 【详解】解：由题意得，且， ∴实数x的取值范围是． 3. 某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ） A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 【答案】D 【解析】 【分析】由的含义表示的是篮球单价比足球贵30元，从而可以确定x的含义． 【详解】解：由可得： 由表示的是足球的单价，而表示的是篮球的单价， 表示的是购买篮球的数量， 故选D 【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，理解方程中代数式的含义是解本题的关键． 4. 已知a、b、c是三条边的长，且满足条件，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用分组分解法对已知等式的左边进行因式分解，再根据非负数的性质得到，从而得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 故选A． 【点睛】本题考查了因式分解的应用、非负数的性质、等边三角形的判断，解题的关键在于灵活利用因式分解建立与方程之间的关系来解决问题． 5. 如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】A、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意， B、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意， C、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意， D、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意， 故选：A. 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似；如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似； 熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键． 6. 如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质、相似三角形的判定与性质． 由基本作图得到垂直平分，则，，，再根据等腰三角形三线合一得到，则可判断四边形为菱形，所以，然后根据相似三角形的判定与性质可计算出． 【详解】解：由作法得垂直平分AD， ，，， 平分， ， ， ∴四边形为菱形， ， ， ， ， ， 解得：， ． 故选：B． 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 B. 关于的方程有两个不相等实根，则的取值范围是且 C. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴 D. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设“一个三角形中没有钝角” 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是矩形，不一定是菱形，故选项A不符合题意； B、∵关于的方程有两个不相等实根，∴， 解得：且，故选项B符合题意； C、正方形有4条对称轴，分别是2条对角线所在的直线和2条两边的垂直平分线，故选项C不符合题意； D、用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，第一步应假设一个三角形中至少有两个钝角 故选项D不符合题意；故选：B． 8. 如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点P运动时的面积随时间变化的关系如图2所示，则a的值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象、菱形的性质、勾股定理等知识点，过点C作，再根据图象的三角形的面积可得，再利用菱形的性质和勾股定理列方程可求a即可． 【详解】解：过点C作，垂足为E， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点P在边上运动时，y的值不变， ∴， 即菱形的边长是a， ∴，即， 当点P在上运动时，y逐渐增大， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：． 故选：B． 二．填空题（每小题3分，共15分） 9. 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 10. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系得到和的表达式，代入已知等式求解． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得． 11. 如图，正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与对应，则旋转角为_________． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质，旋转前后对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，通过连接对应点与旋转中心，观察夹角大小来确定旋转角． 【详解】在正方形网格中，找到与的垂直平分线的交点，点即为旋转中心， 如图所示，连接、、、、 观察可得，旋转角为， 故答案为：． 12. 如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为_____cm． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定和性质．易证明，，从而得到，，两式相加并变形可得，把，，代入计算即可． 【详解】解：，， ， ， ，， ， 即， ， ，， ， 解得． 故答案为：． 13. 如图，的边上有一点E，是的中线，的延长线与射线交于点D，且，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质，过点F作，交于点G，根据平行线分线段成比例定理得，，进而得，再根据相似三角形的判定与性质得，，进而得，，再根据相似三角形的判定与性质得，进而得，即可求解． 【详解】解：如图，过点F作，交于点G， ∵，点F是的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共7小题） 14. 解答下列各题 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）分别乘方运算、绝对值的性质、负整数指数幂以及零指数幂的运算计算各项的值，然后再进行加减运算即可． （2）先对分式进行化简，由是方程的解得出，然后代入化简后的分式求值即可． 【小问1详解】 解：原式． 【小问2详解】 解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴原式． 15. 某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲 70 a 乙 b 90 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 【答案】（1）90；92 （2）70；96；箱线图如图 （3）乙组竞赛成绩较好． 理由：∵乙组的平均数大于甲组平均数，乙组的方差小于甲组的方差， ∴乙组平均分更高，成绩更稳定， ∴乙组竞赛成绩较好．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）根据众数，中位数的定义即可求解． （2）根据四分位数的定义求出第一四分位数和第三四分位数，再画图即可． （3）根据表格给出的数值，根据平均数，方差进行比较即可． 【小问1详解】 解：甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100 甲组10个数，排序后第五和第六位分别是89和91， ∴中位数， 众数是出现次数最多的，乙组92最多， ∴众数． 【小问2详解】 解：甲组数据从小到大排列为60，70，70，80，89，91，92，96，98，100， 方法一：10个数据的第一四分位数的位置为，故第一四分位数为第3个数是，因此； 第三四分位数的位置为，故第三四分位数为第8个数是，因此； 方法二：第一四分位数为前5个数据的中位数，故； 第三四分位数为后5个数据的中位数，故； 箱线图见答案 【小问3详解】 略 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点坐标分别为,． （1）以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为2:1（A，的对应点分别是）； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（的对应点分别是）． （3）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．在AB上找一点，使． 【答案】（1） 与位似的，如图即为所求； （2）将逆时针旋转得，如图即为所求； （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查作图-位似变换，相似三角形的判定与性质，作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质与位似的性质是解题关键． （1）先根据位似图形性质得到A、C的对应点，然后顺次连接即可得解； （2）根据旋转性质找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可得解； （3）取格点，连接，交于点，则，得，故点即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 17. 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 【答案】（1）①；②米； （2）解：不能，理由如下： 当饲养场面积为170平方米时，， 整理得， 判别式， 方程无实数根， 因此饲养场面积不能达到170平方米. 【解析】 【分析】（1）①用总长加上两个门宽再减去2个的长，列出代数式即可；②根据矩形的面积公式列出方程进行求解即可； （2）根据矩形的面积公式列出方程，利用判别式判断方程的根的情况，即可. 【小问1详解】 解：①由题意，（米）； ②由题意，得， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 故米； 【小问2详解】 略 18. 如图，在中，对角线和相交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）延长至点，连接交于点．若，求的值． 【答案】（1） 证明：在中，对角线和相交于点， ． 又 ， 为直角三角形，且， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定以及平行线分线段成比例定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． （1）利用勾股定理证明为直角三角形，得到可证明四边形是菱形； （2）设的中点为，连接，则是的中位线，证明，，利用菱形特点可得、的长后，可得的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，设的中点为，连接，则是的中位线， ． 由（1）可知，四边形是菱形， ． ， ． ， ． 是的中位线， ， ， ． 19. 学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点把线段分成和两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 （1）活动一：点是线段的一个黄金分割点（），若，则___________ （2）活动二：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点，分别落在边，上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （3）活动三：在活动二的条件下，若，求证：点是线段的黄金分割点． 【答案】（1） （2）如图，平行四边形即为所求 （3）证明：在中，， ∴是菱形， ∴，，， ∴，，，， ∴， ∵是边上的高， ∴， 又∵，， ∴， ∴． ∴， ∴点是线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】（1）根据黄金分割的定义得出，代入求解即可； （2）作，如图，四边形是所求作的平行四边形； （3）利用平行线分线段成比例定理，得到和，推出，再证明，据此求解即可得到，点是线段的黄金分割点． 【小问1详解】 解：∵点是线段的一个黄金分割点且， 根据黄金分割定义，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作图略 证明：根据作图可得， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 略 20. 【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当是中点时，________度； （2）【深入探究】 如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； （3）【拓展提升】 如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）①证明：∵四边形为正方形， ∴，． 在和中， ， ∴； ②67.5； （2） （3）或或． 【解析】 【分析】S（1）①根据正方形的性质得，再结合，可证得； ②连接，根据（1）得出，即可证明，从而，进而得出，进一步得出结果； （2）延长，交的延长线于点，可证得，从而，设，则，，可得出，从而，进而得出的方程，进而得出结果； （3）分三种情况讨论：当时，设，则，根据得出，根据得出，进而得出结果；当时，根据得出，从而设，则，从而得出，进而得出结果；当时，可得出，从而，此时点在的延长线上，不符合题意，进一步得出结果． 【小问1详解】 （1）① 略； ②解：如图1，连接， 由①知，， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ∵点是的中点， ∴垂直平分， ，， ； 【小问2详解】 解：如图2，延长，交的延长线于点， ∵四边形是菱形， ， ， ∵点是的中点， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， （舍去）， ； 【小问3详解】 解：分以下三种情况讨论： 情况一：如图，当时， ∵四边形是矩形，，， ，，， 设，则，， ∵， ， ①， ， ， ， ②， 由①②解得，，， ∴或； 情况二：如图，当时，作于， ， ， ， ， 设，则， ， ， ； 情况三：当时，， ∵，， ∴， ， ， ， ， 此时点在的延长线上，不符合题意， 综上所述：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年初三第一学期第2次数学检测卷（2026.10.13） 考试时间：90分钟 试卷满分：100分 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 如图，该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 3. 某校购买了一批篮球和足球．已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元．根据题意可列方程，则方程中x表示（ ） A. 足球的单价 B. 篮球的单价 C. 足球的数量 D. 篮球的数量 4. 已知a、b、c是三条边的长，且满足条件，则的形状是（ ） A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 如图，△ABC中∠A=60°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的三角形与△ABC不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中平分，按以下步骤作图：第一步分别以点A、D为圆心，以大于的长为半径在两侧作弧，交于两点M、N；第二步，连接分别交于点E、F；第三步，连接，若，，，则的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 下列说法中，正确的是（ ） A. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的图形是菱形 B. 关于的方程有两个不相等实根，则的取值范围是且 C. 正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，它有2条对称轴 D. 用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设“一个三角形中没有钝角” 8. 如图1，点P从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点B，点P运动时的面积随时间变化的关系如图2所示，则a的值为（ ） A. 3 B. C. D. 6 二．填空题（每小题3分，共15分） 9. 因式分解：__________． 10. 已知，是关于的一元二次方程的两根，且，则的值为__________． 11. 如图，正方形网格中，线段是线段绕某点逆时针旋转得到的，点与对应，则旋转角为_________． 12. 如图所示，在小孔成像实验中，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为_____cm． 13. 如图，的边上有一点E，是的中线，的延长线与射线交于点D，且，则的值为______． 三．解答题（共7小题） 14. 解答下列各题 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中是方程的解． 15. 某校为调查学生生态环保科普知识掌握情况，组织甲、乙两组学生进行相关知识竞赛，对竞赛成绩（百分制）进行整理和分析，给出了如下信息： 【信息1】甲、乙两组学生竞赛成绩（单位：分） 甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98． 乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95． 【信息2】甲、乙两组学生竞赛成绩的平均数，众数，中位数，方差 统计量 平均数/分 众数/分 中位数/分 方差 甲 70 a 乙 b 90 【信息3】甲、乙两组学生竞赛成绩的箱线图如图所示（单位：分） 根据以上信息，回答下列问题： （1） ， ； （2）甲组学生竞赛成绩的第一四分位数 ，第三四分位数 ，并补全甲组竞赛成绩的箱线图； （3）根据【信息2】和【信息3】，你认为哪个组竞赛成绩较好？请简述理由． 16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，的顶点坐标分别为,． （1）以点为位似中心，在点的上方画出，使与位似，且位似比为2:1（A，的对应点分别是）； （2）以点为旋转中心，将逆时针旋转得，画出（的对应点分别是）． （3）利用网格和无刻度的直尺作图，保留痕迹，不写作法．在AB上找一点，使． 17. 某农场要建一个大饲养场（矩形），两面靠墙，位置的墙最大可用长度为17米，位置的墙最大可用长度为12米，围成如图所示的矩形场地，每个场地各留一个1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长34米．设木栏的长为米． （1）①__________米（用含的代数式表示） ②若饲养场面积为160平方米时，求的长； （2）饲养场面积能达到170平方米吗？若能，请求出的长，若不能，请说明理由． 18. 如图，在中，对角线和相交于点． （1）求证：四边形是菱形． （2）延长至点，连接交于点．若，求的值． 19. 学习《相似三角形》后，曾老师开展了一节《探索黄金分割之旅》的活动课． 【背景资料】黄金分割是一种数学上的比例关系．如图1，点把线段分成和两部分，如果，那么称点为线段的黄金分割点，叫做黄金分割比．黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，在人体、建筑、美学等很多方面都有广泛应用，蕴藏着丰富的美学价值．几何图形中的黄金分割，造就了图形不一样的美．如图2和图3，都是黄金三角形（腰与底的比或底与腰的比等于黄金比）；如图4，矩形是黄金矩形（宽与长的比等于黄金比）． 【知识探究】直角三角形中的黄金分割 （1）活动一：点是线段的一个黄金分割点（），若，则___________ （2）活动二：如图5，在中，，是边上的高．以为边，作平行四边形，使得点，分别落在边，上．（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．） （3）活动三：在活动二的条件下，若，求证：点是线段的黄金分割点． 20. 【综合与实践】 【问题背景】 在四边形中，是边上一点，延长至点使得，连接，延长交于点． 【特例感知】 （1）如图1，若四边形是正方形时， ①求证：；②当是中点时，________度； （2）【深入探究】 如图2，若四边形是菱形，，当为的中点时，求的长； （3）【拓展提升】 如图3，若四边形是矩形，，，点在的延长线上，且满足，当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $