精品解析：上海市浦东新区上海南汇中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

上海南汇中学2026学年第一学期十月阶段练习 高三数学 满分：150分 完成时间：120分钟 命题人：高三数学备课组 一、填空题：（本大题共有12题，满分54分，其中16题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知集合，则__________. 2. 陈述句“或”的否定形式为_________. 3. 已知扇形的弧长和半径都是，则扇形的面积是__________. 4. 已知正实数满足，则的最大值为_________. 5. 已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则实数__________ 6. 若与的夹角是锐角，那么实数的取值范围是__________. 7. 若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 8. 关于的不等式的解集为______. 9. 已知，函数在区间有4个零点与4个极值点，则的取值范围是__________. 10. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.5米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.55米，则斜面的底角__________．（结果用角度制表示，精确到） 11. 若函数的图象上点与点､点与点分别关于原点对称（以上4点不重合），除此之外，函数的图象上不存在其它两点关于原点对称，则实数的取值范围为__________. 12. 已知平面向量，，，对任意实数，，都有，成立．若，则的最小值为______． 二、选择题：（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分） 13. （）是的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 14. 已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 15. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形的边长为1，是正八边形边上任意一点，则以下命题正确的个数是（ ） ①与能构成一组基底；②；③在向量上的投影向量为. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 16. 已知定义域为的函数和，对，记．有两个命题：①若对任意，都有，则严格减；②设，若对任意，都存在正整数，使得，则是周期函数．（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 三、解答题：（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 19. 函数，其中，定义域是一切实数. （1）求函数过点的切线方程； （2）当时，方程只有一个解，求实数的取值范围. 20. 已知函数，定义域为. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，关于方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （3）若，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有.当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”. （1）若，请判断和是否是集合中的元素，并说明理由； （2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增.若对任意，都有且直线与的“距离”相等.证明：是偶函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2026学年第一学期十月阶段练习 高三数学 满分：150分 完成时间：120分钟 命题人：高三数学备课组 一、填空题：（本大题共有12题，满分54分，其中16题每题4分，7~12题每题5分） 1. 已知集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用交集的运算规律，计算即可 【详解】. 故答案为： 2. 陈述句“或”的否定形式为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用命题的否定规则分析即可. 【详解】根据命题的否定规则可知“或”的否定是“”. 3. 已知扇形的弧长和半径都是，则扇形的面积是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用扇形的面积公式可求得结果. 【详解】已知扇形的弧长为，半径也为，故该扇形的面积为. 故答案为：. 4. 已知正实数满足，则的最大值为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】由得到，得到，则，设，则，则转化为，利用基本不等式求出，从而求出的范围，继而得到的最大值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以的解为， 则， 设，则， 则， 因为，所以， 则，当且仅当时，即当时等号成立， 则，则， 即，则的最大值为. 5. 已知复数为纯虚数（其中为虚数单位），则实数__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义运算即可求解. 【详解】是纯虚数，且为实数， 则，解得或；且，即. 综上排除，得. 6. 若与的夹角是锐角，那么实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量夹角为锐角满足两个条件：且这两个向量不同向求解. 【详解】因为，与的夹角为锐角， 则且这两个向量不同向， 当，解得， 若共线，则，解得，即， 当时，，两向量同向共线，夹角为，不是锐角，要舍去， 综上：且， 则的取值范围为. 7. 若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式求得，进而得到，解绝对值不等式求得的取值范围. 【详解】，当且仅当时取等号， 由不等式恒成立，得，即或， 解得或，即实数a的取值范围是． 故答案为： 8. 关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过构造函数，利用函数单调性求解即可得出结论. 【详解】设，定义域为， 因为和在上都是严格单调递增函数， 两个增函数相加得到的在定义域上也严格单调递增， 而.则原不等式等价于， 由于严格单调递增，因此，又因为 ，所以. 故解集为. 9. 已知，函数在区间有4个零点与4个极值点，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由区间得到的范围，然后由五点法得到极值点和零点对应的自变量取值，即可列出不等式求得答案. 【详解】，所以， 函数的零点，则， 故取0,1,2,3，所以，即， 函数的极值点，则， 故取0,1,2,3，所以，即， 所以. 10. 小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.5米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.55米，则斜面的底角__________．（结果用角度制表示，精确到） 【答案】 【解析】 【分析】先根据在处的杆子的长度与影子长度，求出阳光与杆子的夹角，然后根据处的杆子的长度与影子长度，求出斜面角． 【详解】如图（1），由题意，可知米，米，米， 设，在直角中，， 则，． 如图（2），过点作于，过点作交于点， 则，． 在直角中，米，，则米． 在直角中，，则． 故，则． 11. 若函数的图象上点与点､点与点分别关于原点对称（以上4点不重合），除此之外，函数的图象上不存在其它两点关于原点对称，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意构造两个函数存在两个交点，然后构造函数存在两个零点.通过导数得到函数单调性，求出函数极值，由极值建立不等式求得答案. 【详解】由题意可知函数与函数存在两个交点. 令，即，令函数，则， 当时，，函数在上单调递减，不合题意； 当时，令，则， 因为函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递增，不合题意； 所以， 当时，，函数在区间上单调递减； 当时，，函数在区间上单调递增； 且，当时，， 所以，即，解得， 所以. 12. 已知平面向量，，，对任意实数，，都有，成立．若，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】利用平面向量的运算，将关于模的不等式恒成立，转化为关于，的一元二次不等式恒成立，结合，发现平面向量，，间的关系，作出对应图形，将的最值问题转化为线段最值问题，即可求解． 【详解】由于对任意实数，都有成立． 对于，有， 即， 化简可得． 故对任意实数，都有成立， 则， 则． 同理对任意实数，都有成立． 对于，有， 即， 化简可得． 故对任意实数，都有成立， 则， 则． 令，，，， 则， ，， 故如图所示，点在以为直径，为圆心的圆上， 点在与垂直于点的直线上． 由于， 而． 已知，则，故的最小值为4． 二、选择题：（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分） 13. （）是的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】判断（）和之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当（）时,, 当时，有（）或（）， 故（）是的充分非必要条件， 故选：A 14. 已知i为虚数单位，复数z满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】设，代入代简可得，则，然后利用二次函数的性质可求出其最小值. 【详解】设，则，得 ， 所以，化简得， 所以， 所以 ，当时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 15. 窗花是贴在窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形的边长为1，是正八边形边上任意一点，则以下命题正确的个数是（ ） ①与能构成一组基底；②；③在向量上的投影向量为. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】可根据图形得出，建立平面直角坐标系，然后求出图形上各点的坐标，判断与是否共线；可求出向量的坐标，根据坐标即可判断②；根据投影向量的计算公式即可判断③. 【详解】连接，，， ，，， 以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， ， ，，即与共线，故①错误； ， ，故②正确， ， 在向量上的投影向量为，故③正确. 16. 已知定义域为的函数和，对，记．有两个命题：①若对任意，都有，则严格减；②设，若对任意，都存在正整数，使得，则是周期函数．（ ） A. ①真②真 B. ①真②假 C. ①假②真 D. ①假②假 【答案】B 【解析】 【分析】根据定义，对于①，给定对应的集合包含关系，推得函数大小关系，进而可证明函数单调性；对于②，通过列举特例，可证明错误. 【详解】对于集合而言，越小，不等式越容易被满足， 则意味着集合中元素可取的值就越多， 因此若，则，即， 反之，若，则必有， 对于①，若对于任意的，都有，则必有， 即对于任意的，都有，故严格单调递减，故①正确. 对于②，取，则其值域为，取， 此时对任意的，，因此， 即此时所有的均为空集，满足条件. 但此时不是周期函数，故②错误. 三、解答题：（本大题共有5题，满分78分） 17. 如图，四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且，E是侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）连接，交于点， 因为底面是正方形，所以 是的中点， 又因为E是侧棱的中点， 所以在中，是中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定即可； （2）建立空间直角坐标系，结合线面角公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， ， ， 因为平面在面内， 可设平面法向量为， 所以设直线与平面所成角为， 则. 18. 已知平面向量，且.求： （1）的值； （2）向量与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的运算律化简条件等式计算即得； （2）利用两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因， 则， 可得； 【小问2详解】 因， ， 设向量与的夹角为， 则. 19. 函数，其中，定义域是一切实数. （1）求函数过点的切线方程； （2）当时，方程只有一个解，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，设切点为，利用导数求出切线斜率，结合切线过点即可求解； （2）构造函数，将方程只有一个解转化为直线与的图象只有一个交点，利用导数求出的单调性即可求解. 【小问1详解】 已知函数，则， 设切点为，其中，切线的斜率，切线方程为， 因为切线过点，将代入得，即， 将和 代入得， 化简得，解得或， 当时，切点为，斜率，切线方程为，即； 当时，切点为，其中，斜率， 切线方程为，即； 因此过点的切线方程为或. 【小问2详解】 将方程变形为，令， 由于在时，方程只有一个解，等价于在时，直线与的图象只有一个交点， 求导，令 ， 由于，，所以在内，没有零点， 又因为，，因此在上单调递减， 端点值为，， 因为单调递减，值域为，要使直线与的图象只有一个交点，只需， 所以实数的取值范围. 20. 已知函数，定义域为. （1）若为偶函数，求的值； （2）若，关于方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围； （3）若，将函数的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象.函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用积化和差公式化简函数，由偶函数的性质即可求解； （2）由（1）可得，令，问题转化为直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围； （3）根据题意，得到的表达式和值域，分别考虑和时的值域，将条件转化为的值域是值域的子集即可求解. 【小问1详解】 已知函数， 由积化和差公式，有， 因此， 因为为偶函数，所以只需是偶函数，则， 已知，所以. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，， 当时，，令， 问题转化为直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点， 因此实数的取值范围是. 【小问3详解】 由（2）可知，，则， 将函数的图象向右平移得， 横坐标变为原来的，得， 由，则，此时， 设函数的值域，若，；若，， 由，则，此时，所以， 因为对任意的，总存在，使得成立，等价于， 若，，则，解得， 若，，则，解得. 综上所述，实数的取值范围为. 21. 已知是定义在上的函数，集合对任意，都有.当时，若函数存在最小值，则称为直线的“距离”. （1）若，请判断和是否是集合中的元素，并说明理由； （2）设，且存在实数，使得直线的“距离”不小于，求的取值范围； （3）设的导函数在上严格增.若对任意，都有且直线与的“距离”相等.证明：是偶函数. 【答案】（1）不是集合中的元素，是集合中的元素，理由如下： 的值域是，即对任意，， 若，当时，，， 会存在使，不满足成立； 当时，，， 也会存在使，不满足条件，所以， 当时，要对任意恒成立，因最小值为-1，故， 则； ，. 所以不是集合中的元素，而是集合中的元素. （2） （3）证明：对任意给定的，记， 其中常数（其中常数），， 则 由严格递增， 当时，，严格递减； 当时，，严格递增， 故，即恒成立， 所以，是直线的距离. 于是且是直线的距离. 记，则恒成立，于是， 因为， 则，故. 因为上述结论对任意成立，所以用替换，得， 故，即是偶函数. 【解析】 【分析】（1）分、两种情况进行分析，说明，再结合可得出的取值范围，即可得出集合，进而可判断和与集合的关系； （2）要求直线的“距离”，则求的最小值，分、两种情况讨论，利用导数求出函数的最小值，可得出，再利用导数求出函数的最大值，即可得出实数的取值范围； （3）对任意给定的，记，其中（其中），，利用导数分析函数的单调性得到，即恒成立，得到是直线的距离，也是直线的距离，从而，由的任意性知，，故，结论得证. 【小问1详解】 不是集合中的元素，是集合中的元素，理由略； 【小问2详解】 由题意，直线的距离为函数的最小值， 令，则， 故当时函数严格递增，没有最小值. 从而，且当时严格递减，当时严格递增. 因此直线的距离为. 令，则 同上可知当时最大，从而， ； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $