3.1《圆的有关性质》第2课时 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第三章 圆 第1课 圆的有关性质 新版北师大数学九年级下册 第2课时 圆的轴对称性、垂径定理及其逆定理 学习目标 1.通过折叠圆形纸片的操作活动，经历圆的轴对称性的探究过程，明确圆的对称轴特征 2.通过对垂直于弦的直径的观察与推理，经历垂径定理的发现与证明过程，梳理定理的条件与结论 3.通过逆向思考与作图验证，推导垂径定理的逆定理，辨析定理使用的前提条件 4.通过公路弯路、拱形建筑等实际问题的解决，运用垂径定理结合勾股定理计算线段长度 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 一条公路的转弯处是一段圆弧 施工人员测得这段弯路的弦长CD=600m,弧上一点E到弦CD的距离EF=90m 要解决这个问题，我们需要先探究圆的轴对称性质，挖掘弦与直径之间的数量关系 问题构建 问题1:什么是轴对称图形？我们之前用轴对称的方法研究过哪些图形的性质？ 沿一条直线对折后，直线两旁的部分能完全重合的图形是轴对称图形；我们曾用轴对称研究过等腰三角形、线段、角等图形的性质. 追问1:圆是否是轴对称图形呢？你打算如何验证？ 数学抽象 问题构建 结论:圆是轴对称图形，其对称轴是一条过圆心的直线 验证方法：将圆形纸片沿一条过圆心的直线对折，直线两侧的部分能够完全重合. 追问2:一个圆有多少条对称轴呢？ 圆有无数条对称轴，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴. 我们已经知道：圆沿着任意一条直径对折，左右两边都能完全重合.现在，请你在圆里任意画一条弦，然后沿着某条直径对折——你觉得，能不能找到一条直径，让这条弦的两个端点刚好重合？ 问题构建 问题2:AB是⊙O的一条弦，包含弦AB的这个图形是轴对称图形吗？ 都是轴对称图形 追问1:如果是轴对称图形,你能作出它的对称轴吗？试着画一画. 左图（弦AB非直径）： 对称轴是过圆心O且垂直弦AB的直线（或弦AB的垂直平分线） 右图（AB为直径）： 对称轴可以是直径AB所在的直线，也可以是过圆心O且垂直于AB的直线 问题构建 追问2:左侧图形更具有一般性，我们聚焦左图研究 作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.沿着直径CD对折图形,你能发现图中有哪些相等的线段和相等的弧？说说你的理由. 相等的线段：AM=BM 相等的弧：=, = 理由：沿CD对折后，点A与点B重合，对应的线段和弧都重合 追问3：你能用合适的文字语言描述下你的发现吗？ 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 协作破冰 如图,AB是⊙O的一条弦,CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB,垂足为M. 求证:AM=BM, =, = 证明:连接OA,OB,则OA=OB 在Rt△OAM和Rt△OBM中 ∵OA=OB,OM=OM ∴Rt△OAM≌Rt△OBM（HL） ∴AM=BM ∴点A和点B关于直线CD对称 又∵⊙O关于直线CD对称 ∴当圆沿CD对折时,点A与点B重合， 重合，重合 ∴=, = 协作破冰 文字语言：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧 图形语言 符号语言： ∵CD是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为M ∴AM = BM， =, = 定理条件：①直径（过圆心） ②垂直于弦 定理结论：①平分弦 ②平分弦所对的优弧 ③平分弦所对的劣弧 问题构建 问题3:观察右图回答问题：平分直径的直径一定垂直于直径吗？ 不一定，这样的直径有很多条 追问1:平分弦(不是直径)的直径，和这条弦又怎样的位置关系？动手画图试一试. 通过画图和动画观察可得： 平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦 追问2:这条弦所对的两条弧是否被直径平分呢？ 两条弧也被直径平分 问题构建 AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB 的直径CD，交AB于点M 问题4:这个图形还是轴对称图形吗？如果是，对称轴是什么？ 是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线 追问1：你能发现图中有哪些等量关系？CD和AB有怎样的位置关系？ CD⊥AB， =, = ∵点M是弦AB的中点∴AM=BM 在△AOM和△BOM中 ∴△AOM≌△BOM∴∠AMO=∠BMO,∠AMO+∠BMO=180° ∴∠AMO=∠BMO=90° ∴CD⊥AB 协作破冰 文字语言：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧 符号语言： ∵CD是⊙O的直径,AB不是直径，AM=BM ∴CD⊥AB, =, = 定理条件：①直径（过圆心） ②平分弦（不是直径） 定理结论：①垂直于弦 ②平分弦所对的优弧 ③平分弦所对的劣弧 图形语言 教师示范 如图,一条公路的转弯处是一段圆弧（即图中弧CD，点O是弧CD所在圆的圆心）,其中 CD=600m,E为弧CD上一点,且OE⊥CD,垂足为 F,EF=90m,求这段弯路的半径. 解:连接OC,设弯路的半径为Rm， 则OF=(R-90)m ∵OE⊥CD ∴CF=CD=×600=300(m) 在Rt△OCF中,根据勾股定理,得OC²=CF²+OF² 即R²=300²+(R-90)² 解这个方程，得R=545 答：这段弯路的半径为545m. 教师示范 变式1：若已知这段弯路的半径为545m，弦 CD长600m，求拱高EF的长度. EF=90m 变式2：若弯路半径为545m，拱高EF为90m，求弦CD的长度. CD=600m 垂径定理常与勾股定理结合使用,核心是构造由半径、弦的一半、圆心到弦的距离组成的直角三角形. 三个核心量：半径r、弦长a、弦心距d，满足关系:r²=(a/2)² +d² 方法提炼： 思考：如何定义弦心距？ 巩固拓展 判断下列说法是否正确，并说明理由 1.垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的弧 2.平分弦的直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧 3.圆的对称轴是直径，圆有无数条对称轴 4.弦的垂直平分线一定经过圆心 1.错误.必须是过圆心的直线（直径所在直线），普通直线不成立 2.错误.被平分的弦不能是直径 3.错误.对称轴是直线，直径是线段，应说对称轴是直径所在的直线 4.正确.符合垂径定理逆定理的逻辑 巩固拓展 一个圆形排水管的截面直径为100cm，下雨后水面宽度AB=80cm，求此时水的最大深度? 水深为20cm或80cm 当堂检测 1.圆的对称轴是（ ） 直径 B. 半径 C. 直径所在的直线 D. 半径所在的直线 2.在⊙O中，直径CD⊥弦AB于点M，若AB=8，则AM=____ 3.在⊙O中，半径为5，圆心O到弦AB的距离为3（弦心距为3），则弦AB的长为____ 1、C 2、4 3、8 当堂检测 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O 到AB的距离为3cm，求⊙O的半径. 变式：若⊙O的半径为10cm，弦AB=16cm，求圆心O到弦AB的距离. 半径为5cm 距离为6cm 反思总结 1.垂径定理及其逆定理的核心是什么？使用这两个定理时需要注意哪些前提条件？ 2.运用垂径定理解决实际问题时，通常需要构造怎样的图形？用到了哪些旧知识？ 3.回顾本节课的学习过程，我们是按怎样的路径探究弦和直径的关系的？我们还可以研究圆的哪些知识？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第52页 第1，2题 二、素养类作业 世界杯足球赛中，禁区外框前为什么设计一个半圆形区域？ 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $