3.5《弧长及扇形的面积》 课件 2026-2027学年北师大版数九年级下册

第三章 圆 第5课 弧长及扇形的面积 新版北师大数学九年级下册 学习目标 1.通过传送带转动轮传送距离的问题探究，经历弧长公式的推导过程，体会从特殊到一般的归纳思想 2.通过小狗活动区域的问题探究，经历扇形面积公式的生成过程，推导扇形面积的两种表达形式 3.通过弯形管道、扇形零件等实际问题的计算，运用弧长与扇形面积公式解决实际问题，建立两个公式之间的关联 情境启航 问题构建 协作破冰 教师示范 巩固拓展 当堂检测 反思总结 作业设计 目录 情境启航 如何推导弧长与扇形面积的计算公式，并运用公式解决生活中圆弧、扇形类的长度与面积计算问题？ 传送带的转动轮转一定角度，物品会被传送多远？ 弯形玻璃下料时，怎么计算圆弧的展直长度？ 拴在柱子上的小狗，最大的活动区域有多大？ 问题构建 问题1：半径为R的圆，周长公式是什么？面积公式是什么？ 圆的周长C=2πR；圆的面积S=πR² 追问1：整个圆的圆心角是多少度？1°的圆心角对应的弧长，占整个圆周长的几分之几？ 整个圆的圆心角是360°；1°圆心角对应的弧长占周长的 追问2：类比弧长的思路，1°的圆心角对应的扇形面积，占整个圆面积的几分之几？ 占圆面积的 问题构建 从特殊到一般探弧长 某传送带的一个转动轮半径为10cm 问题2:转动轮转一周，传送带上的物品A被传送多少厘米？ 传送距离等于圆的周长，2π×10=20πcm 追问1:转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米？ 1°对应弧长是周长的，即20π÷360=cm 追问2：转动轮转n°，传送带上的物品A被传送多少厘米？ n°对应弧长是周长的即×20π =cm 问题构建 弧长公式归纳 通用公式：在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长计算公式为 要点说明： 1.公式中n表示圆心角的度数，计算时不带单位 2.已知弧长、半径R，也可以反向求圆心角 n，或反向求半径R 3.推导思路：将整圆周长按圆心角的比例进行等分，体现从整体到部分的思想 问题构建 例题：制作弯形管道时,需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算图中管道的展直长度,即弧AB的长（结果精确到0.1mm） 已知：管道中心线半径R=40mm，圆心角为110° 解：R=40mm，n=110° 弧AB的长 =110×π×40 / 180 ≈76.8 (mm) 答：管道的展直长度约为76.8mm 协作破冰 弧长变式拓展 变式1：一段圆弧的半径为6，弧长为2π，求这段弧对应的圆心角度数 代入公式2π=nπ×6/180，解得n=60° 变式2：一段圆心角为120°的弧，弧长为10π，求该弧所在圆的半径 代入公式10π=120πR/180，解得R=15 弧长公式中共有、n、R 三个量，已知其中任意两个量，都可以求出第三个量 协作破冰 扇形面积探究 问题背景:草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3m的绳子,另一端拴着一只小狗 问题3：这只小狗的最大活动区域有多大？ 活动区域是半径为3m的圆， 面积为π×3²= 9πm² 追问：如果小狗只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？你是怎么得到的？ 活动区域是圆心角为n°的扇形，面积是整圆面积的，即×9π = m² 问题构建 扇形面积公式（类比弧长公式） 扇形概念： 由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形 面积公式： 如果扇形的半径为R,圆心角为n°,那么扇形面积的计算公式为 推导思路： 整圆面积为πR²，圆心角n°的扇形面积占整圆的，因此面积为πR²× 问题构建 扇形面积公式（借助弧长计算） 问题4:对比扇形面积公式与弧长公式，你能用弧长来表示扇形的面积吗？试着推导一下. 弧长公式； ∵弧长，扇形面积 ∴S= = ××R=R 即扇形面积等于弧长与半径乘积的一半 协作破冰 扇形面积计算两个公式对比 公式形式 适用条件 特点 S= 已知圆心角度数n 和半径R 直接利用圆心角比例计算，和弧长公式思路一致 S= 已知弧长和半径 R 形式类似三角形面积公式，已知弧长时计算更简便 类比提示：扇形可以近似看成“以弧为底、半径为高”的三角形，面积公式和三角形面积公式形式相近，方便记忆 教师示范 例题：扇形AOB的半径为12cm，∠AOB=120°，求弧AB的长（结果精确到0.1cm）和扇形AOB的面积（结果精确到0.1cm²） 解：弧AB的长 =120×π×12/180 ≈25.1(cm) =120×π×12²/360 ≈150.7(cm²) 答：弧AB的长约为25.1cm，扇形AOB的面积约为150.7cm² 教师示范 变式拓展 变式1：一个扇形的弧长为20π，半径为10，求这个扇形的面积 用第二个公式，S=1/2×20π ×10=100π 变式2：一个扇形的面积为12π，半径为6，求这个扇形的弧长和圆心角度数 由S=，得12π=1/2××6，解得弧长= 4π；再代入弧长公式4π= ，解得圆心角n=120° 巩固拓展 判断下列说法是否正确，并说明理由. 圆心角越大，对应的弧长就越长 半径越大的扇形，面积一定越大 弧长相等的两个扇形，面积也一定相等 扇形的圆心角扩大到原来的2倍，半径不变，面积也扩大到原来的2倍 1.错误.弧长还和半径有关，半径不确定时无法比较 2.错误.扇形面积和半径、圆心角都有关系，圆心角小的话面积不一定大 3.错误.弧长相等，半径不同的话，面积不相等 4.正确.半径不变时，扇形面积和圆心角度数成正比 巩固拓展 左图： S弓形=S扇形-S三角形 右图：S弓形=S扇形+S三角形 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 弓形面积公式: 当堂检测 1.半径为3的圆中，60°的圆心角所对的弧长为______ 2.扇形的半径为4，圆心角为90°，则扇形面积为______ 3.已知扇形的弧长为6π，半径为4，则扇形面积为（ ） A. 12π B. 24π C. 36π D. 48π 1. 2. 4 3.A 当堂检测 2.一个扇形的面积为3π，圆心角为60°，求这个扇形的半径和弧长 3.把一个半径为12的圆形纸片剪去一个圆心角为120°的扇形，用剩下的部分围成一个圆锥的侧面，求剩下部分的弧长 半径为 3，弧长为 剩下部分圆心角240°，弧长16π 反思总结 1.弧长公式和扇形面积公式分别是什么？推导这两个公式的共同思路是什么？ 2.扇形面积有哪两种计算方式？分别适用于什么已知条件？ 3.回顾本节课的学习过程，我们是如何从圆的周长、面积旧知识出发，得到新的弧长、扇形面积公式的？ 作业设计 一、基础巩固作业： 课本第81页 第1题 二、素养类作业 用扇形纸片制作一个简易小扇子，计算扇面的面积 作业要求：书写规范、图形标准、按时上交、及时订错. $