精品解析：河南杞县高中附属中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026-2027上学期九年级数学作业限时练 一、单选题（共30分） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个实数根 5. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 8. 有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有121台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 10. 定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共15分） 11. 已知一元二次方程的两个实数根为、，则______． 12. 若关于x 的一元二次方程无实数根，则整数k 的最小值为_______． 13. 与最简二次根式能合并，则________． 14. 规定运算“★”是，则__________． 15. 已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 三、解答题（共75分） 16. 计算、解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 18. 已知，． （1）若无论取何值时都不含的一次项，求的值； （2）当时，求（1）中的值． 19. 每年10月23日是世界雪豹日，雪豹的存在是地球第三极—青藏高原生态稳定的核心，据估计，约的雪豹栖息在中国境内；随着“凌小蛰”和“凌小芒”两只雪豹的故事，在网上广泛流传．今年夏天雪豹玩偶深受欢迎．某商家7月10日销售玩偶共200个，11日，12日销售量持续增长，12日销量达到338个． （1）求7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率． （2）为刺激消费，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 20. 【阅读理解】数学课上，张老师在黑板上写了这样一个问题：已知，求的值． 爱思考的琳琳想了一会写出了下面的解答过程： ，即， ，即． ． ． 【活学活用】请你根据琳琳的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 21. 小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． （1）如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 22. 【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）因式分解：________； （2）若，运用配方法可求出的最小值为________； （3）如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027上学期九年级数学作业限时练 一、单选题（共30分） 1. 下列式子是最简二次根式的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有因式的幂的指数小于2，判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】A. ，不符合题意； B. 符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选B． 2. 已知关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入关于x的一元二次方程得到关于的方程求解即可． 【详解】解：将代入关于x的一元二次方程， 得， 故选：D． 3. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程需同时满足三个条件，只含有一个未知数，未知数的最高次数为，是整式方程，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A中，未知数最高次数为，不满足条件，∴A错误； 选项B中，含有两个未知数，不满足条件，∴B错误； 选项C中，只含1个未知数，未知数最高次数为，且为整式方程，满足所有条件，∴C正确； 选项D中，分母含有未知数，不是整式方程，不满足条件，∴D错误． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有两个实数根 【答案】D 【解析】 【详解】解：由题意，可得， ∴该方程有两个实数根． 5. 若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，方程的两边都是整式，只含有一个未知数，并且整理后未知数的最高次数是2，像这样的方程叫做一元二次方程． 根据二次项系数不能为零，列式求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， ∴． 故选D． 6. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：C． 7. 已知关于x的一元二次方程（m，h，k均为常数且）的解是，，则关于x的一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题利用一元二次方程根的性质求出，再将代入新方程即可求解． 【详解】解：由题意，关于x的一元二次方程有解， 解方程得， ∵一元二次方程（）的解是，， ∴，， ∴， 将，代入原方程得， 对于方程， 整理得：， 代入得 ， 解得，． 8. 有一台电脑感染了某种电脑病毒，经过两轮感染后，共有121台电脑感染了该病毒．设每轮感染中，平均一台电脑可以感染x台电脑，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 设每轮感染中，平均一台电脑可以感染台电脑，则第一轮共感染台，第二轮共感染台，根据题意列方程即可． 【详解】解：根据题意列方程得： ， 故选：C． 9. 为了测一个矿井的深度，将一块石头从井口丢下去，6.5秒后听到它落地的声音，已知音速为330米/秒，石头从井口落下的距离s与时间t的关系式为（g为10米秒）．若设石头从井口落到并底用了x秒，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据石头从井口落下的距离与时间的关系式列方程即可． 【详解】解：根据题意得，． 故选：C． 10. 定义：关于的一元二次方程与称为“同形二次方程”（）．现有关于的方程与方程是“同形二次方程”．则代数式的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由“同形二次方程”对变形，从而确定，得出关于的等式求解出的值，代入代数式，通过配方，结合平方非负性判断即可得到答案． 【详解】解：关于的方程与方程是“同形二次方程”， 则将方程变形为， 由“同形二次方程”定义可知， “同形二次方程”定义中， ， 则两边同时除以得， ， 由②得， 将代入①得， ∴代数式． 二、填空题（共15分） 11. 已知一元二次方程的两个实数根为、，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若，是该方程的两个实数根，则，，据此可得答案． 【详解】解：一元二次方程的两个实数根为、， ， 故答案为：． 12. 若关于x 的一元二次方程无实数根，则整数k 的最小值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了根的判别式、一元二次方程的构成条件、解一元一次不等式等知识，解题的关键是掌握根的判别式．要使一元二次方程没有实根，只需二次项系数不等于0且根的判别式小于0，由此可求出k的范围，再找出最小值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴且， 解得，， ∴， ∴整数k的最小值是3， 故答案为：3． 13. 与最简二次根式能合并，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．能合并就是同类二次根式，都化成最简二次根式后被开方数相同，据此求解即可． 【详解】解：，  与最简二次根式能合并， ， 解得： ， 故答案为：  ． 14. 规定运算“★”是，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了实数的新定义，分母有理化，二次根式的减法运算．根据新运算的定义，将 a 和 b 的值代入公式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴当，时，． 故答案为：． 15. 已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 【答案】 【解析】 【分析】利用化去根号内的分母的方法，结合二次根式性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴． 三、解答题（共75分） 16. 计算、解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3）， （4）， 【解析】 【分析】先化简二次根式，再合并即可得答案； 利用平方差公式和完全平方公式去括号，再合并即可得答案； 利用配方法解方程即可； 先移项，再提公因式，即可解方程． 【小问1详解】 原式 ； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 ； ， 则， 即， ， ，； 【小问4详解】 ， ， 则， 或， 解得，． 【点睛】本题考查二次根式的计算和解一元二次方程，掌握二次根式的计算法则和配方法，因式分解法解一元二次方程是解题关键． 17. 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值．并求此时方程的根． 【答案】，；当时，方程的根为，当时，方程的根为 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根可得，从而可求出k的值，然后将k的值代入原方程解方程即可求方程的根． 【详解】∵方程有两个相等的实数根， ∴ 解得：，， 当时，方程为， 解得：； 当时，方程为， 解得：． 18. 已知，． （1）若无论取何值时都不含的一次项，求的值； （2）当时，求（1）中的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题主要考查整式的加减运算、合并同类项以及代数式求值．整式加减运算中合并同类项是关键步骤，而对于不含某一项即该项系数为这一概念的运用是解题的重要依据．在准确对进行整式运算并合并同类项，然后根据不含一次项得出一次项系数为的方程求解及正确将值代入并化简，再代入的值进行准确计算是解题的关键． （1）本题需先对进行整式的化简运算，得到一个关于的多项式．由于要求无论取何值时该式都不含的一次项，所以一次项系数必须为，据此建立方程求解的值． （2）在（1）中已求得的值，将其代入化简后的式子，得到一个关于的表达式．再将代入该表达式，通过计算得出的值． 【小问1详解】 解： ． 无论取何值时都不含的一次项， ． ． 【小问2详解】 解：当时，． 当时，． 19. 每年10月23日是世界雪豹日，雪豹的存在是地球第三极—青藏高原生态稳定的核心，据估计，约的雪豹栖息在中国境内；随着“凌小蛰”和“凌小芒”两只雪豹的故事，在网上广泛流传．今年夏天雪豹玩偶深受欢迎．某商家7月10日销售玩偶共200个，11日，12日销售量持续增长，12日销量达到338个． （1）求7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率． （2）为刺激消费，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】（1） （2）2元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为，得到，再解方程即可； （2）设每个玩偶降价为y元，根据当日总利润可达到5940元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率， 则，即， 解得，（舍去）， 答：7月11日，12日这两天雪豹玩偶销售量的日平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每个玩偶降价元时，当日总利润可达到5940元， 则此时售价为每个（元），可销售个， 则利润为， ， 化简得， ，解得或（舍去）， 答：当每个玩偶降价2元时，当日总利润可达到5940元． 20. 【阅读理解】数学课上，张老师在黑板上写了这样一个问题：已知，求的值． 爱思考的琳琳想了一会写出了下面的解答过程： ，即， ，即． ． ． 【活学活用】请你根据琳琳的分析过程，解决如下问题： （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1）2 （2）7 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． （1）首先利用平方差公式分母有理化得到，然后移项利用完全平方公式求解即可； （2）首先利用平方差公式分母有理化得到，再根据完全平方公式计算即可． 【小问1详解】 ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ． 21. 小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． （1）如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． （2）如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】（1）①；②米 （2）养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【解析】 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【小问1详解】 解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； 【小问2详解】 略． 22. 【阅读理解】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性增加问题的条件，这种解题方法叫作配方法．配方法不仅在代数式求值、解方程、求最值问题等有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值，求解未知量． 应用一 应用二 用配方法分解因式：． 解： ． 用配方法求代数式的最小值． 解： 的最小值为 请根据上述阅读材料，解决下列问题： （1）因式分解：________； （2）若，运用配方法可求出的最小值为________； （3）如图，在中，，，，点为边上一点（不与点、点重合），连接，以为边在上方构造正方形，连接．则面积的最大值为________． 【答案】（1） （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）把原式变形为，再利用完全平方公式和平方差公式分解因式即可； （2）仿照例题利用配方法求解即可； （3）过点F作于点H，证明，得到；设，则，则，据此可得答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 解：如图所示，过点F作于点H， ∴， ∴； ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为8． 23. 如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为． （1）填空：_______，________（用含t的代数式表示）． （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）是否存在t的值，使得三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）根据点Q速度为和点P速度为即可求解，再由点Q到点C停止，可确定时间t范围为； （2）矩形中，在中，由勾股定理得，代入对应线段表达式与，得到一元二次方程，求解即可； （3）分别在、、中用勾股定理表示、、，分、、三类列方程求解，结合舍去不合理解，即可得解． 【小问1详解】 解：∵点Q的速度为，运动时间为， ∴， ∵点P的速度为， ∴， 又∵， ∴， ∵点Q运动到点C时两点同时停止， ∴ 解得， 又∵， ∴t的取值范围为； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，， 将，，代入其中， 得 解得（舍去），， ∴当时，的长度等于； 【小问3详解】 解：连接，如图： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中，，， ∴ ， ∵在中， ， ①当时，则， 解得（舍去）或； ②当时，则， 解得（舍去）或（舍去）， ∴此情况无符合条件的t； ③当时，则， 解得（舍去）或； 综上所述，符合条件的t的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $