高二数学上学期期中分层模拟·能力进阶卷（沪教版）

2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·全解全析 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知向量 ，，则 ______． 【答案】 【详解】因 ，，则， 故. 2．一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为________. 【答案】 【详解】设圆锥的母线长为，因为圆锥的高，底面圆的半径为， 可得， 所以圆锥形草垛的侧面积为. 3．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为______． 【答案】 【详解】如图所示，因为四边形为正方形，所以， 因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，故为直角三角形， 同理为直角三角形． 因为，，所以， 所以四棱锥的表面积， 体积． 设内切球半径为，则，得， 故四棱锥内切球的体积为． 故答案为：. 4．如图，在平行六面体中，点为与的交点，若，，，且，则________． 【答案】 / 【详解】因点为与的交点，则, 于是 ，则， 故. 5．如图，是利用斜二测画法画出的水平放置的（为直角）的直观图，点在轴上，，若的面积为，则________． 【答案】 【详解】设的高为， 则，解得， 由题意可知，所以， 由斜二测画法可知，，， 所以. 6．庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 【答案】640 【详解】如图，已知，，， 过点F作平面ABCD，垂足为O，连接OB，OC，Q为BC的中点，连接FQ， 因为，所以，，所以为平面BCF与底面所成的角，则，所以，则， 则该刍甍的体积（）． 故答案为：640 7．已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 【答案】1 【详解】因为直线平面，所以，又， 所以存在实数使得， 即，所以， 解得，所以． 故答案为：. 8．已知圆锥的底面周长为 ，侧面积为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为_____ 【答案】 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为. 由底面周长和侧面积可得，解得. 如图所示， 设当截面过中心轴时，，， 圆锥轴截面（过顶点和底面直径的截面）的顶角为. 由余弦定理，则顶角是钝角. 过圆锥顶点的截面都是以顶点为顶角、两条母线为腰的等腰三角形， 设其顶角为，取值范围是， 则截面面积.而在上单调递增， 因此当时，取到最大值， 此时截面面积最大. 9．如图①，在中，，分别为，上的点，，，，．如图②，将沿折起，当平面平面时，点到平面的距离为________． 【答案】/ 【详解】由得，所以， 因为平面平面，，平面，平面平面，所以平面， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 所以点到平面的距离为， 故答案为： 10．如图，长方体的底面是边长为的正方形，棱，则二面角的大小为_________ 【答案】 【详解】设，连接、，则为的中点， 因为底面是边长为的正方形，且， 则，可得，， 可知二面角的平面角为， 在中，，，则， 可得，则， 所以二面角的大小为. 11．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，且，，为的中点，平面交于点，则______． 【答案】 【详解】设，，，则. 因为，，，所以为等腰直角三角形， 则，即. 因为，，，则， . 因为为的中点，则，， 所以. 设，则，. 因为四点共面，所以共面， 所以存在实数，使得， 即， 因为不共面， 所以，解得. 所以. 12．如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段上的动点，点在上，且，，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】设的中点为，，取点在上，且，则. 因为平面，所以， ，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面平面， 所以取中点，过点作平面的垂线，垂足为，则在上. ，且平面， 点的轨迹为以为球心，以为直径，即的球与平面的相交圆弧. ， ，， ， 由， 得点到平面的距离为. 所以到平面的距离为， 所以相交圆半径， 点轨迹为在平面中的以为圆心，为半径的圆弧， ， 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．长方体的体积是60，若为的中点，则三棱锥的体积为（    ） A．10 B．20 C．5 D． 【答案】C 【详解】设长方体的长，宽，高， 则. 因为为的中点，所以， 底面为直角三角形，其面积. 又平面，故为三棱锥底面上的高， 进而. 14．已知两个平面互相垂直．下列命题中 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【详解】①不正确，因为没有这条直线垂直于它们的交线这个条件， 所以这条直线不一定垂直于另一个平面， 因而它也就不一定垂直于另一个平面内的任意一条直线； ②正确，无论这一条直线与它们的交线平行或者相交， 另一个平面内与两平面交线垂直的直线都垂直于第一个平面， 因而也垂直于这个平面内的该已知直线； ③不正确，这个命题中没有强调在平面内作交线的垂线， 过一点作一条直线的垂线有无数条， 只有在两个互相垂直的平面的一个面内作它们交线的垂线， 这条垂线才垂直于另一个平面. 故选：C． 15．球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】设截面圆半径为，球的半径为， 则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即此距离为， 根据截面圆的周长可得，得，故，得， 所以球的表面积． 如图，，且，则球冠的高， 得所截的一个球冠表面积， 且截面圆面积为， 所以工艺品的表面积． 故选：B. 16．在正三棱台中，．若点P满足，则面积的最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【详解】设， 因为，所以在等腰梯形中， 故，， 因为，所以， 则，因为，所以，则， 则， 则， ， 故点到直线的距离为， 故面积为， 故当时，面积有最小值，最小值为. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； 【详解】(1)证明：如图，连接，交于点，则为的中点．连接， 因为是的中点，所以， 3分 又平面，平面， 所以平面． 6分 （2）因为底面为菱形且，故为等边三角形， 则； 9分 由，且三棱锥与三棱锥底面积相同， 因为是的中点，则三棱锥的高是三棱锥的高的二倍， 11分 ． 14分 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在长方体中，，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)若，求与平面所成的角的正弦值． 【详解】(1)证明：在长方体中，平面， 又平面，所以. 2分 在长方体中，， 所以四边形是正方形，所以. 4分 又，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 6分 （2）记，连接. 由（1）可知平面，所以为直线与平面所成的角. 8分 因为，所以， 因为四边形是正方形，所以. 在中，，， 所以. 10分 在中，，， 所以. 13分 所以与平面所成的角的正弦值为． 14分 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在平行四边形中，为与的交点，且，平面. (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的表面积. 【详解】(1)证明：因为平面，平面， 所以. 2分 因为，， 所以平面. 4分 因为平面, 所以平面平面. 6分 （2）因为四边形是平行四边形，， 所以四边形是菱形， 设， 因为，所以， 由余弦定理得，， 所以，， 8分 因为平面，平面， 所以， 则是直角三角形. 因为，G为中点， 所以， 则， ， 即， 解得，即，，，, 10分 在三个直角三角形，，中， 由勾股定理得，三条斜边， 在等腰三角形中，过点E作于点F， 则， 12分 所以. , ， 所以三棱锥的表面积. 14分 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 如图，在三棱柱中，点、分别为、的中点，平面与平面相交于． (1)求证： (2)已知，，，，，，求证：； （3）在第（2）问的条件下，若为中点，为上动点，求三棱锥的体积． 【详解】(1)如图，取的中点，连接, 因分别为、的中点.，则 ， 又，故， 所以四边形为平行四边形，所以， 2分 又平面，平面，所以平面， 又平面平面，平面， 所以； 4分 (2)因为，，， 所以平行四边形为正方形，即， 又，平面， 所以平面，即三棱柱为直三棱柱， 6分 又因为，，，由，可得， 在直三棱柱中，因平面，平面，则， 8分 又平面，故平面， 因平面,故； 10分 （3）由（1）知， 所以，故， 12分 又为中点，所以， 由（ⅰ），已得平面， 故 15分 所以 即三棱锥的体积为. 18分 21、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 如图，四边形为矩形，，，，，，将矩形四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． (1)证明：平面． (2)若E为棱上的动点，求异面直线与所成角的余弦值的取值范围． (3)设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 【详解】（1）因为，，所以，． 2分 因为，所以． 又，平面，所以平面． 4分 （2）过点作，垂足为，过点作，交于点． 因为平面平面，平面平面，所以平面． 5分 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示．在中，， 在中， ，，则，， 所以，． 因为，所以点G与点F重合，则． 7分 设，，则． 因为，所以． 9分 令，则． 因为，所以，则， 所以，则所求取值范围为． 10分 （3）设四棱锥外接球的球心为，半径为． 可得矩形对角线的交点为， 则底面． 12分 设．由，得， 解得，则，． 14分 因为， 所以G与Q两点之间的距离的最大值为． 18分 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分)。 4π 1、√26 2、8πm2) 3、3 1 4、-40.25 5、2 6、640 2626 7、1 8、50 9、3/3 √65-1 10、 x-arccos G 3 11、3 12、4 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一 个正确答案 13 14 15 16 C 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤 17、(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 【详解】(I)证明：如图，连接AC,交BD于点O,则O为AC的中点.连接OE, 因为E是PC的中点，所以OEIIPA, 3分 又OEC平面BDE,PA平面BDE, 所以PA川平面BDE. .6分 1/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)因为底面为菱形且CD=BD=2,故△BCD为等边三角形， 则San=xCDxBCxsin-5】 2 9分 由e=m-sm,且三棱链P-BCD与三棱锥E-BCD 面积相同， 因为E是PC的中点，则三棱锥P-BCD的高是三棱锥E-BCD的高的二倍，11分 -x5x2 1 3 23. .14分 18、(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) ABCD-ABCD DD⊥、 【详解】(1)证明：在长方体 中， 平面1BCD 又4Cc平面MBCD,所以D ,DD⊥AC 2分 ABCD-ABCD 在长方体 中，AB=BC=2 所以四边形ABCD是正方形，所以BD1AC4分 DDn8D=D,DD,BDC平面D,D88,所以1C上平面 DDBB 又4Cc平面EAC,所以平面 DBB 平面 EAC .6分 (2)记BD∩AC=O,连接OE 由(1)可知AC⊥平面DDBB,所以∠AE0为直线AE与平面DDBB所成的角8分 因为B=BC=2,所以4C=VB+BC=25 因为四边形ABCD是正方形，所以A0=)AC=V反 在Rt△ADE中，AD=BC=2,DE=3, 所以E=VAD+DE=V2+3=5 10分 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在Rt△MOE中，A0=2,AE=VE n∠AE0=40-V2_V26 所以 AE 1313 .13分 √26 所以AE与平面DDBB所成的角的正弦值为13. 14分 D E B B 19、(本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分) 【详解】(I)证明：因为BE⊥平面ABCD,ACC平面ABCD, 所以BE上AC. .2分 因为AC⊥BD,BEBD=B, 所以AC⊥平面BED… 4分 因为ACcC平面AEC, 所以平面AEC1平面BED6分 (2)因为四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD, 所以四边形ABCD是菱形， 设AB=BC=CD=x, 因为∠BCD=60°，所以∠ABC=120°， 由余弦定理得4C=V5x.BD=x 所以 G=GC-3 x GB=GD=X 2 2, 8分 3/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为BE⊥平面ABCD,BGC平面ABCD, 所以BE⊥BG, 则△BEG是直角三角形， 因为AE⊥EC,G为AC中点， 所o4C=4G- -x 2”, B=VEG2-BG=2 则 2, xAC.GD-BE. VE-ACD=3*2 6x-6 即243， 解得x=2,即4B=BC=BD=AD=2,AC=25.EB=V2.DG=1 10分 在三个直角三角形EBA,EBD,EBC中， 由勾股定理得，三条斜边 AE=EC=ED=6 在等腰三角形EAD中，过点E作EF⊥AD于点F, B 则4F 所以S,ED=SBcn 2*2x5=v5 EA.EC-x/6x/6-3 1 S.EAC=2 2 3m-分4c0c-x251-=5, 4/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以三棱锥E-ACD的表面积=S,Bo+S.m+S,c+Sam=3+25+V5 .14分 20、(本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) 【详解】(I)如图，取AB的中点D,连接ED,FD, 因E,F分别为AC、BC的中点，则FD1IAC,FD= AC 又EC14C,EC=4C,放BC1FD,EC=FD. FDEC EI/FC 所以四边形 为平行四边形，所以 。。。。。。。。。。。。。。。 .2分 F平面BE,DEc平面4B6,所以PC∥平面4BE 又平 BCC8平面MBE=,FCC平百BCC8 平面 FC lI 所以 4分 AA=2 AC=2 AC=AC (2)因为 ACCA C⊥AC 所以平行四边形 为正方形，即 又GC⊥BC,BC∩AC=C,BC,ACc平面ABC, 所以CC+平面48C,即三枝 ABC-4B,C为直三棱柱， .6分 又因为4C-2,MB=5,BC=,由48+BC2=4C,可 AB⊥BC 5/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在直三棱 ABC-ABC中，因 B,⊥ ABCABC平面 平面 8C,则8LA0 8分 BBBC=B,BB BCC BCC B BCCB 平面 ,故B上平面 因Cc CCB,,AB⊥FC 平面 ,故 10分 DE//FC (3)由(1)知 所以3om=Sam,故'o-c, 又D为B中点，所以所=4m==西， 由(1)，已得MB上平面 CCB 故s号5.4×B=×2x1x2x5 1 32 3 15分 6 √5 即三棱锥B一QFC的体积为618分 21、(本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分) AP⊥ABDP⊥CD 【详解】(1)因为 所以AB⊥PA.CD⊥PD 2分 因为ABIICD,所以AB⊥PD. 6/8 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又PA∩PD=P,PA,PDc平面PAD,所以AB⊥平面PAD, 4分 (2)过点P作PO⊥AD,垂足为O,过点O作OF IIAB,交BC于点F. ZA D F(G) 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADn平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD.5分 以O为坐标原点，OF,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.在 4PAB中，PA=V32-2=V5 在PAD中， P02+A02=5,P0+6-40=8,则A0=1,P0=OD=2, 所以P00,2).40,-10) ,所以点G与点F重合，则G(2,0,0). 7分 设E(a2,0),0≤元≤2，则 PE=(2,2,-2) PE.AG 因为4G=2L0y所以osPE,4G- 21+2 PE AG2+85.9分 22+2 2 1 则2+855V-)2+85 29 +1=1el,3]” 因为1≤t≤3，所以3t 21+2 √10√15 √10√15 所以V2+85 105,则所求取值范围为10’5 10分 7/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 P-ABCD 02 (3)设四棱锥 外接球的球心为，半径为R 可得矩形ABCD对角线的交点为 002⊥1 ABCD 则 底面 .12分 设m 9 1 . 由0A=0,P,得V1+4 m2=1+ +(m-2)2 4 R-04- 2 14分 因为0c-2-旷+0-0--5， ,G+R=v6+4 所以G与Q两点之间的距离的最大值为 2 ，18分 8/8………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用。 5．难度系数：0.7 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知向量 ，，则 ______． 2．一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为________. 3．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为______． 4．如图，在平行六面体中，点为与的交点，若，，，且，则________． 第4题 第5题 5．如图，是利用斜二测画法画出的水平放置的（为直角）的直观图，点在轴上，，若的面积为，则________． 6．庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 7．已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 8．已知圆锥的底面周长为 ，侧面积为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为_____ 9．如图①，在中，，分别为，上的点，，，，．如图②，将沿折起，当平面平面时，点到平面的距离为________． 10．如图，长方体的底面是边长为的正方形，棱，则二面角的大小为_________ 11．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，且，，为的中点，平面交于点，则______． 第11题 第12题 12．如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段上的动点，点在上，且，，则的最小值为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．长方体的体积是60，若为的中点，则三棱锥的体积为（    ） A．10 B．20 C．5 D． 14．已知两个平面互相垂直．下列命题中 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 15．球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 16．在正三棱台中，．若点P满足，则面积的最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在长方体中，，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)若，求与平面所成的角的正弦值． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在平行四边形中，为与的交点，且，平面. (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的表面积. 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 如图，在三棱柱中，点、分别为、的中点，平面与平面相交于． (1)求证： (2)已知，，，，，，求证：； （3）在第（2）问的条件下，若为中点，为上动点，求三棱锥的体积． 21、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 如图，四边形为矩形，，，，，，将矩形四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． (1)证明：平面． (2)若E为棱上的动点，求异面直线与所成角的余弦值的取值范围． (3)设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二上学期期中模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：沪教版空间直线与平面+简单几何体+空间向量及其应用。 5．难度系数：0.7 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。 1．已知向量 ，，则 ______． 2．一个圆锥形草垛高为米，底面圆的半径为2米，则该圆锥形草垛的侧面积为________. 3．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为______． 4．如图，在平行六面体中，点为与的交点，若，，，且，则________． 第4题 第5题 5．如图，是利用斜二测画法画出的水平放置的（为直角）的直观图，点在轴上，，若的面积为，则________． 6．庑殿顶是中国传统建筑中等级最高的屋顶形式之一，形态为四面斜坡，有一条正脊和四条斜脊，《九章算术》中将类似庑殿顶的几何体称为“刍甍”（图1）．据记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广（袤：南北方向长度；广：东西方向长度）”，其体积公式为：（上袤下袤）广高．如图2所示，刍甍是底面为矩形的五面体，顶部是一条与底面平行的正脊，四条斜脊长度相等，若下袤为，广为，上袤是下袤的，和与底面所成角均为，则该刍甍的体积为________． 7．已知平面的一个法向量为，若直线平面，则___________. 8．已知圆锥的底面周长为 ，侧面积为 ，则过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为_____ 9．如图①，在中，，分别为，上的点，，，，．如图②，将沿折起，当平面平面时，点到平面的距离为________． 10．如图，长方体的底面是边长为的正方形，棱，则二面角的大小为_________ 11．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，且，，为的中点，平面交于点，则______． 第11题 第12题 12．如图，在三棱锥中，为正三角形，平面，点为线段上的动点，点在上，且，，则的最小值为___________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑. 13．长方体的体积是60，若为的中点，则三棱锥的体积为（    ） A．10 B．20 C．5 D． 14．已知两个平面互相垂直．下列命题中 ①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③过一个任意点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面 正确命题的个数是（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 15．球面被平面所截得的一部分叫做球冠（如图）.球冠是曲面，是球面的一部分.截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.阿基米德曾在著作《论球与圆柱》中记录了一个被后人称作“Archimedes’Hat-BoxTheorem”的定理：球冠的表面积（如上图，这里的表面积不含底面的圆的面积）.某同学制作了一个工艺品，如下图所示.该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为，则该工艺品的表面积为（    ） A． B． C． D． 16．在正三棱台中，．若点P满足，则面积的最小值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．16 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤. 17、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，四棱锥的底面是菱形，平面，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； 18、 （本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在长方体中，，为上一点． (1)求证：平面平面； (2)若，求与平面所成的角的正弦值． 19、（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分） 如图，在平行四边形中，为与的交点，且，平面. (1)证明：平面平面； (2)若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的表面积. 20、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分） 如图，在三棱柱中，点、分别为、的中点，平面与平面相交于． (1)求证： (2)已知，，，，，，求证：； （3）在第（2）问的条件下，若为中点，为上动点，求三棱锥的体积． 21、（本题满分18分，本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分， 第3小题8分） 如图，四边形为矩形，，，，，，将矩形四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． (1)证明：平面． (2)若E为棱上的动点，求异面直线与所成角的余弦值的取值范围． (3)设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $