精品解析：河南省开封市杞县弘德初级中学　2025-2026学年上学期九年级数学十二月月考试卷

弘德中学九年级上册第十二次质量检测 注意事项： 1.共三大题，23小题，满分120分，答题时间：100分钟； 2.请用黑色签字笔直接答在试卷上，密封线外禁止答题． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 已知抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，－2），那么该抛物线有（ ） A. 最小值－2 B. 最大值－2 C. 最小值1 D. 最大值1 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的开口向下和其顶点坐标为（1，－2），根据抛物线的性质可直接做出判断． 【详解】因为抛物线开口向下和其顶点坐标为（1，-2）， 所以该抛物线有最大值-2； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的最值和性质，求二次函数的最大（小）值有三种方法：第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法． 2. 对于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 它的图象在第一、三象限 C. 点(-3，-1)在它的图象上 D. 函数图象关于原点中心对称 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象与性质逐项判断即可得． 【详解】反比例函数 它的图象在第一、三象限，且关于原点中心对称，则选项B、D正确 在每个象限内，y随x的增大而减小，则选项A错误 当时， 即点在它的图象上，则选项C正确 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记反比例函数的图象与性质是解题关键． 3. 有下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】满足角分别对应相等，边分别对应成比例的两个多边形相似，根据判定方法逐一判断即可. 【详解】解：所有的等腰三角形不一定满足角分别对应相等，边分别对应成比例，所以所有的等腰三角形不一定相似，故①不符合题意； 所有的等边三角形满足角分别对应相等，边分别对应成比例，所以所有的等边三角形都相似，故②符合题意； 所有的正方形满足角分别对应相等，边分别对应成比例，所以所有的正方形都相似，故③符合题意； 所有的矩形满足角分别对应相等，不一定满足边分别对应成比例，所以所有的矩形不一定相似，故④不符合题意； 故符合题意的有：②③ 故选B 【点睛】本题考查的是多边形相似的判定，掌握“多边形相似的判定方法”是解题的关键. 4. 在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦和余弦的平方和等于1求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选B ． 【点睛】本题考查锐角三角函数的性质，熟练掌握正弦函数与余弦函数的平方和等于1的性质是解题关键． 5. 若，相似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形面积比等于相似比的平方即可得到结论． 【详解】解：∵的相似比是1：3， ∴△ABC和△DEF的面积比为1：9． 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，熟记性质内容是解题的关键． 6. 如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定法则依次判断即可，掌握相似三角形的判定法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴，故B选项不符合题意； ∵，， ∴，故C选项不符合题意； ∵，， ∴无法证明，故D选项不符合题意； 故选：D． 7. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：9，则S△BDE：S△CDE的值是（ ）． A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：5 【答案】A 【解析】 【分析】根据DE∥AC 可得到△DOE∽△COA和△DBE∽△ABC，再根据相似三角形的性质即可得出，再根据同高三角形的面积比等于底之比即可求出． 【详解】∵DE∥AC ∴△DOE∽△COA，△DBE∽△ABC ∵S△DOE：S△COA=1：9 ∴ ∴ ∴ ∴S△BDE：S△CDE=1：2 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质，准确记住面积比等于相似比平方是解题关键． 8. 下列事作中，必然事件是（ ） A. 通常温度降到以下，纯净的水结冰 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 汽车累积行驶5000公里，出现故障 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 【答案】A 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小依次判断即可． 【详解】解：温度降到0摄氏度以下，纯净的水一定会结冰，是必然事件， 故A符合题意． 射击运动员射击一次，命中靶心可能会发生，也有可能不发生，是随机事件， 故B不合题意． 汽车累计行驶5000公里，从未出现故障，可能会发生，也有可能不发生，是随机事件， 故C不合题意． 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，可能会发生，也有可能不发生，是随机事件． 故D不合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查必然事件，理解各事件的含义，判断它们发生的可能性大小是求解本题的关键． 9. 如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻增大，则电流为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设先求出的值，从而得出反比例函数解析式，再将代入反比例函数即可得出答案． 【详解】解：电流是电阻的反比例函数， 设 把，代入，得 电阻增大 把代入，得 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握欧姆定律是解题的关键． 10. 如图，AB和CD是⊙O的两条互相垂直的弦，若AD＝4，BC＝2，则阴影部分的面积是（　　） A. 2π﹣1 B. π﹣4 C. 5π﹣4 D. 5π﹣8 【答案】B 【解析】 【分析】如图，连接AC，连接AO并延长，交⊙O于E点，连接DE，根据垂径定理和圆周角定理，即可求得∠CAB＝∠EAD，得出CB＝DE＝2，将弓形BC旋转到弓形DE的位置，两块阴影部分面积之和为半圆面积减去△ADE的面积，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接AC，连接AO并延长，交于点，连接DE ∵AB⊥CD， ∴∠CAB+∠ACD＝90°， ∵AE是直径， ∴∠ADE＝90°， ∴∠AED+∠EAD＝90°， 又∵∠ACD＝∠AED， ∴∠CAB＝∠EAD， ∴CB＝DE＝2， ∴AE＝， 将弓形BC旋转到弓形DE的位置，两块阴影部分面积之和为半圆面积减去△ADE的面积， 即． 故选B． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形的面积，解题的关键与难点在于明确将弓形BC旋转到弓形DE的位置，两块阴影部分面积之和为半圆面积减去△ADE的面积． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若x = 1是一元二次方程x2 +(m - 1)x - 2 = 0的解，则m的值是 _____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的意义，把x=1代入原方程得到m的一次方程，然后解一次方程即可． 【详解】解：把x=1代入x2 +(m - 1)x - 2 = 0得， 1+m-1-2=0， 解得m=2． 故答案为2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB缩小为原来的，则点B的对应点的坐标是________. 【答案】(－2，) 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心且在点O的异侧，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于解答． 【详解】以O为位似中心且在点O的异侧，把△OAB缩小为原来的， 则点B的对应点的坐标为， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是位似变换的性质，平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 13. 如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是10米，已知网高是0.9米，要使球恰好能打过网，且落在离网5米的位置，则拍击球的高度h为_____米． 【答案】2.7 【解析】 【分析】因为人和球网是平行的，所以题中将有一组相似三角形，根据对应边成比例，列方程即可解答． 【详解】解：如图： ∵AB∥CD， ∴△ABE∽△CDE， ∴CE：AE＝CD：AB ∴5：15＝0.9：AB ∴h＝AB＝2.7米． 故答案为：2.7． 【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求出球拍击球的高度h，体现了转化的思想． 14. 如图，P是双曲线y =（x＞0）的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y=3相切时，点P的坐标为________． 【答案】（2，2）或（1，4）． 【解析】 【详解】试题分析：利用切线的性质以及反比例函数的性质即可得出，P点的坐标应该有两个求出即可. 试题解析：（1）设点P的坐标为（x，y）， ∵P是双曲线y=（x＞0）的一个分支上的一点， ∴xy=k=4， ∵⊙P与直线y=3相切， ∴p点纵坐标为：2， ∴p点横坐标为：2， ∵⊙P′与直线y=3相切， ∴p点纵坐标为：4， ∴p点横坐标为：1， ∴x=1或2， P的坐标（1，4）或（2，2）. 考点：反比例函数综合题． 15. 如图，已知OABC的顶点A，B分别在反比例函数y= (x>0)和y= (x>0)的图象上．若OABC的面积为6，则k=______． 【答案】3 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得AB∥x轴，然后设A、B的纵坐标为m，用m表示A、B的横坐标，进而求得AB，再根据平行四边形的面积公式即可列出方程，进一步即可求得k的值． 【详解】解：设A（，m）， ∵四边形OABC是平行四边形， ∴AB∥x轴， ∴B（，m）， ∴AB＝， ∵▱OABC的面积为6， ∴AB•m＝6，即， ∴k＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和平行四边形的面积公式，关键是由平行四边形的面积列出方程． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据化简绝对值，计算负整数指数幂，以及特殊角的三角形函数值进行计算求解即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，化简绝对值，负整数指数幂、实数的混合运算，正确的计算以及牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 17. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以4cm/s的速度移动，如果点、分别从点、同时出发，经几秒钟与相似？试说明理由． 【答案】2或秒，理由： 设经秒钟与相似， 则，， ∵，， ∴， ∵是公共角， ∵①当，即时，， 解得：； ②当，即时，， 解得：， ∴经2或秒钟与相似． 【解析】 【分析】首先设经秒钟与相似，由题意可得，，，又由是公共角，分别从与分析，即可求得答案． 【详解】解：略． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．此题难度适中，属于动点型题目，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 18. 如图，正方形的边长为2，，线段的两端在上，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质；正方形的性质．先根据勾股定理求出，再利用三角形全等即可求解． 【详解】∵正方形的边长为2，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 解得． 19. 如图，A、B、C是半径为2的⊙O上三点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长线ED交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF与相切； （2）若，求的值． 【答案】（1） 证明：连接OD，如图所示： ∵OA=OD， ∴∠OAD=∠ODA， ∵AD平分∠EAF， ∴∠DAE=∠DAO， ∴∠DAE=∠ADO， ∴OD∥AE， ∵AE⊥EF， ∴OD⊥EF， ∴EF是⊙O的切线； （2）cos∠EAD＝ 【解析】 【分析】（1）连接OD，由OA=OD知∠OAD=∠ODA，由AD平分∠EAF知∠DAE=∠DAO，据此可得∠DAE=∠ADO，继而知OD∥AE，根据AE⊥EF即可得证； （2）根据勾股定理得到OF=6，根据平行线分线段成比例定理和三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在Rt△ODF中，OD=2，DF=4， ∴OF==6， ∵OD∥AE， ∴， ∴， ∴AE=， ∴EF=， ∴AD＝＝＝， ∴cos∠EAD＝． 【点睛】本题考查了切线的判定，角平分线的定义，圆周角定理，平行线分线段成比例定理，求角的余弦，正确的识别图形是解题的关键． 20. 如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成双曲线的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长． 【答案】10.2米． 【解析】 【分析】用待定系数法解得双曲线的解析式，继而解得点D的坐标，得到的长，最后根据矩形的性质解题即可． 【详解】解：∵OC=5，BC=1.8， ∴点B的坐标是（1.8，5），代入，得， ， ∴双曲线的解析式为， ∵DE=0.75， ∴设点D的坐标为（m，0.75），并代入，得 ， 解得m=12， 即OE=12， ∵四边形OABC是矩形， ∴OA=BC=1.8 ∴AE=OE-OA=12−1.8=10.2（米） 答：B、D之间的水平距离为10.2米． 【点睛】本题考查反比例函数的实际应用，涉及矩形的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图形与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作轴，垂足为H，，，点B的坐标为． （1）求的周长； （2）求该反比例函数和一次函数的解析式； （3）写出不等式的解集． 【答案】（1）12 （2）反比例函数的解析式为y＝；一次函数的解析式为y＝x＋1． （3）x≤−4或0＜x≤6． 【解析】 【分析】（1）根据正切函数，可得AH的长，根据勾股定理，可得AO的长，根据三角形的周长，可得答案； （2）根据待定系数法，可得函数解析式； （3）写出反比例函数的图象在一次函数的图象的下方的点的自变量的取值范围即可； 【小问1详解】 解：由OH＝3，，得AH＝4．即A（−4，3）． 由勾股定理，得AO＝＝5， ∴△AHO的周长＝AO＋AH＋OH＝3＋4＋5＝12； 【小问2详解】 解：将A点坐标代入y＝（k≠0），得k＝−4×3＝−12， 反比例函数的解析式为y＝； 当y＝−2时，−2＝，解得x＝6，即B（6，−2）． 将A、B点坐标代入y＝ax＋b，得， 解得， 一次函数的解析式为y＝x＋1． 【小问3详解】 解：观察图象可知：一次函数的值大于或等于反比例函数的值时：x≤−4或0＜x≤6． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 22. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为4． （1）求抛物线的解析式与直线l的解析式； （2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； （3）若点Q是抛物线上的点，且，请直接写出点Q的坐标． 【答案】（1） （2）S最大值为， （3）Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入，由待定系数法可得抛物线的解析式为，由即得，设直线l解析式为，代入，即可得直线解析式为； （2）过P作轴交于K，设，则，即得，故面积，从而可知当时，S取最大值， （3）分两种情况，Q点在下方、x轴正半轴上时；Q点在上方、x轴负半轴上时，分别解决问题． 【小问1详解】 解：将代入得： ，解得， ∴抛物线的解析式为， 在中，令得， ， 设直线l解析式为，将代入得： ，解得， ∴直线l解析式为； 【小问2详解】 过P作轴交于K，如图： 设，则， ， ∴面积， ∵， ∴当时，S取最大值，最大值为，此时； 【小问3详解】 当Q在直线上方时，过A作交射线于M，过M作轴于N，过D作轴于N，如图： ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， ， ， ，由得直线为：， 解得（与D重合，舍去）或， ∴； 当Q在直线下方时，过点A作交于T，过A作轴，过D作于R，过T作于S，如图： 　 同理可证， ， ， ∴直线解析式为， 由得（舍去）或， ， 综上所述，Q的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的最值解决三角形面积、等腰直角三角形性质及应用等知识，分类讨论和转化的思想，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，联立方程求解，综合运用这些知识点是解题关键． 23. 如图，在锐角中，，高，矩形的一边在边上，、分别在、上，交于点． （1）当，求的长． （2）当为何值时，矩形的面积为？ 【答案】（1）；（2）当时，矩形的面积为． 【解析】 【分析】（1）先证明∽，则，然后设，表示出需要的线段，代入计算，即可求出答案； （2）设，则，由，得到，然后根据矩形的面积公式，结合解一元二次方程，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴∽， ∴， ∵AD⊥BC， 在矩形中，有 ， 设， ∴，， ∴， 解得：； ∴． （2）由（1）可知∽， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴矩形的面积为：； ∵矩形的面积为，即， ∴ 解得：； ∴当时，矩形的面积为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 弘德中学九年级上册第十二次质量检测 注意事项： 1.共三大题，23小题，满分120分，答题时间：100分钟； 2.请用黑色签字笔直接答在试卷上，密封线外禁止答题． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 已知抛物线的开口向下，顶点坐标为（1，－2），那么该抛物线有（ ） A. 最小值－2 B. 最大值－2 C. 最小值1 D. 最大值1 2. 对于反比例函数，下列说法中不正确的是（ ） A. y随x的增大而减小 B. 它的图象在第一、三象限 C. 点(-3，-1)在它的图象上 D. 函数图象关于原点中心对称 3. 有下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有的正方形都相似；④所有的矩形都相似，其中正确的有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 在RtΔABC中，若∠C=90°，cosA=，则sinA的值为（ ） A. B. C. D. 5. 若，相似比为，则与的面积比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，点D，E分别在边上，下列条件中不能判断的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：9，则S△BDE：S△CDE的值是（ ）． A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：5 8. 下列事作中，必然事件是（ ） A. 通常温度降到以下，纯净的水结冰 B. 射击运动员射击一次，命中靶心 C. 汽车累积行驶5000公里，出现故障 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 9. 如图，是一个闭合电路，其电源电压为定值，电流是电阻的反比例函数，当时，，若电阻增大，则电流为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，AB和CD是⊙O的两条互相垂直的弦，若AD＝4，BC＝2，则阴影部分的面积是（　　） A. 2π﹣1 B. π﹣4 C. 5π﹣4 D. 5π﹣8 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 若x = 1是一元二次方程x2 +(m - 1)x - 2 = 0的解，则m的值是 _____． 12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，在点O的异侧将△OAB缩小为原来的，则点B的对应点的坐标是________. 13. 如图，小伟在打网球时，击球点距离球网的水平距离是10米，已知网高是0.9米，要使球恰好能打过网，且落在离网5米的位置，则拍击球的高度h为_____米． 14. 如图，P是双曲线y =（x＞0）的一个分支上的一点，以点P为圆心，1个单位长度为半径作⊙P，当⊙P与直线y=3相切时，点P的坐标为________． 15. 如图，已知OABC的顶点A，B分别在反比例函数y= (x>0)和y= (x>0)的图象上．若OABC的面积为6，则k=______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1） （2） 17. 如图，在中，，，点从点开始沿边向点以2cm/s的速度移动，点从点开始沿边向点以4cm/s的速度移动，如果点、分别从点、同时出发，经几秒钟与相似？试说明理由． 18. 如图，正方形的边长为2，，线段的两端在上，若，求的长． 19. 如图，A、B、C是半径为2的⊙O上三点，AB为直径，∠BAC的平分线交圆于点D，过点D作AC的垂线交AC的延长线于点E，延长线ED交AB的延长线于点F． （1）求证：直线EF与相切； （2）若，求的值． 20. 如图是某游乐园“水上滑梯”的侧面示意图，其中BD段可看成双曲线的一部分，矩形OABC是向上攀爬的阶梯部分．以O为中心建立平面直角坐标系，使点A和点C分别落在x轴和y轴的正半轴上．已知OC=5米，入口平台BC=1.8米，滑梯的出口D点到水面的距离DE为0.75米（O、A、E在一条直线上）．求B、D之间的水平距离AE的长． 21. 在平面直角坐标系中，一次函数的图形与反比例函数的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于C点，过点A作轴，垂足为H，，，点B的坐标为． （1）求的周长； （2）求该反比例函数和一次函数的解析式； （3）写出不等式的解集． 22. 如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C．直线l与抛物线交于两点，与y轴交于点E，点D的横坐标为4． （1）求抛物线的解析式与直线l的解析式； （2）若点P是抛物线上的点且在直线l上方，连接，求当面积最大时点P的坐标及该面积的最大值； （3）若点Q是抛物线上的点，且，请直接写出点Q的坐标． 23. 如图，在锐角中，，高，矩形的一边在边上，、分别在、上，交于点． （1）当，求的长． （2）当为何值时，矩形的面积为？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $