湖北武汉市光谷汤逊湖高级中学2026-2027学年第一学期高二数学10月月考试题

高二数学10月月考数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A 0 D C 6 A 0 ABD AC 题号 11 答案 AD 1.A 【详解】在áABC中，由正弦定理可得V3 √2 sin60°-sin ,解得sinC=2 , 由于c=√2<b=V3,则C<B=60°，即C为锐角，故C=45°. 2.C 【分析】由复数的除法法则化简复数后，再根据其几何意义得结论： i+2_i+2-1-i)_-i+1-2-2i__13 【详解】台0--1-司2 22 ,对应点坐标为分多 ),在第三象限， 3.D 【分析】根据平面向量垂直的充要条件是向量数量积为0，先求向量ā-6坐标，再列方程求解m, 【详解】已知a=(1,2),b=(m,l),故ā-b=(（1-m,2-1)=(1-m,1), 根据两非零向量垂直的充要条件可得：（a-ba=0, 则(1-m)×1+1×2=0,整理得3-m=0,解得m=3. 4.c 【详解】解：样本数据14,16,18,20,21,22,24,28，共8个， (8+1)×0.75=6.75,由于位置非整数，取第6和第7个值的平均， 故第三四分位数为2+24=23. 2 5.B 【分析】取CD中点E,连接PE,求出PE的取值范围，再根据PC.PD=(PE+EC(PE+ED)结合数 量积的运算律求解即可。 【详解】取CD中点E,连接PE, 答案第1页（共11页） 因为ABCD是边长为2的正方形，动点P在以AB为直径的半圆上， 所以当P在A点或B点时，PE取得最大值√5， 当P在弧AB中点时，PE取得最小值1， PE的取值范围为[l,V5], 又因为P元.Pm-(P死+EcPe+D),c=-D=)Dc,DC-2, 所以PCPD=PE2-PEEC+ECPE-EC =PBP-DCP=PB-1, 因为PE的取值范围为[1,5]， 所以PE的取值范围为[，5]，PCPD的取值范围为[0,4]， 故选：B 6.A 【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M,根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M,之后 从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系， 从而得出正确的选项 【详解】设新农村建设前的收入为M,而新农村建设后的收入为2M, 则新农村建设前种植收入为0.6M,而新农村建设后的种植收入为0.74M,所以种植收入增加了，所以A 项不正确： 新农村建设前其他收入我0.04M,新农村建设后其他收入为0.1M,故增加了一倍以上，所以B项正确： 新农村建设前，养殖收入为0.3M,新农村建设后为0.6M,所以增加了一倍，所以C项正确： 新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和占经济收入的30%+28%=58%>50%，所以超过了经济 收入的一半，所以D正确： 故选A. 点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即 可得结果 答案第2页（共11页） 7.C 【详解】AC=AC+CC=AB+AD+AA, AC=(4B+AD+)=AB+AD++24B.AD+24B.44+2AD.44 =1+49+2xx2+2x3x0+2x2x3x}=0, 所以体对角线AC的长为√O D A B C 8.C 【分析】分别取BC、AB、AS的中点E、F、G,连接EF、EG、FG、EA、ES,由题意可得∠GFE 或其补角即为异面直线SB与AC所成角，再由余弦定理即可得解. 【详解】分别取BC、AB、AS的中点E、F、G,连接EF、EG、FG、EA、ES,如图： G 由SB=SC=AB=AC=BC=a,可得EA=BS= 2, 所以LM,G=Se-G 2 由中位线的性质可得FG18且G=SB-=0,PE1MC且FE=号4C=)。 2 21 所以∠GFE或其补角即为异面直线SB与AC所成角， 在入GE中0sGFE=GP2+EF2-GE=4a+4a4a2一b2 2GF.EF 2xx9 2a2 22 所以异面直线SB与AC所成角的余弦值为 a2-b2 2a2 故选：C. 9.ABD 答案第3页（共11页） 【分析】由必然事件，不可能事件，互斥事件，对立事件的定义即可求解. 【详解】必然事件：在一定条件下一定发生的事件： 不可能事件：在一定条件下一定不发生的事件，发生的概率为0： 互斥事件：在一次试验中不能同时发生的两个事件，且满足A∩B=☑： 对立事件：在一次试验中，两个事件有且仅有一个发生，且满足A∩B=O且AUB=2(2为样本空间)， 对于A选项，连续投10次骰子，“连续投出10个1”是有可能发生、也有可能不发生的事件， 属于随机事件，并非必然事件，故A的说法错误，符合题干要求： 对于B选项，已知产品的次品率为。则该批产品存在次品，任取99件时9件全是次品”是概率很小但 仍有可能发生的事件， 属于随机事件，并非不可能事件，故B的说法错误，符合题干要求： 对于C选项，因为对立事件要求两个事件不能同时发生，所以对立事件一定是互斥事件， 但互斥事件仅仅要求不能同时发生，不需要满足“两个事件的并集是整个样本空间”， 因此互斥事件不一定是对立事件，故C的说法正确，不符合题干要求： 对于D选项，两个事件的积事件是不可能事件，仅仅能说明两个事件为互斥事件， 但它们的并集不一定是整个样本空间，因此不一定是对立事件，因此D的说法错误，符合题干要求。 10.AC 【分析】利用空间向量基底的概念与向量和向量间的位置关系逐项判断即可. 【详解】解：对A,若向量ā，与空间任意向量都不能构成基底，只能这两个向量为共线向量，即ā∥b, 故A正确； 对B,若非零向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则a与的关系不确定，故B错误： 对C,若OA,OB,OC是空间的一组基底，且OD=0A+OB+OC,则 OD-0A=O丽-0+OC-0A),即D=B+4AC,可得4，B,C,D四点共面，故c正确： 对D,因为向量a+b=(c+a)-(c-b),所以a+b,-b,c+a共面，不是空间的一组基底，故D不正 确。 故选：AC 11.AD 【分析】先利用线线平行的传递性求得∠ABC为异面直线A,B与AD,所成角，再在△ABC中利用余弦定理 即可得解判断A,根据线面角的定义证明∠DAD为直线AD与平面ABCD所成角，解三角形求其余弦即 可判断B,对于C,结合条件可得等价于求正四棱柱ABCD-ABCD的外接球半径，结合长方体性质可求 答案第4页（共11页） 半径，由此即可判断，对于D,由条件结合内切球性质求半径即可判断 【详解】对于A,因为在正四棱柱ABCD-AB,CD中，AB/ICD,AB=CD, 所以四边形ABCD,是平行四边形，则AD //BC, 所以∠ABC,为异面直线AB与AD所成角， D C 由已知AA=2AB=2,四边形AB,CD为正方形，AB=AB,BB⊥平面ABC,D, 在△ABC中，4C=V54B=V2,AB=√BB+AB=V5,则BC=V5, 由余弦定里用如4彩号A正确 对于B,因为DD⊥平面ABCD,所以∠DAD为直线AD与平面ABCD所成角， 在△DAD中，AD=AB=1,DD,=AA=2,AD=V5, 所以os∠DAD==5 55 。即直线仙与平面BCD所成角的余弦值为B错误 三棱锥D,-ABC的外接球也是正四棱柱ABCD-AB,C,D,的外接球， 正四棱柱ABCD-ABCD,的外接球的半径为MB+AD+-6,C错误， 2 设三棱锥D,-ABC的内切球半径为r,三棱锥D,-ABC的表面积为S,体积为V, 由"-m00-2=分 11 3 3 5-及a+8m+8m+55分5+y5-25, 所以写+5)，所以=5-2，D正确 12.061号 答案第5页（共11页） 【分析】根据互斥事件的概率加法公式，求得P(4)=04,再由对立事件的概率公式，即可求解. 【详解】因为事件A与事件B互斥，则P()=P(AUB)-P(B)=0.6-0.2=0.4, 又因为P(A)+P()=1,所以P(A)=1-P(4)=1-0.4=0.6. 故答案为：0.6. 13.(4,1,6) 【分析】先由向量p在基底{a+b,a-b,ā+2©下的坐标，写出p关于ā+b,a-b,ā+2c的线性组合，再整 理成关于ā，b,c的一个线性组合，即得向量p在基底{a,b,}下的坐标 【详解】因向量p在基底{a+b,ā-b,ā+2d下的坐标是(1,0,3)， 则p=a+b)+0a-b)+3(a+2c)=4a+b+6c, 故向量p在基底{ā，b,c}下的坐标是(4,1,6 故答案为：(4,1,6) 身 【详解】由题可知01=08=0C=l,20A+30B=-40C, 则(20A+30B=(-40C,即40+9o+120A.oB=16oc， 所以o1.oB=} 所以oA.B=0A-(oB-0A)=0A.0B-0=1=-} 15.(1) 8 15 (2) 小明的选择合理 【分析】(1)根据古典概型的概率公式计算挑战成功概率： (2)利用对立事件的概率关系求解方案二的成功概率，通过两方案概率比较判断选择的合理性. 【详解】(1)记4张“绿色食品知识卡”分别为a,b,c,d,记2张“生物医药知识卡”分别为e,∫. 则从6张卡片中一次性抽取2张，样本空间为2={ab,ac,ad,ae,qf,bc,bd,be,bf,cd,ce,gf,de,d,ef 记参观者在方案一中挑战成功为事件A, A=fae,af,be,bf,ce,cf,de,df, 答案第6页（共11页） 所以-8 即方案一挑战成功的概率为 15 (2)设小明选择方案二挑战成功为事件B,其对立事件B为3道题全部答错. 由已知得，每道题答错的概率为14-子且各题回答结果相互独立 所以P(B) 27 64 所以P(B)=1-P()=1-27_37 6464 又37-555 8512 64960 ’15960 即37、8 64>151 所以方案二挑战成功概率更高，因此小明的选择合理. 16.(1)平均数是88：85%分位数是120 (2)217.4 【分析】(1)利用所有数据频率之和为1算出[70,90]的频率，再根据平均数和分位数的概念直接计算即可. (2)直接利用分层抽样方差公式计算即可. 【详解】(1)[70,90频率为1-0.0125×20-0.0075×20-0.005×20-0.005×20=0.4， 所以该组数据的纵坐标为04 =0.02,补齐的直方图如图： 20 频率 组距 0.0200 0.0175 0.0150 0.0125 0.0100 0.0075 0.0050 507090110130150成绩/分 平均数为0.0125×20×60+0.02×20×80+0.0075×20×100+0.005×20×120+0.005×20×140=88， 因为前三组的频率之和0.0125×20+0.02×20+0.0075×20=0.8， 而前四组的频率之和0.0125×20+0.02×20+0.0075×20+0.005×20=0.9， 所以第85%分位数为第四组数据的中点即120， (2)设第三组的平均数是x,权重为@，方差为s2,设第四组的平均数是x2,权重为@2，方差为s, 3 2 两组的平均数是无，万差为2，由直方图可知则Q必马，则三+好X94+22406 5 答案第7页（共11页） 根据分层抽样方差公式得：产=@[子+（民-门+[号+（医-门-引+12）+2+18)=2174 .c- (2)5+V万 (3)2+2W5,6] 【分析】(1)由正弦定理和三角恒等变换求得cosC以及C的值： (2)由三角形的面积公式和余弦定理，即可求得△ABC的周长： (3)利用正弦定理和三角恒等变换，结合正弦函数的性质，即可求得周长的取值范围. 【详解】(1)已知等式利用正弦定理化简得：2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC, 整理得：2 cosCsin(A+B)=sinC,C∈(0，π)，sinC≠0，sin(A+B)=sinC, .cosC=1 又0<c<,C= （2)由余弦定理得7=G+-2aba+bP-3ab=7, :s=5如c=56=35,b=6,a+b-18=7,a+h=5, -ab=. 4 2 ∴△ABC的周长为5+√7. (3)由正弦定理得。=6三。=4 sn1 sinnsinG万，可得a=有。 inA,b=4 sinB, 3 ∴.a+b+c= sin4+4 sinB+2=4 3 4+-小2 in4+4og .π =2v3sinA+2cosA+2=4sinA+ +2, 6 “△ABC为锐角三角形，且C=π， 3 0<A< 工0个2，<1←万，3—632(2文石/≤1， 2 则 6 ·2 ∴a+b+c∈(2+2V5,6,aABC的周长取值范围是(2+25,6 18.(I)证明：因为点P在底面ABCD上的射影是AC与BD的交点O, 所以PO⊥平面ABCD,因为ACC平面ABCD,所以PO⊥AC, 又因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC, 因为PO∩BD=O,且PO,BDC平面PBD,所以AC⊥平面PBD. @好 答案第8页（共11页） 3)26 【分析】(I)由题可得PO⊥平面ABCD,所以PO⊥AC,根据菱形的性质可得BD⊥AC,再根据线面垂 直的判定定理即可证明： (2)由PO⊥平面ABCD,得到∠PCO是直线PC与平面ABCD所成角，在直角△POC中，即可求解； (3)设点D到平面PBC的距离为h,根据'o-Pac=Vnc,列出方程，即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：因为PO⊥平面ABCD,所以直线PC与平面ABCD所成角，即为∠PCO, 又因为菱形ABCD的边长为2且∠BAD=60°，可得△BCD为等边三角形，且BD=2, 因为△PD8是等边三角彩，所以P0=9D=点×2=5。 2 2 在直角aPOC中，可得an∠PCO=PO-5 -0c5 =1, 因为∠PCOe0,,所以∠PC0= 4 (3)解：由题意，可得△ABD,△BCD与△PBD都是边长为2是等边三角形， 所以P0=A0=C0=V5,且SAn=)x2xV5=5, 所以PC=VP02+C02=√6， 图为r-c-2,所以5w6-图-， 3ac·Op, 设点D到平面PBC的距离为h,由%rx=Kc,可得SxA= 即5h=5×5,解得h=2匝 2 5 所以点D到平面PBC的距离为2 5 19.(1)[1,3] (2号 (3)存在，2(0,2) 【分析】(1)将f(x)变成已知条件的形式，再根据“和谐向量”及向量的模的坐标公式计算即可得解； (2)设a=(2cosa,2sina),b=(2cosB,2sinB),再求出OG,再根据“和谐函数的定义结合三角恒等变换 化简函数(x),再根据三角函数的性质即可求出S,即可得解： 答案第9页（共11页） (3)结合(1)求出“和谐向量”，进而可得m(x),g(x)的解析式，设出点2的坐标，再根据数量积的坐 标公式，计算分析即可得解. 【详解】(1)f(x)=2cosx+cos(x+O=2cosx+cosxcos0--sin xsin =-sin@sinx+(2+cos0)cosx, 所以函数f(x)的“和谐向量”向量而=（-sin0,2+cos0), @=sin20+(2+cos0)2=4c0s0+5, 因为cos0∈[-1,1，所以4cos0+5∈[l,9], 所以@的取值范围为[1,3]： (2)a=(2cosa,2sina),b=(2cos B,2sin B) 则OG=1a+b=(2(cosa+μcosB),2(2sina+4sinβ)， 所以p(x)=2(2cosa+4cosB)sinx+2(2sina+μsinB)cosx =2(cosasinx+sinacosx)+2u(cos Bsinx+sin Bcosx) =2asin(x+a)+2usin(x+B) ≤2+2μ， +a=+2k元 此时存在x。,满足了 2 ,当且仅当x=x时取等号，其中k,k2∈Z, 6+B=+2k元 所以a-B=2(k-k2)π，即a=b,所以a=B+2km,k∈Z, 所以p(x)的最大值S=21+2μ， 所似货分 (3)由(1)知，当cos0=-1时，最小，此时=(0,1)， 所以m)=cosx8()=2cos5 设gx2eos引令1=2os克1e-2,2习 则M0=(x+2,1-3),N0=(x-2,1-6), 因为Mg.Ng=0, 答案第10页（共11页） 所以(x+2)(x-2)+(1-3)(1-6)=0,即x2+12-9t+14=0, 所以(--至-(0，所以-3即2s1s7, 而1∈[-2,2]，则1=2，当且仅当x=0时，等式()成立， 所以在y=g(x)的图象上存在一点Q(0,2),使得M@·N0=0 【点晴】关键点点睛：理解“和谐向量”和“和谐函数”是解决本题的关键 答案第11页（共11页)2026年高二数学10月月考试卷 一、单选题 1.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C所对的边，若B=60°，b=V3,c=√2，则C=() A.45° B.30° C.45°或135° D.60° 2.复数+2在复平面内对应的点位于《) i-1 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知向量a=(,2),i=(m,l),且(a-b)1a,则实数m=() A.-5 B.-3 c.5 D.3 4.样本数据14,16,18,20,21,22,24,28的上四分位数为（) A.16 B.17 C.23 D.24 5.如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆上（正方形ABCD内部，含边界）， 则PC.PD的取值范围为() A.[0,2] B.[0,4 c.[0,3] D.[0, 6.某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍.实现翻番.为更好地了解该地区农村的 经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例.得到如下饼图： 第三产业收入 第三产业收入 28% 6 种植 60% 4 其他收入 种植 5%其他收入 收入 收入 37% 30% 30% 养殖收入 养殖收入 建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例 则下面结论中不正确的是 A.新农村建设后，种植收入减少 B.新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 7.在平行六面体ABCD-AB,C,D中，AB=1,AD=2,AA=3,且AB与AD的夹角为60°，AB与AA的 试卷第1页（共4页） 夹角为90°，AA与D的夹角为120°，则体对角线AC的长度为() A. B.2V2 C.10 D.2W5 8.如图，在三棱锥S-ABC中，SB=SC=AB=AC=BC=a,SA=b,则异面直线SB与AC所成角的余 弦值是（) A.B2-a2 B.a2-62 -t a2 2a2 2a2 D.I-2 二、多选题 9.下列说法错误的有() A.连续投10次骰子，“连续投出10个1”是必然事件 B。已知一批产品的次品率为，从中任取99件，9件全是次品是不可能事件 C.对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件 D.如果两个事件的积事件是不可能事件，那么这两个事件一定是对立事件 10.下列关于空间向量的命题中，正确的有() A.若向量a,b与空间任意向量都不能构成基底，则ā∥b B.若非零向量a,b,c满足a⊥b,b⊥c,则有a⊥c C.若O1,0B,0C是空间的一组基底，且0D=01+号05+号0c,则，B,C,D四点共面 D.若向量a,b,c是空间的一组基底，则a+b,c-b,c+ā也是空间的一组基底 11.已知正四棱柱ABCD-AB,CD中，AA=2AB=2,则() A.异面直线4B与4D所成角的余弦值为 B.直线AD,与平面ABCD所成角的余弦值为25 C.三棱锥D,-ABC的外接球的半径为√ D.三棱锥D-ABC的内切球的半径为√5-2 三、填空题 试卷第2页（共4页） 12.若事件A与事件B互斥，且P(AUB)=0.6,P(B)=0.2,则P(A=一 13.定义：设{a,a,a}是空间的一个基底，若向量方=xa+ya+z4,则称有序实数组(x,y,2)为向量p在 基底a,a2,4下的坐标.已知{a,b,c是空间的基底，若{ā+b,ā-b,ā+2c是空间的另一个基底，若向量p 在基底a+b,ā-b,ā+2c下的坐标是(1,0,3)，则向量D在基底{a,b,下的坐标是 14.单位圆0的内接△ABC,满足20A+30B+40C=0,则OAAB= 四、解答题 15.为普及普洱本土特色产业与科创知识，普洱市科技馆开展“绿色科创体验周科普活动，设置了两个活 动方案，参观者可任选一个方案进行挑战，若挑战成功将获得一份纪念品， 方案一：准备4张“绿色食品知识卡”（涵盖普洱茶、咖啡、热带水果、特色农产品）和2张“生物医药知识卡” (涵盖中药材种植、生物制造产业)，参观者从6张卡片中一次性随机抽取2张，如果两张卡片类型不同（即 一张绿色食品知识卡、一张生物医药知识卡)，则挑战成功， 方案二：回答3道关于普洱特色产业的问题，若至少答对1道题，则挑战成功. (1)求参观者在方案一中挑战成功的概率： (②如果小明选择方案二，已知他每道题答对的概率均为牙，且每道腿的回答相互独立。你觉得他的选择是 否合理？请通过计算说明你的理由， 16.2024年4月25日，搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭在酒泉卫星发射中心成功 发射，航天员叶光富、李聪、李广苏开始了他们的太空征程.为纪念中国航天事业所取得的成就，发掘并 传承中国航天精神，某市随机抽取2000名学生进行了航天知识竞赛，将成绩（满分：150分）整理后分成 五组，从左到右依次记为[50,70)，[70,90)，[90,110)，[110,130)，[130,150]，并绘制成如图所示的频率分 布直方图 频率 个组距 0.020 0.0175 0.0150 0.0125 0.0i00 0.0075 0.0050 507090110130150成绩/分 (1)补全频率分布直方图，并估计这2000名学生成绩的平均数、求85%分位数（求平均值时同一组数据用 该组区间的中点值作代表)： (2)现从以上各组中采用分层抽样的方法抽取200人，若第三组中被抽取的学生成绩的平均数为94，方差 为1，第四组中被抽取的学生成绩的平均数为124，方差为2，求这200人中分数在区间[90,130)的学生成 试卷第3页（共4页） 绩的方差. 17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA=c. (1)求角C的值 (2)若c=V万，△ABC的面积为35 求△ABC的周长。 (3)若△ABC为锐角三角形，且c=2,求△ABC的周长取值范围. 18.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，平面ABCD外一点P在平面ABCD上的射影是AC与BD的 交点O,△PDB是等边三角形 D B (I)求证：AC⊥平面PBD: (2)求直线PC与平面ABCD所成角的大小； (3)求点D到平面PBC的距离， 19.已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，定义函数f(x)=psinx+qcosx的“和谐向量”为非零向量 o=(p,q),0=(p,9)的“和谐函数”为f(x)=psinx+qcosx.记平面内所有向量的“和谐函数构成的集合为 2 (1)已知0∈R,f(x)=2cosx+cos(x+0),若函数f(x)为集合T中的元素，求其“和谐向量”模的取值范围： (2已知日-月-2，设0G=a+6(2>0,4>0),且oG的和谐函数为@(，其最大值为S,求2 S (3)已知M(-2,3),N(2,6),设(1)中的“和谐函数”的模取得最小时的“和谐函数”为m(x),g(x)=2m 试问在y=g(x)的图象上是否存在一点Q,使得M@·NQ=0,若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明 理由 试卷第4页（共4页）