2.4整数指数幂（题型专练）数学新教材湘教版八年级上册

2.4整数指数幂 （6大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 同底数幂的除法 题型二 同底数幂除法的逆用 题型三 零指数幂 题型四 负整数指数幂 题型五 用科学记数法表示绝对值小于1的数以及还原 题型六 整数指数幂的运算 能力提升题 题型一 整数指数幂中的新定义题型 题型二 整数指数幂中的错题复原问题 题型一 同底数幂的除法 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 3.下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4.下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 6．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 题型二 同底数幂除法的逆用 7．已知，，则的值是 ． 8．已知，那么的值为 ． 9．已知，（m，n是整数），求的值（用含有a，b的代数式表示）． 10．请运用幂的运算性质解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 11．已知，求的值． 12．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 13．已知：． (1)的值等于 ； (2)的值等于 ； (3)试说明：． 14．已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 15．按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求． 题型三 零指数幂 16．下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 17．若，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 18．若，则“？”是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．若则（    ） A． B． C． D．，或，或且为偶数 20．（1）已知，满足，求的值． （2）已知，求的值． 题型四 负整数指数幂 21．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 22．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 23．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 24．计算：． 题型五 用科学记数法表示绝对值小于1的数以及还原 25．智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”，多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 26．《赤壁赋》是北宋文学家苏轼被贬谪黄州时创作的一篇赋，此赋反映了作者由月夜泛舟的舒畅，到怀古伤今的悲咽，再到精神解脱的达观．其中“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟”中的蜉蝣是最原始的有翅昆虫，它的卵十分微小，长度约，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 27．2025年5月19日，央视新闻发布某国产品牌实现3（即m）芯片研发设计突破．数，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 28．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 29．水是生命之源，以固态、液态、气态三种形态在自然界中循环存在．水的三态变化本质上是由水分子的热运动和分子间作用力决定的．一个水分子的半径约为．数据用科学记数法表示正确的为（    ） A． B． C． D． 30．3用小数表示为（   ） A．0.000347 B．0.347 C．0.0347 D．0.00347 31．用科学记数法表示的数还原成的原数为 ． 32．一个小数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 33．如果一个数用科学记数法表示为，那么这个数是（   ） A．0.0000523 B．0.00000523 C．0.000000523 D．0.0000000523 34．用科学记数法表示的数在数轴上的位置最接近（ ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 题型六 整数指数幂的运算 35．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． (1)； (2)； (3)． 36．计算： (1)； (2) (3) (4) (5)． (6)． 37．计算： (1)； (2)． 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． ． 题型一 整数指数幂中的新定义题型 39．对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 40．定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 41．对于非零实数、，定义运算：，如． (1)①填空：＝　 　； ②计算：； (2)若，求的值． 42．探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 43．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ． (2)已知，，，若，则 ． (3)若，，求的值． 44．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，计算：______，______； (2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由； (3)若，则______． 题型二 整数指数幂中的错题复原问题 45．已知，求整数x的值． 小红与小明交流如下： 小红：因为， 所以且，所以． 小明：因为，所以，所以， 你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 46．在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________． (2)若，求的值． (3)延伸迁移：若，请直接写出a的值． 47．根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： (1)已知，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，，请解关于s的方程：． 48．【发现规律】；；；…… （1） 【验证规律】 （2）请你用含正整数n的等式表示你所发现的规律并进行验证； 【拓展延伸】 （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，则的值为 ． 49．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫做对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有______（填序号）； ①；②；③；④；⑤； (2)若关于m，n的代数式为对称式，则k的值为_______； (3)在（2）的条件下，已知对称式，且，求的值． 50．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.4整数指数幂 （6大题型基础达标练+2大题型能力提升练+拓展培优练） 基础达标练 题型一 同底数幂的除法 题型二 同底数幂除法的逆用 题型三 零指数幂 题型四 负整数指数幂 题型五 用科学记数法表示绝对值小于1的数以及还原 题型六 整数指数幂的运算 能力提升题 题型一 整数指数幂中的新定义题型 题型二 整数指数幂中的错题复原问题 题型一 同底数幂的除法 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握同底数幂乘除法、积的乘方和幂的乘方运算法则是解题的关键． 根据幂的运算规则逐一验证即可． 【详解】解：A． 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：，正确，故此选项符合题意． B． 同底数幂相除，底数不变，指数相减：，原计算错误，故此选项不符合题意． C． 幂的乘方，底数不变，指数相乘：，原计算错误，故此选项不符合题意． D． 积的乘方，各因子分别乘方：，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：A． 2．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．根据运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：∵不是同类项，无法计算，错误， 故A不合题意． ∵，错误， ∴B不合题意． ∵，错误， ∴C不合题意． ∵，正确， ∴D合题意． 故选：D． 3.下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 4.下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，涉及幂的乘方、积的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法，掌握计算公式是解题的关键．分别利用幂的乘方、积的乘方，负整数指数幂，同底数幂的除法计算公式计算． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意， 故选：D． 5．若关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了加减消元法和同底数幂的除法，解题关键是准确求解方程组． 先根据方程组求得，将代入，可得：，然后化简得到，然后即可求解． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 6．计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1)a； (2) (3)； (4)． 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂除法、同底数幂乘除混合运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）先运用幂的乘方化简，然后再运用同底数幂除法计算即可； （2）先运用同底数幂除法计算，然后再运用幂的乘方计算即可； （3）先运用幂的乘方化简，然后再运用同底数幂乘除混合运算法则计算即可； （4）先运用幂的乘方化简，然后再运用同底数幂除法计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解： ． （4） ． 题型二 同底数幂除法的逆用 7．已知，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，根据同底数幂的除法和幂的乘方的运算法则求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 8．已知，那么的值为 ． 【答案】18 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用，熟练掌握公式的逆应用是解题的关键． 【详解】解：， 由， ∴， 故答案为：18． 9．已知，（m，n是整数），求的值（用含有a，b的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和同底数幂除法逆用，熟练掌握幂的乘方和同底数幂除法运算法则，是解题的关键．逆用幂的乘方和同底数幂除法运算法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 10．请运用幂的运算性质解决下列问题： (1)若，，求的值； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式和实数的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂的除法法则、幂的乘方法则和积的乘方法则． （1）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，把所求幂写成含有的形式，再代入进行计算即可； （2）先把写成，然后利用乘法的运算律和积的乘方法则进行简便计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 11．已知，求的值． 【答案】2 【分析】本题考查了幂的乘方以及同底数幂相乘，同底数幂相除，先根据得，即，解得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：， ∴ ， 解得 ． 12．已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母m，n，p之间的数量关系为______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键． （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2）由（1）知，，， ； （3）， ， ； 故答案为：． 13．已知：． (1)的值等于 ； (2)的值等于 ； (3)试说明：． 【答案】(1)9 (2)2 (3)见解析 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算，同底数幂乘法计算，熟知幂的相关计算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据计算求解即可； （3）先求出，再求出，则可得到，则． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 14．已知，n为正整数． (1)求的值． (2)利用因式分解说明：能被24整除． 【答案】(1)25 (2)见解析 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法的逆运算，因式分解，熟知同底数幂乘除法的逆运算法则是解题的关键． （1）根据计算求解即可； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则把原式变形为，再提取公因数分解因式得到，据此可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）证明：∵， ∴ ， ∵是偶数，一定能被24整除， ∴一定能被24整除． 15．按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，熟练掌握幂的运算法则正确计算是解决此题的关键． （1）根据幂的乘方法则，同底数幂相乘法则计算得出，然后把整体代入计算即可； （2）根据幂的乘方法则，同底数幂相乘法把变形为，则可求出，然后根据幂的乘方法则，积的乘方法则以及同底数幂相除法则计算，最后把m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 题型三 零指数幂 16．下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查负整数指数幂和零指数幂的性质，熟练掌握（，为正整数 ）、（）是解题的关键．根据负整数指数幂和零指数幂的性质，分别计算每个选项，判断结果是否正确． 【详解】解： 负整数指数幂的性质是（，为正整数 ），则 A错误． 零指数幂的性质是（），所以，则 B错误． 零指数幂的性质是（），底数，所以 C正确． 负整数指数幂的性质是（，为正整数 ），则 D错误． 故选：C ． 17．若，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了零指数幂．根据零指数幂的定义，任何非零实数的零次方都等于1，因此底数必须不为零． 【详解】解：由题意，成立的条件是底数（否则无意义）． 解不等式，得． 因此，应满足的条件是， 故选：D． 18．若，则“？”是（  ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了乘方的意义和零指数幂的意义． 逐一计算判断结果是否为1即可． 【详解】解：A．，符合题意； B．，不符合题意； C．，不符合题意； D．，不符合题意； 故选：A． 19．若则（    ） A． B． C． D．，或，或且为偶数 【答案】D 【分析】本题主要考查了零指数次幂，乘方，同底数幂相除， 根据同底数幂的除法法则可得，再分三种情况分析得出答案． 【详解】解：∵， 当时，无论为何值，结果成立； 当指数为0，即，解得，任何非零数a的0次方均为1； 当时，且为偶数，则的偶次幂等于1． 选项D完整涵盖了这三种情况． 故选：D． 20．（1）已知，满足，求的值． （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）的值为1或0 【分析】本题考查了绝对值和平方的非负性、0指数和负整数指数幂以及代数式求值等知识，熟练掌握非负数的性质、灵活应用分类思想是解题的关键； （1）根据绝对值和平方的非负性可求出m、n的值，再进一步求解即可； （2）分三种情况：①0指数幂的性质；②1为底数的任何次幂都是1；③的偶次幂为1；分别解答即可． 【详解】解：（1）因为 ， ，， 所以， 所以， 所以； （2）因为， 所以，①当且时，解得，此时原式成立； ②当时，解得，此时原式成立； ③当且为偶数时，解得，但为奇数，此时原式不成立，故应舍弃； 综上，的值为1或0． 题型四 负整数指数幂 21．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查负整数指数幂，解题的关键是熟练掌握运算法则． 根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：． 22．下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是负整数指数幂的含义，科学记数法的含义，根据负整数指数幂的公式分别计算即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算错误，故选项不符合题意； B、，原计算正确，故选项符合题意； C、，原计算错误，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 故选：B． 23．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了零指数幂（， ）和负整数指数幂（，，为正整数 ）的运算，熟练掌握这两种幂的运算法则是解题的关键．本题需根据零指数幂、负整数指数幂的运算法则，分别求出、、的值，再比较大小． 【详解】解： ． ． ． ∵， ∴ ． 故选：A ． 24．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查含负指数幂，零次幂的混合运算，先算乘方，零次幂和负指数幂，进而得到结果即可； 【详解】解：原式. 题型五 用科学记数法表示绝对值小于1的数以及还原 25．智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”，多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a的值以及n的值是解决问题的关键． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：原数的小数点需向右移动9位才能得到，因此表示为． 选项B符合科学记数法的要求． 故选B． 26．《赤壁赋》是北宋文学家苏轼被贬谪黄州时创作的一篇赋，此赋反映了作者由月夜泛舟的舒畅，到怀古伤今的悲咽，再到精神解脱的达观．其中“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟”中的蜉蝣是最原始的有翅昆虫，它的卵十分微小，长度约，其中用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了科学记数法，熟练掌握其表示方法是解题的关键． 需将其转化为的形式，其中，为整数． 【详解】解：． 故选：D． 27．2025年5月19日，央视新闻发布某国产品牌实现3（即m）芯片研发设计突破．数，用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了科学记数法的定义． 直接根据科学记数法的定义计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 28．古代数学著作《九章算术》的注疏中，数学家刘徽曾提及一种用于测量微小长度的单位“忽”，经现代换算，1忽约等于0.00000033米．则数据0.00000033用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 29．水是生命之源，以固态、液态、气态三种形态在自然界中循环存在．水的三态变化本质上是由水分子的热运动和分子间作用力决定的．一个水分子的半径约为．数据用科学记数法表示正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此求解即可． 【详解】数据用科学记数法表示正确的为． 故选D． 30．3用小数表示为（   ） A．0.000347 B．0.347 C．0.0347 D．0.00347 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数， 将还原为小数，可知，再根据指数为，将小数3.47的小数点向左移动3位可得答案． 【详解】解：根据题意，得． 故选：D． 31．用科学记数法表示的数还原成的原数为 ． 【答案】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数，当原数绝对值1时，n是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 32．一个小数用科学记数法表示为，则原数中“0”的个数为（   ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【分析】本题主要考查了科学记数法．科学记数法的表示形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，确定a的值以及n的值．先确定出原数中整数位数，然后再确定其中0的个数即可． 【详解】解：∵， ∴原数中“0”的个数为（个）， 故选：C． 33．如果一个数用科学记数法表示为，那么这个数是（   ） A．0.0000523 B．0.00000523 C．0.000000523 D．0.0000000523 【答案】C 【分析】本题考查科学记数法-还原用科学记数法表示的数，科学记数法的形式，其中，且n为整数．还原时，若n是正整数时，把a的小数点向右移动n位，若n是负整数时，把a的小数点向左移动位．解题的关键是熟练掌握并灵活运用科学记数法．还原，是负整数，把小数点向左移动7位即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴将5.23的小数点向左移动位，即 ∴ 故选C． 34．用科学记数法表示的数在数轴上的位置最接近（ ） A．点P B．点Q C．点M D．点N 【答案】B 【分析】本题考查了数轴和科学记数法－表示较小的数，熟练掌握科学记数法和数轴的定义是关键． 根据科学记数法的表示方法可得，再根据数轴的定义即可得出答案． 【详解】解：， 在数轴上的位置最接近点． 故选：B． 题型六 整数指数幂的运算 35．计算下列各式，并把结果化为正整数指数幂的形式． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整数指数幂的运算，涉及单项式乘法，除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）根据单项式的乘法进行计算即可； （2）根据幂的乘方的性质进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答； （3）先根据积的乘方的性质与单项式的除法进行计算，再根据负整数指数次幂等于正整数指数次幂的倒数解答． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ． 36．计算： (1)； (2) (3) (4) (5)． (6)． 【答案】(1)； (2)x10； (3)； (4)； (5)； (6) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，整数指数幂的运算，解题的关键是熟记负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则． （1）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （2）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （3）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （4）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （5）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （6）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 37．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，整数指数幂的运算； （1）先计算零次幂，负整数指数幂，乘方运算，再计算即可； （2）按照整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 38．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】（1）先分别进行乘方运算，再约分即可求出结果; （2）先分别进行乘方运算，再约分即可求出结果. （3）根据异分母的分式加减计算即可． （4）首先计算乘方，然后计算乘法，然后进行除法运算即可． 本题主要考查了分式的混合运算，在解题时要注意运算顺序和简便方法的应用以及结果的符号是本题的关键． 【详解】（1）解：, , ； （2）解：, , ； （3）解： ； （4）解： ． ． 题型一 整数指数幂中的新定义题型 39．对于整数、定义运算： （其中、为常数），如． (1)填空：当时， ___________； (2)若，，求的值． 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）根据定义的运算解答即可； （2）根据新定义运算，幂的乘方计算即可即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （2）解：∵，，， ∴， ∴，， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴． 【点睛】本题考查新定义运算和幂的运算法则，包括幂的乘方，同底数幂相乘的逆用，同底数幂相除的逆用，实数的混合运算，解题的关键是理解题意，灵活运用幂的运算法则解决问题． 40．定义一种幂的新运算：，例如，请利用这种运算规则解决下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了定义幂的新运算．熟练掌握新运算规则，同底数幂的除法法则，是解题的关键． （1）根据新运算规则计算，即可求解； （2）根据新运算规则原式可变形得出，可得，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， 解得：． 41．对于非零实数、，定义运算：，如． (1)①填空：＝　 　； ②计算：； (2)若，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查的知识点是新定义下实数的运算、整数指数幂的运算，解题关键是理解题意，按照题中给出的新定义运算． （1）①先判断出，然后根据题干中的新定义运算即可； ②先判断出，，然后根据题干中的新定义运算即可； （2）分两种情况：、，讨论即可得解． 【详解】（1）解：①， ， 故答案为：； ②，， ， ， ， ． （2）解：分情况讨论： ①若，即时， ， 即，此时，不符合题意，舍去； ②若，即时， ， 即，，符合题意， 故． 42．探究应用：用“”“”定义两种新运算：对于两个整数a、b，规定，，例如：；． (1)求的值； (2)求的值； (3)当x为何值时，的值与的值相等． 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算，新定义运算的含义； （1）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （2）直接利用新定义运算的法则进行计算即可； （3）由新定义运算的含义可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由题意，得， ∴， ∴， ∴， 解得：. 43．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1) ；若，则 ． (2)已知，，，若，则 ． (3)若，，求的值． 【答案】(1)4，64 (2)15 (3) 【分析】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法． （1）根据新定义列式求值即可； （2）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，即可解得m的值； （3）根据新定义列式，利用幂的运算性质进行变形，最后化简求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：4，64； （2）解：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：15； （3）解：由题意得：，， ∴， ∴， ∴的值为． 44．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，计算：______，______； (2)记，，．探究、、三者之间的等量关系，并给出理由； (3)若，则______． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查乘方，负整数指数幂，同底数幂的乘法，掌握其运算法则是关键． （1）根据乘方，负整数指数幂的计算求解即可； （2）根据幂的乘方运算的逆运算法则计算即可； （3）根据题意，设，得到若，则，根据同底数幂的乘法运算代入计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，理由如下， 记，，， ， ， ， ， ； （3）解：如果，那么我们规定， 设， ， 若，则， ， ，即， 故答案为：． 题型二 整数指数幂中的错题复原问题 45．已知，求整数x的值． 小红与小明交流如下： 小红：因为， 所以且，所以． 小明：因为，所以，所以， 你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值． 【答案】解答不完整，的值可以为：，，． 【分析】此题主要考查了零指数幂的性质，绝对值的意义，有理数的乘方运算等知识，直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算运算法则分别化简求出答案，正确把握运算法则是解题关键． 【详解】解：解答不完整， 因为， 所以且，所以， 因为，所以，所以， 当时， 解得：，此时其结果都为1， 综上所述，的值可以为：，，． 46．在复习了整式的运算后，数学老师让同学们总结：（为整数）成立时，a，n要满足的条件．请解答下列问题： (1)经过讨论，小明同学总结了三种使（为整数）成立情形，请帮小郑同学补充完整：①；②，n为偶数；③________． (2)若，求的值． (3)延伸迁移：若，请直接写出a的值． 【答案】(1)1 (2)1或2025 (3)或或 【分析】此题主要考查有理数的乘方及零指数幂的意义，解题的关键是熟知有理数乘方的运算法则及零指数幂的意义． （1）根据1的任何次幂都等于1解答即可； （2）根据（1）三种情况讨论解答即可； （3）根据0的非零次幂等于0，1的任何次幂等于1，的奇数次幂等于解答即可． 【详解】（1）当时，（n为整数）； 故答案为：1； （2）由， 当时，， 解得； 此时底数为，成立 当时， 解得； 指数，是奇数， 结果为，不成立； 当时， 解得． 此时指数为， 此时结果为 所以x的值是1或2025； （3）由，可知 当时，， 解得； 当时， 解得； 当时，是奇数， 解得． 所以a的值是或或． 47．根据乘方的意义可知： 一般地，对于任意不为0的底数a与任意正整数m，n，． 同理，我们有（，m，n都是正整数，并且）． 例如：． 根据所学知识，解决以下问题： (1)已知，则_______； (2)已知，求的值； (3)已知，，，，请解关于s的方程：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法，即可得到结果； （2）根据同底数幂的乘法及幂的乘方的逆用化简原式，然后代入已知条件，即可得到结果； （3）根据题意，由同底数幂的乘法得到，由同底数幂的除法得到，然后利用幂的乘方及幂的乘方的逆用对方程进行变形，再将，代入到方程中，解方程，即可得到结果． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ； （3）解：，，，， ，， 即：，， ， ， 即：， 解得：． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，幂的乘方的逆用，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的运算法则及一元一次方程的解法是解题的关键． 48．【发现规律】；；；…… （1） 【验证规律】 （2）请你用含正整数n的等式表示你所发现的规律并进行验证； 【拓展延伸】 （3）已知比任意一个整数大3的数与此整数的平方差被6除的余数是t，则的值为 ． 【答案】（1）21；（2），验证见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式的应用，数字类规律的探索，负整数指数幂，正确理解题意，找出规律是解题的关键． （1）根据题干的等式找出规律即可求解； （2）根据题干的等式找出规律即可求解； （3）设整数为，则由题意得，利用完全平方公式化简得到，而是6的倍数，故余数为3，再由负整数指数幂求解即可． 【详解】解：（1）； ； ； …… ∴， 故答案为：21； （2）； ； ； …… ∴， ∵ ， ∴结论成立； （3）设整数为， 则由题意得：， ∴， ∴， 故答案为：． 49．【概念学习】 一个含有多个字母的代数式中，任意交换其中两个字母的位置，当字母的取值均不相等，且都不为0时，代数式的值不变，这样的式子叫做对称式． 【特例感知】 代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式．而交换式子中字母m，n的位置，得到代数式，因为，所以不是对称式． 【问题解决】阅读以上材料，解答下面的问题： (1)下列代数式中是对称式的有______（填序号）； ①；②；③；④；⑤； (2)若关于m，n的代数式为对称式，则k的值为_______； (3)在（2）的条件下，已知对称式，且，求的值． 【答案】(1)①②⑤ (2) (3)2或 【分析】本题是新定义问题，主要考查的是整式的运算和完全平方公式的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据对称式的含义即可做出判断； （2）根据对称式的含义即可求解； （3）由（2）可得，再根据，通过，即可求解得到的值，进而可得的值． 【详解】（1）解：①∵， ∴是对称式； ②∵， ∴是对称式； ③∵， ∴不是对称式； ④∵，， ， ∴不是对称式； ⑤∵ ∴是对称式； 综上所述：对称式有①②⑤， 故答案为：①②⑤； （2）解：∵是对称式， ∴，， 即， 解得：， 故答案为：； （3）解：由（2）得，即可化简为：， 即， ∵， ∴， ∴， 解得：； ∴或． 50．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 学科网（北京）股份有限公司 $$