河南郑州外国语中学2026-2027学年九年级上学期10月阶段性学情反馈数学试卷

数学阶段性反馈 满分：120分 时间：100分钟 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定能与原图形重合的是（　　） A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形 2．下列是一元二次方程的是（　　） A．x 2+x＝2y B．2x 2＝1 C．ax 2+bx+c＝0 D．x 2+x+1 3．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 4．在估算一元二次方程x 2+2x﹣4＝0的根时，小晗列表如表：由此可估算方程x 2+2x﹣4＝0的一个根x的范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x 2+2x﹣4 ﹣1 ﹣0.59 ﹣0.16 0.29 0.76 A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 5．如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A． ∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E （第5题图） （第3题图） 6．如图，小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠MAN＝44°，则∠CDB的度数是（　　） A．70° B．64° C．66° D．68° 7．近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．50（1+x）＝72 B．50（1+x）2＝72 C．50（1+2x）＝72 D．50（1+x 2）＝72 8．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　） A．8 B．6 C．4.8 D．2.4 （第8题图） （第6题图） 9．如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上两点，BEAB，，连接AC，EF交于点P，若△AEP的面积为S，则△APF的面积为（　　） A． B． C． D． 10． 如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG．下列结论：①EF＝EC；②△AEG的周长为；③BE 2 DG 2＝EG 2；④当时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（　　） A． ①② B．②③ C．①④ D．①③④ （第9题图） （第10题图） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．一元二次方程x 2﹣5x＝2（x﹣1）的一般形式为 ______________ ． 12．在音乐课上某同学发现：音乐也可以有数学问题！如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝9，则线段BC的长是_____ ． （第13题图） （第12题图） 13．如图1，一束激光通过玻璃砖时传播路径发生改变．图2是其部分光线示意图，其中四边形ABCD是矩形，点F，G分别在边AD，BC上，EF∥HG．若∠EFD＝27°，则∠BGH的度数为 ________ ． 14．已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x 2﹣6xk2＝0的两个根，则k＝________ ． 15．定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝2，点D在AC边上，若△ABD是“准直角三角形”，则CD的长为 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（10分）解方程： （1）x 2﹣6x﹣4＝0； （2）5x（x﹣3）2（x﹣3）＝0． 17．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k5）x62k＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根． （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且x1﹣x2＝1，求k的值． 18． （9分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是 A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）在图①中，以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形，使△ABC与其相似比为2：1； （2）在图②中线段AB上画一个点P，使． 19． （9分）材料：顶角为36°的等腰三角形是一种黄金三角形． 已知：如图，△ABC为黄金三角形，且∠B为顶角，AB＝8． （1）在BC上取一个点D，使得BD＝AD；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，连接AD，求AD的长． 20． （9分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F． （1）求证：EF＝BE． （2）设△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，请直接写出CE的长． 21．（9分）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm． （1）∠ABD的度数为 _______ ．（用含α的式子表示） （2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离． （3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM ？（直接回答即可） 22．（10分）如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗？请说明理由． （3）当把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为30cm 2时请直接写出结果并画出平面示意图． 23．（10分）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类A4矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？ 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张A4纸ABCD（AB＜BC）对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，求证：四边形CDMN是类A4矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分BD，，BD＝20，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值． 第1页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定能与原图形重合的是（　　） A．平行四边形 B．长方形 C．正六边形 D．正方形 【分析】根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，进而可得出答案． 【解答】解：将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，则： 根据旋转对称图形的性质，可得出四边形需要满足的条件：此四边形的对角线互相垂直、平分且相等，则这个四边形是正方形． 故选：D． 【点评】本题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，正确记忆相关知识点是解题关键． 2．（3分）下列是一元二次方程的是（　　） A．x2+x＝2y B．2x2＝1 C．ax2+bx+c＝0 D．x2+x+1 【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【解答】解：选项A中含x，y两个未知数，不符合题意． 选项B中只含x一个未知数，x的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C中未说明a≠0，当a＝0时不是二次方程，不符合题意． 选项D中不是等式，不属于方程，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程． 3．（3分）我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（　　） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【解答】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这块木板是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故选：A． 【点评】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法是解答本题的关键． 4．（3分）在估算一元二次方程x2+2x﹣4＝0的根时，小晗列表如表：由此可估算方程x2+2x﹣4＝0的一个根x的范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+2x﹣4 ﹣1 ﹣0.59 ﹣0.16 0.29 0.76 A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 【分析】利用x＝1.2，x2+2x﹣4＜0；x＝1.3，x2+2x﹣4＞0，于是当x在1.2与1.3之间取一个数时，x2+2x﹣4一定可以等于0，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：∵x＝1.2，x2+2x﹣4＝﹣0.16＜0；x＝1.3，x2+2x﹣4＝0.29＞0， ∴当x在1.2与1.3之间取一个数时，x2+2x﹣4＝0， 即方程x2+2x﹣4＝0的一个根x的范围为1.2＜x＜1.3． 故选：C． 【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似数：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根． 5．（3分）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， A、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定△ABC∽△ADE，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意， 故选：B． 【点评】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 6．（3分）如图，小美同学按如下步骤作四边形ABCD：①画∠MAN；②以点A为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点C；④连接BC，CD，BD．若∠MAN＝44°，则∠CDB的度数是（　　） A．70° B．64° C．66° D．68° 【分析】根据作图可得四边形是ABCD菱形，根据菱形的性质，即可求解． 【解答】解：由作图可知，AB＝AD＝BC＝CD， ∴四边形ABCD是菱形， ∴∠ADC+∠MAN＝180°， ∵∠MAN＝44°， ∴∠ADC＝180°﹣∠MAN＝180°﹣44°＝136°，． 故选：D． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图，菱形的判定和性质，掌握菱形的判定和性质是解题的关键． 7．（3分）近年来，我国人工智能核心产业规模快速增长．2023年某地区人工智能核心产业规模为50亿元，2025年达到72亿元．设该地区这两年人工智能核心产业规模的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　） A．50（1+x）＝72 B．50（1+x）2＝72 C．50（1+2x）＝72 D．50（1+x2）＝72 【分析】设年平均增长率为x．2023年到2025年连续增长两年，由题可列方程． 【解答】解：由题意可得： 50（1+x）2＝72． 故选：B． 【点评】本题考查了一元二次方程的实际应用，关键是找准数量关系． 8．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P为AB边上一动点（不与点A，B重合），PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F，若AC＝16，BD＝12，则EF的最小值为（　　） A．8 B．6 C．4.8 D．2.4 【分析】连接OP，作OH⊥AB于点H，由菱形的性质得AC⊥BD，OA＝OCAC＝8，OB＝ODBD＝6，由勾股定理得AB10，由10OH8×6＝S△AOB，求得OH＝4.8，再证明四边形PEOF是矩形，则EF＝OP，因为OP≥OH，所以EF≥4.8，则EF的最小值为4.8，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OP，作OH⊥AB于点H， ∵四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O， ∴AC⊥BD，OA＝OCAC16＝8，OB＝ODBD12＝6， ∴∠AOB＝90°， ∴AB10， ∵AB•OHOA•OB＝S△AOB， ∴10OH8×6， 解得OH＝4.8， ∵PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F， ∴∠PEO＝∠PFO＝∠EOF＝90°， ∴四边形PEOF是矩形， ∴EF＝OP， ∴OP≥OH， ∴EF≥4.8， ∴EF的最小值为4.8， 故选：C． 【点评】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度、垂线段最短等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 9．（3分）如图，平行四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD边上两点，BEAB，，连接AC，EF交于点P，若△AEP的面积为S，则△APF的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】过E点作EF∥BC交AC于M点，如图，先根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，再证明△AEM∽△ABC得到，所以EMBCAD，接着证明△PEM∽△PFA得到，然后根据三角形面积公式得到，所以S△APFS． 【解答】解：过E点作EF∥BC交AC于M点，如图， ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴EM∥AD， ∵EM∥BC， ∴△AEM∽△ABC， ∴， ∵BEAB， ∴AEAB， ∴， ∴EMBCAD， ∵EM∥AF， ∴△PEM∽△PFA， ∴， ∴， ∴S△APFS△AEPS． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了平行四边形的性质． 10．（3分）如图，正方形ABCD的边长为2，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG．则下列结论：①EF＝EC；②△AEG的周长为；③BE2+DG2＝EG2；④当时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（　　） A．①② B．②③ C．①④ D．①③④ 【分析】①在BC上截取BH＝BE，连接EH，证明△FAE≌△EHC（SAS），即可解决问题； ②③延长AD到K，使得DK＝BE，证明△CBE≌△CDK（SAS），再证明△GCE≌△GCK（SAS）即可解决问题； ④当时，设DG＝x，则，利用勾股定理构建方程可得x＝1即可解决问题． 【解答】解：如图，在BC上截取BH＝BE，连接EH， ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC，∠EBH＝90°， ∵BE＝BH， ∴△EBH是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴AF＝EH， ∵∠BAD＝90°，∠DAM＝∠EHB＝45°， ∴∠FAE＝∠EHC＝135°， ∵BA＝BC，BE＝BH， ∴AE＝HC， 在△FAE和△EHC中， ， ∴△FAE≌△EHC（SAS）， ∴EF＝EC，∠AEF＝∠ECB，故①正确； 如图，延长AD到K，使得DK＝BE， ∵四边形ABCD为正方形， ∴BC＝CD，∠B＝∠CDK＝∠BAD＝90°， 在△CBE和△CDK中， ， ∴△CBE≌△CDK（SAS）， ∴∠ECB＝∠DCK， ∴∠ECK＝∠BCD＝90°， ∵∠ECB+∠CEB＝90°， ∴∠AEF+∠CEB＝90°， ∴∠FEC＝90°， ∵EF＝CE， ∴∠EFC＝∠ECG＝∠GCK＝45°， 在△GCE和△GCK中， ， ∴△GCE≌△GCK（SAS）， ∴EG＝GK， ∵GK＝DG+DK，DK＝BE， ∴EG＝BE+DG，故③错误； ∴C△AEG＝AE+EG+AG＝AE+AK＝AD+DK+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝4，故②错误； 当时，设DG＝x，则， 在Rt△AEG中，则有， 解得x＝1， ∴AG＝GD，故④正确； 故选：C． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）一元二次方程x2﹣5x＝2（x﹣1）的一般形式为 x2﹣7x+2＝0　 ． 【分析】去括号移项合并同类项化为ax2+bx+c＝0即可得到答案． 【解答】解：去括号得，x2﹣5x＝2x﹣2， 移项得，x2﹣5x﹣2x+2＝0 合并同类项得，x2﹣7x+2＝0， 故答案为：x2﹣7x+2＝0． 【点评】本题考查整式加减、去括号及一元二次方程一般式ax2+bx+c＝0． 12．（3分）在音乐课上某同学发现：音乐也可以有数学问题！如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上，若线段AB＝9，则线段BC的长是　3　 ． 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【解答】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， ∵AB＝9， ∴BC＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查的是平行线分线段成比例，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键． 13．（3分）如图1，一束激光通过玻璃砖时传播路径发生改变．图2是其部分光线示意图，其中四边形ABCD是矩形，点F，G分别在边AD，BC上，EF∥HG．若∠EFD＝27°，则∠BGH的度数为 　27°　 ． 【分析】由矩形性质得AD∥BC，则∠BGF＝∠DFG，再由EF∥HG得∠HGF＝∠EFG，由此可得∠BGH＝∠EFD＝27°． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠BGF＝∠DFG， ∵EF∥HG， ∴∠HGF＝∠EFG， ∴∠HGF﹣∠BGF＝∠EFG﹣∠DFG， ∴∠BGH＝∠EFD， ∵∠EFD＝27°， ∴∠BGH＝27°． 故答案为：27°． 【点评】此题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，熟练掌握矩形的性质，平行线的性质是解决问题的关键． 14．（3分）已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k＝　6或7　 ． 【分析】已知a，b，4分别是一个等腰三角形三边的长，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+k+2＝0的两个根，则k 【解答】解：∵a、b、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长， ∴当a＝4或b＝4时，即x＝4， ∴方程为42﹣6×4+k+2＝0， 解得：k＝6， 当a＝b时，即Δ＝（﹣6）2﹣4×（k+2）＝0， 解得：k＝7， 综上所述，k的值等于6或7， 故答案为：6或7． 【点评】本题考查了根的判别式，一元二次方程的解，等腰三角形的性质，正确地理解题意是解题的关键． 15．（3分）定义：如果三角形有两个内角的差为90°，那么这样的三角形叫做“准直角三角形”．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝2，点D在AC边上，若△ABD是“准直角三角形”，则CD的长为　或　 ． 【分析】分两种情况讨论，由相似三角形的性质和锐角三角函数可求解． 【解答】解：当∠BDA﹣∠DBA＝90°时，如图，过点D作DH⊥AB于H， 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2，AB＝6， ∴AC4， ∵∠BDA﹣∠DBA＝90°，∠BDA＝∠DBC+∠C＝∠DBC+90°， ∴∠DBA＝∠DBC， 又∵DH⊥AB，DC⊥BC， ∴DH＝DC， ∵sinA， ∴DHAD＝DC， ∴DCAC， 当∠BDA﹣∠A＝90°时， ∵∠BDA﹣∠A＝90°，∠BDA＝∠DBC+∠C＝∠DBC+90°， ∴∠A＝∠DBC， 又∵∠C＝∠C， ∴△BCD∽△ACB， ∴， ∴， ∴CD， 综上所述：CD或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（10分）解方程： （1）x2﹣6x﹣4＝0； （2）5x（x﹣3）+2（x﹣3）＝0． 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【解答】解：（1）原方程移项可得： x2﹣6x＝4， 配方得 x2﹣6x+9＝4+9 即 （x﹣3）2＝13， 开方得 ， 解得 ，； （2）原方程提取公因式得 （x﹣3）（5x+2）＝0， ∴x﹣3＝0 或 5x+2＝0， 解得 x1＝3，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握该知识点是关键． 17．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0． （1）求证：此方程总有两个实数根． （2）若该方程的两个实数根为x1，x2，且x1﹣x2=1，求k的值． 【分析】（1）求出Δ＝[﹣（k+5）]2﹣4（6+2k），可知Δ≥0，故总有两个实数根； （2）先求出x1+x2、x1x2的值，联立方程解得x1、x2代入x1x2求k即可． 【解答】（1）证明：由题意，∵一元二次方程x2﹣（k+5）x+6+2k＝0， ∴Δ＝[﹣（k+5）]2﹣4（6+2k） ＝k2+2k+1， ＝（k+1）2≥0， ∴该方程总有两个实数根； （2）解：∵x1﹣x2＝1， 由x2﹣（k+5）x+6+2k＝0可得x1+x2＝k+5，x1x2＝6+2k， ∴x1= ；x2=．代入x1x2得：=0 ∴k=0或k=-2 【点评】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，，是解题的关键． 18．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）以点O为位似中心，画出△ABC的位似图形，使△ABC与其相似比为2：1； （2）在图②中△ABC 的边 AB 上画一个点 P ，使 【分析】（1）根据位似的性质作图，即可得出答案． （2）取格点 M，N，连接 MN，交 AB 于点 P ，连接 AM，BN，此时△AMP ∽△BNP ，由可得 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求。 （2）如图② , 点 P 即为所求。 【点评】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质、位似的性质是解答本题的关键． 19．（9分）材料：顶角为36°的等腰三角形是一种黄金三角形．已知：如图，△ABC为黄金三角形，且∠B为顶角，AB＝8． （1）在BC上取一个点D，使得BD＝AD；（尺规作图，保留作图痕迹） （2）在（1）的基础上，连接AD，求AD的长． 【分析】（1）作边AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，连接AD即可； （2）由等腰三角形的性质求出∠B＝36°，AB＝BC＝8，由外角的性质得∠ADC＝∠B+∠BAD＝72°＝∠C，则△ABC∽△DAC，得，进而即可得出结论． 【解答】（1）在BC上取一个点D，使得BD＝AD，则： 如图所示，作边AB的垂直平分线交BC于D，交AB于E，连接AD， ∴BD＝AD， ∴点D即为所求； （2）由题意可得：∠B＝36°，AB＝BC＝8， ∴∠BAC＝∠C＝72°， ∵BD＝AD， ∴∠B＝∠BAD＝36°， ∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝72°＝∠C， ∴△ABC∽△DAC，AD＝AC， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴AD的长为． 【点评】本题主要考查了尺规作垂直平分线、相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 20．（9分）如图，正方形ABCD中，AB＝3，E是对角线AC上的一点，连结BE，过点E作EF⊥BE交AD于点F． （1）求证：EF＝BE． （2）设△BCE和△AEF的面积分别为S1和S2，若2S1＝3S2，直接写出CE的长． 【分析】（1）过点E作GH∥AB，分别交AD，BC于点G，H，则可得四边形CDGH是矩形，可得GH＝BC，再证GE＝BH，∠FGE＝∠EHB，∠FEG＝∠EBH，可得△HBE≌△GEF，故可得结论； （2）用EH分别表示出S1和S2的值，可求出CE． 【解答】（1）证明：过点E作GH∥CD，分别交AD，BC于点G，H， ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD＝AD，∠D＝∠BCD＝90°， ∵GH∥CD， ∴∠FGH＝∠D＝90°，∠EHB＝∠BCD＝90°， ∴∠DGH＝180°﹣∠FGH＝90°，∠CHG＝180°﹣∠EHB＝90°， ∴∠DGH＝∠CHG＝∠D＝90°， ∴四边形CDGH是矩形， ∴GH＝CD， ∴GH＝BC， ∵∠BHE＝90° ∴∠HBE+∠HEB＝90°， ∵EF⊥BE， ∴∠BEF＝90°， ∴∠HEB+∠GEF＝90°， ∴∠HBE＝∠GEF， ∵AC为正方形的对角线， ∴∠DCA＝∠BCA＝45°， ∵GH∥CD， ∴∠HEC＝∠DCE＝∠HCE＝45°， ∴CH＝EH， ∴BC﹣CH＝GH﹣EH， ∴HB＝GE， 在△HBE和△GEF中， ， ∴△HBE≌△GEF（ASA）， ∴EF＝BE； （2）解：∵△HBE≌△GEF，∴GF＝HE， ∴GF＝HC， ∵四边形CDGH是矩形， ∴DG＝CH， ∴DG＝FG＝EH； 又AD＝AB＝3， 设EH＝a，AF＝3﹣2a， ， ∵2S1＝3S2， ∴2a2﹣11a+9＝0， 解得a＝1，（舍去）， ∴CH＝EH＝1， 在Rt△CHE中，． 【点评】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是根据ASA证明△HBE≌△GEF解答． 21．（9分）我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面MN欣赏悬挂在墙壁PM上的油画AD（PM⊥MN）的示意图，设油画AD与墙壁的夹角∠PAD＝α，此时小然的眼睛与油画底部A处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置E处，且与AD垂直．已知油画的长度AD为100cm． （1）∠ABD的度数为 　2α　 ．（用含α的式子表示） （2）当小然到墙壁PM的距离AB＝250cm时，求油画顶部点D到墙壁PM的距离． （3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁PM，还是不动或者远离墙壁PM？（直接回答即可） 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出AB＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠ABE＝∠DBE，进而得出答案； （2）根据相似三角形的判定证得△ACD∽△BEA，再根据相似三角形的对应边成比例解答即可求出结果； （3）利用（1）可知视角变小，则需要远离墙壁，进而得出答案． 【解答】解：（1）连接BD， ∵AE⊥BE，PM⊥MN，AB∥MN， ∴AB⊥PM， ∴∠PAB＝90°，∠AEB＝90°， ∴∠ABE＝∠PAD＝90°﹣∠BAE＝α， ∵AE＝DE，BE⊥AD， ∴AB＝BD， ∴∠ABE＝∠DBE， ∴∠ABD＝∠DBE+∠ABE＝2α， 故答案为：2α； （2）过点D作DC⊥PM交PM于点C， 由题意得AB＝250cm，AD＝100cm， 则AE＝50cm， ∵∠CAD＝∠ABE＝α，∠ACD＝∠AEB＝90°， ∴△ACD∽△BEA， ∴， ∴， ∴CD＝20（cm）， ∴油画顶部到墙壁的距离CD是20cm； （3）当油画底部A处位置不变，油画AD与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该远离墙壁PM． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用以及视角问题，根据线段垂直平分线的性质得出AB＝BD是解题关键． 22．（10分）如图，把一张长10cm，宽8cm的长方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）． （1）要使无盖长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你认为折合而成的无盖长方体盒子的侧面积有可能等于52cm2吗？请说明理由 （3）当把长方形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的长方形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，它的侧面积（指的是高为剪去的正方形边长的长方体的侧面积）为30cm2时请直接写出结果并画出平面示意图 【分析】（1）可设剪去的正方形边长为xcm，根据无盖长方体盒子的底面积为48cm2，可得方程（10﹣2x）（8﹣2x）＝48求解即可； （2）可设剪去的正方形边长为xcm，根据无盖长方体盒子的侧面积等于52cm2，可得方程2[x（10﹣2x）+x（8﹣2x）]＝52，再根据根的判别式作出判断； （3）可设剪去的正方形边长为xcm，分成两种情况，根据侧面积为30cm2列方程讨论求解． 【解答】解：（1）设剪去的正方形边长为xcm，由题意，得： （10﹣2x）（8﹣2x）＝48， 即x2﹣9x+8＝0， 解得：x1＝8（不合题意，舍去），x2＝1． ∴剪去的正方形的边长为1cm． （2）不可能等于52cm2，理由如下： 设剪去的正方形边长为xcm，由题意： 2[x（10﹣2x）+x（8﹣2x）]＝52， 整理得：2x2﹣9x+13＝0， ∵Δ＝b2﹣4ac＝81﹣4×2×13＜0， 不可能等于52cm2． （3）设剪去的正方形边长为xcm， 若按图1所示的方法剪折， 有：， ∴3x2﹣13x+15＝0， Δ＝b2﹣4ac＝132﹣4×3×15＝﹣11＜0， ∴此方程无解； 若按图2所示的方法剪折， 有：， 整理得：3x2﹣14x+15＝0， 解得：，x2＝3， 当按图2所示的方法剪去的正方形边长为或3cm时，能使得到的有盖长方体盒子的侧面积达到30cm2． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用和根的判别式，找到面积的等量关系是解题的关键． 23．（10分）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的A4纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类A4矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类A4矩形？ 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张A4纸ABCD（AB＜BC）对折一次，使AB与DC重合，折叠过程如图1所示，求证：四边形CDMN是类A4矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片ABCD折叠2次，展开后得折痕BD，DE，再将其沿FG折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形CDFG是类A4矩形； 【拓展延伸】 （3）如图3，四边形ABCD纸片中，AC垂直平分BD，，BD＝20，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA上的点，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上，再沿FG，GH折叠，使得点C，D的对应点分别落在AC，BD上，若四边形EFGH是类A4矩形，请直接写出EF的值． 【分析】（1）先证明，再证明四边形CDMN是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：∠AFG＝∠DFG＝90°，先证明四边形CDFG是矩形，如图3，设CE＝x，CD＝y，则EM＝x，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示CD，CG的长，即可解答； （3）设AC与BD交于点O，分两种情况：或，①如图4，当时，根据△BEF∽△BAC，△CFG∽△CBD，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论． 【解答】（1）证明：设AB＝a，则， 由折叠得，∠AMN＝∠DMN＝90°， ∵AB＝a，四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝a，∠C＝∠D＝90° ∴， ∵∠DMN＝∠C＝∠D＝90°， ∴四边形CDMN是矩形， ∴四边形CDMN是类A4矩形； （2）证明：如图2， 由折叠得：∠AFG＝∠DFG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADC＝∠BCD＝90°，BC＝CD， ∴∠DFG＝∠ADC＝∠BCD＝90°， ∴四边形CDFG是矩形， 如图3， 图3 设CE＝x，CD＝y，则EM＝x， ∵∠CBD＝45°， ∴△BEM是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵BG＝EG，， ∴EGx， ∴， ∴四边形CDFG是类A4矩形； （3）设AC与BD交于点O， ∵AC垂直平分BD， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD纸片沿EF折叠，使得点B的对应点落在BD上， ∴EF∥AC， 同理得：FG∥BD，GH∥AC， ∵四边形EFGH是类A4矩形， ∴或； ①如图4，当时，， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴，， ∴， ∵FG∥BD， ∴△CFG∽△CBD， ∴， ∴， ∴， ∴BF＝CF， ∴， ∴； ②如图5，当时，， 由①同理得：△BEF∽△BAC，△CFG∽△CBD， ∴，即， ∴， ∵△CFG∽△CBD， ∴，即， ∴， ∴， ∴CF＝2BF， ∴， ∴； 综上，EF的长为或． 【点评】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和判定，新定义类A4矩形的理解和运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质和新定义的运用是解本题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $