3.2《确定圆的条件》 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第三章 圆 第2课 确定圆的条件 新版北师大数学九年级下册 学习目标 1.通过过一点、两点、三点作圆的动手操作，经历确定圆条件的探究过程，体会分类研究思路 2.通过对三点作圆作法的原理分析，总结不在同一直线上的三点确定一个圆的结论，认识三角形外接圆与外心的概念 3.通过对不同类型三角形外心位置的分类讨论，结合生活中定点找圆心的实际问题，运用垂直平分线的性质解决距离相等类选址问题 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 如何根据已知点的数量确定圆的个数与位置，并用相关知识解决生活中到多点距离相等的选址与找圆心问题？ 问题情境：随着低空经济的持续发展,某公司打算在西安、郑州和武汉三个城市之间建立一个大型中转站,要求到三个城市距离相等 思考： 1.这个定居点的位置需要满足什么条件？ 2.类比“两点确定一条直线”，经过几个点能确定一个圆呢？ 我们从最少的点开始，一步步探究确定圆的条件 问题构建 问题1:线段垂直平分线的性质是什么？ 线段垂直平分线上的点,到线段两个端点的距离相等 追问1:经过平面内一点可以作几条直线？经过两点呢？ 经过一点可以作无数条直线，经过两点可以确定一条直线 追问2:类比直线的研究思路，我们可以按照怎样的顺序探究确定圆的条件？ 从1个点、2个点到3个点,逐步增加点的数量，分类探究 问题构建 过一个点作圆 问题2： ①作圆,使它经过已知点A,你能作出几个这样的圆？ ②这些圆的圆心和半径有什么特点？为什么？ ①可以作出无数个圆 ②圆心可以是平面内除点A外的任意一点，半径是圆心到点A的距离.因为只要满足到点 A的距离等于半径即可,圆心位置不固定,因此有无数个圆. 问题构建 过两个点作圆 问题3： ①作圆，使它经过已知点A、B，你是如何操作的？能作出几个这样的圆？ ②这些圆的圆心位置有什么共同特点？为什么？ ①能作出无数个圆. ②所有圆的圆心都在线段 AB的垂直平分线上,因为圆心到A、B两点的距离必须相等,根据线段垂直平分线的性质,圆心必然在AB的垂直平分线上. 问题构建 过三个点作圆 分类1:过同一直线上的三个点作圆 根据两点作圆的经验可得，圆心都在线段的垂直平分线上,当三个点位于同一直线时,对于线段AB、BC、AC的垂直平分线都是平行的关系，不能相交，这样就找不到一个点作为圆心，所以这样的圆不存在. 分类2:过不在同一直线上的三个点作圆 问题4:分类2的条件和过去学习过哪个知识表达很相似？ 三角形的定义 协作破冰 操作任务：已知不在同一条直线上的三点A、B、C，作一个圆，使它同时经过这三个点 追问1：要同时经过A、B、C 三点，圆心需要满足什么条件？ 圆心到A、B两点距离相等，且到B、C两点距离也相等 追问2：如何找到同时满足这两个条件的点？ 分别作线段AB和线段BC的垂直平分线，两条线的交点就是圆心 追问3：这样的圆心有几个？能作出几个符合条件的圆？ 两条直线只有一个交点，因此圆心唯一，只能作出一个圆 协作破冰 已知：不在同一直线上的三点A、B、C,求作:⊙O,使它经过A、B、C 三点 作法： 连接 AB，BC 分别作线段AB、BC 的垂直平分线DE和FG，DE与FG相交于点O 以O为圆心，以OB的长为半径作圆 ⊙O就是所要作的圆 问题构建 作法原理与核心结论 问题5：为什么这样作出的圆一定经过A、B、C三点？ ①点O在AB的垂直平分线上→OA=OB ②点O在BC的垂直平分线上→OB=OC ③因此OA=OB=OC，三点都在以O为圆心的圆上 核心结论： 不在同一条直线上的三个点确定一个圆，两条垂直平分线只有一个交点，因此圆心唯一、半径唯一，只能作一个圆. 问题构建 三角形的外接圆与外心 概念： ①三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. ②外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 核心性质： ①三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 ②任意一个三角形都有且只有一个外接圆 如图，圆O是△ABC的外接圆，△ABC是圆O的内接三角形 协作破冰 不同三角形的外心位置 探究任务： 分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的外接圆，观察外心的位置有什么不同 结论： 锐角三角形：外心在三角形内部 直角三角形：外心在斜边的中点处 钝角三角形：外心在三角形外部 教师示范 验证拓展・直角三角形的外心 问题6:为什么直角三角形的外心在斜边中点？ 方法二：根据圆周角定理的推论，90°的圆周角所对的弦是直径，因此直角三角形的斜边就是外接圆的直径，圆心自然是斜边中点. 如图：∠BAC=90°，BC是圆O的直径，所以圆心在直径BC的中点处. 方法一：根据直角三角形的性质，斜边的中点到三个顶点的距离相等，都等于斜边的一半，符合外心到三顶点距离相等的特点 如图：OA=OB=OC=r 教师示范 找圆心的多种方法 问题7：你能确定一个圆形纸片的圆心吗？有哪些方法？ 方法一 对折法：将圆形纸片对折两次，两条折痕的交点就是圆心（利用圆的轴对称性） 方法二 三点定圆法：在圆周上任意取三点，作两条弦的垂直平分线，交点就是圆心 A B C 巩固拓展 找圆心的多种方法 方法三 直角定位法：用直角三角板的直角靠在圆周上，利用90°圆周角对应直径，两次作直径，交点就是圆心. 某公司打算在西安、郑州和武汉三个城市之间建立一个大型中转站,要求到三个城市距离相等 巩固拓展 判断下列说法是否正确，并说明理由 经过三个点一定可以作圆 任意一个三角形一定有外接圆 任意一个圆一定有且只有一个内接三角形 三角形的外心到三角形三边的距离相等 1.错误.三点在同一直线上时，无法作出过三点的圆. 2.正确.三角形三个顶点不在同一直线上，可以确定一个外接圆 3.错误.一个圆有无数个内接三角形 4.错误.外心到三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是三角形的内心 当堂检测 1.经过一点可以作____个圆，经过两点可以作____个圆，经过不在同一直线上的三点可以作____个圆 2.三角形的外心是三角形____的交点，它到三角形____的距离相等 3.直角三角形的外接圆半径为5，则斜边长为（ ） A. 5 B. 10 C. 2.5 D. 无法确定 1.无数；无数；一 2.三边垂直平分线； 三个顶点 3.B 当堂检测 4.已知正△ABC的边长为6，那么能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径是________． 解析：如图，能够完全覆盖这个正△ABC的最小圆的半径就是△ABC外接圆的半径， 设⊙O是△ABC的外接圆，连接OB，OC， 作OE⊥BC于E， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=60°，∠BOC=2∠A=120°， ∵OB=OC，OE⊥BC， ∴∠BOE=60°，BE=EC=3， ∴sin60°= ， ∴OB= ,故答案为 ． 反思总结 1.确定一个圆需要几个点？需要满足什么前提条件？背后的原理是什么？ 2.什么是三角形的外接圆和外心？不同类型的三角形外心位置有什么不同？ 3.本节课我们类比“确定直线的条件”研究“确定圆的条件”，这种类比研究的方法对你有什么启发？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第64页 第1题 二、素养类作业 1.找一个圆形生活用品（如光盘、杯盖），用两种方法找出它的圆心，记录操作过程 2.画一个钝角三角形，并作出它的外接圆 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $