学易金卷：高一数学上学期期中考试卷【沪教版专用，测试范围：沪教版必修第一册第一章～第四、五章】

2026-2027学年高一上学期期中模拟试卷 数学·答案及评分参考 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第一册第一章-第四章（或第五章第二节）。 5．本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．2 2．/0.516 4． 5．不都为零 6． 7． 8． 9．（基础题型）23 9．（提高题型）24 10．（基础题型） 10．（提高题型）##0.25 11．（基础题型）e4 11．（提高题型） 12．（基础题型） 12．（提高题型） 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分； 每题有且只有一个正确选项) 13．C 14．D 15．（基础题型）B 16．（基础题型）C 15．（提高题型）C 16．（提高题型）A 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知，，. （1）若，求；（2）若是的充分条件，求a的取值范围. 17．（1）；（2）. 【解析】（1）解不等式，得，……3分；所以；……3分； （2）解不等式，得，……2分 因为是的充分条件，所以，……2分 因为恒成立，所以，……1分 所以或，即或，……2分 解得或，故.……1分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 已知，，设关于x的不等式的解集为A. （1）若，求a的取值范围；（2）当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围； （3）若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围. 18．（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）因为，故，……2分；故，故；……2分； （2）即为，故， ①若，则，故不等式的解为，因为不等式有且仅有两个整数，故，即；……1分 ②若，不等式的解集为空集，不合题意，舍；……1分 ③若，则，故不等式的解为，此时无整数解，舍；……1分 综上，；……1分； （3）即为或者，也就是， 而时，恒成立，故时，需恒成立，……2分 也就是在上恒成立，故， 故在上恒成立，而当时，恒成立，……1分 故，当时，设，则， 由双勾函数的单调性可得：在为增函数，故，……2分 故，故.……1分 19．（基础题型）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某生产LED灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场； 该LED灯泡的生产成本为每件元，售价为每件元，目前国内每月销售8万件， 据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件． （1）假设每件售价降元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？ （2）为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策．按照政策，该企业LED灯泡 每件售价每降价元，将获得国家补贴每月万元．已知该企业预计降价范围控制在 ，请问为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润． 19．（1）；（2）；.【分析】（1）直接根据题意列出降价后的利润，并解不等式可得； （2）根据题意可得利润的函数，并用基本不等式可得函数的最大值. 【详解】（1）设每件售价降元，现在售价为元，每件产品利润为元， 月销售量为万件，月销售利润为万元，……2分 而降价前的月销售利润万元，因为降价后月总利润不低于原来的月总利润， 所以，即，解得，……2分 所以售价元，故每件每件售价最少为元；……2分； （2）总利润包括产品利润和政府补贴，设总利润为万元， 降价元后的利润为万元，政府补贴万元，……2分 所以 ，……3分 当且仅当且，即时，等号成立；……1分 故时，该企业下月的月总利润有最大值万元.……2分 19．（提高题型）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了 0 10 30 1 1.5 1.7 专项调研；调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况； 研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快； 但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓；若设运动时长为 （单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果 为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）； 以下是调研收集到的部分数据： （1） 请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式 （参数精确到0.1）：①；②；③； （2） 某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率， 所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果 （即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？ （结果精确到1分钟） 19．（1）选③，理由见解析，函数解析式为；（2）20分钟到40分钟. 【解析】（1）模型①:假设；， 当时，不是，故①不符合题意；……2分 模型②:假设；时，当时，不是， 故②不符合题意；……2分 模型③:假设；时符合，当时，得， 当时，，故③符合题意；……2分 最符合上述规律的是模型③，； （2）由题意，……2分 所以分钟，因为单调递增，……2分 故，当且仅当，……1分 设曹同学小组使用篮球场的时长为，张同学小组使用篮球场的时长为， 则且，故分钟，……2分 又，所以曹同学小组使用篮球场的时长范围是分钟到分钟.……1分. 20．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成， 其中为正整数.（1）若，求的取值范围；（2）若对一切实数恒成立， 求实数的取值范围；（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围； 若不存在，说明理由. 20．（1）；（2）；（3）存在，最小值为9，. 【分析】（1）根据题意，分类讨论的取值范围解绝对值不等式即可得解；（2）根据题意，利用三角绝对值不等式即可得解；（3）根据题意，利用绝对值的几何意义分析得绝对值的最小值，从而得解. 【详解】（1）依题意，得， 当时，，解得，故；……1分 当时，，故；……1分 当时，，解得，故；……1分 综上：；……1分； （2）依题意，得对一切实数恒成立，……2分 因为， 当且仅当，即时，等号成立，……2分 故，实数的取值范围为；……2分； （3） ，……2分 其中的几何意义为： 在数轴上一点到的距离之和，要想距离之和最小， 其中时，取得最小值，……2分 当时，取得最小值，当时，取得最小值，……2分 综上：当时，取得最小值， 最小值为， 故的最小值为9.……2分. 20．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）； 进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）； 对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： （1）求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； （2）求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； （3）对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立； 若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值， 并简要说明理由. 20．（1）最小值2，；（2）6，证明见解析；（3）32，理由见解析. 【分析】（1）根绝绝对值三角不等式的知识求得最小值以及此时对应的的取值范围； （2）先求得波动距离，然后利用差比较法以及绝对值三角不等式证得； （3）先求得，然后结合（2）求得的最大值. 【解析】（1），……2分 当且仅当即时等号成立， 所以当时，取最小值2；……2分； （2）1，4，2，3的波动距离为；……2分 实数，，，满足， 则 ，…2分 因为， 所以，即；……2分； （3）， 其中，，，，因为当或时，，……2分 由（2）知交换，的顺序可使得波动距离变大，所以；同理，……2分 所以或，……2分 可知的最大值是.……2分. 21．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数，若对于定义域内任意实数，不等式都成立， 则称函数是QB函数.（1）判断狄利克雷函数是否是QB函数，并说明理由； （2）若函数是QB函数，求实数的取值范围； （3）已知函数且，证明：“函数是QB函数”的充要条件是“”. 21．（1）不是，理由见详解；（2）；（3）证明见详解. 【解析】（1）不是，……2分 理由如下：因为，令，则，可得，， 不满足，所以狄利克雷函数不是QB函数；……2分； （2）因为函数，则，若函数是QB函数， 则，即，……2分 则，可得，且，可得，……2分 解得或（舍去），所以实数的取值范围为；……2分； （3） 若函数是QB函数， ①当时，令，则，且 ，因为，则，不满足，不合题意；……2分 ②当时，，且，满足， 符合题意；……2分 ③当时，令，则，且， 因为，则，可得，不满足，不合题意；……2分 综上所述：，即充分性成立；若，则， 且，可得，所以函数是QB函数，即必要性成立； 综上所述：“函数是QB函数”的充要条件是“”.……2分. 21．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数； （1）若为区间的方正函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？ 若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由； （3）设，，求非负实数的取值范围， 满足：存在实数，使得均为上的方正函数. 21．（1）；（2）不存在；理由见解析；（3）.【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值；（2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况；（3）根据对称轴与区间的关系，分类讨论函数在上的单调性与最值.结合方正函数的定义，先由两个函数的相同最值，建立方程组并求解，再结合对称轴范围分析的存在情况. 【详解】（1）因为，函数图象开口向上，且对称轴为，……1分 所以函数在上单调递增，由题意，为区间的方正函数， 所以当时，；……1分 当时，，解得或（舍去），……1分 因此，若为区间的方正函数，则实数的值为；……1分； （2）对函数， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，……1分 又当时，，所以函数在上单调递减， 由图象对称性可知，函数在上单调递减，……1分 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数，则，即，又，显然，所以，，所以，即， 解得，这与矛盾；……3分 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数；……1分； （3）当时，，若，则在上单调递增， 在上单调递减，由函数是上的方正函数，……1分 则，解得，此时，也为上的方正函数； 若，则，，不满足题意；……1分 若，则在上单调递减，在上单调递增， 由函数是上的方正函数，则，解得， 此时，也为上的方正函数；……1分 故当时，存在实数，使得均为上的方正函数； 当时，函数图象开口向上，且对称轴为， ①若即，函数在上单调递增，由方正函数的概念， 可知，即，解得，所以由，解得， 此时，图象开口向下，对称轴为，由，则函数在上 单调递减，且，， 所以在上的值域为，故也是上的方正函数，即当时， 存在实数，使得均为上的方正函数；……1分 ②若，即，由，则由方正函数概念， ，且，又由，， 可知，且也是方正函数，则， 且，故，所以联立，解得， 不满足条件，故此时无解；……1分 ③若，即，由，则由方正函数概念， ，且，与②同理可得，， 所以联立，解得，不满足条件，故此时无解；……1分 ④若即，函数在上单调递减，由方正函数的概念， 可知，即，解得，所以，解得， 此时，，抛物线的对称轴为，由可知函数在上单调递增， 且，，……1分 所以在上的值域为，故也是上的方正函数， 即当时，还存在实数，使得均为上的方正函数． 综上所述，当非负实数的取值范围为时，存在实数， 使得均为上的方正函数．……1分 科网（北京）股份有限公司 / 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一上学期期中模拟试卷 数学·答题卡 姓名： 贴条形码区 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 意事 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 体工整、笔迹清晰。 0 0 0 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 23 23 123 123 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 1234 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 破。 5. 正确填涂 789 6789 5678q 6789 5678q 123456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 填空题（本大题共有12题，满分54分，第 1-6题每题4分，第7-12 题每题5分) 1 謀 3 5 7 9. (基础题型) ! 9. (提高题型) 10. (基础题型) 10. (提高题型) 11. （基础题型) 11. (提高题型) 12. (基础题型) 12. (提高题型) 二、 选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16 题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13[A][B][C][D] 14[A][B][C][D] 15 (基础题型)[AB[C]D]16(基础题型)[A[BI[C[D] 15 (提高题型) [A]B][C]D]16(提高题型)[A][B[C][D] 数学第1页（共6页） ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17.(14分) 18.(14分) 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.（基础题型)(14分) 19.(提高题型)(14分) 数学第3页（共6页） 学校 班级 姓名 准考证号 密 封 线 II11 20.(根伯健速)18) 20.舍喜旗馄速)183) ■■■ ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(基础题型)(18分) 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(提高题型)(18分) 数学第6页（共6页）: : 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟试卷 (上海专用) : : 数学 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：沪教版2020必修第一册第一章-第四章（或第五章第二节)。 5.本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6.难度系数：0.61。 : 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分) 1.设aeR,若{x传+2=a,x∈R是集合1)的真子集，则a的值为 2.已知关于x的方程2x2+*x+101=0的一次项系数被“*”遮挡了，若此方程的一个根为101， : 则另一个根为 3.设集合M满足{1,3,5,6UM={1,2,3,4,5,6,则满足条件的所有M的数目为 : 4。卫知义y满斗岁子则x+多的花国是 : 5.用反证法证明“已知x,y∈R,x2+y2=0,求证：x=y=0"时，第一步应假设 : 6.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤1的解集为{x|-1≤x≤3}： O O 若关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有8个整数解，则实数a的取值范围是 7.已知1<a<3,-5<b<-2,则的取值范围是 : Vx2-4x+3≥0的解集是 : 8.不等式3027c-2)202 那 (x+1)2026 区 9.(基础题型)某牛奶的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y=ek+b(e=2.718. : 为自然对数的底数，k,b为常数)：若该牛奶在0℃的保鲜时间是64小时，在20℃的保鲜时间是32小时， 则该食品在30℃的保鲜时间是 小时（四舍五入，精确到整数部分）. : O 9.(提高题型)已知实数a,b满足lg(2a+3b)=lga+lgb,则2a+3b的最小值为 试题第1页（共8页） : 耐学科网·学易金卷 www zxx k com 做好卷，就用学易金卷 10.(基础题型)若正实数a,b满足a+2b=b,则a。++的最小值是 10.(提高题型)己知实数xy满足3x-2+少-刘=2x-y且y≠0，则++的最大值是 11.（基础题型)己知实数，B满足oea=e3,n邱-1)=e4,其中e为自然对数的底数，则cβ=_ 1 11.（提高题型)若对于任意实数x,代数式g2均有意义，则实数a的取值范围是 12.(基础题型)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},在U中任取四个元素组成的集合记为 A={a1,a2,ag,a4},余下的四个元素组成的集合记为A={b1,b2,b3,b4}, 若a1+a2+a3+a4<b1+b2+b3+b4,则集合A的取法共有种. x+d+x-2,x≥0 12.(提高题型)已知a∈R,函数f(x)= x-+2a+1,x<0 .1 的最小值为2a,则由满足条件的a的值 组成的集合是 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13.已知集合A={x∈z,且是∈Z以，则集合A中的元素个数为() A.2B.3 C.4D.5 14.设a是不等于1的正数，M,N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是() A.Iog,a=1 B.log=log,M-log,N C.log,Me=clog,M D.log,(MN)=log,M.log,N 15.(基础题型)下列问题中，a,b是不相等的正数，比较x,y,z的表达式.下列选项正确的是() 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是，第二圈的速度是b,这两圈的平均速度为y: 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为ā（天平平衡）， 放右边时左边砝码质量为b(天平平衡)，物体的实际质量为z. A.x>y>Z B.x>z>y C.z>x>y D.Z>y>x 15.(提高题型)数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算， 数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质 降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就.而位数是指一个自然数有效位的个数， 例如：210=1024，所以210的位数为4；请你运用所学过的对数运算的知识，估计20262026的位数是() (lg2026≈3.3066)A.6697B.6698C.6699D.6700 试题第2页（共8页） 16.(基础题型)已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若a∈S,则当且仅当a=m+n (其中m,n∈S且m≠n),或a=p+q(其中p,qS,p,q∈Z*且p≠q) 现有如下两个命题：①4∈S;②集合{xx=3n+5,n∈N}≤S.则下列选项中正确的是( ) A.①是真命题，②是真命题； B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题， ②是真命题； D.①是假命题，②是假命题 16.(提高题型)己知实数x,y,z满足x2+y2+z2+y+yz+=1,则下列说法错误的是( A.wz的最大值是誓B.x+y+z的最大值是C.x的最大值是D.x+y的最大值是V反 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 : 已知aER,A={1≤（)≤9}，B={片≤1} (1)若U=R,求B;(2)若x∈A是x∈B的充分条件，求a的取值范围， ..0 : : ·········. 试题第3页（共8页） : : 厨学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.（本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知a∈R,fx)=ax2+(3-a)x-3,设关于x的不等式fx)>0的解集为A, (1)若3度A,求a的取值范围；(2)当a<0时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围； (3)若关于x的不等式f(x)+2x+|f(x)-21≥1的解集为R,求a的取值范围. 19.(基础题型)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某生产LD灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场； 该ED灯泡的生产成本为每件10元，售价为每件15元，目前国内每月销售8万件， 据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件， (1)假设每件售价降x元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？ (2)为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策.按照政策，该企业LD灯泡 每件售价每降价x元，将获得国家补贴每月10-3x一衣一之万元。已知该企业预计降价范围控制在 ≤x≤3，请问x为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润。 1 试题第4页（共8页） @学科网·学易金卷 www.zxxk com 做好卷，就用学易金卷 19.(提高题型)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了 专项调研：调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况： 研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快： 但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓；若设运动时长 0 10 30 为t(单位：分钟，t∈「0,120)，相对“未运动状态"的注意力 恢复效果为y,则当运动时长t=0(即未运动)时， 1.5 1.7 y=1（表示恢复效果与未运动时一致)：以下是调研收集到的部分数据： (1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出y关于t的具体函数解析式 (参数a精确到0.1)：①y=at2+1(a>0):②y=ae(a>0);③y=aln(t+1)+1; (2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率， 所以他们商量轮流使用篮球场，请用(1)的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果 (即注意力恢复对应的y值)提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？ (结果精确到1分钟) 试题第5页（共8页） 20.（基础题型)（本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若设M(a,n)=|ax-1+|ax-2+…+|ax-nl为曼哈顿扩张距离，它由n个绝对值之和组成， 其中n为正整数.(1)若M(1,2)≤5，求x的取值范围；(2)若M(3,2)≥m对一切实数x恒成立， 求实数m的取值范围；(3)M(2,6)是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时x的取值范围： 若不存在，说明理由. 年 张 滞 20.(提高题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 教材中定理（三角不等式）：任意给定实数a,b,都有la+bl≤a+bl(当且仅当ab≥0等号成立)： S 进一步研究可以得出：任意给定实数a,b,都有lal-b≤la+bl(当且仅当ab≤0等号成立)： 对于n个实数a1,a2,…,an定义：f(a1,a2,,an)=la1-azl+la2-a3l+.+lan-1-anl(n∈N,n≥3) 为这个实数的波动距离：请根据上述信息尝试解决以下问题： (1)求：关于x的表达式x-3引+x-5引的最小值，并指出取到最小值时x的取值范围； 时 (2)求1,4,2,3的波动距离：并证明：当实数a,b,c,d满足a<b<c时，f(a,b,c,d≤f(a,c,b,d): (3)对于(2)同理可证当实数a,b,c,d满足c<b<a时，f(a,b,c,d)≤f(a,c,b,d也成立； 若设两两不相等的4个实数a1,a2,ag,a4∈{21,22,23,24，求：此4个实数的波动距离的最大值， 性 并简要说明理由. 试题第6页（共8页） 21.(基础题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数y=fx),x∈D,若对于定义域D内任意实数x、y,不等式fx)+fy)≥fy)都成立， O 则称函数y=fx)是QB函数.(1)判断狄利克雷函数f☒)= 〔1，x∈Q是否是QB函数，并说明理由： 0,xQ (2)若函数g(x)=n(ax),x>0是QB函数，求实数a的取值范围： 敏 (3)己知函数h()=a(a∈R且a>0),证明：“函数y=h()是QB函数"的充要条件是“a∈1”. ::0 O 试题第3页（共8页） 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(提高题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若函数y=fx)的定义域、值域均为a,b,则称y=f(x)为a,b上的方正函数： (1)若y=x2-x+为区间[1，bb>1)的方正函数，求实数b的值： (2)是否存在实数对(ab),使得函数)=-为区间a,ba<b)上的方正函数？ 若存在，请写出符合要求的所有实数对(a,b),若不存在，请说明理由： (3)设fx)=ax2+bx+c,g(☒)=cx2-bx+a,求非负实数a的取值范围， 满足：存在实数b,c,使得y=fx),y=g(8)均为-1,1]上的方正函数. 3 试题第4页（共8页）西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟试卷 (上海专用) 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：沪教版2020必修第一册第一章-第四章（或第五章第二节)。 5.本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6.难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1.设aeR,若{x长+2=a,xER}是集合{1的真子集，则a的值为 2.已知关于x的方程2x2+*x+101=0的一次项系数被“*遮挡了，若此方程的一个根为101， 则另一个根为 3.设集合M满足{1,3,5,6}UM={1,2,3,4,5,6},则满足条件的所有M的数目为 4已知xy端行牛号则x+新的假呢 5.用反证法证明“已知x,y∈R,x2+y2=0,求证：X=y=0时，第一步应假设 6.已知关于x的不等式ax2+bx+c≤1的解集为{x-1≤x≤3}： 若关于x的不等式ax2+(b-1)x+c-2≤0有且仅有8个整数解，则实数a的取值范围是 7.已知1<a<3,-5<b<-2,则的取值范围是 8.不等式x2027c-2)2027 G+1)。Vx2=4x+3≥0的解集是 9.(基础题型)某牛奶的保鲜时间y(单位：小时)与储存温度x(单位：℃)满足函数关系y=ex+b(e=2.718. 为自然对数的底数，k,b为常数)：若该牛奶在0℃的保鲜时间是64小时，在20℃的保鲜时间是32小时， 则该食品在30℃的保鲜时间是 小时（四舍五入，精确到整数部分）. 9.(提高题型)己知实数a,b满足lg(2a+3b)=lga+lgb,则2a+3b的最小值为 1/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 10.(基础题型)若正实数a,b满足a+2b=ab,则4。++6的最小值是 10.(提高题型)已知实数x)满足Bx-2y+y-=2x-y且y≠0，则4的最大值是 11.(基础题型)已知实数，B满足aea=e3,βnβ-1)=e4,其中e为自然对数的底数，则aβ=」 1.（提商题型）若对于任意实数x,代数式og,-k均有意义，则实数a的取值范围是 1 12.(基础题型)全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},在U中任取四个元素组成的集合记为 A={a1,a2,ag,a4}，余下的四个元素组成的集合记为A={b1,b2,bg,b4}, 若a1+a2+a3+a4<b1+b2+b3+b4,则集合A的取法共有种. x+d+x-2,x≥0 12.(提高题型)已知a∈R,函数f(x)= -m+jatls< 。的最小值为2a,则由满足条件的a的值 组成的集合是 二、选择题（本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分：每题有且只有一个 正确选项) 13.已知集合A={kEz,且2∈Z,则集合A中的元素个数为() A.2B.3 C.4D.5 14.设a是不等于1的正数，M,N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是() M A.logaa=1 B.logaN=logaM-logaN C.logaMe clogaM D.loga (MN)=logaM.logaN 15.(基础题型)下列问题中，a,b是不相等的正数，比较x,y,z的表达式.下列选项正确的是（) 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a,第二圈的速度是b,这两圈的平均速度为y; 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为（天平平衡）， 放右边时左边砝码质量为b(天平平衡)，物体的实际质量为z. A.x>y>z B.x>z>y C.z>x>y D.z>y>x 15.(提高题型)数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算， 数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质 降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就.而位数是指一个自然数有效位的个数， 例如：210=1024，所以210的位数为4；请你运用所学过的对数运算的知识，估计20262026的位数是（) (lg2026≈3.3066)A.6697B.6698C.6699D.6700 16.(基础题型)已知集合S是由某些正整数组成的集合，且满足：若a∈S,则当且仅当a=m+n 其中m,n∈S且m≠n),或a=p+q(其中p,q庄S,p,q∈Z*且p≠q) 现有如下两个命题：①4∈S;②集合{xk=3n+5,n∈N}∈S.则下列选项中正确的是() A.①是真命题，②是真命题； B.①是真命题，②是假命题 C.①是假命题，②是真命题： D.①是假命题，②是假命题 2/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 16.(提高题型)已知实数x,y,z满足x2+y2+z2+y+yz+zx=1,则下列说法错误的是() A.Xyz的最大值是 : B.x+y+z的最大值是5C.x的最大值是 D.x+y的最大值是V2 三、解答题（本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分） 17.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 己知aER,A={xh≤()≤9}B={片≤1} (I)若U=R,求B;(2)若xEA是x∈B的充分条件，求a的取值范围 18.(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 己知a∈R,fx)=ax2+(3-a)x-3,设关于x的不等式fx)>0的解集为A. (1)若3度A,求a的取值范围；(2)当a<0时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围： (3)若关于x的不等式fx)+2x+lfx)-2\≥1的解集为R,求a的取值范围 3/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(基础题型)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某生产LD灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场： 该LD灯泡的生产成本为每件10元，售价为每件15元，目前国内每月销售8万件， 据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件， (1)假设每件售价降ⅹ元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？ (2)为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策.按照政策，该企业LED灯泡 每件售价每降价x元，将获得国家补贴每月10一3x一衣一之万元.已知该企业预计降价范围控制在 ≤×≤3，请问x为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润。 4/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 19.(提高题型)（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了 专项调研；调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况； 研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快： 但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓；若设运动时长为t (单位：分钟，t∈[0,120)，相对“未运动状态”的注意力恢复效果 0 10 30 为y,则当运动时长t=0(即未运动)时，y=1(表示恢复效果与未运动时一致)： 1.5 1.7 以下是调研收集到的部分数据： (1)请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出y关于t的具体函数解析式 (参数a精确到0.1)：①y=at2+1(a>0):②y=ae(a>0);③y=aln(t+1)+1; (2)某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率， 所以他们商量轮流使用篮球场，请用(1)的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果 (即注意力恢复对应的y值)提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？ (结果精确到1分钟) 5/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 20.(基础题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若设M(a,n)=|ax-1+|ax-2+·+|ax-n为曼哈顿扩张距离，它由n个绝对值之和组成， 其中n为正整数.(1)若M(1,2)≤5，求x的取值范围；(2)若M(3,2)≥m对一切实数x恒成立， 求实数m的取值范围：(3)M(2,6)是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时x的取值范围： 若不存在，说明理由， 20.(提高题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 教材中定理（三角不等式）：任意给定实数a,b,都有a+bl≤lal+bl(当且仅当ab≥0等号成立)： 进一步研究可以得出：任意给定实数a,b,都有‖a-b≤la+bl(当且仅当ab≤0等号成立)： 对于n个实数a1,a2,,an定义：f(a1,a2,,an)=la1-a2|+la2-a|+…+lan-1-anl(n∈N,n≥3) 为这个实数的波动距离：请根据上述信息尝试解决以下问题： (1)求：关于x的表达式x-3+x一5引的最小值，并指出取到最小值时x的取值范围： (2)求1,4,2,3的波动距离：并证明：当实数a,b,c,d满足a<b<c时，f(a,b,c,d≤f(a,c,b,d: (3)对于(2)同理可证当实数a,b,c,d满足c<b<a时，f(a,b,c,d≤f(a,c,b,d也成立： 若设两两不相等的4个实数a1,a2,a,a4∈{21,22,23,24}，求：此4个实数的波动距离的最大值， 并简要说明理由. 6/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(基础题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数y=f(☒)，xED,若对于定义域D内任意实数x、y,不等式fx)+fy)≥f(xy)都成立， 则称函数y=f凶是QB函数.(1)判断狄利克雷函数fx)= 1,×∈Q是否是QB函数，并说明理由： 0,x庄Q (2)若函数g(x)=n(ax),x>0是QB函数，求实数a的取值范围： (3)己知函数h(x)=a(a∈R且a>0),证明：“函数y=h(x)是QB函数”的充要条件是“a∈{1” 7/8 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 21.(提高题型)（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若函数y=fx)的定义域、值域均为[a,b],则称y=f(x为a,b上的方正函数： (1)若y=x2-x+为区间1，(b>1)的方正函数，求实数b的值： (2)是否存在实数对(ab),使得函数)=-为区间[ab(阳<b)上的方正函数？ 若存在，请写出符合要求的所有实数对(a,b),若不存在，请说明理由： (3)设fx)=ax2+bx+c,g(x)=cx2-bx+a,求非负实数a的取值范围， 满足：存在实数b,c,使得y=fx),y=g(x)均为[-1,1]上的方正函数. 8/8 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟试卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第一册第一章-第四章（或第五章第二节）。 5．本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设，若是集合的真子集，则的值为 . 1．2【分析】集合的真子集为空集，即为空集，求出的值即可. 【详解】由题意知集合为空集，则，即.故答案为：. 2．已知关于的方程的一次项系数被“*”遮挡了，若此方程的一个根为101， 则另一个根为 . 2．/0.5【分析】利用根与系数的关系进行求解即可. 【详解】设另一个根为，则两根之积为：，则；故答案为：. 3．设集合满足，则满足条件的所有的数目为 . 3．16【分析】列出所有满足条件的集合的情况，即可得问题的答案. 【详解】由题意知中必含有2和4，1、3、5和6可以选也可不选，则满足条件的所有的数目相当于的子集的个数==16，故答案为：16. 4．已知满足，则的范围是______. 4．【分析】根据题意可知，结合不等式的性质运算求解即可. 【详解】因为，且，则， 可得，所以的范围是；故答案为：. 5．用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 5．不都为零【分析】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 求得要证命题的否定，可得结论. 【详解】根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”；故答案为：不都为零. 6．已知关于的不等式的解集为； 若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 6．【分析】利用三个二次关系计算参数，再解含参不等式，结合条件计算即可. 【详解】由不等式的解集为，得，且方程 的两实根分别为和，则，得：，所以不等式 等价于，结合，整理可得， 又，则，因此解得：， 因为关于的不等式有且仅有个整数解， 因此，即，解得：.所以实数的取值范围为；故答案为：. 7．已知，，则的取值范围是______. 7．【分析】由不等式的性质即可求解. 【详解】因为，所以，则有又， 由不等式的同向同正可乘性得，则；故答案为：. 8．不等式的解集是______. 8．【分析】先根据根式和分式的意义可得或，且，再分析符号结合一元二次不等式运算求解即可. 【详解】由题意可知：，解得或，且， 因为， 若或1或3，原不等式显然成立； 若，则，，， ，可得，解得或，则； 综上所述：不等式的解集为； 故答案为：. 9．（基础题型）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）；若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 9．23【分析】由初始条件求得参数值，再代入计算可得． 【详解】由题意，所以，即， 所以时，，故答案为：23. 9．（提高题型）已知实数满足，则的最小值为__________． 9．24【分析】由题设结合对数运算法则可得，再根据基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】由题意，，，则，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立，则的最小值为24；故答案为：24. 10．（基础题型）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 10．【分析】根据绝对值的性质分析可知，可解出的范围， 再将转化为关于的式子，再结合基本不等式，即可得解. 【详解】由可知， ， 不等式两边时乘以，得，解得. 令，即. 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值是. 10．（提高题型）已知实数满足且，则的最大值是______． 10．##0.25【分析】利用换元法和分离常数的思路将式子整理为，然后根据“1”的运用求最值. 【详解】由题意得，令，，则，，， ，当且仅当，即，时等号成立. 11．（基础题型）已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则 . 11．e4【解析】实数，满足，，所以，， 即，，所以和是方程的根， 由于方程的根唯一，所以，所以， 整理得，所以；故答案为：. 11．（提高题型）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 11．【分析】分析可知，对任意的，且， 当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，， 可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则，所以，，解得. 因此，实数的取值范围是；故答案为：. 12．（基础题型）全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个元素组成的集合记为 ， 若 则集合 的取法共有________种. 12．【分析】由条件可知，再通过列举的方法，计算集合的取法. 【详解】由集合的元素和为，若则，所以，即， 不妨设，则， 所以，所以，即. 则只能有； 当时，则满足，且需从中取： 只有不符合，所以有种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有不符合，所以有种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有符合，2种取法； 当时，则满足，且需从中取：此时有0种取法； 当时，则满足，且需从中取： 只有符合，6种取法； 当时，则满足，且需从中取， 所以有，1种取法；所以共有，故答案为：. 12．（提高题型）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值 组成的集合是_______________. 12.【分析】讨论与、的大小关系，判断函数在、上的单调性与最小值，根据函数的最小值列方程解出实数的值. 【解析】分以下三种情况讨论： ①若时，即当时，，所以，函数在上单调递减， 且，当时，，此时，函数无最小值； ②若时，即当时，，当时，，当时，.，所以，，整理可得， ，解得（舍去）； ③当时，即当时，，当时，， 当时，.因为，所以，，整理可得， ，解得或（舍去）.综上所述，实数的取值集合为； 故答案为：. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13．已知集合且，则集合中的元素个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．C【详解】因，，故的值可能为，故， 集合有4个元素；故选：C. 14．设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（    ） A． B． C． D． 14．D【分析】对于ABC：根据对数的定义和运算性质分析判断即可；对于D：举反例说明即可. 【详解】因为a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数， 对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B正确； 对于选项C：，故C正确；对于选项D：例如， 则，此时，故D错误；故选：D. 15．（基础题型）下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（    ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡）， 放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A． B． C． D． 15．B【分析】首先根据条件分别列出x，y，z与a，b的关系，再根据基本不等式比较大小，得到答案. 【详解】由问题甲，结合圆的面积公式可得，有，即， 由问题乙，设每圈的长度为，则，整理为可得，由问题丙，设天平左边的杠杆长为m， 右边的杠杆长为n，则，可得，即，因为、是不相等的正数，则有，可得，根据重要不等式可知，得，则有， 所以；故选：B． 15．（提高题型）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 15．C【分析】首先设，再通过对数运算公式，即可求解. 【详解】设，所以，因为， 所以，且，所以，所以的位数是700；故选：D. 16．（基础题型）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当 其中且，或其中且. 现有如下两个命题：①；②集合.则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 16．C【分析】根据集合的定义即可判断①是假命题，根据集合的定义先判断，， 再由，有，，且，所以，可判断 ②是真命题. 【详解】因为若，则当且仅当其中且， 或其中且，且集合是由某些正整数组成的集合， 所以，，因为，满足其中且，所以， 因为，且，，所以，故①是假命题；记， 当时，，因为，，，所以；下面讨论元素与集合的关系， 当时，，当时，，，，所以， 当时，，，，所以，当时，，，， 所以，依次类推，当时，，，，所以， 下面讨论时，集合中元素与集合的关系，因为，有，，且，所以，综上所述，，有，即，故②是真命题；故选：C. 16．（提高题型）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（     ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 16．A【分析】利用判别式非负可判断C选项；利用基本不等式及不等式性质可判断BD选项； 利用特例判断A选项. 【详解】对于C，由，整理得，， 可以看作关于的一元二次方程，所以， 即，可以看作关于的一元二次不等式，所以， 解得，当时，，，所以x的最大值是，故C正确； 对于B，由，即， 即，令，，，则， 即，即， 由，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立，所以， 当且仅当时等号成立，即， 所以即， 即，所以，即， 即，当且仅当，即时等号成立， 对于D，所以的最大值是，故B正确；由，即， 所以，即，当且仅当，时等号成立， 所以的最大值是，故D正确；对于A，取，，， 则， 而，又，而 ， 所以，故A错误；故选：A. 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知，，. （1）若，求；（2）若是的充分条件，求a的取值范围. 17．（1）；（2）. 【解析】（1）解不等式，得，……3分；所以；……3分； （2）解不等式，得，……2分 因为是的充分条件，所以，……2分 因为恒成立，所以，……1分 所以或，即或，……2分 解得或，故.……1分. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题4分，第2小题4分，第3小题6分 已知，，设关于x的不等式的解集为A. （1）若，求a的取值范围；（2）当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围； （3）若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围. 18．（1）；（2）；（3）. 【解析】（1）因为，故，……2分；故，故；……2分； （2）即为，故， ①若，则，故不等式的解为，因为不等式有且仅有两个整数，故，即；……1分 ②若，不等式的解集为空集，不合题意，舍；……1分 ③若，则，故不等式的解为，此时无整数解，舍；……1分 综上，；……1分； （3）即为或者，也就是， 而时，恒成立，故时，需恒成立，……2分 也就是在上恒成立，故， 故在上恒成立，而当时，恒成立，……1分 故，当时，设，则， 由双勾函数的单调性可得：在为增函数，故，……2分 故，故.……1分 19．（基础题型）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某生产LED灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场； 该LED灯泡的生产成本为每件元，售价为每件元，目前国内每月销售8万件， 据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件． （1）假设每件售价降元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？ （2）为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策．按照政策，该企业LED灯泡 每件售价每降价元，将获得国家补贴每月万元．已知该企业预计降价范围控制在 ，请问为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润． 19．（1）；（2）；.【分析】（1）直接根据题意列出降价后的利润，并解不等式可得； （2）根据题意可得利润的函数，并用基本不等式可得函数的最大值. 【详解】（1）设每件售价降元，现在售价为元，每件产品利润为元， 月销售量为万件，月销售利润为万元，……2分 而降价前的月销售利润万元，因为降价后月总利润不低于原来的月总利润， 所以，即，解得，……2分 所以售价元，故每件每件售价最少为元；……2分； （2）总利润包括产品利润和政府补贴，设总利润为万元， 降价元后的利润为万元，政府补贴万元，……2分 所以 ，……3分 当且仅当且，即时，等号成立；……1分 故时，该企业下月的月总利润有最大值万元.……2分 19．（提高题型）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了 0 10 30 1 1.5 1.7 专项调研；调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况； 研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快； 但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓；若设运动时长为 （单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果 为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）； 以下是调研收集到的部分数据： （1） 请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式 （参数精确到0.1）：①；②；③； （2） 某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率， 所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果 （即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？ （结果精确到1分钟） 19．（1）选③，理由见解析，函数解析式为；（2）20分钟到40分钟. 【解析】（1）模型①:假设；， 当时，不是，故①不符合题意；……2分 模型②:假设；时，当时，不是， 故②不符合题意；……2分 模型③:假设；时符合，当时，得， 当时，，故③符合题意；……2分 最符合上述规律的是模型③，； （2）由题意，……2分 所以分钟，因为单调递增，……2分 故，当且仅当，……1分 设曹同学小组使用篮球场的时长为，张同学小组使用篮球场的时长为， 则且，故分钟，……2分 又，所以曹同学小组使用篮球场的时长范围是分钟到分钟.……1分. 20．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成， 其中为正整数.（1）若，求的取值范围；（2）若对一切实数恒成立， 求实数的取值范围；（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围； 若不存在，说明理由. 20．（1）；（2）；（3）存在，最小值为9，. 【分析】（1）根据题意，分类讨论的取值范围解绝对值不等式即可得解；（2）根据题意，利用三角绝对值不等式即可得解；（3）根据题意，利用绝对值的几何意义分析得绝对值的最小值，从而得解. 【详解】（1）依题意，得， 当时，，解得，故；……1分 当时，，故；……1分 当时，，解得，故；……1分 综上：；……1分； （2）依题意，得对一切实数恒成立，……2分 因为， 当且仅当，即时，等号成立，……2分 故，实数的取值范围为；……2分； （3） ，……2分 其中的几何意义为： 在数轴上一点到的距离之和，要想距离之和最小， 其中时，取得最小值，……2分 当时，取得最小值，当时，取得最小值，……2分 综上：当时，取得最小值， 最小值为， 故的最小值为9.……2分. 20．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）； 进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）； 对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： （1）求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； （2）求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； （3）对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立； 若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值， 并简要说明理由. 20．（1）最小值2，；（2）6，证明见解析；（3）32，理由见解析. 【分析】（1）根绝绝对值三角不等式的知识求得最小值以及此时对应的的取值范围； （2）先求得波动距离，然后利用差比较法以及绝对值三角不等式证得； （3）先求得，然后结合（2）求得的最大值. 【解析】（1），……2分 当且仅当即时等号成立， 所以当时，取最小值2；……2分； （2）1，4，2，3的波动距离为；……2分 实数，，，满足， 则 ，…2分 因为， 所以，即；……2分； （3）， 其中，，，，因为当或时，，……2分 由（2）知交换，的顺序可使得波动距离变大，所以；同理，……2分 所以或，……2分 可知的最大值是.……2分. 21．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数，若对于定义域内任意实数，不等式都成立， 则称函数是QB函数.（1）判断狄利克雷函数是否是QB函数，并说明理由； （2）若函数是QB函数，求实数的取值范围； （3）已知函数且，证明：“函数是QB函数”的充要条件是“”. 21．（1）不是，理由见详解；（2）；（3）证明见详解. 【解析】（1）不是，……2分 理由如下：因为，令，则，可得，， 不满足，所以狄利克雷函数不是QB函数；……2分； （2）因为函数，则，若函数是QB函数， 则，即，……2分 则，可得，且，可得，……2分 解得或（舍去），所以实数的取值范围为；……2分； （3） 若函数是QB函数， ①当时，令，则，且 ，因为，则，不满足，不合题意；……2分 ②当时，，且，满足， 符合题意；……2分 ③当时，令，则，且， 因为，则，可得，不满足，不合题意；……2分 综上所述：，即充分性成立；若，则， 且，可得，所以函数是QB函数，即必要性成立； 综上所述：“函数是QB函数”的充要条件是“”.……2分. 21．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数； （1）若为区间的方正函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？ 若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由； （3）设，，求非负实数的取值范围， 满足：存在实数，使得均为上的方正函数. 21．（1）；（2）不存在；理由见解析；（3）.【分析】（1）分析函数在上的单调性，求出函数值域，结合方正函数的定义，可求的值；（2）分析函数的性质，结合单调性和奇偶性，还有方正函数的定义，分析的存在情况；（3）根据对称轴与区间的关系，分类讨论函数在上的单调性与最值.结合方正函数的定义，先由两个函数的相同最值，建立方程组并求解，再结合对称轴范围分析的存在情况. 【详解】（1）因为，函数图象开口向上，且对称轴为，……1分 所以函数在上单调递增，由题意，为区间的方正函数， 所以当时，；……1分 当时，，解得或（舍去），……1分 因此，若为区间的方正函数，则实数的值为；……1分； （2）对函数， 因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称，……1分 又当时，，所以函数在上单调递减， 由图象对称性可知，函数在上单调递减，……1分 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数，则，即，又，显然，所以，，所以，即， 解得，这与矛盾；……3分 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数；……1分； （3）当时，，若，则在上单调递增， 在上单调递减，由函数是上的方正函数，……1分 则，解得，此时，也为上的方正函数； 若，则，，不满足题意；……1分 若，则在上单调递减，在上单调递增， 由函数是上的方正函数，则，解得， 此时，也为上的方正函数；……1分 故当时，存在实数，使得均为上的方正函数； 当时，函数图象开口向上，且对称轴为， ①若即，函数在上单调递增，由方正函数的概念， 可知，即，解得，所以由，解得， 此时，图象开口向下，对称轴为，由，则函数在上 单调递减，且，， 所以在上的值域为，故也是上的方正函数，即当时， 存在实数，使得均为上的方正函数；……1分 ②若，即，由，则由方正函数概念， ，且，又由，， 可知，且也是方正函数，则， 且，故，所以联立，解得， 不满足条件，故此时无解；……1分 ③若，即，由，则由方正函数概念， ，且，与②同理可得，， 所以联立，解得，不满足条件，故此时无解；……1分 ④若即，函数在上单调递减，由方正函数的概念， 可知，即，解得，所以，解得， 此时，，抛物线的对称轴为，由可知函数在上单调递增， 且，，……1分 所以在上的值域为，故也是上的方正函数， 即当时，还存在实数，使得均为上的方正函数． 综上所述，当非负实数的取值范围为时，存在实数， 使得均为上的方正函数．……1分 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一上学期期中模拟试卷 数 学·答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．____________________ 2．____________________ 3．____________________ 4．____________________ 5．____________________ 6．____________________ 7．____________________ 8．____________________ 9．（基础题型）____________________ 9．（提高题型）____________________ 10．（基础题型）____________________ 10．（提高题型）____________________ 11．（基础题型）____________________ 11．（提高题型）____________________ 12．（基础题型）____________________ 12．（提高题型）____________________ 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13 [A] [B] [C] [D] 14 [A] [B] [C] [D] 15 （基础题型）[A] [B] [C] [D] 16 （基础题型）[A] [B] [C] [D] 15（提高题型） [A] [B] [C] [D] 16（提高题型） [A] [B] [C] [D] 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分， 第20、21题每题18分.) 17．（14分） 18．（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（基础题型）（14分） 19．（提高题型）（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 数 学 第1页（共6页） 数 学 第2页（共6页） 数 学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20．（基础题型）（18分） 20．（提高题型）（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（基础题型）（18分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（提高题型）（18分） 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页）1 数 学 第4页（共6页） 数 学 第5页（共6页） 数 学 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高一数学上学期期中模拟试卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第一册第一章-第四章（或第五章第二节）。 5．本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设，若是集合的真子集，则的值为 . 2．已知关于的方程的一次项系数被“*”遮挡了，若此方程的一个根为101， 则另一个根为 . 3．设集合满足，则满足条件的所有的数目为 . 4．已知满足，则的范围是______. 5．用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 6．已知关于的不等式的解集为； 若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 7．已知，，则的取值范围是______. 8．不等式的解集是______. 9．（基础题型）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）；若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 9．（提高题型）已知实数满足，则的最小值为__________． 10．（基础题型）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 10．（提高题型）已知实数满足且，则的最大值是______． 11．（基础题型）已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则 . 11．（提高题型）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 12．（基础题型）全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个元素组成的集合记为 ， 若 则集合 的取法共有________种. 12．（提高题型）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值 组成的集合是_______________. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13．已知集合且，则集合中的元素个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（    ） A． B． C． D． 15．（基础题型）下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（    ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡）， 放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A． B． C． D． 15．（提高题型）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 1 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 16．（基础题型）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当 其中且，或其中且. 现有如下两个命题：①；②集合.则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 16．（提高题型）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（     ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知，，. （1）若，求；（2）若是的充分条件，求a的取值范围. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知，，设关于x的不等式的解集为A. （1）若，求a的取值范围；（2）当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围； （3）若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围. 19．（基础题型）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某生产LED灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场； 该LED灯泡的生产成本为每件元，售价为每件元，目前国内每月销售8万件， 据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件． （1）假设每件售价降元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？ （2）为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策．按照政策，该企业LED灯泡 每件售价每降价元，将获得国家补贴每月万元．已知该企业预计降价范围控制在 ，请问为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润． 19．（提高题型）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了 专项调研；调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况； 研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快； 0 10 30 1 1.5 1.7 但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓；若设运动时长 为（单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力 恢复效果为，则当运动时长（即未运动）时， （表示恢复效果与未运动时一致）；以下是调研收集到的部分数据： （1） 请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式 （参数精确到0.1）：①；②；③； （2） 某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率， 所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果 （即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？ （结果精确到1分钟） 20．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成， 其中为正整数.（1）若，求的取值范围；（2）若对一切实数恒成立， 求实数的取值范围；（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围； 若不存在，说明理由. 20．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）； 进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）； 对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： （1）求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； （2）求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； （3）对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立； 若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值， 并简要说明理由. 21．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数，若对于定义域内任意实数，不等式都成立， 则称函数是QB函数.（1）判断狄利克雷函数是否是QB函数，并说明理由； （2）若函数是QB函数，求实数的取值范围； （3）已知函数且，证明：“函数是QB函数”的充要条件是“”. 21．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数； （1）若为区间的方正函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？ 若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由； （3）设，，求非负实数的取值范围， 满足：存在实数，使得均为上的方正函数. 2 试题 第5页（共8页） 试题 第6页（共8页） 1 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一数学上学期期中模拟试卷 （上海专用） 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：沪教版2020必修第一册第一章-第四章（或第五章第二节）。 5．本试卷部分试题分为基础卷和提高卷，请民办、普高或者区重点高中的考生做基础题型， 其余市重点或者市特色高中的考生做提高题型；其余没有作标记的试题不做区分。 6．难度系数：0.61。 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．设，若是集合的真子集，则的值为 . 2．已知关于的方程的一次项系数被“*”遮挡了，若此方程的一个根为101， 则另一个根为 . 3．设集合满足，则满足条件的所有的数目为 . 4．已知满足，则的范围是______. 5．用反证法证明“已知x，，，求证：”时，第一步应假设_______________． 6．已知关于的不等式的解集为； 若关于的不等式有且仅有8个整数解，则实数的取值范围是__________． 7．已知，，则的取值范围是______. 8．不等式的解集是______. 9．（基础题型）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）；若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 9．（提高题型）已知实数满足，则的最小值为__________． 10．（基础题型）若正实数a，b满足，则的最小值是________． 10．（提高题型）已知实数满足且，则的最大值是______． 11．（基础题型）已知实数，满足，，其中为自然对数的底数，则 . 11．（提高题型）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 12．（基础题型）全集 ，在 中任取四个元素组成的集合记为 ，余下的四个元素组成的集合记为 ， 若 则集合 的取法共有________种. 12．（提高题型）已知，函数的最小值为，则由满足条件的的值 组成的集合是_______________. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个 正确选项) 13．已知集合且，则集合中的元素个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 14．设a是不等于1的正数，M，N是任意给定的正数，c是任意给定的实数，则下列性质中错误的是（    ） A． B． C． D． 15．（基础题型）下列问题中，a，b是不相等的正数，比较x，y，z的表达式．下列选项正确的是（    ） 问题甲：一个直径a寸的披萨和一个直径b寸的披萨，面积和等于两个直径都是x寸的披萨； 问题乙：某人散步，第一圈的速度是a，第二圈的速度是b，这两圈的平均速度为y； 问题丙：将一物体放在两臂不等长的天平测量，放左边时右侧砝码质量为a（天平平衡）， 放右边时左边砝码质量为b（天平平衡），物体的实际质量为z． A． B． C． D． 15．（提高题型）数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为4；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（    ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 16．（基础题型）已知集合是由某些正整数组成的集合，且满足：若，则当且仅当 其中且，或其中且. 现有如下两个命题：①；②集合.则下列选项中正确的是（     ） A．①是真命题， ②是真命题； B．①是真命题， ②是假命题 C．①是假命题， ②是真命题； D．①是假命题， ②是假命题. 16．（提高题型）已知实数x，y，z满足，则下列说法错误的是（     ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最大值是 D．的最大值是 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知，，. （1）若，求；（2）若是的充分条件，求a的取值范围. 18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 已知，，设关于x的不等式的解集为A. （1）若，求a的取值范围；（2）当时，若A中有且仅有两个整数，求a的取值范围； （3）若关于x的不等式的解集为，求a的取值范围. 19．（基础题型）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 某生产LED灯泡的企业海外市场受阻，该企业决定采取降价措施，拉动内需，拓展国内市场； 该LED灯泡的生产成本为每件元，售价为每件元，目前国内每月销售8万件， 据市场调查，若每件售价每降低1元，月销售量将增加2万件． （1）假设每件售价降元要使下月总利润不低于原来的月总利润，该LED灯泡每件售价最少为多少元？ （2）为了帮助企业渡过难关，国家针对中小微企业制定了政府补贴政策．按照政策，该企业LED灯泡 每件售价每降价元，将获得国家补贴每月万元．已知该企业预计降价范围控制在 ，请问为多少时，该企业下月的月总利润最大？并求出下月的最大总利润． 19．（提高题型）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分 为帮助同学们更合理地安排课余时间，高二的学长针对“各类课余活动对学习效率的影响”开展了 0 10 30 1 1.5 1.7 专项调研；调研中，学长们通过小游戏测试学生注意力的恢复情况，以此量化学习效率的变化情况； 研究发现，运动对注意力提升的效果存在明显规律：初始阶段，注意力恢复速度较快； 但随着运动时长增加，恢复效果的提升速率会逐渐变缓；若设运动时长为 （单位：分钟，），相对“未运动状态”的注意力恢复效果 为，则当运动时长（即未运动）时，（表示恢复效果与未运动时一致）； 以下是调研收集到的部分数据： （1） 请从以下三个函数模型中，选择最符合上述规律的模型，并求出关于的具体函数解析式 （参数精确到0.1）：①；②；③； （2） 某个篮球场开放时间：18：00-19：00，曹同学和张同学小组都想通过运动恢复学习效率， 所以他们商量轮流使用篮球场，请用（1）的函数模型解释，若两个小组都希望学习效率恢复效果 （即注意力恢复对应的值）提升到1.6以上，则曹同学小组使用篮球场的时长范围是多少？ （结果精确到1分钟） 20．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若设为曼哈顿扩张距离，它由个绝对值之和组成， 其中为正整数.（1）若，求的取值范围；（2）若对一切实数恒成立， 求实数的取值范围；（3）是否存在最小值？若存在，求出该最小值与此时的取值范围； 若不存在，说明理由. 20．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 教材中定理（三角不等式）：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）； 进一步研究可以得出：任意给定实数，，都有（当且仅当等号成立）； 对于个实数，，…，定义：为这个实数的波动距离；请根据上述信息尝试解决以下问题： （1）求：关于的表达式的最小值，并指出取到最小值时的取值范围； （2）求1，4，2，3的波动距离；并证明：当实数，，，满足时，； （3）对于（2）同理可证当实数，，，满足时，也成立； 若设两两不相等的4个实数，，，，求：此4个实数的波动距离的最大值， 并简要说明理由. 21．（基础题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 已知函数，若对于定义域内任意实数，不等式都成立， 则称函数是QB函数.（1）判断狄利克雷函数是否是QB函数，并说明理由； （2）若函数是QB函数，求实数的取值范围； （3）已知函数且，证明：“函数是QB函数”的充要条件是“”. 21．（提高题型）（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分 若函数的定义域、值域均为，则称为上的方正函数； （1）若为区间的方正函数，求实数的值； （2）是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？ 若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由； （3）设，，求非负实数的取值范围， 满足：存在实数，使得均为上的方正函数. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $