精品解析：辽宁鞍山市高新区实验学校2026-2027学年八年级上学期10月限时作业训练数学试题

八年级十月份限时作业训练 数学试题 一、选择题（共10小题 每题3分) 1. 以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（ ） A. 6，4，2 B. 6，3，3 C. 7，3，2 D. 5，5，2 2. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 两直线平行，内错角相等 3. 如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A. 是的角平分线 B. 为边上的高 C. 是边上的中线 D. 为的高线 4. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是 A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 三边分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 5. 如图，已知，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 6. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ） A. ∠DAE=∠B B. ∠EAC=∠C C. AE∥BC D. ∠DAE=∠EAC 8. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边的高，点O是两条高的交点，则∠A与∠1＋∠2的大小关系是( ) A. ∠A＞∠1＋∠2 B. ∠A=∠1＋∠2 C. ∠A＜∠1＋∠2 D. 无法确定 9. 小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中，，，的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 下面说法正确的个数有（ ） ①如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形； ②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，那么这个三角形是直角三角形； ③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； ④如果，那么是直角三角形； ⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； ⑥在中，若，则此三角形是直角三角形． A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 二、填空题（共5小题每题3分） 11. 若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为______． 12. 如图，BD、CE是ABC的高，若AB＝4，AC＝6，CE＝5，则BD的长度是_________． 13. 如图，的一边是平面镜，，点是上一点，一束光线从点射出，经过平面镜上的点反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则_____． 14. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若，则的度数为________． 15. 已知是的高，，，的面积为12，则______． 三、解答题（共8小题 一共75分） 16. 如图是三个岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向． （1）从岛看两岛的视角是多少度？ （2）从岛看两岛的视角是多少度？ 17. 已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，， 求证：． 18. 如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）过点作，交的延长线于点F，求的度数． 19. 已知：如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、． （1），，求的度数； （2）求证：． 20. 如图，在中，是边上的中线． （1）尺规作图：过点作交的延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）找出图中一定与相等的线段，并说明理由． 21. 按要求完成下列各题： （1）如图，在中，求证： （2）如图，中，，，过作直线平行，连接，且，那么线段和的关系是什么？并说明理由． 22. 如图，，且，． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）设与交于点，连接．若，求． 23. 基础研究： （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：___________（用字母表示）；线段的取值范围为___________ 问题解决： （2）如图，为的中点，，，． 探究OE和AB的关系并证明． 拓展应用： （3）如图3，在中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点1=、AB=DE． 求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级十月份限时作业训练 数学试题 一、选择题（共10小题 每题3分) 1. 以下列各组数据为边长，可以构成三角形的是（ ） A. 6，4，2 B. 6，3，3 C. 7，3，2 D. 5，5，2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，掌握两边之和大于第三边是解题关键． 根据三角形三边关系，任意两边之和必须大于第三边，逐项判断即可． 【详解】A．∵，等于第三边6，∴不能构成三角形； B．∵，等于第三边6，∴不能构成三角形； C．∵，∴不能构成三角形； D．∵，∴能构成三角形． 故答案为：D． 2. 如图，人字梯中间一般会设计“拉杆”，这样做的道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 垂线段最短 C. 两点之间线段最短 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形的性质，关键是根据三角形的稳定性解答．根据三角形的稳定性解答即可． 【详解】解：人字梯中间一般会设计“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性， 故选：A． 3. 如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（　　） A. 是的角平分线 B. 为边上的高 C. 是边上的中线 D. 为的高线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确； B．∵，为边上的高，正确； C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确； D．∵，为的高线，正确； 故选C． 4. 下面是“作的角平分线”的尺规作图方法： （1）以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点． （3）画射线，射线即为所求． 上述方法是通过判定得到的，其中判定的依据是 A. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 B. 三边分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作角平分线，全等三角形的性质与判定．根据证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ， 射线平分． 故选：B． 5. 如图，已知，，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴． 6. 已知图中的两个三角形全等，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．直接利用全等三角形的性质得出对应角进而得出答案． 【详解】解：∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选∶B． 7. 如图，△ABC中，AB>AC，∠CAD为△ABC的外角，观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是（ ） A. ∠DAE=∠B B. ∠EAC=∠C C. AE∥BC D. ∠DAE=∠EAC 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据图中尺规作图的痕迹，可得∠DAE=∠B，故A选项正确， ∴AE∥BC，故C选项正确， ∴∠EAC=∠C，故B选项正确， ∵AB＞AC，∴∠C＞∠B，∴∠CAE＞∠DAE，故D选项错误， 故选D． 【点睛】本题考查作图—复杂作图；平行线的判定与性质；三角形的外角性质． 8. 如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE是AC边的高，点O是两条高的交点，则∠A与∠1＋∠2的大小关系是( ) A. ∠A＞∠1＋∠2 B. ∠A=∠1＋∠2 C. ∠A＜∠1＋∠2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：∵CD是AB边上的高，BE是AC边上的高， ∴∠OEC=∠ADC= 又∴△ACD和△OCE中，∠ACD=∠OCE， ∴∠A=∠EOC 又∵∠EOC=∠1+∠2， ∴∠A=∠1+∠2. 故选B. 9. 小明把一副三角尺按如图所示摆放，其中，，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、三角形内角和定理、对顶角相等等知识点．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图所示，由三角形外角的性质可得、，再根据三角形内角和定理可得，最后计算即可． 【详解】解：如图:     ∵，， ∴, , ∴的度数为． 故选A． 10. 下面说法正确的个数有（ ） ①如果三角形三个内角的比是，那么这个三角形是直角三角形； ②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角，那么这个三角形是直角三角形； ③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形； ④如果，那么是直角三角形； ⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差，那么这个三角形是直角三角形； ⑥在中，若，则此三角形是直角三角形． A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理即可判断①④⑤⑥；根据邻补角的定义、直角三角形的定义即可判断②；根据直角三角形的定义即可判断③． 【详解】解：三角形三个内角的比是， 这个三角形的三个内角分别为，，， 这个三角形是直角三角形，则说法①正确； 三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角， 这个内角为， 这个三角形是直角三角形，则说法②正确； 如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是直角三角形；则说法③正确； ， 设， ， 解得， ， 则不是直角三角形，说法④错误； 三角形的一个内角等于另两个内角之差， 假设这个三角形为，且， ， ， ， 是直角三角形，说法⑤正确； ，， ， 是直角三角形，说法⑥正确； 综上，说法正确的个数有5个， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的定义，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． 二、填空题（共5小题每题3分） 11. 若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角形的腰长为______． 【答案】 【解析】 【分析】分类讨论腰长的两种可能，结合三角形三边关系验证能否构成三角形，得到正确结论． 【详解】解：分两种情况讨论： 当腰长为时，三角形的三边长为， ，不满足三角形三边关系，不能构成三角形， 舍去这种情况； 当腰长为时，三角形的三边长为， ，满足三角形三边关系，能构成三角形， 这个等腰三角形的腰长为． 12. 如图，BD、CE是ABC的高，若AB＝4，AC＝6，CE＝5，则BD的长度是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等面积求解即可． 【详解】解：∵BD、CE是△ABC的高，若AB=4，AC=6，CE=5， ∴AB•CE=AC•BD，即×4×5=×6BD， 解得：BD=． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解答的关键是熟记三角形的面积公式并灵活运用． 13. 如图，的一边是平面镜，，点是上一点，一束光线从点射出，经过平面镜上的点反射后沿射线射出，已知，要使反射光线，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、几何图中角度的计算，由平行线的性质并结合题意得出，求出，再由平行线的性质即可得出答案，熟练掌握平行线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，若，则的度数为________． 【答案】##度 【解析】 【分析】此题此题考查了折叠的性质和平行线的性质，根据平行线的性质得到，，根据折叠可得，则，即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可知，， ∴ 解得 故答案为： 15. 已知是的高，，，的面积为12，则______． 【答案】5或7 【解析】 【分析】本题考查求线段长，涉及三角形的面积公式，解答的关键是分两种情况进行讨论：①是锐角三角形，②是钝角三角形．根据题意，可分两种情况进行分析：①是锐角三角形，②是钝角三角形，再利用三角形的面积公式列式求解是解决问题的关键． 【详解】解：①当是锐角三角形时，如图所示： ∵是的高，，，的面积为12， ∴， 即，则， 解得； ②当是钝角三角形时，如图所示： ∵是的高，，，的面积为12， ∴， 即， 解得， ， 综上所述，或7． 故答案为：5或7． 三、解答题（共8小题 一共75分） 16. 如图是三个岛的平面图，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向． （1）从岛看两岛的视角是多少度？ （2）从岛看两岛的视角是多少度？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）由方向角的定义得，，，由平行线的性质得，再根据角的和差关系即可求解； （）先求出，再根据三角形内角和定理解答即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，，， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． 17. 已知：如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，， 求证：． 【答案】 证明：， ， ，则， ． 在与中， ， ， ， ． 【解析】 【分析】由全等三角形的性质判定，则对应角，故证得结论． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型． 18. 如图，在中，，的外角的平分线交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）过点作，交的延长线于点F，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质及三角形的外角性质，熟知直角三角形的性质及三角形的外角性质是解题的关键． （1）先求出的度数，再根据角平分线的定义即可解决问题； （2）先求出的度数，再结合平行线的性质即可解决问题． 【小问1详解】 解：∵在中，， 是的平分线， 【小问2详解】 19. 已知：如图，在中，，直线分别交的边、和的延长线于点、、． （1），，求的度数； （2）求证：． 【答案】（1） （2） 证明：， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理，关键是掌握三角形内角和是． （1）由三角形内角和定理求出，得到； （2）由三角形内角和定理得到，，即可证明． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，是边上的中线． （1）尺规作图：过点作交的延长线于点；（保留作图痕迹，不写作法） （2）找出图中一定与相等的线段，并说明理由． 【答案】（1） 解：如图所示，线段即为所求； （2） 解：，理由如下： ∵是边上的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（）延长，在的延长线上截取，连接， 可证，即得，故得； （）证明即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 按要求完成下列各题： （1）如图，在中，求证： （2）如图，中，，，过作直线平行，连接，且，那么线段和的关系是什么？并说明理由． 【答案】（1） 证明：在和中 ， 即． （2） 结论：，且， 证明：在和中 ， ， ， ， ， ， 在与中 ， 由，得， ， 设交于点， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）要证线段，观察两条线段分别在和中，已知，，且与是公共角，直接利用证明两个三角形全等，由全等三角形对应边相等得到结论； （2）线段关系包含数量与位置两类，先借助第(1)问的全等结论得到，结合条件，得到；再由平行线得到直角，利用证明直角三角形全等进行角转化，通过角度互余，推导出垂直关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定（）与全等三角形的性质、平行线的性质、直角三角形角度互余等知识点，解题关键是第一问直接利用公共角与两组等边用证全等得到线段相等，第二问要延续第一问的全等结论，结合平行线得到直角，再通过等量代换转移角，同时从数量关系和位置关系两个维度完整分析两条线段的关系． 22. 如图，，且，． （1）求证：； （2）连接，求证：； （3）设与交于点，连接．若，求． 【答案】（1）证明：， ， 又， ，即， ， ． （2）证明：如图，连接、， 在和中， ， ， ． （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，再由“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”可证． （2）连接后，可由“边角边”证明与全等，进而证明． （3）作交的延长线于点，连接，先证明和全等，由此可推断出和全等，进而得到与的关系，最后以为底、为高，即可得到的面积． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：如图，作交的延长线于点，与交于点，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又， ， ． 23. 基础研究： （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，．求边上的中线的取值范围．李海在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，连接，则得到，李海证明用到的判定定理是：___________（用字母表示）；线段的取值范围为___________ 问题解决： （2）如图，为的中点，，，． 探究OE和AB的关系并证明． 拓展应用： （3）如图3，在中，D是AC上一点，E是BC延长线上一点1=、AB=DE． 求证：． 【答案】（1）； （2）数量关系为，位置无特殊关系，  证明： 延长到点，使，连接，   为的中点， 。  又      ，  ， ，  ， ，  ， ，      又 ，      ， ，即； （3）证明：作，交的延长线于点， ， ， ， ， 。 又 ， 。 在和中： ． 【解析】 【分析】（1）由三角形中线的性质可得，再利用即可证明，从而得解； （2）已知为的中点，看到中点可考虑倍长中线的方法，延长至，使，再证明，得到且，结合可得；再利用周角性质以及平行线同旁内角互补，结合条件，推导出，又，通过证明，得到，而，因此； （3）过点作，交的延长线于点，由平行线性质得到，结合已知，等量代换得，根据等角对等边可知，又，所以，再证明，最后由全等三角形对应边相等得到． 【小问1详解】 解：延长到点E，使，连接， ， ∵为边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ，， ， ， 所以李海证明用到的判定定理是；线段的取值范围为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、倍长中线辅助线模型、平行线的性质、周角与补角的角度推理、等腰三角形判定等知识点；解题关键在于根据中点条件使用倍长中线构造全等三角形实现线段与角度的转移，以及通过作平行线转移等角，合理构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $