精品解析：辽宁省阜新市第四中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

阜新市第四中学2026—2027（上）质量检测（一） 九年级数学试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（　　） A. ＝0 B. C. D. 2. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根的范围是（） A. B. C. D. 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足方程（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 如果点E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 9. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行.直线沿轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为，平移的时间为（秒），与的函数图象如图2所示，则图2中的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每空3分，共15分） 11. 已知，则的值为_______． 12. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有____个队参加比赛. 13. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_______． 14. 如图， 中，是高，分别是的中点．若，，则四边形的周长为_____． 15. 如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿，剪开，可拼成正方形．若，，则的面积是_______． 三、简答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解一元二次方程 （1） （2） 17. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）连接，添加条件，使四边形是正方形（不需要说明理由）． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 19. 某小区在宽，长的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 20. 如图，已知平行四边形的对角线，相交于点O，，，两动点E，F同时以的速度分别从点A，C出发在线段上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动． （1）求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形； （2）当点E，F的运动时间t为何值时，四边形为矩形？ 21. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 22. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程” ． （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根为 ．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为 ． （3）已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 23. 在菱形中，，．将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．作射线，在射线上取一点，使，连接． （1）【观察猜想】 当时，如图1，的度数为_________，的长为_________． （2）【探究证明】 当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． （3）【拓展延伸】 当时，若的面积为，请直接写出此时旋转角的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阜新市第四中学2026—2027（上）质量检测（一） 九年级数学试卷 满分：120分 考试时间：120分钟 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）． 1. 下列关于x的方程中，是一元二次方程的有（　　） A. ＝0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义依次判断即可. 【详解】解：A.不是整式方程，故本选项错误． B.整理后为，符合一元二次方程的定义，故本选项正确； C.方程二次项系数可能为0，故本选项错误； D.方程含有两个未知数，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义.形如（为常数，），这样的方程叫做一元二次方程.掌握一元二次方程的定义是解题的关键. 2. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如下： 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 由此可估算方程的一个根的范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法． 结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】由表可知， 当时，， 当时，， ∴方程的一个根的范围是． 故选：C． 3. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 、、、 B. 、、、 C. 、、、 D. 、、、 【答案】B 【解析】 【分析】用最长与最短线段的乘积和中间两线段的乘积是否相等，判断线段是否成比例． 【详解】解：A．∵， ∴、、、不成比例； B．∵， ∴、、、成比例； C．∵， ∴、、、不成比例； D．∵， ∴、、、不成比例． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 对角线相等的菱形是正方形 D. 对角线互相平分的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．仅对角线相等无法判定四边形是矩形，错误； B、D．仅满足对角线互相垂直或互相平分单一条件，无法判定四边形是菱形，错误； C．对角线相等的菱形是正方形，正确． 5. 用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：， 移项得， 两边同时加，得， 即． 6. 某机械厂一月份生产零件50万个，三月份生产零件72万个．设该厂二、三月份平均每月的增长率为x，那么x满足方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵一月份生产零件50万个，二、三月份平均每月的增长率为， ∴二月份产量为万个， ∴三月份产量为万个， ∵三月份生产零件72万个， ∴． 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，对角线，交于点，，．将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时，点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出，得出矩形向左平移2个单位，即可求出结论． 【详解】解：在矩形中，，， ， ，即， ∵将矩形向左平移，当点的对应点落在轴上时， ∴点的对应点坐标，即矩形向左平移2个单位， ∴平移后点的对应点的坐标为． 8. 如果点E、F、G、H分别是四边形四条边的中点，要使四边形EFGH为菱形，则四边形应具备的条件是（ ） A. 一组对边平行而另一组对边不平行 B. 对角线相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】B 【解析】 【分析】据已知条件可以得出要使四边形为菱形，应使，根据三角形中位线的性质可以求出四边形应具备的条件．此题主要考查了三角形中位线的性质以及菱形的判定方法，正确运用菱形的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：连接，， 四边形中，、、、分别是四条边的中点，要使四边形为菱形， ， ，， 要使， ， 四边形应具备的条件是， 故选：B． 9. 若一个菱形的两条对角线长分别是关于的一元二次方程的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，得到，根据菱形的面积得到，利用勾股定理以及完全平方公式计算可得答案． 【详解】解：设方程的两根分别为a，b， ∴， ∵a，b分别是一个菱形的两条对角线长，已知菱形的面积为11， ∴，即， ∵菱形对角线垂直且互相平分， ∴该菱形的边长为 ，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了根与系数的关系以及菱形的性质，完全平方公式，利用根与系数的关系得出是解题的关键． 10. 如图1，将正方形置于平面直角坐标系中，其中边在轴上，其余各边均与坐标轴平行.直线沿轴的负方向以每秒1个单位的速度平移，在平移的过程中，该直线被正方形的边所截得的线段长为，平移的时间为（秒），与的函数图象如图2所示，则图2中的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可分析出当t=2时，l经过点A，从而求出OA的长，l经过点C时，t=12，从而可求出a，由a的值可求出AD的长，再根据等腰直角三角形的性质可求出BD的长，即b的值. 【详解】解：连接BD,如图所示： 直线y＝x﹣3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝﹣3， 即直线y＝x﹣3与坐标轴围成的△OEF为等腰直角三角形， ∴直线l与直线BD平行，即直线l沿x轴的负方向平移时，同时经过B，D两点， 由图2可得，t＝2时，直线l经过点A， ∴AO＝3﹣2×1＝1， ∴A（1，0）， 由图2可得，t＝12时，直线l经过点C， ∴当t＝+2＝7时，直线l经过B，D两点， ∴AD＝（7﹣2）×1＝5， ∴在等腰Rt△ABD中，BD＝， 即当a＝7时，b＝． 故选A． 【点睛】一次函数与勾股定理在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意求出AD的长是解题的关键. 二、填空题（本大题共5小题，每空3分，共15分） 11. 已知，则的值为_______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】将所求分式变形为，直接代入已知的值计算即可. 【详解】解：先对所求分式变形， 得， ∵ ， ∴ 原式 12. 参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有____个队参加比赛. 【答案】10 【解析】 【详解】设有x支球队，由题意则有： =45， 解得：x1=10，x2=-9(舍去)， 所以共有10个队参加比赛， 故答案为10. 13. 若关于x的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为_______． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程有两个实数根，可得根的判别式大于等于，确定方程系数后代入建立不等式，解不等式即可求解的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴判别式， 其中，，， 代入得， 整理得， 解得． 14. 如图， 中，是高，分别是的中点．若，，则四边形的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半可得，计算四边形的周长即可． 【详解】解：是高， ， 分别是 的中点， ，， ， 四边形AEDF的周长， 故答案为：18． 【点睛】此题主要考查了直角三角形的性质，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 15. 如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点M，使，沿，剪开，可拼成正方形．若，，则的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设，，则，利用正方形的性质可得，，进而可得，利用完全平方公式求得，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：在正方形和正方形中，，，， 设，，则， ∵， ∴，即； ∵四边形是正方形， ∴，，又， ∴，即， ∴，则， ∵，即， 解得， ∴． 三、简答题（本大题共8小题，共75分） 16. 解一元二次方程 （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：方程中的， ∴这个方程根的判别式，有两个不相等的实数根， ∴， 即，． 17. 如图，点A、B、C、D在一条直线上，，，． （1）求证：． （2）连接，添加条件，使四边形是正方形（不需要说明理由）． 【答案】（1）证明：， ，即， 在和中， ， （2），（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）先证，再利用 “”即可求证； （2）根据正方形的判定，先添加条件证明矩形，再添加菱形的条件；或者先添加条件证明菱形，再添加矩形的条件即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：添加条件，（答案不唯一） 理由如下， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形． 18. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为，且为正数，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系是解题的关键： （1）求出判别式的符号，进行判断即可； （2）把代入方程，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 把代入，得：， 解得：或； ∵为正数， ∴． 19. 某小区在宽，长的矩形地面上修筑同样宽的人行道（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为，求道路的宽． 【答案】道路宽为2米． 【解析】 【分析】利用平移法将不规则的草坪图形转化为规则的矩形，从而简化面积表达，并根据题意列出方程求解，最后需根据实际意义对解进行取舍．观察图形可知，道路将矩形地面分割成了几块草坪。直接计算每一块草坪的面积比较繁琐，利用平移的思想，可以将图中的横向道路向上（或向下）平移至矩形边缘，将纵向道路向左（或向右）平移至矩形边缘，经过平移后，分散的草坪部分就拼凑成了一个完整的新矩形． 【详解】解：设道路的宽为米，原矩形地面的长为，宽为， 平移后，新矩形（草坪）的长变为，宽变为， 根据题意，得 整理得 解得， 因为矩形地面的宽只有，道路的宽度x必须小于20， 大于20，不符合实际情况，故舍去， 所以，道路的宽只能是． 答：道路宽为2米． 【点睛】遇到面积问题时，往往借助于面积公式列方程，如果图形中出现不规则的图形往往转化为规则的图形求解． 20. 如图，已知平行四边形的对角线，相交于点O，，，两动点E，F同时以的速度分别从点A，C出发在线段上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动． （1）求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形； （2）当点E，F的运动时间t为何值时，四边形为矩形？ 【答案】（1）证明：连接、、、，如下图所示， 设时间为t，则， 四边形是平行四边形， ，， ， 即， 又， 四边形是平行四边形． （2）当点E，F的运动时间为或时，四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）平行四边形的对角线互相平分，得到，，结合已知条件得到，对角线互相平分的四边形是平行四边形； （2）矩形的对角线相等，利用对角线相等的性质进行求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：由（1）知四边形为平行四边形， 所以，当时，四边形为矩形， 第一种情况，当E在上时， ， ， ， ， ， 第二种情况，当E在上时， ， ， ， ， ， 综上所述，当点E，F的运动时间为或时，四边形为矩形． 21. 年月日，神舟十五号发射升空，中国首次实现空间站三船三舱构型，以及6名航天员同时在轨驻留．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了“中国空间站”模型．已经知该模型平均每天可售出个，每个盈利元．为了扩大销售，该网店准备适当降价，经过一段时间测算，每个模型每降低1元，平均每天可以多售出2个． （1）若每个模型降价4元，平均每天可以售出多少个模型？此时每天获利多少元？ （2）在每个模型盈利不少于元的前提，要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价多少元？ 【答案】（1）平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． （2）要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元.. 【解析】 【分析】（1）根据降价，求出降价后得每件利润和每天得销量，即可求出利润； （2）设每个模型降价x元，则每件利润 元，平均每天可以售出个模型，根据利润可列方程和不等式，解方程即可. 【小问1详解】 解：依题意得： 降价4元后每件利润：（元）， 降价4元后销量：（个）， 降价4元后每天获利：（元）， 答：每个模型降价4元，平均每天可以售出个模型，此时每天获利元． 【小问2详解】 解：设每个模型降价x元， 则每件利润 元，平均每天可以售出个模型， 依题意得： 即：， 解得，， 因为每个模型盈利不少于元， 所以 即， 故， 答：要使“中国空间站”模型每天获利元，每个模型应降价元. 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——盈利问题，根据销售问题列出方程并正确求解是解题的关键. 22. 定义：我们把关于x的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程” ． （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根为 ．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为 ． （3）已知关于x的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于x的方程的两根． 【答案】（1） （2）两根为和；友好方程的两根分别是原方程两根的倒数 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据题意即可解答； （2）利用根与系数的关系即可解答； （3）利用（2）中原理可得或，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可得一元二次方程的“友好方程”为； 【小问2详解】 解：的“友好方程”为， 可得或， 所以的两根为和； 的两根为和 的两根为和， ， ， 即的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为友好方程的两根分别是原方程两根的倒数； 【小问3详解】 解：方程的“友好方程”为， 根据（2）中结论可得的两根为， 对于， 可得或， 解得，． 23. 在菱形中，，．将边绕点逆时针旋转至，记旋转角为．作射线，在射线上取一点，使，连接． （1）【观察猜想】 当时，如图1，的度数为_________，的长为_________． （2）【探究证明】 当时，（1）中的两个结论是否仍然成立？若成立，请仅就图2的情形进行证明；若不成立，请说明理由． （3）【拓展延伸】 当时，若的面积为，请直接写出此时旋转角的度数． 【答案】（1）； （2）两个结论仍然成立．证明如下： 四边形是菱形，，， ，， ， ， ， ，则， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，则， ， ，， ， ， ． （3）或． 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质得到，由旋转的性质，三角形内角和定理得到，是等腰直角三角形，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （2）根据菱形的性质，旋转的性质得到，根据平角得到，结合题意得到是等边三角形，再证明得到； （3）结合（1），（2）的解析分类讨论：当点H在左边时，过点作延长线于点，由面积公式得到，根据解直角三角形的计算得到，由平角的定义即可求解；当点H在右边时，同理得到，由即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵将边绕点逆时针旋转至，旋转角， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 设交于点， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，则是等边三角形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由上述证明得到，，， ∴，， 第一种情况，当点H在左边时，如图所示，过点作延长线于点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 第二种情况，当点H在右边时，如图所示，过点作延长线于点， 同理可得，， ∴， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $