专题01 共线、共面、平行、垂直关系相关问题8大题型47题（期中专项训练）高二数学上学期沪教版

专题01 共线、共面、平行、垂直关系相关问题 基础·固本强基 题型一、共线、共面的证明 题型二、有关平行、垂直命题的判断 题型三、线面、面面平行的证明（重点） 题型四、线面、面面垂直的证明（重点） 提升·进阶突破 题型五、线面、面面平行的性质定理 题型六、面面垂直的性质定理（重点） 拔高·压轴破难 题型七、平行的探索性问题（难点） 题型八、垂直的探索性问题（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型一、共线、共面的证明 【模型】依托平面基本公理，多点共线证点在两平面交线上；多点共面利用平面确定公理，纳入同一平面。 【步骤】①找到平面/交线；②证明点同时属于两个平面；③推导点在交线上，完成共线或共面论证。 【易错】直接默认点在平面内，忽略公理条件；书写时漏掉平面相交的前提。 1．如图，三棱柱中，点E、F、G、H分别为、、、的中点，则下列说法错误的是（   ） A．E、F、G、H四点共面 B．与是异面直线 C．、、三线共点 D． 【答案】D 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形，则不平行，所以D不正确. 2．如图所示，在空间四边形中，点分别是边的中点，点分别是边上的点，且，给出下列四个结论： （1）与平行； （2）与共面； （3）与的交点可能在直线上，也可能不在直线上； （4）与的交点一定在直线上． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】（2）（4） 【详解】如图所示．连接，， 依题意，可得，， 所以， 所以共面，所以（2）正确， 因为， 所以四边形是梯形，与必相交，所以（1）错误， 设与的交点为， 因为点在上，故点在平面上． 同理，点在平面上， 所以点在平面与平面的交线上， 又是这两个平面的交线，所以点一定在直线上，故（3）错误，（4）正确， 3．如图所示，在四边形中，已知，直线，，，分别与平面相交于点，，，．求证：，，，四点共线． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，∴，确定一个平面． 又∵，，∴，， 即为平面与的一个公共点． 同理可证，，均为平面与的公共点． ∵两个平面有公共点，∴它们有且只有一条通过公共点的公共直线， ∴，，，四点共线． 【点睛】在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论． 4．如图，为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且，．求证：    (1)E、F、G、四点共面； (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上． 【答案】(1)   连接 由分别为中点，则， 又，，则， ， 所以四点共面. (2)   由，， 易知， 又分别为中点，即， ， 结合（1）的结论可知，四边形是梯形，因此直线不平行， 设它们交点为 ，平面，同理平面， 又平面平面，因此， 即EH、FG必相交且交点在直线上． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 5．已知正方体中，，点M，N分别是线段，的中点． (1)求点M到平面的距离； (2)判断，M，B，N四点是否共面，若是，请证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)，M，B，N四点共面，证明如下： 连接， 因为M，N分别是线段，的中点， 所以， 由正方体性质可知，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 所以，M，B，N四点共面. 【分析】 【详解】（1）记点M到平面的距离为h， 易知为正三角形，且，所以， 又， 所以， 因为，所以，即， 解得，即点M到平面的距离为. （2） 略 6．如图，在直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，E，O分别是BC，的中点，平面与平面的交线为l，连接EO并延长交l于点P，，.证明：，，P三点共线； 【答案】在直四棱柱中，平面平面，平面平面， 平面平面＝l，则，，即， 又，则，，四边形是平行四边形， 于是且，取AD中点为Q，连接、EQ， 由且，且，得且， 则四边形是平行四边形，且，又且， 因此且，即PD与共面，平面，又，平面 则平面，又平面平面，即， 所以三点共线. 【详解】略 题型二、有关平行、垂直命题的判断 【模型】以线线、线面、面面平行垂直判定与性质公理为依据，举反例快速判断假命题。 【步骤】①提取命题条件；②回忆对应定理；③成立则证明，不成立构造反例推翻。 【易错】忽略前提条件，如“平行于同一平面两直线平行”误判为真；混淆线面和面面关系。 7．若，表示两条直线，，，表示三个不重合的平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，，则，或与相交，故A错误； 对于B，若，，，则，或与为异面直线，故B错误； 对于C，若，，，则，或与相交，故C错误； 对于D，由可得，因为，所以， 又因为，根据线面平行的性质定理可得，故D正确. 故选：D. 8．已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（     ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】C 【详解】若，则可能为平行、相交、异面直线，故A错误； 若，则不一定垂直，故B错误； 若，则由性质定理知，故C正确； 若 ，则或，故D错误. 9．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，，则与平行或异面，故A错误； 对于，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，则或， 又，则与可能平行、相交或在平面内，故C错误； 对于D，若，，则或，又，则，故D正确． 10．已知直线、与平面α．则下列结论正确的是（   ） A．若，，则、为异面直线 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】A：当过点A,此时，相交,A错； B：也可能在α内,B错； C：也可能在α内,C错； D：垂直于同一平面的两条直线平行,D正确. 11．已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是____（填序号）. ①若，不平行，则在内不存在与平行的直线； ②若m，n平行于同一平面，则与可能异面； ③若m，n不平行，则与不可能垂直于同一平面； ④若，垂直于同一平面，则与可能相交. 【答案】②③④ 【详解】对于①，因，不平行，令，直线，若，必有，①不正确； 对于②，若，直线，直线b与m是相交直线，则有直线b与m都平行于，把直线b平行移出平面外为直线n，且不在内，此时与是异面直线，都平行于，②正确； 对于③，假定与垂直于同一平面，则有，与，不平行矛盾，即假设是错的，③正确； 对于④，令，若直线c垂直于某个平面，由面面垂直的判定知，垂直于这一平面，④正确. 故答案为：②③④ 12．设和为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，则平行于； （2）若外一条直线与内一条直线平行，则和平行； （3）设和相交于直线，若内有一条直线垂直于，则和垂直； （4）若与内的两条直线垂直，则直线与垂直. 以上说法正确的是___________.（㝍出序号） 【答案】（1）（2） 【详解】对于（1），若内的两条相交直线分别平行于内的两条直线，由面面平行的判定定理可知，平行于，所以（1）正确； 对于（2），若外一条直线与内一条直线平行，由线面平行的判定定理可知，和平行，所以（2）正确； 对于（3），和相交于直线，若内有一条直线垂直于，这时和所成的角可以是直角，也可是锐角或钝角，所以（3）错误； 对于（4），若与内的两条直线垂直，则直线与不一定垂直，可以相交，也可以在内，只有与内的两条相交直线垂直时，直线与垂直.所以（4）错误； 故答案为：（1）（2） 题型三、线面、面面平行的证明 【模型】判定定理：线线平行⇒线面平行；线面平行⇒面面平行，实现低维到高维平行推导。 【步骤】①找平面内目标直线；②证明直线平行；③满足定理条件，写出平行结论。 【易错】证明线面平行时，漏掉直线在平面外这个关键条件。 13．如图所示，在三棱柱中，若为的中点，为中点，求证：平面． 【答案】 连接， 因为为的中点，为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． 【详解】略 14．如图，已知四棱锥的底面为平行四边形，E为中点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)证明：平面． 【答案】(1)直线与是异面直线，理由如下：   若直线与不是异面直线，则它们相交或平行．设它们确定的平面为，则点D与直线都在内， 由于经过点D和直线有且仅有一个平面，因此与平面重合， 从而也在平面内，进而P点也在平面内， 显然这与四棱锥相矛盾，故直线与是异面直线． (2)连接交于点F，再连接， 由底面为平行四边形，可得F为的中点， 又因为E为中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 15．如图，在四面体中，分别是的中点． (1)求证：四点共面； (2)求证：平面． 【答案】(1)因为分别是的中点．所以， 所以， 所以共面，所以四点共面； (2)由（1）知平面，，又平面， 所以平面． 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 16．如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，，． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：由直三棱柱性质可得，， 又由，分别是，的中点，得，， 则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面． (2) 【分析】 【详解】（1）略 （2）由，，得，所以， 又，所以平面，故平面， 所以点到平面的距离为， 由是的中点，得点到平面的距离为， 故． 17．在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面． 【答案】(1)连接，交于点，连接. ∵ 四边形为正方形， ∴ 为的中点. 又∵ 为的中点， ∴ 为的中位线，∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. (2)∵ 为的中点，为的中点，在正方体中，且， ∴ 且，即且. 又∵ 且， ∴ 且，四边形为平行四边形， ∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. 由(1)可知平面，且平面. ∵ ，均在平面内； ∴ 平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点.求证：平面平面PAB. 【答案】在PAD中，、分别是PD、AD的中点， 所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为四边形ABCD是直角梯形，且，所以， 又，是AD的中点，所以，， 所以四边形ABCF是矩形，所以， 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为，平面CEF，平面CEF， 所以平面平面PAB； 【详解】略 题型四、线面、面面垂直的证明 【模型】判定定理：线线垂直⇒线面垂直；线面垂直⇒面面垂直，逐级转化垂直关系。 【步骤】①在平面内找两条相交直线；②证明直线与两条相交直线垂直；③得出垂直结论。 【易错】证明线面垂直，只证垂直一条直线，没有保证两条直线相交。 19．如图，设是正方形所在平面外一点，且平面，则平面与平面、平面的位置关系是（    ） A．平面与平面、平面都垂直 B．它们两两垂直 C．平面与平面垂直，与平面不垂直 D．平面与平面、平面都不垂直 【答案】A 【详解】平面平面，， 又，平面.，平面. 平面，∴平面平面. 由，，平面，得平面. 平面，平面平面. 设平面平面， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角， 因为，所以平面与平面不垂直. 20．如图，在圆锥中，是底面的一条直径，为底面圆周上一点，且．求证：． 【答案】证明：因为是底面的一条直径，为底面圆周上一点， ，又，， 由已知， 平面， 平面，平面，． 【详解】略 21．如图，平行六面体中，，．设，，． (1)求与所成角的余弦值； (2)证明：平面． 【答案】(1) (2)证明：，. . ，即. =， ，即. ，平面，平面， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）由题意，，. ，，. ，. 设异面直线与所成角为，. ，. ，. . 与所成角的余弦值为. （2）略. 22．如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)证明：平面. 【答案】(1)证明：平行六面体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面，平面，所以平面 (2)证明：因为底面是正方形，为的中点，所以． 在和中，，，， 所以，所以， 又为的中点，所以． 又，平面，，所以平面 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 23．如图，在四棱锥中，底面，，，，是线段上的动点．证明：． 【答案】因为底面平面， 所以 因为，所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以. 【详解】略 24．如图所示，在直三棱柱中，，，是的中点，是上一点．当时，证明：平面． 【答案】因为，是的中点，所以． 在直三棱柱中， 因为底面，底面，所以． 因为，，平面， 所以平面． 因为平面，所以． 在中，，， 所以． 在中，，， 所以． 在中，，， 所以． 显然， 所以．所以． 因为，，平面， 所以平面． 【详解】略 25．如图，在四棱锥中，，底面为矩形，，，．求证：平面平面； 【答案】证明：取与的中点，，连接，，， 因为，于是， 又因为，，，平面， 所以平面，结合可得平面， 又平面，所以，又的中点为 所以，又，， 所以，， 而，， 所以， 从而，又，，平面， 所以平面，而平面， 所以平面平面． 【详解】略 26．在三棱锥中，，M，N分别为棱，的中点，平面．求证：平面平面． 【答案】因为平面，平面，所以. 因为分别为中点，所以，即， 又，可知，，平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 【详解】略 提升·进阶突破 题型五、线面、面面平行的性质定理 【模型】平行性质由高维推低维：线面平行可推出线线平行；面面平行可得线线平行。 【步骤】①确定平行关系；②作辅助平面得到交线；③得到交线互相平行。 【易错】面面平行直接得出任意两条直线平行，忽略两直线必须是第三个平面的交线。 27．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设的中点为，底面中心为. (1)求的长度; (2)求正四棱锥的表面积； (3)设平面平面，求证：； 【答案】(1) (2)36 (3)由题意知底面为正方形，则， 又因为平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面，则. 【分析】 【详解】（1）设底面的边长为，因为为底面中心，为的中点， 所以且，底面积为， 已知高，在中，. 则侧面积为， 因为侧面积是底面积的2倍，则有， 因为，解得，代入得， 解得，则（负根舍），即. （2）由（1）得侧面积为，底面积为， 则表面积. （3）略 28．如图，一个多面体的上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，两部分的高都是，且． (1)求该多面体的体积； (2)若平面与平面的交线为，证明：． 【答案】(1) (2)在正方形中，， 平面，平面， 平面．     平面，平面平面， ． 【分析】 【详解】（1）因为多面体的上面为正四棱锥，下面为长方体，高都为1， 所以该多面体的体积. （2）略. 29．如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 30．如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点. (1)求证：平面； (2)已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于， （i）求证：； （ii）求证：平面. 【答案】(1) 因为四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面. (2) （i）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以. 又因为平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面， 所以. （ii）连接，如下图： 易知，显然平面，平面，所以平面； 同理可得，即平面； 又，所以平面平面， 又因为平面， 所以平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）（i）略 （ii）略 题型六、面面垂直的性质定理 【模型】面面垂直性质：两平面垂直，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面。 【步骤】①确定面面垂直与交线；②在面内作交线的垂线；③得到线面垂直。 【易错】作垂线时，没有限制直线在已知平面内，直接得到线面垂直。 31．如图，在三棱锥中，，底面，且，为中点，，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，因为底面，所以，又为中点， 所以.因为，所以. 由， 所以，即. 因为底面，所以平面底面， 又，所以平面，所以点到平面的距离为2， 因为为中点，所以点到平面的距离为1. 又， 所以. 32．如图，在四棱锥中，底面，，，，且平面平面．证明：； 【答案】取的中点，连接，因为，所以， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面，所以， 又底面，底面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以． 【详解】略 33．如图所示，四边形为菱形，，平面平面，点是棱的中点． (1)求证：； (2)若，求三棱锥的体积． 【答案】(1)如图所示， 设点是棱的中点，连接，，， 由及点是棱的中点，可得， 因为平面平面，平面平面，平面，故平面， 又因为平面，所以， 又因为四边形为菱形，所以， 而是的中位线，所以，可得， 又由，且平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以． (2)1 【分析】 【详解】（1）略 （2）若，由于菱形，正三角形中， 由于平面， 所以． 34．如图，在三棱柱中，E，F分别为AC，的中点． (1)求证：∥平面； (2)若平面平面，，求证：． 【答案】(1)证明：取中点，连接， 因为，所以为的中位线，则∥， 又平面，平面，所以∥平面， 在三棱柱中，四边形为平行四边行，又，， 所以且， 所以四边形为平行四边形，则∥， 又平面，平面，所以∥平面， 因为，平面，所以平面∥平面， 又平面，所以∥平面； (2)证明：因为平面平面，平面平面， ，平面，所以平面， 又平面， 所以. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 35．如图，四棱锥中，平面． (1)若，证明：平面； (2)若平面平面，点在线段上，点为中点，，证明：平面． 【答案】(1)因为平面，平面，所以， 因为，，直线与相交于点，且两直线都在平面上，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，直线与相交于点，且两直线都在平面上，所以平面 (2)因为，所以是等腰三角形，又因为是其底边的中点，所以垂直平分线段， 因为平面平面，且两平面相交于直线，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，，直线与相交于点，且两直线都在平面上，所以平面 【详解】（1）略 （2）略 拔高·压轴破难 题型七、平行的探索性问题 【模型】逆向推理模型，先假设存在满足平行的点，再反推点的位置，最后正向验 证。 【步骤】①假设存在；②设点，利用平行性质找等量；③求出位置，回代检验。 【易错】只求出点位置，缺少最后的验证步骤；辅助线构造不合理。 36．如图，在等腰直角三角形ABC中，，D是AC的中点，E是AB上一点，且．将沿着DE折起，形成四棱锥，其中A点对应的点为P．在线段PB上是否存在一点F，使得平面PDE？若存在，指出的值，并证明；若不存在，说明理由. 【答案】存在， 【详解】当时，平面PDE，证明如下： 过点C作，交的延长线于， 在PE上取一点M，使得，连接HM，FM， 因为，，所以且， 因为D是AC的中点，且，所以且， 所以且，所以四边形CFMH是平行四边形，即， 又因为平面PDE，平面PDE，所以平面.    37．正四棱锥，，P为侧棱上一动点． (1)正四棱锥的表面积； (2)若P为棱的中点（如图1所示），求证：直线平面； (3)若（如图2所示），侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，请写出证明过程，并求的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)连接交于O，则O为中点，连接，    因为P为的中点，所以为的中位线，即，     又因为平面，平面，所以平面． (3)存在一点E，当满足时，平面. 【分析】 【详解】（1）因为，所以底面积为2， 由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为． （2）略 （3）取的中点Q，连接，，，（交于O），   因为，所以，即P为的中点，    又O为的中点，在中，，     又平面，平面，所以平面，    因为，所以，   又平面，平面，所以平面，   又，，平面，所以平面平面，   又平面，所以平面，     所以侧棱上存在一点E，当满足时，平面． 38．如图所示，在四棱锥中，在底面中，，E在棱PD上且. (1)求证：平面； (2)线段上是否存在点N，使得平面平面？若存在，写出的值，并以此为已知条件，证明平面平面；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面. (2)存在，，证明如下： 存在，且当点为上靠近点三等分点时，即时，平面平面. 下面给出证明： 因为，所以，， 又因为点为上靠近点的三等分点，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 因为在棱上且，即， 又因为， 所以， 所以， 又平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面，， 所以平面平面. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 39．如图所示正四棱锥中，，，为侧棱上的点，且，为侧棱的中点． (1)求正四棱锥的表面积； (2)证明：平面； (3)侧棱上是否存在一点，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】(1) (2)证明：设，连接， 因为分别为的中点，则∥， 且平面，平面， 所以平面. (3)存在， 【分析】 【详解】（1）因为正四棱锥中，，， 则侧面的高， 所以正四棱锥的表面积． （2）略 （3） 在侧棱上存在一点，使平面，满足． 理由如下： 取中点为，因为，则， 过作的平行线交于，连接． 由于，即．则， 且平面，平面，所以平面， 由（2）可知：平面， 因为，平面，可得平面平面， 且平面，所以平面. 40．如图，在正方体中，点分别为棱的中点，点是棱上的一点，且. (1)求证：平面； (2)棱上是否存在一点使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 法一：连接，在正方体中，分别是中点， 且，则四边形是平行四边形， ∴，平面平面，所以平面， 法二：连接分别交于点，连接， 如图在正方体中，且， 所以，则，同理得， 所以，则，而平面平面， 所以平面； (2)存在， 【分析】 【详解】（1）略 （2）存在，且，理由如下： 因为，所以， ，而 ， 由平面平面， 所以平面， 法一：取中点P，连接，如图 ，是中点， 是的中位线，则， ∵F为中点，则且， ∴四边形是平行四边形， ， 综上，，平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 法二：延长交于，延长交于，连接，如图： 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，又，即， ∴四边形为平行四边形， 平面平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 所以时，平面平面. 41．（三、线面平行）如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，点在上，且．    (1)求证：平面； (2)求以为棱，与为半平面的二面角的大小； (3)在棱上是否存在一点，使得平面？证明你的结论． 【答案】(1) 证明：因为在底面菱形中，，，， 根据勾股定理，可得， 因为，所以平面． (2)30° (3) 棱上是存在一点，当是棱的中点时，使得平面. 证明：如图10，连接交于点，连接， 在平面中，过点作，在平面中，过点作． 因为是中点，所以． 又因为，所以．所以是棱的中点，连接. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面，所以平面 【分析】 【详解】（1）因为在底面菱形中，，，， 根据勾股定理，可得， 因为，所以平面． （2）如图9，作于点于点，连接． 因为，由（1）可知平面， 因为平面，所以 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，易知即为与为半平面的二面角所求角． 设，，，则． 由于，所以． （3）    棱上是存在一点，当是棱的中点时，使得平面. 证明：如图10，连接交于点，连接， 在平面中，过点作，在平面中，过点作． 因为是中点，所以． 又因为，所以．所以是棱的中点，连接. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 因为平面，所以平面 题型八、垂直的探索性问题 【模型】逆向假设模型，先假设存在满足垂直的点，利用垂直性质列式求解，再检验。 【步骤】①假设存在符合条件的点；②设参数，借助垂直关系建立等式；③求解并验证。 【易错】忽略空间中垂直的多种位置情况；求出结果不检验是否符合题意。 42．如图，在正四棱锥中，为底面正方形的中心，，为线段的中点，问：在棱上是否存在一点，使侧面？若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】存在，为上靠近点的四等分点 【详解】取的中点，连结并延长交于点，设，． 因为是正四棱锥，为底面正方形的中心，则平面， 又，得，得到， 又，所以， 又，故为等边三角形， 取的中点，连结，则． 又因为，，，平面， 所以平面，又平面，故平面平面， 而平面，平面平面，，所以平面． 取的中点，因为，且，故四边形为平行四边形， 所以，从而平面，所以存在一点，使侧面，且为上靠近点的四等分点． 43．如图，在正三棱柱中，，点M为的中点. (1)证明：平面； (2)在棱上是否存在点Q，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为三棱柱是正三棱柱， 所以平面平面,所以； 又因为M是的中点，所以， 因为平面平面,所以平面. (2) 由（1）可知平面，因为平面， 则平面平面， 在平面内过点A作交于点Q，平面平面， 因此平面，于是点Q即为所要找的点, 如图7所示，显然， 因此，即有， 于是，所以. 【分析】 【详解】（1）略 （2）略 44．如图，在四棱锥中，平面平面，四边形为正方形，分别为的中点. (1)直接写出图中与平行的平面； (2)求证：平面平面； (3)在棱上是否存在点，使得平面平面?若存在，求三棱锥体积；若不存在，说明理由. 【答案】(1)平面，平面 (2)因为四边形为正方形，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. (3)存在， 【分析】 【详解】（1）因为四边形为正方形，分别为的中点. 所以，，， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，， 因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面； （2）略 （3）存在，当为中点时，平面平面. 证明：连接，设， 因为四边形为正方形，E，M分别为、的中点， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为为中点，所以. 因为，E为的中点， 所以，，. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 所以平面. 又因为平面，所以平面平面. 所以存在点，使得平面平面. 则. 45．如图①，在直角梯形ABCD中，，，，．沿DE将折起到的位置．连接，，M，N分别为，BE的中点，如图②． (1)求证：． (2)求证：平面． (3)在棱上是否存在一点G，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ∵在直角梯形ABCD中，，沿DE将折起到的位置， ∴，． ∵，平面， ∴平面， 又平面，∴． (2) 取CD中点H，连接NH，MH，如图． ∵M，N分别为，BE的中点， ∴，． 因为，平面，平面， 所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 又，NH，平面MNH，平面，平面， ∴平面平面MNH，又平面MNH ∴平面． (3)存在， 【分析】 【详解】（1） （2）略 （3）取的中点G，连接EG，如图． 在直角梯形ABCD中，，， 所以，又，所以DCBE是矩形，所以， 因为，所以即是折后的， ∴， 由（1）知平面， 又∵，∴平面， 又平面，∴， 又，平面，∴平面． 故棱上存在中点G，使得平面，且此时． 46．在四棱锥中，为正三角形，平面平面ABCD，E为AD的中点，． (1)求证：平面平面PAD； (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值； (3)在棱CD上是否存在点M，使得平面PBE？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) 证明：∵为正三角形，E为AD的中点， ∴． ∵平面底面ABCD，平面底面， ∴平面ABCD． ∵平面ABCD，∴． ∵． ∵，∴平面PAD． ∵平面ABCD， ∴平面平面PAD． (2) (3)存在，，理由如下： 在棱CD上假设存在点M，使得平面PBE． ∵平面ABCD，∴． 要使平面PBE成立，只需成立． 设 ∴，即． ∵， ∴由，得，即，所以 故． 【分析】 【详解】（1）略 （2）在平面ABCD内作直线． ∴平面PAD，∴． 以E为原点建立空间直角坐标系，如图所示． 则, 设平面PCD的法向量为, ∴，令，则， 设直线PB与平面PCD所成的角为α． 则． ∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为. （3）略 47．如图，在三棱锥中，平面，，，，点，分别为棱，的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)在线段上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)在中，因为，分别为，的中点，所以． 又平面，平面，所以平面． (2) (3)存在， 【分析】 【详解】（1）略. （2）由于，分别为，的中点， 故． 记到平面的距离为， 则． ， 故的体积为． （3）过点作， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以， 所以平面，又平面，所以平面平面， 故取点与重合时，平面平面，此时． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01共线、共面、平行、垂直关系相关问题 题型图谱导航总览 题型一、共线、 共面的证明 题型二、有关平行、垂直命题的判断 基础固本强基 题型三、线面、面面平行的证明（重点） 题型四、线面、面面垂直的证明（重点） 题型五、线面、面面平行的性质定理 提升进阶突破 题型六、面面垂直的性质定理（重点） 题型七、平行的探索性问题（难点） 拔高·压轴破难 题型八、垂直的探索性问题（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型一、共线、共面的证明 【模型】依托平面基本公理，多点共线证点在两平面交线上；多点共面利用平面确定公理，纳入同一平 面。 【步骤】①找到平面/交线；②证明点同时属于两个平面；③推导点在交线上，完成共线或共面论证。 【易错】直接默认点在平面内，忽略公理条件；书写时漏掉平面相交的前提。 ABC-ABC BB CC AB AC 1.如图，三棱柱 中，点E、F、G、H分别为、 的中点，则下列说法错 1/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 误的是() B B G A,E、F、G、H四点共面 B.M与G 是异面直线 C.EG、FHAA 三线共点 D.EGIIFH 2.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E,H分别是边AB,AD的中点，点F,G分别是边BC,CD上的点， CF CG 2 且CBCD3,给出下列四个结论： H (1)EF与GH平行： (2)EF与GH共面： (3)EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上： (4)EF与GH的交点M一定在直线AC上. 其中所有正确结论的序号是 3.如图所示，在四边形ABCD中，己知ABCD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面C相交于点E, G,H,F.求证：E,F,G,H四点共线. 2/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B H Q 4.如图，ABCD为空间四边形，点E、F分别是AB、BC的中点，点G、H分别在CD、AD上，且 DH-4D,DG=CD.求证： A D、G B (I)E、F、G、H四点共面： (2)EH、FG必相交且交点在直线BD上. CD CC 5.已知正方体 BCD-ABCD中，AB=2,点M,N分别是线段， 的中点 3/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D M C B A D ACB (1)求点M到平面 的距离： ②判断，M,B,N四点是否共面，若是，请证明：若不是，请说明理由。 ABCD-ABC D 中，底面ABCD是菱形，∠B1D=60°，五，O分别是BC, CD 6.如图，在直四棱柱 的中 CDE ABCD 点，平面 与平面 的交线为L,连接B0并延长交I于点P,DP=,D0=4证明：4，D, P三点共线： D B D B 题型二、有关平行、垂直命题的判断 【模型】以线线、线面、面面平行垂直判定与性质公理为依据，举反例快速判断假命题。 【步骤】①提取命题条件；②回忆对应定理；③成立则证明，不成立构造反例推翻。 4/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【易错】忽略前提条件，如“平行于同一平面两直线平行”误判为真；混淆线面和面面关系。 7.若a,b表示两条直线，a,B,Y表示三个不重合的平面，下列命题正确的是() A.若aca,bcB,a/1b,则a/IB B.若aca,bcB,a1IB,则a/lb C.若y=a,Bny=b,a/b,则alIB D.若a∩y=a,B∩y=b,aIIB,则a/lb 8.已知m、n是两条不同的直线，P是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若ml/a,nl/a,则mlln B.若a⊥B,mca,ncB,则m⊥n C.若m上a,nlm,则n上a D.若a上B,m⊥a,则mWB 9.已知m,n是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，则下列命题正确的是() A.若mca,ncB,aIIB,则m/1n B.若m/1n,nc&,则m/1a C.若aLB,m上B,nLm,则n⊥a D.若m上a,nLB,m⊥n,则a上B 10,已知直线1、与平面a则下列结论正确的是() A,若1c&.4na=A 则a 则、为异面直线B.若，a 4⊥124⊥al2∥a 1⊥al2⊥a1∥12 C.若 ,则 D.若 ,则 11.已知m,n是两条不同直线，，B是两个不同平面，则下列命题正确的是一（填序号）· ①若a,B不平行，则在a内不存在与B平行的直线： 5/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若m,n平行于同一平面，则m与n可能异面； ③若m,n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面： ④若a,B垂直于同一平面，则u与B可能相交 12.设a和P为不重合的两个平面，给出下列命题： (I)若C内的两条相交直线分别平行于B内的两条直线，则a平行于B; (2)若0外一条直线与内一条直线平行，则l和a平行： (3)设a和P相交于直线I,若a内有一条直线垂直于I,则a和P垂直； (4)若1与0内的两条直线垂直，则直线1与a垂直 以上说法正确的是 (写出序号) 题型三、线面、面面平行的证明 【模型】判定定理：线线平行→线面平行；线面平行→面面平行，实现低维到高维平行推导。 【步骤】①找平面内目标直线；②证明直线平行；③满足定理条件，写出平行结论。 【易错】证明线面平行时，漏掉直线在平面外这个关键条件。 ABC-ABC 中，若D为C的中点，”为 AC HD/ ABBA 13.如图所示，在三棱柱 中点，求证： 平面 H B D 6/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 14.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，E为PD中点. P E C (I)判断直线PD与AC的位置关系，并说明理由： (2)证明：PB∥平面ACE. 15.如图，在四面体ABCD中，E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA的中点. B G C (1)求证：E,F,G,H四点共面： (2)求证：BD/平面EFGH. 16.如图，在直三棱柱 C-ABG中，D,E分别是4C,4C的中点， AC=AA=2 AB=BC=2 7/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B DA B DC II (1)证明： 平面ABE E-ABA (2)求三棱锥 的体积 ABCD-ABCD中，B为的中点. DD 17.在正方 D E B C A B BD∥ (1)求证： 平面AEC; ②取CC中点R,求证：平面4EC∥平面 BFD 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，且AB⊥AD,AD=2AB=2BC=4,PA⊥平 ” 8/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 面ABCD,E、F分别是PD、AD的中点求证：平面CEF∥平面PAB. 题型四、线面、面面垂直的证明 【模型】判定定理：线线垂直→线面垂直；线面垂直→面面垂直，逐级转化垂直关系。 【步骤】①在平面内找两条相交直线；②证明直线与两条相交直线垂直：③得出垂直结论。 【易错】证明线面垂直，只证垂直一条直线，没有保证两条直线相交。 19.如图，设P是正方形ABCD所在平面外一点，且PA1平面ABCD,则平面PAB与平面PBC、平面 PAD的位置关系是() D A.平面PAB与平面PBC、平面PAD都垂直 B.它们两两垂直 C.平面PAB与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直 D.平面PAB与平面PBC、平面PAD都不垂直 20.如图，在圆锥PO中，AB是底面的一条直径，C为底面圆周上一点，且AC=BC.求证：PC⊥AB 9/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD-AB,CDAB=BC=BB=2∠CCB=LCCD=∠BCD=60° 21.如图，平行六面体 中， 设 CD=a CB=b CC=c B A D A D CA与BB (1) 所成角的余弦值： CA⊥ CBD (2)证明： 平面 AA=2 22.如图，在平行六面 ABCD-ABCD中，底面 BCD是边长为2的正方形， 10/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BCC,=∠DCC- 3,O为BD的中点。 D B,D∥CBD (1)证明： 平面 OCC (②证明：BD上平面 23.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,∠ACD=∠BAD=90°，∠ABC=60°， PA=B=BC=25,E是线段PC上的动点，证明：CD1C, PC E 24.如图所示，在直三棱柱 BC-ABC由AB=AC=AM=3.BC=2,D是 CC 中， C的中点，F是 上 11/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一点.当CF=2时，证明 平面ADF BF⊥ A B F ! B 25.如图，在网楼锥PBCD中，PB=PC=V5,底面4BCD为矩形.B=.4D=2.PAPD.求 ,底面 证：平面PAD⊥平面ABCD: A 26.在三棱锥P-ABC中，AP=AB,M,N分别为棱PB,PC的中点，BC⊥平面PAB.求证：平面 AMN⊥平面PBC. 12/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B 提升进阶突破 题型五、线面、面面平行的性质定理 【模型】平行性质由高维推低维：线面平行可推出线线平行；面面平行可得线线平行。 【步骤】①确定平行关系；②作辅助平面得到交线；③得到交线互相平行。 【易错】面面平行直接得出任意两条直线平行，忽略两直线必须是第三个平面的交线。 27.已知正四棱锥S-ABCD的侧面积是底面积的2倍，且高为3.设BC的中点为E,底面ABCD中心为O, B (1)求SE的长度 (2)求正四棱锥S-ABCD的表面积： (3)设平面SBC∩平面SAD=I,求证：1IIBC: 13/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 28.如图，一个多面体的上面部分是一个正四棱锥，下面部分是一个长方体，两部分的高都是1，且 AB=2. B D C A B (1)求该多面体的体积： (2)若平面PAD与平面PBC的交线为I,证明：I1IBC. 29.如图所示，正四棱锥S-ABCD中，P为侧棱SD上靠近D点的四等分点，Q为侧棱SD的中点. B (I)证明：BQ∥平面PAC: (2)若E是侧棱SC上靠近点C的三等分点，求证：BE∥平面PAC. 14/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30.如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点 D G D 入 (I)求证：BCII平面PAD: (2)已知M,N分别是PC,AB的中点，在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG, (i)求证：AP/1HG: (ii)求证：MNI/平面PAD 题型六、面面垂直的性质定理 【模型】面面垂直性质：两平面垂直，在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面。 【步骤】①确定面面垂直与交线；②在面内作交线的垂线：③得到线面垂直。 【易错】作垂线时，没有限制直线在已知平面内，直接得到线面垂直。 31.如图，在三棱锥P-ABC中，∠ACB=90°，PA⊥底面ABC,且PA=AC=BC,M为PB中点， AM=3 则三棱锥P-AMC 的体积为() 15/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M B √2 B.3 C.4 ◇2 32.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD/BC,PA=AB=BC=2,AD=3,且平面 APB⊥平面CPB.证明：CB⊥AB； A 33.如图所示，四边形ABCD为菱形，PA=PD,平面PAD⊥平面ADC,点E是棱AB的中点. E B (1)求证：PE⊥AC: (2)若PA=AB=BD=2,求三棱锥E-PCD的体积. ” 16/25 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 34.如图，在三棱 ABC-AB,G中，E,F分别为AC, 的中点. ABE (1)求证： CF ∥平面 BBA⊥CBB,CAB⊥BB (2)若平面 平面 ,求证： AB⊥CF 35.如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AC,AB⊥BC. C B (I)若AE⊥PB,证明：AE⊥平面PBC; (2)若平面PCD⊥平面PAD,点N在线段PD上，点M为PC中点，AN⊥PD,证明：PC⊥平面AMN. ”· 17/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 拔高压轴破难 题型七、平行的探索性问题 【模型】逆向推理模型，先假设存在满足平行的点，再反推点的位置，最后正向验 证。 【步骤】①假设存在；②设点，利用平行性质找等量；③求出位置，回代检验。 【易错】只求出点位置，缺少最后的验证步骤；辅助线构造不合理。 36,如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC三4，D是AC的中点，E是AB上点，且DEAB,将 △ADE沿着DE折起，形成四棱锥P-BCDE,其中A点对应的点为P.在线段PB上是否存在一点F,使 PE 得CF11平面PDB?若存在，指出PB的值，并证明：若不存在，说明理由， D D B E 37.正四棱 S-ABCD SA=V54B=2P为侧棱SD上一动点， SD 18/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 (1)正四棱锥S-ABCD的表面积： (②)若P为棱SD的中点（如图1所示），求证：直线SB∥平面ACP; (3)若SP=3PD(如图2所示)，侧棱SC上是否存在一点E,使得BE∥平面PAC.若存在，请写出证明过 SE 程，并求EC的值；若不存在，说明理由. 8,如图不，在国被裤p-A8CD中，在底白BCD中，C-号而，B在校m上且pE=2ED (I)求证：BC∥平面PAD: AN (②)线段AD上是否存在点N,使得平面CENW平面PAB？若存在，写出AD的值，并以此为已知条件，证 明平面CEN∥平面PAB；若不存在，请说明理由 19/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 39.如图所示正四棱锥 -ABCD中，SM=2B=5.P为侧楼D上的点，且SP=3PD,0为侧枝 SD的中点. S ! ! P A B C (I)求正四棱锥S-ABCD的表面积； (②)证明：BQ∥平面PAC: SE (3)侧棱sC上是否存在一点E,使得BE/平面PAC·若存在，求EC的值；若不存在，试说明理由. 40.如图，在正方体 BCD-A8CD中，点GE,EP AB,DC,BC,AA 分别为棱 的中点，点M是棱4D 上的一点，且M0=4D 20/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E M N A B D G B DGII DBFE (1)求证： 平面 AN (②)棱AB上是否存在一点N使平面PMN1/平面DBFE?若存在，求AB的值；若不存在，请说明理由. 题型八、垂直的探索性问题 【模型】逆向假设模型，先假设存在满足垂直的点，利用垂直性质列式求解，再检验。 【步骤】①假设存在符合条件的点：②设参数，借助垂直关系建立等式；③求解并验证。 【易错】忽略空间中垂直的多种位置情况：求出结果不检验是否符合题意。 2,如图，在正四棱链p-ABCD中，0为底面正方形BCD的中心，tan/PAC= 2 E为线段PB的中 点，问：在棱AD上是否存在一点F,使EF⊥侧面PBC?若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明 理由 21/25 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E -=B 43.如图，在正三棱柱 8C-A8C中，B=M=2,点为8的中点 M B o B MC,⊥ (1)证明： ABBA 平面 B,2 (2)在棱BB上是否存在点Q,使得AQ⊥平面BCM?若存在，求出QB的值；若不存在，请说明理由. 44.如图，在四棱锥S-ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD,SA=SD=AD=2,四边形ABCD为正方形， 22/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E,MAD、BC 分别为 的中点 S D E B (1)直接写出图中与EM平行的平面； (2)求证：平面SAD⊥平面SAB: (3)在棱SC上是否存在点V,使得平面DMN⊥平面ABCD?若存在，求三棱锥C-DMN体积；若不存在， 说明理由 45.如图①，在直角梯形ABCD中，ABIICD,AB⊥BC,AB=2CD,DE⊥AB.沿DE将△AED折起到 △A,ED AB AC AC 的位置.连接 ,M,N分别为，BE的中点，如图②. D E 图① 图② DE⊥AB (1)求证： AED (2)求证： MNI平面 23/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AG (3)在棱AB上是否存在一点G,使得EG1平面ABC？若存在，求出GB的值：若不存在，请说明理由. 46.在四棱锥ABCD中，△PAD为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD,E为AD的中点， AB//CD,AB L AD,CD=2AB=2AD=4. E> D (I)求证：平面PCD⊥平面AD: (2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值： DM (3)在棱CD上是否存在点M使得AML平面PBB?若存在，求出DC的值：若不存在，说明理由. 47.如图，在三棱 P-ABC中，PHL平面MC,B1BC.PA=B=2,BC=25,点D.E分别 为棱PB,PC的中点 24/25 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D (1)证明：DE∥平面ABC: (2)求三棱锥A-BDE的体积； AF (3③)在线段AC上是否存在点F,使得平面DEF⊥平面ABC？若存在，求出FC的值；若不存在，请说明 理由 25/25