3.4《圆内接正多边形》 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第三章 圆 第4课 圆内接正多边形 新版北师大数学九年级下册 学习目标 1.通过生活中正多边形与圆结合的实例观察，经历圆内接正多边形概念的抽象过程，认识正多边形与外接圆的对应关系 2.通过对正五边形、正六边形元素的辨析，认识正多边形的中心、半径、中心角、边心距等相关概念，建立各元素间的数量关系 3.通过尺规作图的操作探究，总结圆内接正六边形、正四边形的作图方法，体会等分圆周的几何思想，拓展正多边形作图的衍生思路 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 生活中很多圆形零件、建筑装饰都会用到正多边形结构，比如标准的六角螺母、圆形井盖内的方形检修口、正五边形的花纹. 思考： 1.这些正多边形和它外围的圆有什么位置关系？ 2.如果给你一块圆形材料，怎么在上面画出标准的正六边形、正方形？ 带着这些问题，我们系统学习圆内接正多边形的知识与作图方法 问题构建 问题1：什么是正多边形？正多边形的边和内角有什么特点？ 各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形 追问1：我们之前学过圆内接四边形，什么样的四边形是圆内接四边形？ 四个顶点都在同一个圆上的四边形，叫做圆内接四边形 追问2：类比圆内接四边形的定义，你猜想什么样的多边形是圆内接正多边形？ 所有顶点都在同一个圆上的正多边形，叫做圆内接正多边形 问题构建 圆内接正多边形定义 核心定义： 顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆 圆内接正三角形 圆内接正四边形 圆内接正五边形 圆内接正六边形 问题构建 辨析判断：判断下列说法是否正确，并说明理由 1.各边相等的圆内接多边形是正多边形 正确.同圆中弦相等则对应的弧相等，对应内角也相等，因此是正多边形. 2.各角相等的圆内接多边形是正多边形 错误.比如圆内接矩形，四个角都是直角，但不一定是正方形 问题构建 正多边形的相关概念 以正五边形ABCDE为例,对应外接圆⊙O 中心：外接圆的圆心O，叫做这个正多边形的中心 半径：外接圆的半径OA，叫做这个正多边形的半径 中心角：正多边形每一边所对的圆心角∠AOB，叫做正多边形的中心角 边心距：中心到正多边形一边的距离OM，叫做正多边形的边心距 协作破冰 核心数量关系探究 问题2:正n边形的中心角是多少度？和边数n有什么关系？ 正n边形的中心角= 追问:正多边形的半径、边长的一半、边心距,这三条线段构成什么图形？三者满足什么数量关系？ 构成直角三角形，半径是斜边，半边长和边心距是两条直角边，满足勾股定理： OB²=(BM)²+OM² 协作破冰 例题：如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC=4，OG⊥BC，垂足为G，求这个正六边形的中心角、边长和边心距 解：连接OD ∵六边形ABCDEF为正六边形 ∴∠COD=360°÷6 =60° ∴△COD为等边三角形 ∴CD=OC=4 在Rt△COG中,OC=4,CG=BC=×4=2 ∴OG= 答：正六边形的中心角为60°，边长为4，边心距为. 问题构建 通用模型总结 通用直角三角形模型：对于半径为R的正n边形，始终存在由半径、半边长、边心距组成的直角三角形，核心关系: 中心角α= 边长a=2×R×sin 边心距r=R×cos 正六边形特殊性：正六边形的边长等于外接圆的半径，由六个全等的等边三角形组成，是所有正多边形中最特殊的一类 问题构建 作正六边形的思路 问题3:如果给你一个已知圆，你能用尺规作出它的内接正六边形吗？说说你的作图思路. 追问1：正六边形的边长等于半径，能不能用半径在圆上依次截弧得到等分点？ 追问2：依次截弧会不会有累积误差？有没有更精准的作图方法？ 初步作法（截弧法）： 1.在圆上任取一点，以该点为圆心、圆的半径为半径画弧，与圆交于第二个点 2.依次重复操作，得到六个等分点，顺次连接各点得到正六边形 协作破冰 作正六边形的思路 已知：⊙O 求作：⊙O的内接正六边形 作法： ①作⊙O的任意一条直径FC ②分别以点F，C为圆心，以⊙O的半径R为半径作弧，与⊙O相交于点E、A和点D、B ③顺次连接AB，BC，CD，DE，EF，FA,便得到正六边形ABCDEF 作图原理：正六边形中心角为60°,边长等于半径,用直径定位两个顶点,再用半径画弧定位其余顶点,减少逐次截弧的累积误差. 教师示范 正六边形衍生作图 问题4：在六等分圆的基础上，你还能作出哪些正多边形？怎么操作？ 正三角形和正十二边形 正三角形：间隔连接三个等分点，比如连接A、C、E，就得到圆内接正三角形ACE 正十二边形：分别作六段弧的中点，得到十二个等分点，顺次连接得到正十二边形 教师示范 作圆内接正四边形 问题5:你能用尺规作一个已知圆的内接正四边形吗？你是怎么做的？和同伴交流你的方法. 追问1正四边形的中心角是多少度？需要把圆几等分？ 中心角90°，需要把圆四等分 追问2：怎么用尺规快速得到互相垂直的两条直径，实现四等分圆？ 作一条直径，再作这条直径的垂直平分线，得到另一条直径 巩固拓展 正四边形尺规作法 已知：⊙O 求作：⊙O的内接正四边形 作法： ①作⊙O 的一条直径 AC ②作AC的垂直平分线，交⊙O于B、D两点，BD为另一条直径 ③顺次连接A、B、C、D四点，四边形ABCD 就是⊙O的内接正四边形 作图原理：互相垂直的两条直径把圆四等分，每段弧都是90°，对应的弦长相等，内角也相等，因此四边形是正方形 巩固拓展 问题6：在四等分圆的基础上，怎么作出圆内接正八边形？ 分别作四段弧的中点，得到八个等分点，顺次连接八个点，就得到圆内接正八边形 通用规律：作圆内接正偶数边形，可以从正四边形、正六边形出发，通过不断平分弧，得到边数加倍的正多边形，比如正八边形、正十二边形、正十六边形等. 当堂检测 一、判断下列说法是否正确，并说明理由 1.正多边形的中心角等于它的每一个内角. 2.正六边形的边长等于它的外接圆半径. 3.正多边形的边心距就是外接圆的半径. 4.只要平分弧，就能作出任意边数的圆内接正多边形 1.错误.中心角是圆心角，内角是多边形的内角，二者不相等 2.正确.正六边形中心角60°,对应等边三角形，边长等于半径 3.错误.边心距是中心到边的距离，半径是中心到顶点的距离 4.错误.尺规作图只能作出部分正多边形，并非所有边数都能精准作出。 当堂检测 正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积 3 4 1 6 2. 填表 2 1 2 8 4 2 2 12 3. 若正多边形的边心距与半径的比为1:2，则这个多边形的边数是 . 3 4.已知一个正多边形的每个内角均为108°，则它的中心角为________度． 72 反思总结 1.什么是圆内接正多边形？它的中心、半径、中心角、边心距分别指的是什么？ 2.作圆内接正六边形和正四边形的核心思路分别是什么？二者有什么共通之处？ 3.本节课我们用“等分圆周”的思路作正多边形，这种方法还能拓展到哪些正多边形的作图？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第79页 第1，2题 二、素养类作业 1.用尺规作一个半径为3cm的圆内接正六边形和正四边形. 2.观察生活中的圆内接正多边形实例,记录1-2个,用本节课的知识说明它的特点. 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $