精品解析：广东佛山市第三中学2026-2027学年第一学期教学质量检测（1）高二数学试卷

佛山三中2026-2027学年第一学期教学质量检测（1）试卷 高二 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（ ） A. 恰有1名同学是女生 B. 恰有两名同学是女生 C. 至少有1名同学是男生 D. 至少有1名同学是女生 2. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录每次朝上的点数，设事件为“第一次的点数是”，事件为“两次的点数之积为偶数”，事件为“两次的点数之和为偶数”，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 与相互独立 3. 直线：，直线：，若，则实数a的值为（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 5. 已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A. B. C. D. 6. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ） A. B. 4 C. D. 7. 已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为2 D. 直线的一个方向向量的坐标是 8. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于两个相互独立的事件，已知均大于0．（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值是 C. 可能是对立事件 D. 不可能是互斥事件 10. 已知，，则下面四个选项中正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与直线平行 C. 点在直线上 D. 直线必过定点 11. 已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 向量共线的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 点A到直线BC的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（答案写成直线的一般方程）________. 13. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为_________． 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． （1）请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； （2）写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 16. 平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. （1）若直线在轴上的截距为5，求的值； （2）若时，求直线的斜截式方程. 17. 如图，在三棱柱中，平面，D为的中点．若，，，求： （1）直线与平面所成角的正弦值； （2）点到平面的距离． 18. 在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，甲、丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大?请说明理由. 19. 如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，． （1）求二面角的平面角的余弦值． （2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 佛山三中2026-2027学年第一学期教学质量检测（1）试卷 高二 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 某小组有4名男同学和3名女同学，从中任选3名同学去参加座谈会，则与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是（ ） A. 恰有1名同学是女生 B. 恰有两名同学是女生 C. 至少有1名同学是男生 D. 至少有1名同学是女生 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，结合对立事件的定义写出已知事件的对立事件，即可得. 【详解】由对立事件的定义知，与事件“3名同学全是女生”是对立事件的是事件“3名同学全至少有1名男生”. 故选：C 2. 连续抛掷一枚质地均匀的骰子次，记录每次朝上的点数，设事件为“第一次的点数是”，事件为“两次的点数之积为偶数”，事件为“两次的点数之和为偶数”，则（ ） A. 与互斥 B. 与相互独立 C. D. 与相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】记为第一次的点数，为第二次的点数，以为一个样本点，利用互斥事件的定义可判断A选项；利用事件独立性的定义可判断BD选项；利用古典概型的概率公式可判断C选项. 【详解】记为第一次的点数，为第二次的点数，以为一个样本点， 对于A选项，，故与不互斥，A错； 对于B选项，由古典概型的概率公式可得， 基本事件的总数为，故， ， 所以，则， 所以与不独立，B错； 对于C选项， ，共个样本点，则， 所以，C错； 对于D选项，， 所以，故与独立，D对. 3. 直线：，直线：，若，则实数a的值为（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行的系数关系列方程求解，再排除两直线重合的情况即可得到正确结果. 【详解】对于两条直线，，若，则满足且（不重合）； 由题得，， 首先由列等式：， 整理得，解得或， 当时，，，即，两直线重合，不符合题意，舍去； 当时，，，两直线斜率均为2，在轴上的截距分别为和，不重合，满足平行条件. 综上，. 4. 已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 5. 已知是空间的一个基底，则下列向量不共面的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用共面向量基本定理即可求解. 【详解】对于A，由，所以共面，故A错误； 对于B，假设共面，设，所以与矛盾， 所以不共面，故B正确； 对于C，由，所以共面，故C错误； 对于D，由，所以共面，故D错误； 故选：B. 6. 空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，得到平面内的一点为，且平面的一个法向量为，再由，结合向量的距离公式，即可求解. 【详解】由平面的方程为，可化为， 根据题意，可得平面内的一点为，且平面的一个法向量为， 又由点，所以， 所以点到平面的距离为. 7. 已知与关于直线l对称，则下列说法中错误的是（ ） A. 直线过的中点 B. 直线的斜率为 C. 直线的斜率为2 D. 直线的一个方向向量的坐标是 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜率的坐标计算判断B，由斜率可得直线的一个方向向量从而判断D，求解的中点坐标，从而判断A；由对称关系可得直线的斜率，即可判断C. 【详解】的斜率为，故B正确； 则直线的一个方向向量的坐标是，故D正确； 因为与关于直线l对称，所以的中点坐标为一定在直线上，故A正确； 因为直线与直线垂直，所以直线斜率为，故C错误. 故选：C. 8. 给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D. 【详解】对于A，同时与垂直， ， 且构成右手系，即成立，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 则与共线，且方向相同， 因此，C正确； 对于D,，， 因此，D正确． 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于两个相互独立的事件，已知均大于0．（ ） A. 若，则 B. 若，则的最大值是 C. 可能是对立事件 D. 不可能是互斥事件 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A，因为事件相互独立，所以，故A正确； 对B，因为事件相互独立，所以， 所以当时，取得最大值，为.故B正确； 因为事件独立，且均大于0，所以，即事件一定有同时发生的可能性，故不可能是互斥事件，更不可能是对立事件，故C错误，D正确. 10. 已知，，则下面四个选项中正确的有（    ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线与直线平行 C. 点在直线上 D. 直线必过定点 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，已知直线上的两点，利用公式求出，利用求出倾斜角；选项B，利用点斜式得到直线的方程，从而得解；选项C，将点代入直线验证即可得解；选项D，将直线整理得到，则有，这个方程组的解形成的点就是直线必过的定点. 【详解】因为，所以直线的倾斜角为，故A正确． 直线MN的斜率为1，则方程为， 即直线与直线重合，所以B错误， 由题意得，则点的坐标不满足，故C错误， 由，得到， 显然时，恒成立，即该直线恒过定点，故D正确. 故选：AD. 11. 已知空间四点，，，，则下列四个结论中正确的是（ ） A. B. 向量共线的单位向量为 C. 向量在向量上的投影向量为 D. 点A到直线BC的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数量积为零判断向量垂直，判断选项A；根据向量除以模长求单位向量，判断选项B；根据投影向量公式：判断选项C；根据向量夹角公式，计算点A到直线BC的距离，判断选项D. 【详解】，， ，故，故A正确； ， ， 所求单位向量为：或，故B错误； ，， ，， ，故C正确； 由，可得， 所以点A到的距离为，故D错. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 求过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程（答案写成直线的一般方程）________. 【答案】或 【解析】 【分析】对截距不为0时及为0时进行分类讨论，设出直线并代点计算即可得. 【详解】当截距不为0时，设直线的方程为， 又过点，所以， 解得，所以直线的方程为； 当截距为0时，设直线的方程为， 又过点，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 综上，直线的方程为或. 故答案为：或. 13. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各次投篮互不影响，则投篮结束时，乙只投了2个球的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】明确投篮结束时乙只投了2个球的两种互斥情形，结合独立事件乘法公式与互斥事件加法公式计算概率。  【详解】设分别表示甲、乙在第次投篮时投中，，由题意得，且各次投篮结果相互独立。 记“投篮结束时乙只投了2个球”为事件，事件包含两类互斥情形： 前两次甲、乙投篮均未命中，乙第二次投篮命中获胜，对应事件为； 前两次甲、乙投篮均未命中，甲第三次投篮命中获胜，对应事件为. 根据独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式可得： 14. 如图，平行六面体的所有棱长均为两两所成夹角均为，点分别在棱上，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由几何图形结合向量加减运算求出，接着由已知条件结合向量的运算律计算求出即可求解. 【详解】连接， 则由题得， 所以 ， 故. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果，设表示“两颗骰子点数之和等于”，表示“至少有一颗骰子的点数为”，表示“红色骰子上的点数大于”． （1）请写出一个等可能的样本空间，并求事件，，的概率； （2）写出事件，对应的子集并求出它们的概率． 【答案】（1），，， （2），，， 【解析】 【分析】（1）明确样本空间的总数后，计算对应样本点个数即可得； （2）利用交集与并集定义，并计算对应样本点个数即可得. 【小问1详解】 样本空间为， 满足事件的样本点有，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，共个， 故； 满足事件的样本点有，，，，，， ，，，，，，共个， 故； 【小问2详解】 ，共个样本点， 故； ，共个样本点， 故. 16. 平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. （1）若直线在轴上的截距为5，求的值； （2）若时，求直线的斜截式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【小问1详解】 依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； 【小问2详解】 设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 17. 如图，在三棱柱中，平面，D为的中点．若，，，求： （1）直线与平面所成角的正弦值； （2）点到平面的距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用线面角的向量法求解； （2）利用点到平面距离的向量公式求解. 【小问1详解】 由，为的中点，得，由平面， 平面，得，取的中点，连接， 则，，直线两两垂直， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 由题意，则， ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问2详解】 由（1）知， 所以点到平面的距离. 18. 在校运动会上，有甲、乙、丙三位同学参加羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，甲、丙首先比赛，乙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为. （1）求丙连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）甲、乙、丙三人中谁最终获胜的概率最大?请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）乙最终获胜的概率最大，理由如下： 记事件为甲输，事件为丙输， 记事件：甲赢，记事件：乙赢， 则甲赢的基本事件包括：， 甲赢的概率为， 由对称性可知，丙最终获胜的概率和甲最终获胜的概率相等， 即丙最终获胜的概率也是， 所以乙赢的概率为， 又，所以三人中乙最终获胜的概率最大． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由独立事件的概率公式，代入计算即可得到结果； （2）根据题意，分别求出甲、丙连胜四场与乙上场后连胜三场获胜的概率，即可得到结果； （3）根据题意，列出基本事件个数，求出甲、乙、丙获胜的概率，即可得到结果. 【小问1详解】 丙连胜四场的情况为：“丙胜甲负，丙胜乙负，丙胜甲负，丙胜乙负”， 所以丙连胜四场的概率：； 【小问2详解】 根据赛制，至少需要进行四场比赛， 而甲、丙连胜四场的概率为， 乙上场后连胜三场获胜的概率为， 需要进行第五场比赛的概率； 【小问3详解】 三人中乙最终获胜的概率最大.理由略. 19. 如图，斜棱柱的所有棱长都等于2，，平面平面，． （1）求二面角的平面角的余弦值． （2）在直线上是否存在点，使得平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）直线上是存在点，使得平面，点在直线上，且位于点的另一侧（相对于），满足 . 【解析】 【分析】（1）通过边长与角度关系，建立空间直角坐标系，直接求出平面的法向量与 平面的法向量，利用夹角公式求出二面角的余弦值； （2）线面平行转化为线与平面的法向量垂直，利用的坐标将表示出来，根据公式将求出来. 【小问1详解】 在底面菱形中， 已知，且边长均为2 连接交于点 ，则，且为的中点 在中，,，故为正三角形 所以，， 建立空间直角坐标系，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，垂直于底面向上的方向为轴。 则 已知平面平面，且交线为 因为在平面 内，所以在底面的投影落在交线（即轴）上。 又已知， 在平面内，过 作于 在中，， 因为，且 在上，，故，即与重合。 因此 设平面的法向量 , 则，令，则 故 平面的法向量可为， 设二面角的平面角为，由图可知该二面角为锐角。 所以，二面角的余弦值为. 【小问2详解】 存在，设平面的法向量为， ，， 所以，令，则 由（1）可知，， 设， 所以， 平面，所以， 即，解得 所以点在直线上，且位于点的另一侧（相对于），满足 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $