精品解析：湖北省新八校联盟2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内所对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 3. 平行六面体中，为与的交点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 4. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，若能构成空间的一个基底，则不能是（ ） A. 3 B. 5 C. 1 D. 7 6. 如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥，事件与事件相互对立 B. ，但事件，，两两独立 C. ，且事件，，两两相互独立 D. 7. 设的内角，，的对边分别为，，，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 是空间中任意一点，若互不相等的单位空间向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为，，，．由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有（ ） A. B. 直线不过边的中点 C. D. 若，则 11. 如图1，在直角梯形中，，，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点、不重合），是上的动点（与点、不重合），则（ ） A. B. 平面 C. 不存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为 D. 若点在平面内，当时，最小 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则实数的值为________． 13. 已知向量，满足，，，则________． 14. 的内角，，的对边分别为，，，若，且的面积为，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若点在上，满足，，求面积的最大值． 16. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为67，方差是9；落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ，，；，，．记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 17. 如图，在四棱锥中，侧棱平面，底面四边形是矩形，，点，分别为棱，上靠近点的三等分点，点在棱上，． （1）求证：直线平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成的夹角的余弦值． 18. 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局计分规则： ①三人手势全部相同：每人各得分；②三人只出现两种手势：赢的人得分，输的人负分；③三人三种手势都出现：三人均得分． 当任意一人得分分时游戏结束，得分最高者获胜．已知三人之间及每局游戏之间互不影响． （1）求甲在一局中得分的概率； （2）求游戏经过两局后甲恰好得分且为唯一获胜者的概率． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． （1）已知直线过点且方向向量为，直线过点且方向向量为，求直线与所成角的余弦值； （2）已知平面：，平面外一点．若直线过点且与平面垂直，求直线与平面的交点坐标； （3）（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）的夹角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（是虚数单位）的共轭复数在复平面内所对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数几何意义求解. 【详解】，共轭复数，所以共轭复数在复平面内所对应的点坐标为. 2. 若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设直线与平面所成的角为，则，由线面角的向量公式得，所以． 3. 平行六面体中，为与的交点，设，，，用，，表示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】 如图，. 4. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响．若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式与独立事件的概率乘法公式计算即得. 【详解】设该同学在笔试中结果为优秀为事件,实验操作中结果为优秀为事件，则， 因“该同学在这次测试中至少一项测试结果为优秀”为“该同学在这次测试中两项测试结果均不是优秀”的对立事件， 故其概率为. 5. 已知，，，若能构成空间的一个基底，则不能是（ ） A. 3 B. 5 C. 1 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间基底概念，三个向量可构成基底等价于向量不共面；反向假设三向量共面，利用共面向量定理设出线性组合，建立方程组求出共面时对应的值，该值即为不能取的值． 【详解】若不能构成空间的一个基底， 则共面，即存在，使得， 即， 所以，解得， 所以若能构成空间的一个基底，则． 6. 如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥，事件与事件相互对立 B. ，但事件，，两两独立 C. ，且事件，，两两相互独立 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先写出事件对应的样本点，利用集合交集判断互斥与对立，通过交事件概率与概率乘积是否相等判断事件独立性，统计并集样本点个数计算，逐一判定各选项正误． 【详解】对于A，因为事件所含的样本点为，事件所含的样本点为，事件所含的样本点为， 因为事件都包含样本点，所以事件与事件不互斥，A错误； 对于B，因为所含的样本点为，所以， 又，所以，B错误； 对于C，因为所含的样本点，所以， 又，所以，即事件与事件不独立，C错误； 对于D，因为所含的样本点为，所以，D正确． 7. 设的内角，，的对边分别为，，，且，若角的内角平分线，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由题中条件，结合余弦定理求出，，再由是角平分线，利用求出，根据基本不等式求出最小值，再计算向量数量积即可. 【详解】，，，， 又，， 化简得， 即，当且仅当时等号成立， . 8. 是空间中任意一点，若互不相等的单位空间向量满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将目标式转化为数量积表达式，通过空间基底分解向量，结合对勾函数的性质与向量互异条件即可求得取值范围． 【详解】设，由题意知，且相邻向量夹角均为， 故， ， 令，， 因为不共线（否则矛盾），所以它们可作一组基底， 设为垂直于所在平面的单位法向量， 由空间向量基本定理，可设， 则， 解得（因向量互不相等，所以）， 同理，由于且，设， 解同样的方程组可得， 因此，， 由得， 解得，同理， 因为各向量互不相等，若，则，矛盾，故 又因为，所以，故， 结合向量夹角范围，得， 由于 ， 因为是单位法向量，所以分别是在法向量方向上的坐标， 又因为，它们在基底上的分量也一样， 所以法向量上的分量只能相等或互为相反数， 若，则，与题意矛盾，舍去， 故必有，即， 代入得， 令， 因为，令，则， 由对勾函数性质，当，即时，取得最小值0， 当或时，，故， 因此，即的取值范围为． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分．共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 有一组样本数据，，…，，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为，，，．由这组数据得到新样本数据，，…，，其中，其平均数、中位数、标准差、极差分别记为，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】由题意得，，，，， 故ABC正确，D错误. 10. 已知点为所在平面内一点，且，则下列选项正确的有（ ） A. B. 直线不过边的中点 C. D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，将用和表示，将用和表示，代入题干式子中即可求解；对于B，先假设直线过边的中点，利用向量共线关系得出矛盾，即可说明B选项正确；对于C，利用题干等式构造，使得点为的重心，得到，，面积相等，再利用三角形面积公式即可得到和的面积关系；对于D，将题干所给式子平方，再将题干式子两边同时点乘和，即可求解. 【详解】 对于A，已知， 因为，， 所以， 即， 即，故A错误. 对于B， 设的中点为， 假设直线过边的中点， 则与共线， 因为，， 所以与不共线，假设不成立， 所以直线不过边的中点，故B正确. 对于C， 如图，在延长线上取点，使得， 在延长线上取点，使得， 在延长线上取点，使得， 因为， 所以， 所以点是的重心， 所以， 因为，， 所以，， 因为，， 所以，， 所以，故C错误. 对于D，因为， ， 所以， 因为， 两边平方得：， 即， 即， 对式子两边同时点乘得： ， 对式子两边同时点乘得： ， 联立上述式子，解得，， 所以，故D正确. 11. 如图1，在直角梯形中，，，，为的中点，将沿折起，使得点到达点的位置，且平面平面，如图2，为的中点，是上的动点（与点、不重合），是上的动点（与点、不重合），则（ ） A. B. 平面 C. 不存在点，使得平面与平面的夹角余弦值为 D. 若点在平面内，当时，最小 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，建立空间直角坐标系，证明即可；B选项，证明和平面的法向量平行即可；C选项，假设存在点，利用平面和平面夹角公式计算，验证点在线段上即可；D选项，找到点关于平面对称的点，当时，最小，再计算长度即可. 【详解】由题可知，，平面平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，所以建立如图所示的空间直角坐标系，设， 则，，，，，，. A选项， ，， 则，所以，所以A选项正确； B选项，，，设平面法向量为， 则，即：，所以，令得， 所以，则，所以平面，所以B选项正确； C选项，平面， 所以是平面的法向量， ，设平面的一个法向量为， 则，即：，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 则平面与平面的夹角余弦值， 解得：，即：， 所以存在使得平面与平面的夹角余弦值为，所以C选项错误； D选项，，， 设为关于平面的对称点， 则，点在上移动， 问题转化为求到直线的最短距离， 不妨设，则点， ， 令，得：，解得：，此时， 所以， 即：当时，最小，所以D选项正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数是关于的实系数方程的一个根，则实数的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用实系数的一元二次方程的根的性质列式求解. 【详解】依题意，也是关于的实系数方程的一个根， 由韦达定理，,解得. 13. 已知向量，满足，，，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】由，得. 展开平方：， 代入，得，，得. 所以. 14. 的内角，，的对边分别为，，，若，且的面积为，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理将边角关系化为角的关系，确定；再结合面积公式与余弦定理建立边长约束，转化为两个正数乘积为定值的问题，利用基本不等式求最小值并检验取等条件． 【详解】由正弦定理，化为． 因为，所以，代入上式，并由，得，即． 由，得，所以，即． 由面积条件，，得，故． 由三角形不等式和，得且，所以且． 由余弦定理，，代入， 得，即，因，故，即． 因为且，由基本不等式得， 当且仅当，即，时等号成立． 此时取，则，，， 且，故三边构成的三角形满足及题设两式，因此的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求； （2）若点在上，满足，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用向量的线性运算、结合基本不等式、三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， ，． ，，，． ，． 【小问2详解】 ，，， 又，，， ，当且仅当时，等号成立， 的面积， 即面积的最大值为． 16. 某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数； （2）成绩位列前的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； （3）已知落在内的平均成绩为67，方差是9；落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为： ，，；，，．记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差） 【答案】（1）平均数为71分，众数为75分． （2）84分． （3）平均成绩为71，方差为． 【解析】 【小问1详解】 一至六组的频率分别为0.10，0.15，0.15，0.30，0.25，0.05， 平均数， 由图可知，众数为75． 以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分． 【小问2详解】 前4组的频率之和为，前5组的频率之和为， 则第分位数落在第5组，设为， 则，解得． “防溺水达人”的成绩至少为84分． 【小问3详解】 的频率为0.15，的频率为0.30， 所以的频率与的频率之比为． 的频率与的频率之比为． 设内的平均成绩和方差分别为，依题意有． ， 所以内的平均成绩为71，方差为． 17. 如图，在四棱锥中，侧棱平面，底面四边形是矩形，，点，分别为棱，上靠近点的三等分点，点在棱上，． （1）求证：直线平面； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）在（2）的条件下，求平面与平面所成的夹角的余弦值． 【答案】（1）方法一：因为，分别为棱，的三等分点， 所以，连接，，交于点， 连接，，则， 因为，所以，且， 所以，因此. 又在中，，，所以. 又因为平面，平面，且， 所以平面． 方法二：以为原点，、、所在直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则：，，，，，， 所以，，． 记为平面的一个法向量， 则，令，则，. 因为，所以， 又平面，所以平面. （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）解法一：先由线段成比例得，进而得及，再由线段成比例得，由线面平行的判定定理可得；解法二：建立空间直角坐标系，并求平面的法向量，再用向量的方法证明线面平行可得； （2）直接用向量的方法计算线面角的正弦可得； （3）直接用向量的方法计算面面角的余弦可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，，，， 记为平面的一个法向量， 则，， 令，则，． 记直线与平面所成角为， 由，，， 则． 因此，直线与平面所成角的正弦值为 【小问3详解】 由(1)(2)知，为平面的一个法向量，，， 记为平面的一个法向量， 则，令，则，， 记平面与平面所成角为， 则． 因此，平面与平面所成夹角的余弦值为. 18. 甲、乙、丙三人玩“剪刀、石头、布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局计分规则： ①三人手势全部相同：每人各得分；②三人只出现两种手势：赢的人得分，输的人负分；③三人三种手势都出现：三人均得分． 当任意一人得分分时游戏结束，得分最高者获胜．已知三人之间及每局游戏之间互不影响． （1）求甲在一局中得分的概率； （2）求游戏经过两局后甲恰好得分且为唯一获胜者的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）总基本事件数有种结果，甲分时该局甲是输家且只有两种手势，有三种情况：乙丙手势相同胜甲有种、甲乙手势相同败于丙有种、甲丙手势相同败于乙有种，一共种，从而可得所求事件的概率； （2）由（1）知甲单局得分的概率为，甲两局均得分的概率为，同时这两局中乙总分小于且丙总分小于，结合对立事件的概率公式得乙、丙均未达到分的概率为，再结合概率的乘法公式可得所求事件的概率. 【小问1详解】 三人每局出手，总基本事件数：种结果，且每种结果出现的可能性相等． ①三人手势完全相同(同剪刀、同石头、同布)：共种，每人分，概率； ②仅两种手势： 甲得分：乙丙手势相同败于甲有种、甲乙手势相同胜丙有种、甲丙手势相同胜乙有种： 共种，甲得分的概率． 甲得分：乙丙手势相同胜甲有种、甲乙手势相同败于丙有种、甲丙手势相同败于乙有种： 共种，甲得分的概率． ③三种手势全部出现：种，所有人得分，概率． 甲得分，本局只有两种手势，甲为输家，乙丙手势相同且战胜甲有种， 或者甲乙为输家有种或者甲丙为输家有种， 一共种情况，此时概率． 因此甲在一局中得分的概率. 【小问2详解】 甲两局总分等于，单局最高得分，故甲只能第一局、第二局都得分． 由（1）知，甲单局得分的概率为，因此两局甲均得分的概率为：． 当甲单局得分时，乙、丙的得分有三种等可能情形： ①乙得分，丙得分；②乙得分，丙得分；③乙、丙均得分，每种概率． 要使甲为唯一获胜者，要求乙总分小于且丙总分小于． 乙总分：两局都是“乙得分，丙得分”，概率； 丙总分：两局都是“乙得分，丙得分”，概率． 因为在甲两局总分等于条件下，乙、丙不可能同时总分， 因此在甲两局总分等于条件下，乙、丙均未达到分的概率：． 因为甲、乙、丙三人的得分相互独立，且各局游戏之间互不影响， 由概率的乘法公式得： 因此游戏经过两局后甲恰好得分且为唯一获胜者的概率为． 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程表示为． （1）已知直线过点且方向向量为，直线过点且方向向量为，求直线与所成角的余弦值； （2）已知平面：，平面外一点．若直线过点且与平面垂直，求直线与平面的交点坐标； （3）（ⅰ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积； （ⅱ）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体相邻两个面（有公共棱）的夹角的大小． 【答案】（1） （2） （3）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）利用向量夹角公式可求得直线与所成角的余弦值； （2）求得平面的法向量，设直线方程为：，利用点在平面内可求得，可求得直线与平面的交点坐标； （3）（ⅰ）利用圆柱的体积公式可求得几何体的体积；（ⅱ）由图象的特点只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，进而求得两个平面的法向量，利用向量法可求得几何体相邻两个面（有公共棱）的夹角的大小． 【小问1详解】 设直线与所成角为．由题意，直线的方向向量， 直线的方向向量， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为． 【小问2详解】 平面：的法向量为． 因为直线平面，所以直线的方向向量与平面的法向量平行，可取方向向量为． 又因为直线过点，设直线方程为：， 令，则，，， 代入平面的方程：，整理得：， 将代入，可得交点坐标：，， 所以直线与平面的交点坐标为． 【小问3详解】 （ⅰ）几何体S是底面圆的半径为2，高为的圆柱， 故几何体S的体积为． （ⅱ）的图象是一个完全对称的图象， 所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可， 此时，，，得， 画出第一卦限图象，计算平面，的二面角， 所以两个平面的法向量分别为，， 则其二面角的夹角余弦值为， 所以几何体相邻两个面(有公共棱)的夹角的大小为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $