精品解析：辽宁省阜新市太平区第四中学2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024-2025学年度（上）第四中学质量检测（月清三） 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，4，1 B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 2. 如图，是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，那么的值等于（　　） A. B. C. D. 4. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 96 B. 60 C. 48 D. 120 5. 如图，是边上一点，连接，添加下列条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 6. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 8. 正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平行四边形中，E为的中点，连接，，，且，交于点，若的面积是3，则平行四边形的面积是（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 36 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为D，连接，，，下列结论：①；②四边形与的面积相等；③；④若，，则点C的坐标为．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，小明对二维码开展数学实验活动．如图，小明将自己的微信二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_______． 12. 如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是______． 13. 某班同学在毕业典礼上，每两位同学之间都要交换一张签名卡，交换的签名卡共张．设班级有名学生，则可列方程___________． 14. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么_________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，再以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，依次类推，则平行四边形的顶点的坐标为___________． 三、解答题（共72分） 16. （1）计算： （2）解方程： ① ② 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧按放大，画出的一个位似； （2）画出将向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的； （3）与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 18. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 19. 成都市龙泉驿区水蜜桃果大质优，外观艳丽，素有天下第一桃之称．某种植基地年开始种植水蜜桃亩， 到年水蜜桃的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率； （2）市场调查发现，当水蜜桃的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地水蜜桃的平均成本价为元/千克，若每天获利元，则售价应为多少元？ 20. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，连接并延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若与交于点O，则的长为 ． 21. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 22. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）是轴上一点，且，求点的坐标； （3）直接写出关于的不等式的解集． 23. （1）问题探究： 如图1，在中，于D，P，Q分别是线段上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 小明的做法：如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G，可证，，可得为定长，在中，求的最小值． 王老师总结：两位同学都是利用图形的特点作出恰当的辅助线构造出定形或找到定关系，使离散的线段聚合或产生关联，进而使问题发生转化并得到解决． 请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程； （2）类比练习： 如图4，菱形中，，对角线和交于点O，，R是边上（不与点B和点C重合）的一个动点，连接并延长交于点P，M为上一点，Q为上一点且，连接，当时，求出的长； （3）拓展提升： 如图5，在中，于D，，P，Q分别是线段上的动点，且，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交边于点G，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度（上）第四中学质量检测（月清三） 九年级数学试卷 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题3分，共30分） 1. 一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 5，4，1 B. 5，，1 C. ，，1 D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般式，根据一元二次方程的一般形式为，直接读取二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数为5，一次项系数为，常数项为1； 故选B 2. 如图，是由4个相同的小正方体搭成的几何体，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，解题的关键是学会从立体几何中观察三视图，进行解答，即可． 【详解】解：由立体几何可知，它的左视图为：． 故选：A． 3. 在中，，那么的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求角的正弦值，根据即可求解； 【详解】解：如图所示： ∵， ∴， ∴， 故选：C 4. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 96 B. 60 C. 48 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识．由，推出，进一步计算可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5. 如图，是边上一点，连接，添加下列条件后，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查添加条件证明三角形相似．根据相似三角形的判定方法（两边对应成比例且夹角相等、三边对应成比例或两角对应相等的两个三角形相似），逐一进行判断是解题的关键． 【详解】解：A．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意； B．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意． C．当时，再由，无法判定，故此选项符合题意； D．当时，再由，可得出，故此选项不符合题意． 故选C． 6. 在反比例函数的图象上有三个点，则函数值的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断反比例函数图象所在象限，判断反比例函数的增减性等知识点，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 先根据反比例函数的解析式判断函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可． 【详解】解：反比例函数的解析式为，其中， 反比例函数的图象位于二、四象限， ，，在反比例函数的图象上， ，在第二象限， 又， ， 又在第四象限， ， ， 故选：． 7. 如图， 的三个顶点都在方格纸的格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，延长到，连接，根据题意和图形，可以得到和长，然后即可求得的值． 【详解】解：延长到，连接，如图： 由题意可得，，， ∴． 故选：B． 8. 正比例函数中，如果随增大而增大，那么它和反比例函数在同一平面直角坐标系内的大致图像是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正比例函数与反比例函数的性质，由正比例函数中，如果随增大而增大，可得，得到反比例函数过一、三象限，据此判断即可． 【详解】解：∵正比例函数中，如果随增大而增大， ∴，图象过一、三象限， ∴反比例函数在一三象限， 故选：A． 9. 如图，在平行四边形中，E为的中点，连接，，，且，交于点，若的面积是3，则平行四边形的面积是（ ） A. 9 B. 12 C. 18 D. 36 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，由平行四边形可得，，再证明，得到，，求出，最后根据平行四边形的面积是求解即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴，，， ∵E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵的面积是3， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点，分别在x轴、y轴上，反比例函数的图象与正方形的两边，分别交于点，，轴，垂足为D，连接，，，下列结论：①；②四边形与的面积相等；③；④若，，则点C的坐标为．其中正确的是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】利用反比例函数的轴对称性质，正方形的轴对称性质，得到图形关于一三象限平分线轴对称，得到边长关系，判断出①正确，③错误； 再由反比例函数的几何性质得到，割补法转换面积，判断②正确； 再由④中的长度和角度关系，构造直角三角形进行勾股计算得到长度，判断④正确． 【详解】反比例函数图像关于一三象限平分线轴对称，正方形关于所在直线轴对称， 又，故点B在一三象限平分线上， 反比例函数图像与正方形的组合图形关于所在直线轴对称，点C与A对应，点M与N对应， ，； 又，， ，①正确， ，非，③错误； ，， ，去除重合部分， ， ，②正确； 由轴对称性质得到， ， 中， 在上取点，使，设， 得到，， 得， ， 得，故，④正确． 综上所述，正确的为①②④， 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数结合几何图形，考查反比例函数的轴对称特性，以及含有特殊角的三角形的边长的计算，利用几何特性进行转换计算是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，小明对二维码开展数学实验活动．如图，小明将自己的微信二维码打印在面积为的正方形纸上，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，我们称频率的这个性质为频率的稳定性，据此即可求解． 【详解】解：由题意得：点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故答案为： 12. 如图，点，，以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了位似变换及坐标与图形，关于原点成位似的两个图形，若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或．以为位似中心，将放大倍，则点的对应点的坐标是的坐标同时乘以计算即可． 【详解】解：将放大倍，点， 点的坐标是或，即或， 故答案为：或． 13. 某班同学在毕业典礼上，每两位同学之间都要交换一张签名卡，交换的签名卡共张．设班级有名学生，则可列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，设班级有名学生，每人要赠送张，一共要赠送张，由此即可列出方程． 【详解】解：∵每位同学互赠一张签名卡，签名卡恰好用了张，设班级有名学生， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，联结．如果，，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的余弦根据、分别是、的中点，知是中位线得，连接，根据菱形的性质知与垂直平分，根据余弦的定义，即可求解. 【详解】解：在菱形中，是的中点， 也是对角线的交点，且与垂直平分， 、分别是、的中点， ∴， ∴ 在中，，, ∴ 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，再以为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，依次类推，则平行四边形的顶点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题是点的坐标规律探索题，考查了平行四边形的性质以及正方形的性质．注意得到规律：的坐标为，)是解题的关键．首先分别求得、、等几个点的坐标，即可得到规律，从而求得的坐标． 【详解】解：∵正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点， ∴的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴的坐标为，即， ∵是平行四边形对角线的交点， ∴的坐标为， 同理，的坐标为，即， 的坐标为， 的坐标为，即， ∴的坐标为， ∴的坐标为， 故答案为： ． 三、解答题（共72分） 16. （1）计算： （2）解方程： ① ② 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先计算零指数幂，特殊角的三角函数值，化简二次根式，再合并计算即可； （2）①利用因式分解法求解；②利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ； （2）①解： 或 解得：； ②解： 或 解得：． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为． （1）以原点O为位似中心，在y轴的左侧按放大，画出的一个位似； （2）画出将向右平移3个单位，再向下平移3个单位后得到的； （3）与是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所作图形； （2） 如图，即为所作图形； （3）与是位似图形，点是位似中心 【解析】 【分析】本题考查的是画位似图形，平移图形，判断两个图形位似，熟记位似的性质是解本题的关键； （1）分别确定O，A，B关于位似中心的对应点O，，，再顺次连接即可； （2）分别确定，，平移后的对应点，，，再顺次连接即可； （3）连接，，由交点可得位似中心，从而可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由作图可知，，是相似三角形， 又因为对应点所连直线经过同一个点， 所以和是位似图形，点M为所求位似中心，点M的坐标为． 18. 3月14日是国际数学日，某校在“国际数学日”当天举行了丰富多彩的数学活动，其中游戏类活动有：．数字猜谜；．数独：．魔方；．24点游戏；．数字华容道．该校为了解学生对这五类数学游戏的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计（每位学生必选且只能选一类），并根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图如图所示． 根据上述信息，解决下列问题． （1）本次调查总人数为___________，并补全条形统计图：（要求在条形图上方注明人数） （2）若该校有2000名学生，请估计该校参加魔方游戏的学生人数； （3）该校从类中挑选出2名男生和2名女生，计划从这4名学生中随机抽取2名学生参加市青少年魔方比赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率． 【答案】（1） 解：本次调查总人数为（人）， 选择D类的学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）估计该校参加魔方游戏的学生人数为人 （3）恰好抽到1名男生和1名女生的概率为 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图相关联，用样本估计总体，画树状图法求概率，掌握相关知识点是解题关键． （1）根据选择B类的学生人数和所占百分比，求出调查总人数，再求出选择D类的学生人数，补全条形统计图即可； （2）用学校人数乘以选择C类的学生人数的占比，即可求解； （3）利用画树状图法求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计该校参加魔方游戏的学生人数约为人； 【小问3详解】 解：画树状图如下图： 由树状图可知，共有种情况，其中恰好抽到1名男生和1名女生的情况有种， 恰好抽到1名男生和1名女生的概率为． 19. 成都市龙泉驿区水蜜桃果大质优，外观艳丽，素有天下第一桃之称．某种植基地年开始种植水蜜桃亩， 到年水蜜桃的种植面积达到亩． （1）求该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率； （2）市场调查发现，当水蜜桃的售价为元/千克时，每天能售出千克，售价每降价元，每天可多售出千克．为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地水蜜桃的平均成本价为元/千克，若每天获利元，则售价应为多少元？ 【答案】（1）该基地这两年水蜜桃种植面积的平均增长率为 （2）售价应为16元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键． （1）设该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率，根据该基地年及年水蜜桃的种植面积，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设售价应降低元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设该基地这两年水蜜桃种植面积的平均年增长率， 依题意，得：， 解得：或（舍去） 答：该基地这两年水蜜桃种植面积的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则每天可售出千克， 依题意，得：， 整理，得：， 解得：或 要尽量减少库存， ， （元）， 答：售价应为16元． 20. 如图，在中，，点D、E分别是边的中点，连接并延长到点F，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若与交于点O，则的长为 ． 【答案】（1） 证明：点是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 点，分别是边，的中点， 是△的中位线， ， ， 即， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）证明，又由即可证明四边形是平行四边形，证明是的中位线，则，得到，即可证明四边形是菱形； （2）先求出，由是的中位线得到，再由勾股定理得，证明，再代入数值到，即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， 点，分别是边，的中点， 是△的中位线， ， ， 如图： ∵， ∴， ∴， 则， ∵， ∴， 【点睛】此题考查了菱形的判定、勾股定理、三角形的中位线、相似三角形的判定与性质等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． 21. 实验是培养学生创新能力的重要途径．如图是小亮同学安装的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．现将左侧的实验装置图抽象成右侧示意图，已知试管，试管倾斜角为． （1）求试管口B与铁杆的水平距离的长度；（结果用含非特殊角的三角函数表示） （2）实验时，导气管紧靠水槽壁，延长交的延长线于点F，且于点N（点C，D，N，F在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（结果用含非特殊角的三角函数表示） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题关键． （1）先求出，再在中，利用余弦的定义求解即可得； （2）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得的长，从而可得的长，再判断出是等腰直角三角形，从而可得的长，最后根据求解即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由题意可知，， 在中，， ∴， 答：试管口与铁杆的水平距离的长度． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 答：线段的长度为． 22. 如图，已知是一次函数的图象与反比例函数图象的两个交点，直线与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）是轴上一点，且，求点的坐标； （3）直接写出关于的不等式的解集． 【答案】（1）反比例函数，一次函数 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，三角形的面积问题，与不等式的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）将点代入反比例函数中，求得反比例函数的表达式，可得点坐标，将、两点代入一次函数中，可得一次函数的表达式； （2）设，即，对于一次函数，令，求得点坐标，因为，，，可得，解得的值，即得点的坐标； （3）由题意得出，再结合函数图象即可得出结果． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数中， 得，， 解得：， 反比例函数， 将点代入反比例函数中， 得，， 解得：，即， 将、两点代入一次函数中， 得，， 解得：，， 一次函数； 【小问2详解】 解：设，即， 对于一次函数，令，则，即， ，， 而， ， 解得：， 或； 【小问3详解】 解：， ∴， 即， ∵， 由图象可知：或． 23. （1）问题探究： 如图1，在中，于D，P，Q分别是线段上的动点，且，求的最小值． 小慧的做法：如图2，过点P作交所在直线于点H，可证，四边形是平行四边形，则，求的最小值即为求的最小值． 小明的做法：如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G，可证，，可得为定长，在中，求的最小值． 王老师总结：两位同学都是利用图形的特点作出恰当的辅助线构造出定形或找到定关系，使离散的线段聚合或产生关联，进而使问题发生转化并得到解决． 请你选择一位同学的做法，写出完整的解答过程； （2）类比练习： 如图4，菱形中，，对角线和交于点O，，R是边上（不与点B和点C重合）的一个动点，连接并延长交于点P，M为上一点，Q为上一点且，连接，当时，求出的长； （3）拓展提升： 如图5，在中，于D，，P，Q分别是线段上的动点，且，M为的中点，N为的中点，连接并延长，交边于点G，，请直接写出线段的长． 【答案】（1）最小值为6；（2）；（3）9 【解析】 【分析】（1）直接根据两人的求解思路，分别利用全等三角形的判定与性质或者利用矩形的判定与性质、勾股定理解答即可； （2）如图4，连接，先证明得到，再证明四边形和四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质和等腰三角形的判定证明在中，利用勾股定理求得，，在中，利用勾股定理求得，然后证明，再利用相似三角形的性质求解即可； （3）先根据勾股定理和等腰直角三角形的性质求、，如图5，过点P作于点I，于点T，于点J，进而求得，证明得到，设，则，根据线段的和差和相似三角形的判定证明求得、，然后证明，利用相似三角形的性质求得，进而可求解． 【详解】解：（1）选小慧的做法： 如图2，过点P作交所在直线于点H，连接，则， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的最小值即为求CH的最小值． 由垂线段最短得，当H、D重合时取等号， ∴的最小值为6，即的最小值为6． 选小明做法： 如图3，过点P作于点M，于点J，于点N，于点G， 则， 在中，， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即为定长， 在中，， 当时，最小，最小值为6； （2）如图4，连接， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， 在中，， ∴，则， 设，则， 在中，由得，解得：，即， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，即，解得： ； （3）在中，于D，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 如图5，过点P作于点I，于点T，于点J， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设，则， ∴，则， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴，又N为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $