第三章 图形的相似 单元检测 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

2026北师大九年级上册数学第三章图形的相似 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.若4m=5n(m≠0)，则下列等式成立的是() Ag-骨 B-月 c贤- D- 2.已知△ABC∽△DEF,AB=2,AC=3,BC=4.若△DEF的最长边为8，则△ABC的值是() S△DEF A B c D若 3.如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(6,6),B(8,2),以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩 小为原来的后得到线段CD,则端点C的坐标为(） A.(3,3) B.(4,3) C.(3,1) D.(4,1) D D B E B 第3题图 第4题图 第5题图 第6题图 4.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1，则阴影部分的面积为() A.5 B.6 c号 D号 5.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，E是对角线AC上一点，连接BE,作LBEF=120°，交CD边于 点，若铝-专则的值为) A23 3 B.V1o 3 c D 6.如图，正方形ABCD的边长为4，点E为AB的中点，点F在AD上，EF L EC,则△CEF的面积为() A.10 B.8 c.5 D.4 7.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点0，AB=3V2,E为OC上一点，OE=1,连接BE,过点A 作AF⊥BE于点F,与BD交于点G,则BF的长是() A.30 5 B.2V2 C5 D.3V2 2 第1页，共6页 8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4,AC=8,P为BC上一点，连接PA,以PA,PC为邻边作平 行四边形PAQC,连接PQ交AC于点O,则PQ的最小值为() A号 B.4V5 C.√5 5 D.&V5 5 0 0 E 第7题图 第8题图 第9题图 9.如图，在钝角三角形ABC中，AB=4cm,AC=10cm,动点D从点A出发沿AB以1cm/s的速度向点B运 动，同时动点E从点C出发沿CA以2Cm/s的速度向点A运动，当以A,D,E为顶点的三角形与△ABC相似 时，运动时间约是() A.2.2s或4.5s B.4.2s C.3s D.2.2s或4.2s 10.如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,边FG与正方形 ABCD的对角线AC相交于点H,连接DG.以下四个结论： ①LEAB=∠GAD:②△AFC∽△AGD;③2AE2=AH·AC;④DG⊥AC. 其中正确的个数为() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 H D B 第10题图 第11题图 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，有一内接正方形DEFC,连接AF交DE于点G,AC=15,BC= 10,则GE的长是 第2页，共6页 12.如图，直线y=x+1与x轴，y轴分别交于A、B两点，B'0'C'与B0C是以点A为位似中心的位 似图形，且相似比为2：1，则点B'的坐标为 B 01 D 第12题图 第13题图 第14题图 第15题图 13.如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在AD上，BF⊥AE,垂足为G.若EG=3,则正方形ABCD 的边长为一· 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形0ABC的边0C在x轴上，点D是边0C上的一点，坐标为(2,0)，将 △OAD沿AD折叠，点O落在点E处.若DE的延长线交BC于F,且CF=3,则点E的坐标为。 15.如图，在Rt△ABC中，LACB=90°，AC=6,BC=8,D,E分别是边BC,AC上的两个动点，且 DE=4,P是DE的中点，连接PA,PB,则PA+PB的最小值为一· 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题9分)如图，在△ABC中，点D,G在边AC上，点E在边BC上，DB=DC,EG/AB,AE,BD交 于点F,BF=AG (1)求证：△BFE∽△CGE, (2)当∠AEG=∠C时，求证：AB2=AG·AC. 17.(本小题9分)如图，点E为△ABC边BC上一点，过点C作CD1BA,交BA的延长线于点D,交EA的延长 线于点F,且AF·CD=BC·AD (1)求证：AE⊥BC; (2)如果BE=CE,求证：BC2=2BD·AC. 第3页，共6页 18.(本小题9分)如图，在菱形ABCD中，点E在边BC上，连结DE并延长，交AB的延长线于点F,连结AC交 D DE于点P,连结BP,∠CDP=LCBP. (1)求证：△PCD△PAF. (2)若AD=6,PB=2PE,求BF的长. B 19.(本小题9分)如图，在△ABC中，点D在BC上，连接AD,AB=AD=CD,∠ABC的平分线BE交AD于点 F (1)求证：△ABC∽△FEA. (2已知器- ①求的值；②若CD=12,求AE的长. 20.(本小题9分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,点P以每秒1个单位长度的速度从点 A向点C方向运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点A方向运动，点Q到达点A后，点P也停止 运动，设点P,Q运动的时间为t. (1)求点P停止运动时，BP的长. (2)在P,Q两点运动过程中，E是点Q关于直线AC的对称点，是否存在某一时刻，使四边形PQCE为菱形？ 若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由 第4页，共6页 21.(本小题10分)己知四边形ABCD中，EF分别是AB、AD边上的点，DE与CF交于点G. 图】 图2 图3 (1)【问题初探】如图1，若四边形ABCD是正方形，且DE1CF,求证：DE=CF. (2)【类比探究】如图2，若四边形ABCD是矩形，AD=2CD,且DE1CF,猜想DE与CF的数量关系，并 加以证明. (3)【迁移拓展】如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AD=2CD,当∠B=∠EGF时，第(2)问的结论是 否成立？若成立，给予证明；若不成立，请说明理由， 22.(本小题10分)矩形ABCD中，AB=10,AD=17,点E是线段BC上异于点B的一个动点，连接AE,把 △ABE沿直线AE折叠，使点B落在点P处， O A p M B B E E 图1 图2 (1)【初步感知】如图1，当E为BC的中点时，延长AP交CD于点F,求证：FP=FC. (2)【深入探究】如图2，点M在线段CD上，CM=4.点E在移动过程中，求PM的最小值. (3)【拓展运用】如图2，点N在线段AD上，AN=4.点E在移动过程中，点P在矩形内部，当△PDN是以 DN为斜边的直角三角形时，求BE的长. 第5页，共6页 23.(本小题10分)如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，P为线段AC上一动点，E为射线BP上的一点（点E 与点B不重合) OP B B ① ② 备用图 (1)【问题解决】如图①，若点P与线段AC的中点O重合，则∠PBC=°，线段BP与线段AC的位置关系 是； (2)【问题探究】如图②，在点P运动过程中，点E在线段BP上，且LAEP=30°，∠PEC=60°，探究线段 BE与线段EC的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】在点P运动过程中，将线段BE绕点E逆时针旋转120°得到EF,射线EF交射线BC于点G,若 BE=2FG,AB=5,求AP的长. 第6页，共6页 2026北师大九年级上册数学第三章图形的相似 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若，则下列等式成立的是(    ) A. B. C. D. 2.已知，，，若的最长边为，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点的坐标为(    ) A. B. C. D. 第6题图 第5题图 第4题图 第3题图 4.如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为，则阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在菱形中，，是对角线上一点，连接，作，交边于点，若，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.如图，正方形的边长为，点为的中点，点在上，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，正方形的对角线，相交于点，，为上一点，，连接，过点作于点，与交于点，则的长是(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，为上一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接交于点，则的最小值为(    ) A. B. C. D. 第9题图 第8题图 第7题图 9.如图，在钝角三角形中，，，动点从点出发沿以的速度向点运动，同时动点从点出发沿以的速度向点运动，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间约是(    ) A. 或 B. C. D. 或 10.如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接以下四个结论： ；∽；；． 其中正确的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 第10题图 第11题图 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.如图所示，在中，，有一内接正方形，连接交于点，，，则的长是          ．  12.如图，直线与轴，轴分别交于、两点，与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为，则点的坐标为          ． 第14题图 第13题图 第15题图 第12题图 13.如图，在正方形中，是的中点，点在上，，垂足为若，则正方形的边长为          ． 14.如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是边上的一点，坐标为，将沿折叠，点落在点处若的延长线交于，且，则点的坐标为          ． 15.如图，在中，，，，，分别是边，上的两个动点，且，是的中点，连接，，则的最小值为          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分如图，在中，点，在边上，点在边上，，，，交于点，． 求证：． 当时，求证：． 17.本小题分如图，点为边上一点，过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，且． 求证：； 如果，求证：． 18.本小题分如图，在菱形中，点在边上，连结并延长，交的延长线于点，连结交于点，连结． 求证：． 若，求的长． 19.本小题分如图，在中，点在上，连接，，的平分线交于点． 求证：． 已知．求的值若，求的长． 20.本小题分如图，在中，，，，点以每秒个单位长度的速度从点向点方向运动，同时点以每秒个单位长度的速度从点向点方向运动，点到达点后，点也停止运动，设点，运动的时间为． 求点停止运动时，的长． 在，两点运动过程中，是点关于直线的对称点，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由． 21.本小题分已知四边形中，分别是、边上的点，与交于点． 【问题初探】如图，若四边形是正方形，且，求证：． 【类比探究】如图，若四边形是矩形，，且，猜想与的数量关系，并加以证明． 【迁移拓展】如图，若四边形是平行四边形，，当时，第问的结论是否成立若成立，给予证明若不成立，请说明理由． 22.本小题分矩形中，，，点是线段上异于点的一个动点，连接，把沿直线折叠，使点落在点处． 【初步感知】如图，当为的中点时，延长交于点，求证：． 【深入探究】如图，点在线段上，点在移动过程中，求的最小值． 【拓展运用】如图，点在线段上，点在移动过程中，点在矩形内部，当是以为斜边的直角三角形时，求的长． 23.本小题分如图，在菱形中，，为线段上一动点，为射线上的一点点与点不重合． 【问题解决】如图，若点与线段的中点重合，则          ，线段与线段的位置关系是           【问题探究】如图，在点运动过程中，点在线段上，且，，探究线段与线段的数量关系，并说明理由 【拓展延伸】在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，，求的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 1.【答案】D 2.【答案】B 3.【答案】A 4.【答案】C 5.【答案】D 6.【答案】C 7.【答案】A 8.【答案】D 9.【答案】D 10.【答案】D 11.【答案】2.4 12.【答案】3,2或-9，-2 13.【答案】2⑤ 4【省案9号 15.【答案】 V145 2 16.【答案】【小题1】 证明：.DB=DC,∴.∠DBC=∠DCB CAB,.g票器 BF=AG,·E-G·△BFE-△CGE 【小题2】 由1)，得△BFE一△CGE,∴.∠BEF=∠CEG,∠BFE=∠CGE ,'∠AEG=∠C,∠GEB=∠AEG+∠AEB=∠C+∠EGC,∴.∠ ∴.∠BEF=∠GEC=∠BFE=∠EGC.∴.BE=BF,EC=GC. ∴.BE=AG.∴.BE+EC=AG+GC,即BC=AC. .≥/IAB,∴.∠AEG=∠BAE.∴.∠BAE=∠C. 第1页，共1页 AEB=∠EGC. 又.∠ABE=∠ABC,.△ABE△CBA AB-BE.'A B2-BC.BE=AC.AG. ·BCAB 17.【答案】【小题1】 证明：，CD⊥BD, ∴.∠ADF=∠CDB=90, .'AF·CD=BC·AD, .AD=CD ·AFBC ..Rt△ADF一Rt△CDB, ∴∠F=∠B, .∠FAD=∠EAB, ∴.∠FDA=∠BEA=90, AE⊥BC: 【小题2】 证明：BE=CE,AE⊥BC, .AB=AC, ∴.∠B=∠1， A B E 又∠BDC=∠AEC=90, ∴.△BCD一△CAE, .BC=BD AC CE ∴.BC·CE=BD·AC, ∴.BC·2CE=2BD·AC, 第2页， 共1页 .BE=CE, ∴BC=2CE, ∴.BC2=2BD·AC. 18.【答案】【小题1】 证明：，四边形ABCD是菱形， .∴.CD/1AB, ∴.∠CDP=∠F,∠DCP=∠PAF, ∴.△PCD△PAF. 【小题2】 解：，四边形ABCD是菱形， ∴.CD/IAB, ∴.∠CDP=∠F, .∠CDP=∠CBP, ∴.∠CBP=∠F, 又'·∠BPE=∠FPB, .∴.△BPE△FPB, '△BPE△FPB,PB=2PE, :器用2 PB PE 1 由对称性知PB=PD, ·PD_1 。 PF 2' .△CDP△AFP, ·CD_DP_1 ·AFFP21 AD=AB=CD=6, ∴.AF=12, ∴.BF=AF-AB=6. 19.【答案】【小题1】 第3页， 共1页 证明：.AB=AD=CD,∴.∠ABD=∠ADB,∠EAF=∠C, ∴.∠ADB=∠CAD+∠C=2∠C. .BE平分∠ABC,∴.∠ABE=∠CBE=∠C=∠CAD, ∴.∠AEF=∠CBE+∠C=∠CBE+∠ABE=∠ABC. 在△ABC和△FEA中，∠C=∠EAF,∠ABC=∠FEA, .∴.△ABC一△FEA. 【小题2】 备，@△A-△EA.2S-货·瓷- .∠C=∠C,∠CAD=∠CBE, △ACD-△BCE, AC CD FACD BC=CE'·EA=CE CD=6·AE5 CE5·AFF61 ②：CD、6 CE5,CD=12,∴CE=10. .'∠ABC=∠AEB,∠BAC=∠EAB, ·△ABC-△AEB,.AB=AC AE AB AB=CD=12,:.12=AE0 ,AE=8 12 20.【答案】【小题1】 解：在Rt△ABC中， ∠C=90°，AC=6,BC=8, ∴.AB=V62+82=10 “点Q运动到点A时，t=10=5, 2 .AP=5,PC=1, 在Rt△PBC中，PB=V+8=V65 【小题2】 第4页，共1页 解：存在；连接QE交AC于点D, .∵E是点Q关于直线AC的对称点， ∴.QE⊥AC,DQ=DE, ∴.当PD=CD时，四边形PQCE是菱形， 'AP=t,AC=6,BQ=2t,AB=10, ∴.PC=6-t,AQ=10-2t, PD-GD-3- .AD=t+3-=+3, 22 .QE⊥AC,∠BCA=90°， ∴.∠ADQ=∠BCA, 又.·∠A=∠A, ∴.△ADQA ACB, .AQ=AD ·ABAC t+3 :10-2t= 10 6 ..t=30 17 .当t=30 7S时，四边形PQCE是菱形. B o D E 21.【答案】【小题1】 第5页， 共1页 证明： 四边形ABCD是正方形， 且DE⊥CF, .∠A=∠ADC=90°， AD=DC,∠ADE+∠CFD=90°， ∴.∠ADE+∠AED=90°， .∴.∠AED=∠CFD, ∴.△ADE≌△DCF(AAS), .DE=CF」 【小题2】 解：DE=2CF 证明： .四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=∠ADC=90°， DE⊥CF, .∴.∠ADE+∠CFD=∠DCF+∠CFD=90°， .∴.∠ADE=∠DCF, .△ADE△DCF, DE=AD=2CD=2. ·CE CD CD ∴.DE=2CF. 【小题3】 解：当∠B=∠EGF时，DE=2CF成立. 证明： 如图，在AD的延长线上取点M, 使CM=CF, .∴.∠CMF=∠CFM, .四边形ABCD是平行四边形， ∴.AB//CD ∴.∠A=∠CDM, 第6页， 共1页 AD//BC, ..∠B+∠A=180°， .∠B=∠EGF, ∴.∠EGF+∠A=180°， ∴.∠AED+∠AFG=180°， .'∠CFM+∠AFG=180°， .∴.∠AED=∠CFM=∠CMF, .∴.△ADE一△DCM, ·DE-AD CM DC 即DE=A9-2CD=2, CF CD CD 即DE=2CF A F D -.M 22.【答案】【小题1】 证明：如图，连接EF, 由折叠可得∠APE=∠B=90°，PE=BE, 四边形ABCD为矩形， .∠C=90°， .E为BC的中点， ∴BE=EC, ∴PE=EC, 在Rt△EPF与Rt△ECF中， EP=EC,EF=EF, 第7页， 共1页 ∴.Rt△EPF≌Rt△ECF(HL), ∴.FP=FC 【小题2】 .AP=AB=10,点E在移动过程中，AP=10不变. ..点P在以A为圆心，10为半径的⊙A的弧上， 连接AM,如图， 当点P在线段AM上时，PM有最小值， .AD=17,AB=CD=10,CM=4, ∴.DM=6, ∴.AM=VAD+DM2=V172+62=V325=5V131 ∴.PM的最小值为AM-AP=5V13-10. 【小题3】 过点P作PH⊥AD于H,延长HP交BC于点G,连接PD,NP,如图， E G .∠NPD=90°， .∠1+∠2=90°， ∴.∠1+∠3=90°， ∴.∠3=∠2. .'∠PHN=∠DHP, .∴.△PHN△DHP, HP_HN ·HDHP ∴.HP2=HN·HD, 第8页，共1页 .AN=4,AD=17, ∴.DN=13, 设HN=x,HD=13-x, .∴.AH=x+4'HP2=x(13-x) .AB=10, .∴.AP=AB=10, .HP2=AP2-AH2, ∴.HP2=102-(x+42 .x(13-x)=102-(x+42’ 解得x=4, .HP=6,AH=8,HG=AB=10 PG=4,BG=AH=8 设BE=m,则PE=m,飞=8-m, 在Rt△PGE中，PE2=EG+PG2, .m2=(8-m2+42 解得m=5, 即BE的长为5. 23.【答案】【小题1】 30 BP⊥AC 【小题2】 CE=2BE.理由略 【小题3】 2号 第9页， 共1页