专题3.1 椭圆重难点题型专项训练（3个知识点+14大基础题型+2大提高题型+自我检测）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修

专题3.1 椭圆重难点题型专训 （3个知识点+14大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、利用椭圆定义求方程 题型二、椭圆上点到焦点的距离及最值 题型三、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 题型四、椭圆中焦点三角形的周长问题 题型五、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 题型六、椭圆中焦点三角形的面积问题 题型七、椭圆中焦点三角形的其他问题 题型八、根据方程表示椭圆求参数的范围 题型九、根据椭圆方程求a、b,c 题型十、椭圆的方程与椭圆(焦点)位置的特征 题型十一、求椭圆上点的坐标 题型十二、根据a、b、c求椭圆标准方程 题型十三、根据椭圆过的点求标准方程 题型十四、轨迹问题--椭圆 第二部分·练提高题型 题型一、椭圆中焦点三角形的相关问题 题型二、椭圆的相关方程求解 第三部分・自我检测 知识点01  椭圆的定义 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={}. 【即时训练】 1．（25-26高三上·甘肃武威·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是椭圆上一点，则（　　） A． B．6 C． D．3 2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________． 知识点02 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点，当点M，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，则. 【即时训练】 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）椭圆的两个焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为____． 知识点03 椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c，0)，F2 (c，0) F1(0，-c)，F2 (0，c) a，b，c的关系 2．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0，B>0，A≠B)，再解答. 【即时训练】 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 【基础题型一 利用椭圆定义求方程】 【例1】（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东滨州·阶段检测）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）动圆C与圆内切且和圆外切，记动圆圆心C的轨迹为E．求动圆圆心C的轨迹方程 【基础题型二 椭圆上点到焦点的距离及最值】 【例2】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 1．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）如果椭圆上一点P到左焦点的距离是6，那么点P到右焦点的距离是（   ） A．6 B．5 C．11 D．10 2．（24-25高二上·安徽亳州·阶段检测）（多选）已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 3．（25-26高二上·上海普陀·期末）椭圆上一点P到其两个焦点的距离之和为______． 4．（25-26高二·全国·课堂例题）已知椭圆的上焦点为F，且P是椭圆上的一点，求的最小值与最大值． 【基础题型三 椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值】 【例3】（2025·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）（多选）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为5 B． C．存在点，使 D．的最大值为 3．（24-25高二上·上海·期中）已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为__________. 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 【基础题型四 椭圆中焦点三角形的周长问题】 【例4】（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知，为椭圆的两个焦点，点M在C上，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为（    ） A．4 B． C． D．6 3．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）若，是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，试求的周长． 【基础题型五 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 【例5】（24-25高二上·湖北·阶段检测）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·上海·期中）已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 2．（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（    ） A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为 3．（25-26高二上·山东威海·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是______． 4．（24-25高二上·陕西安康·期末）已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，求的最大值和最小值． 【基础题型六 椭圆中焦点三角形的面积问题】 【例6】（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 1．（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（   ） A． B． C． D．1 3．（24-25高二上·云南大理·阶段检测）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 【基础题型七 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例7】（24-25高二下·江西·开学考试）已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M是椭圆C上一点，且，则=（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B．4 C．7 D． 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）（多选）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26高二上·浙江·期中）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则______． 4．（24-25高二上·广东东莞·期中）平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 【基础题型八 根据方程表示椭圆求参数的范围】 【例8】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南许昌·期末）（多选）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 3．（25-26高二下·云南曲靖·开学考试）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 4．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (3)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 【基础题型九 根据椭圆方程求a、b,c】 【例9】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B．3 C． D．6 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）（多选）若椭圆的焦距为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．（25-26高二上·四川泸州·期末）椭圆的一个焦点坐标是，则的值为______. 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知椭圆的两个焦点分别为，，再添加什么条件，可得椭圆的方程为？ 【基础题型十 椭圆的方程与椭圆(焦点)位置的特征】 【例10】（25-26高二上·江苏·期末）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江金华·期中）（多选）已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____________. 4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4； (2)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1. 【基础题型十一 求椭圆上点的坐标】 【例11】（2025·广西贵港·模拟预测）已知点在椭圆C：上，且点P到直线的距离是点P到x轴的距离的两倍，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 1．（25-26高三上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（    ） A．1 B．3 C．2 D． 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）（多选）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 3．（25-26高二·全国·课后作业）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为______． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标． 【基础题型十二 根据a、b、c求椭圆标准方程】 【例12】（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·山西·期中）椭圆的短轴长为2，焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）若焦点在轴的椭圆两个顶点之间的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 4．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)经过点，两点． 【基础题型十三 根据椭圆过的点求标准方程】 【例13】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）经过两点的椭圆的标准方程为（     ）. A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·期中）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 4．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 【基础题型十四 轨迹问题--椭圆】 【例14】（24-25高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西·阶段检测）（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 3．（2025高三·全国·专题练习）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则点的轨迹方程为______． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）点A，B的坐标分别是，直线AM，BM相交于点，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是，求点的轨迹方程． 【提高题型一 椭圆中焦点三角形的相关问题】 【例1】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东烟台·三模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，为椭圆：的两个焦点，点在上，若，则___. 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【提高题型二 椭圆的相关方程求解】 【例2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是，且过点的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为________． 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 1．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西商洛·三模）已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 3．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·江西·模拟预测）已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 5．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·河南郑州·期中）（多选）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 8．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 9．（2025·河南驻马店·模拟预测）（多选）已知P是椭圆上位于第二象限的一点，为C的左、右焦点，O为坐标原点，，的平分线与x轴交与点Q，点M在直线上，，且，则（   ） A．点P在以为直径的圆上 B．的周长为10 C．椭圆C的方程为 D． 10．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）在直角坐标系中，点为动点，，记的轨迹为为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 11．（25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 12．（2026·湖南长沙·二模）已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 13．（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 14．（24-25高二上·重庆渝中·阶段检测）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为4，则的值为______； 15．（25-26高二下·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 16．（24-25高二上·云南大理·期中）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点、. 17．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）（1）已知中心在坐标原点的椭圆过点和点，求此椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，求椭圆C的标准方程. 18．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 19．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 20．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.1 椭圆重难点题型专训 （3个知识点+14大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、利用椭圆定义求方程 题型二、椭圆上点到焦点的距离及最值 题型三、椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值 题型四、椭圆中焦点三角形的周长问题 题型五、椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值 题型六、椭圆中焦点三角形的面积问题 题型七、椭圆中焦点三角形的其他问题 题型八、根据方程表示椭圆求参数的范围 题型九、根据椭圆方程求a、b,c 题型十、椭圆的方程与椭圆(焦点)位置的特征 题型十一、求椭圆上点的坐标 题型十二、根据a、b、c求椭圆标准方程 题型十三、根据椭圆过的点求标准方程 题型十四、轨迹问题--椭圆 第二部分·练提高题型 题型一、椭圆中焦点三角形的相关问题 题型二、椭圆的相关方程求解 第三部分・自我检测 知识点01  椭圆的定义 1．椭圆的定义 (1)定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距. (2)椭圆定义的集合表示P={}. 【即时训练】 1．（25-26高三上·甘肃武威·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，若是椭圆上一点，则（　　） A． B．6 C． D．3 【答案】A 【分析】根据椭圆定义进行求解. 【详解】由椭圆方程可知，由椭圆定义可知． 故选：A． 2．（25-26高二上·陕西渭南·期末）已知椭圆的左、右焦点分别是是该椭圆上一点，则________________． 【答案】 【分析】由题可得，再根据椭圆的定义即可求解． 【详解】对于椭圆，则，即， 由椭圆的定义得． 故答案为：． 知识点02 椭圆的焦点三角形 1．椭圆的焦点三角形 (1)焦点三角形的概念 设M是椭圆上一点，F1，F2为椭圆的焦点，当点M，F1，F2不在同一条直线上时，它们构成一个焦点三角形，如图所示. (2)焦点三角形的常用公式 ①焦点三角形的周长L=2a+2c. ②在中，由余弦定理可得. ③设，则. 【即时训练】 1．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）椭圆的两个焦点分别为，，过焦点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（   ） A．10 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义易得. 【详解】由可得椭圆焦点在轴上，且长半轴长为， 则的周长为 . 故选：D. 2．（25-26高二上·贵州遵义·阶段检测）已知，为椭圆的两个焦点，若上一点满足，则面积为____． 【答案】2025 【分析】利用椭圆的定义和勾股定理可得，结合面积公式可得答案. 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，设焦距为， 由定义可得，因为，由勾股定理可得, 即， 所以， 所以面积为. 故答案为：2025 知识点03 椭圆的标准方程 1．椭圆的标准方程 椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 焦点坐标 F1(-c，0)，F2 (c，0) F1(0，-c)，F2 (0，c) a，b，c的关系 2．椭圆方程的求解 (1)用定义法求椭圆的标准方程 根据椭圆的定义，确定的值，结合焦点位置可写出椭圆方程. (2)用待定系数法求椭圆的标准方程 ①如果明确了椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，那么所求的椭圆一定是标准形式，就可以利用待定系数法求解.首先建立方程，然后依据题设条件，计算出方程中的a，b的值，从而确定方程（注意焦点的位置）. ②如果不能确定椭圆的焦点的位置，那么可用以下两种方法来解决问题：一是分类讨论，分别就焦点在x轴上和焦点在y轴上利用待定系数法设出椭圆的标准方程，再解答；二是用待定系数法设椭圆的一般方程为=1(A>0，B>0，A≠B)，再解答. 【即时训练】 1．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知椭圆的左右焦点分别是，椭圆上任意一点到的距离之和为4，焦距为2，则椭圆C的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据椭圆定义及题目条件求出a、b、c即可得解． 【详解】根据椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a， 已知该和为，故，得， 椭圆焦距为2c，已知焦距为，故，得， 由椭圆中，可得， 所以椭圆的标准方程为． 故选：C． 2．（25-26高二上·广东江门·阶段检测）以原点为中心且经过点和点的椭圆的标准方程为_______， 【答案】 【分析】根据给定条件，设出椭圆标准方程，利用待定系数法求解. 【详解】由原点为中心且经过点和点的椭圆，设椭圆方程为， 则且，解得，所以所求椭圆标准方程为. 故答案为： 【基础题型一 利用椭圆定义求方程】 【例1】（25-26高二上·贵州毕节·期末）平面内点到的距离之和是10，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设条件结合椭圆的定义进行求解. 【详解】由题知，， 由椭圆的定义可知，的轨迹方程是焦点在轴上的椭圆， 其中，则， 方程为：. 故选：D 1．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知点，，动点满足，则动点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的概念，求出椭圆标准方程即可. 【详解】由题意可知，所以动点的轨迹是椭圆，且，则， 所以椭圆标准方程为. 故选：A. 2．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两个定点，的距离之和等于常数， 根据椭圆的定义可知，点的轨迹为以，为焦点的椭圆，且，， 所以，故所求的轨迹方程为. 故选：D 3．（24-25高二上·山东滨州·阶段检测）已知的顶点，，且周长为16，求顶点的轨迹方程______． 【答案】 【分析】应用椭圆定义可判断顶点C的轨迹，应用待定系数法求轨迹方程，要注意排除三点共线情况. 【详解】因为，，所以， 又因为 的周长为16， 所以，并且. 所以顶点在以，为焦点的椭圆上， 设椭圆方程为， 因为，，，所以，， 又因为三点不共线，所以顶点的轨迹方程为. 故答案为： 4．（25-26高三·全国·一轮复习）动圆C与圆内切且和圆外切，记动圆圆心C的轨迹为E．求动圆圆心C的轨迹方程 【答案】 【详解】设动圆的半径为，易知圆和圆的半径分别为，，因为与，都内切，则，，所以，又，，，所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，设的方程为：，则，，所以，，所以的方程为：． 【基础题型二 椭圆上点到焦点的距离及最值】 【例2】（25-26高二上·陕西榆林·阶段检测）已知椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则点到另一个焦点的距离为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆，得，解得， 设椭圆的两焦点分别为，且， 又点在椭圆上，所以，所以， 解得，所以点到另一个焦点的距离为. 故选：B. 1．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）如果椭圆上一点P到左焦点的距离是6，那么点P到右焦点的距离是（   ） A．6 B．5 C．11 D．10 【答案】D 【分析】直接利用椭圆的定义求解即可. 【详解】因为椭圆方程为，所以，解得， 由椭圆的定义可得，又，所以. 故选：D 2．（24-25高二上·安徽亳州·阶段检测）（多选）已知椭圆C：的左焦点为F，点P是C上任意一点，则的值可能是（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】ABC 【分析】根据求出的范围即可. 【详解】由题意可知，， 所以，即． 故选:ABC． 3．（25-26高二上·上海普陀·期末）椭圆上一点P到其两个焦点的距离之和为______． 【答案】4 【分析】求出椭圆a的值，再根据椭圆的定义即可求解． 【详解】焦点在轴上的椭圆，标准形式为（）， 所以，解得， 所以，椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为． 故答案为：4． 4．（25-26高二·全国·课堂例题）已知椭圆的上焦点为F，且P是椭圆上的一点，求的最小值与最大值． 【答案】的最小值为，最大值为. 【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的范围、配方法进行求解即可. 【详解】设，则有，， ， 因为，所以， 因此，即的最小值为，最大值为. 【基础题型三 椭圆上的点到坐标轴上的点的距离及最值】 【例3】（2025·陕西西安·一模）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据圆的性质，结合两点间距离公式、配方法进行求解即可. 【详解】解：设圆的圆心为，则， 设，则， 所以 ，当且仅当时取得最大值， 所以． 故选：B． 1．（24-25高二上·吉林长春·期末）已知是椭圆的上顶点，点是椭圆上的任意一点，则的最大值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】设出点坐标，利用坐标表示出并进行化简，再根据椭圆的有界性结合二次函数的性质求解出的最大值. 【详解】设，，且， 所以 ， 又因为，所以当时取最大值， 所以， 故选：C. 2．（25-26高二下·湖北·阶段检测）（多选）已知是左右焦点分别为，的上的动点，，下列说法正确的有（    ） A．的最大值为5 B． C．存在点，使 D．的最大值为 【答案】BD 【分析】设，则，进而根据两点之间的距离公式和二次函数性质求解判断A；根据椭圆定义判断B；根据为短轴端点时，判断C；根据，，三点共线时，有最大值判断D. 【详解】解：对于A选项，设，则，即， 所以， 又，所以当时，，故A错误， 对于B选项，由椭圆定义，，故B正确 对于C选项，当为短轴端点时， ，，，故，进而，故C错误， 对于D选项，，当，，三点共线时，有最大值，故D正确. 故选：BD 3．（24-25高二上·上海·期中）已知在中，，，若点为的中点.则的最小值为__________. 【答案】 【分析】根据题意可得：点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点，从而根据椭圆的几何性质，即可求解． 【详解】在△中，，， 点在以，为焦点，且长轴长，焦距的椭圆上，不含长轴上的两顶点， ，，短半轴，又的中点为该椭圆的中心， 的最小值为． 故答案为： 4．（24-25高二·全国·课后作业）已知P是椭圆上一点，，求的最小值与最大值． 【答案】最小值为，最大值为11 【分析】设点P的坐标为，则，由，利用二次函数的性质求解. 【详解】因为P是椭圆上一点， 所以，且椭圆焦点在y轴上， 点P是椭圆上任意一点，设点P的坐标为， 则， 所以， ， ， 因为， 当时，， 所以 当时， . 【基础题型四 椭圆中焦点三角形的周长问题】 【例4】（25-26高二上·陕西汉中·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．6 B．12 C．10 D．20 【答案】B 【分析】根据椭圆的标准方程求出，再由椭圆的定义，即可求解. 【详解】因为椭圆，则，， 所以的周长为， 故选：B. 1．（25-26高二上·广东广州·期末）已知，为椭圆的两个焦点，点M在C上，则的周长为（    ） A．10 B．12 C．16 D．20 【答案】C 【分析】先根据椭圆方程可得，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆，得， 则的周长为. 故选：C 2．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）（多选）点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】BC 【分析】根据焦点三角形的周长取值范围即可得到答案. 【详解】由椭圆，得：，， 当点在椭圆上时，周长最大，为； 当点位于（包括端点）之间时，取极限值，为. 又因点为椭圆内部的动点， 所以周长的取值范围为， 故选：BC. 3．（25-26高二下·上海黄浦·期中）已知点为椭圆上纵坐标不为零的点，、分别为椭圆左右两焦点，则的周长为______. 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，求三角形的周长. 【详解】由椭圆方程可知，，，所以， 的周长为. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）若，是椭圆的两个焦点，过作直线与椭圆交于A，B两点，试求的周长． 【答案】16 【分析】利用椭圆的定义求解. 【详解】如图所示：    因为点A，B在椭圆上， 所以由椭圆的定义知：， ，即， 【基础题型五 椭圆上点到焦点和定点距离的和、差最值】 【例5】（24-25高二上·湖北·阶段检测）已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 1．（24-25高二上·上海·期中）已知动点在椭圆上，，，则的最小值为（    ） A．5 B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】利用椭圆定义转化为，即求的最小值，根据三角形性质，当三点共线得答案. 【详解】 ，为一个焦点，设另一焦点为， 且， 因为，所以在椭圆外部， 所以， 即求的最小值， 由于，当三点共线时取到最小值， 此时，， 所以的最小值为1. 故选：D 2．（24-25高二上·广东广州·期中）（多选）已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上任意一点，点，则的最大值和最小值分别为（    ） A．最大值为25 B．最小值为15 C．最大值为 D．最小值为 【答案】AB 【分析】根据椭圆的定义，结合两点间线段最短进行求解即可. 【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的标准方程可知：， 可得，所以， 由椭圆的定义可知：， ， 当且仅当三点依次共线， 当且仅当三点依次共线， 故选：AB 3．（25-26高二上·山东威海·期中）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是______． 【答案】30 【分析】根据定义，再利用求解即可. 【详解】由椭圆的定义得，， 则，又点在椭圆内部，， 所以， 即，当点在的延长线上时，等号成立， 所以的最大值为30. 故答案为：30. 4．（24-25高二上·陕西安康·期末）已知F是椭圆的左焦点，P是此椭圆上的动点，是一定点，求的最大值和最小值． 【答案】最大值为，最小值为． 【分析】首先把椭圆的方程转换为标准式，进一步利用椭圆的定义和三点共线建立不等式，最后求出的最大值和最小值 【详解】椭圆转化为，右焦点为，如图所示： ，，，， 故， 由于，（当且仅当P、A、三点共线时，等号成立）， 所以，， 故的最大值为，最小值为． 【基础题型六 椭圆中焦点三角形的面积问题】 【例6】（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 1．（25-26高二上·天津东丽·期中）已知P为椭圆上的一点，、是椭圆的两个焦点，，则△的面积值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用椭圆的定义，结合余弦定理和面积公式可得答案. 【详解】由题意，焦距为，平方可得， 由余弦定理可得， 两式相减可得， 所以△的面积为. 故选：C 2．（24-25高二上·安徽·期中）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为是上一点，若是直角三角形，则的面积可以是（   ） A． B． C． D．1 【答案】BD 【分析】根据给定条件，按直角顶点位置的不同分类求出焦点三角形面积. 【详解】在椭圆中，，半焦距，， 由是直角三角形，得（）或， 若（），由，得，则点到轴距离为， 的面积，B正确； 当是的上顶点或下顶点时，，的面积，D正确. 故选：BD 3．（24-25高二上·云南大理·阶段检测）已知是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且.若的面积为16，则__________. 【答案】 【分析】由椭圆的性质结合三角形面积公式计算即可. 【详解】， ，① 又， ② ①②得：， 的面积为16， ， . 故答案为：4. 4．（2026高二·全国·专题练习）已知点是椭圆上的点，点、是椭圆的两个焦点． (1)若，求； (2)若的面积为9，求的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理进行求解即可； （2）根据（1）中三角形的面积公式进行求解即可. 【详解】（1）设，设， 由，则， 所以有， 由余弦定理可知：， 所以有， 即 （2）由（1）可知：， 因为，所以，因此，即. 【基础题型七 椭圆中焦点三角形的其他问题】 【例7】（24-25高二下·江西·开学考试）已知，分别是椭圆C：的左，右焦点，M是椭圆C上一点，且，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，代入椭圆方程可得，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】由椭圆的方程，得，，因为，所以， 又在椭圆C上，所以，解得，即， ，所以． 故选：C． 1．（25-26高二上·全国·课后作业）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B．4 C．7 D． 【答案】C 【分析】根据线段PF1的中点M在y轴上，推出轴，由此可设P(3，b)，代入椭圆方程求出，再根据两点间的距离公式求出和可得解. 【详解】由＝1可知，， 所以， 所以F1(－3,0)，F2(3,0)， ∵线段PF1的中点M在y轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， ∴可设P(3,m)， 把P(3,m)代入椭圆＝1，得. ∴|PF1|＝，|PF2|＝. ∴. 故选：C 2．（24-25高二上·福建漳州·期中）（多选）若是椭圆上一点，，为其左右焦点，且不可能为钝角，则实数的值可以是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】CD 【分析】根据椭圆的几何性质可判断为椭圆的短轴端点时，此时最大，即可列不等式求解. 【详解】由椭圆的性质可得当点为椭圆的短轴端点时，此时最大， 若不可能为钝角，当点为椭圆的短轴断点时，则， 则，即， 又焦点在轴上，解得， 所以实数的值可以是4，5， 故选：CD    3．（25-26高二上·浙江·期中）椭圆左右焦点为，，椭圆上点满足，则______． 【答案】/ 【分析】利用椭圆定义得，又，可求出. 在中利用余弦定理可得解. 【详解】因为椭圆，所以，点在椭圆上，所以， 又，所以， 在中，，， 故答案为： 4．（24-25高二上·广东东莞·期中）平面直角坐标系中，圆M的方程为，圆N的方程为，动圆P与圆N内切，与圆M外切. (1)求动圆P的圆心的轨迹方程； (2)当时，求的大小. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）作图，根据圆与圆的位置关系和椭圆定义可知所求轨迹为椭圆，然后可得方程； （2）根据椭圆定义和已知，联立余弦定理求解即可. 【详解】（1）圆M的圆心为，半径为， 圆N的圆心为，半径为. 设动圆P的圆心为，半径为r， 则依题意得，， 所以， 所以，点P的轨迹为椭圆，焦点在x轴上，其中，故， 所以，动圆P的圆心的轨迹方程为. 由图可知，当时，不符合题意，故椭圆方程为. （2）记，， 由（1）知，， 由余弦定理可得， 整理得，即， 又，所以，解得， 因为，所以. 【基础题型八 根据方程表示椭圆求参数的范围】 【例8】（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】①当椭圆的焦点在轴上时，，解得； ②当椭圆的焦点在轴上时，，解得， 所以或. 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以解得，即实数的取值范围为． 2．（24-25高二上·河南许昌·期末）（多选）若方程表示椭圆，则的值可以为（   ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】BD 【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断. 【详解】由于方程表示椭圆， 所以，解得或， 结合选项，可知的值可以为3和8. 故选：BD 3．（25-26高二下·云南曲靖·开学考试）若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 【答案】 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 故，解得，即实数k的取值范围是. 4．（25-26高二上·安徽淮南·阶段检测）对于方程， (1)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (2)若该方程表示焦点在轴上的椭圆，求实数的取值范围； (3)若该方程表示椭圆，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）利用方程表示椭圆，列出限制条件，可得实数的取值范围. 【详解】（1）因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以. （2）因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，所以. （3）因为表示椭圆，所以， 解得且，所以. 【基础题型九 根据椭圆方程求a、b,c】 【例9】（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据所给的焦点坐标，判断出焦点所在的轴及的值，再根据椭圆中的关系计算即可得解. 【详解】由椭圆的焦点为，可知椭圆的焦点在轴上，且. 所以，解得. 1．（25-26高二上·安徽六安·期末）已知椭圆的一个焦点为，则（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】B 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，依次确定和，再利用椭圆中，解出，即可得解. 【详解】根据已知条件，椭圆的焦点在轴上，则，，由得，所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·河北石家庄·期末）（多选）若椭圆的焦距为2，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】CD 【分析】讨论椭圆焦点所在位置，结合之间的关系分析求解. 【详解】由题意可知：， 若焦点在x轴上，则，解得； 若焦点在y轴上，则，解得； 综上所述：或. 故选：CD. 3．（25-26高二上·四川泸州·期末）椭圆的一个焦点坐标是，则的值为______. 【答案】1 【分析】由椭圆中的关系即可求得答案. 【详解】∵焦点坐标是，∴， ∵，∴， . 故答案为：1. 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知椭圆的两个焦点分别为，，再添加什么条件，可得椭圆的方程为？ 【答案】椭圆上任一点满足（答案不唯一）. 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】解：对于椭圆，， 所以，椭圆上任一点满足， 故可以添加的条件为：椭圆上任一点满足. 所以，可以添加条件：椭圆上任一点满足（答案不唯一） 【基础题型十 椭圆的方程与椭圆(焦点)位置的特征】 【例10】（25-26高二上·江苏·期末）已知曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将曲线的方程化为标准方程，结合曲线的形状可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】由题意可知，曲线的方程可化为， 因为曲线是焦点在轴上的椭圆，所以，解得， 因此实数的取值范围是. 故选：A. 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将原方程化为椭圆的标准形式后，根据焦点在轴上计算即可. 【详解】将化为， 方程表示焦点在轴上的椭圆， 则有，解得，即实数的取值范围是. 故选：D. 2．（24-25高二上·浙江金华·期中）（多选）已知椭圆，，则（为椭圆上的点到两焦点的距离之和，为两焦点之间的距离）为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分焦点在轴上还是在轴上讨论确定的值. 【详解】当焦点在x轴上时，，曲线方程为， 则长半轴长为，半焦距为1， 离心率为； 当焦点在y轴上时，时，方程为， 则长半轴，半焦距1， 离心率为 故选:BC. 3．（25-26高二上·广东深圳·期中）方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【分析】根据方程表示焦点在轴上的椭圆，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，即，解得. 因此实数的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高二上·江苏连云港·阶段检测）求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)中心在原点，一个焦点坐标为，短轴长为4； (2)中心在原点，焦点在轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，再由焦点位置得出椭圆方程； （2）由题意求出，根据焦点在x轴写出方程. 【详解】（1）由题意得：，， 故， 因为焦点在轴上，故椭圆方程为. （2）如图，    由题意得：，， 所以，， 结合焦点在轴上，故椭圆方程为：. 【基础题型十一 求椭圆上点的坐标】 【例11】（2025·广西贵港·模拟预测）已知点在椭圆C：上，且点P到直线的距离是点P到x轴的距离的两倍，则的值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由题意可得的横纵坐标的关系，再由点到直线的距离是点到轴的距离的两倍，可得的横纵坐标的关系，进而求出的横坐标． 【详解】解：由题意可得，所以， 因为点到直线的距离是点到轴的距离的两倍，即， 所以， 整理可得：，解得； 故选：． 1．（25-26高三上·江苏·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知点在椭圆上，且直线的斜率之积为，则（    ） A．1 B．3 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用椭圆方程和的斜率之积为，建立A、B两点坐标的关系，代入原式化简计算即可. 【详解】因为在椭圆上， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以． 故选：A. 2．（24-25高二上·江苏南京·期末）（多选）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，按直角顶点为点和焦点分类求出点坐标. 【详解】椭圆的焦点，设， 由为直角三角形，则直角可能为 若为直角，则，由，得； 若为直角，则，由，得； 若为直角，则在圆上， 由，解得， 所以点坐标可能是AD. 故选：AD 3．（25-26高二·全国·课后作业）若椭圆上点P到右焦点的距离为4，则点P的横坐标为______． 【答案】 【分析】由椭圆方程求得右焦点坐标，设，由椭圆方程和距离列方程组求解． 【详解】由已知，，右焦点为， 设，， 则，消去得， ，，（舍去）， 所以点横坐标为． 故答案为：． 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标． 【答案】 【分析】由椭圆定义求得，，利用分别在以、为圆心，半径为15、5的圆上，则圆方程联立可求得点坐标． 【详解】解：由已知，，，， ，而， 所以，， 因此点P在分别以、为圆心，半径为15、5的圆上， 因此，解得， 所以点P的坐标为． 【基础题型十二 根据a、b、c求椭圆标准方程】 【例12】（25-26高二下·重庆渝中·期末）离心率为，焦点在轴且长轴长为 6 的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设为长半轴长，为短半轴长，为半焦距，因为离心率为，可得， 因为长轴长为 6，可得，所以，，所以，， 因为焦点在轴，所以椭圆的标准方程为. 1．（25-26高二上·山西·期中）椭圆的短轴长为2，焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用已知椭圆标准方程确定椭圆的焦点位置，再根据短轴长和焦距得出，进而求出，得出椭圆的标准方程． 【详解】椭圆的短轴长为，焦距为， ， ， 椭圆的标准方程为， 故选：A． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）若焦点在轴的椭圆两个顶点之间的距离为4，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用椭圆的性质分类讨论计算即可. 【详解】由题且， 若左右顶点距离为4，则， 若上下顶点距离为4，则， 若上顶点与右顶点距离为4，则， 结合选项代入可知ABD正确，C错误． 故选：ABD 3．（25-26高二上·甘肃兰州·阶段检测）中心为原点，焦点在轴上，且长轴长与短轴长之比为2:1，焦距为的椭圆方程为__________. 【答案】 【分析】根据条件，列出等式，求出a，b，c的值，即可得答案. 【详解】设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦距为2c， 由题意得，解得， 所以椭圆方程为. 故答案为： 4．（24-25高二上·福建莆田·开学考试）求满足下列条件的椭圆的标准方程． (1)，，焦点在y轴上； (2)经过点，两点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的性质，由b，c求出a，结合焦点位置即可求解椭圆的标准方程． （2）根据与两条坐标轴的交点坐标，确定焦点位置及a，b，即可得解． 【详解】（1）因为，，所以， 因为椭圆焦点在y轴上，所以其标准方程为：； （2）由题意得P、Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点，由得椭圆的焦点在x轴上， 所以，， 所以椭圆的标准方程为. 【基础题型十三 根据椭圆过的点求标准方程】 【例13】（25-26高二上·江西南昌·期中）经过点和的椭圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求解椭圆标准方程. 【详解】根据题意设, 由在椭圆上， 则，解得 所以椭圆的标准方程. 故选：C 1．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设椭圆过点，则椭圆方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆所过的点，应用待定系数法求椭圆方程. 【详解】由题设，可得，则椭圆方程为. 故选：D 2．（24-25高二下·辽宁抚顺·开学考试）经过两点的椭圆的标准方程为（     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件和椭圆的性质得出并确定焦点所在的轴，可得标准方程． 【详解】因为椭圆经过两点， 所以焦点在轴上， 设所求椭圆的标准方程为， 可得， 所以所求的方程为. 故选：B. 3．（24-25高二下·上海·期中）以，为焦点的椭圆过点，则椭圆的方程为__________. 【答案】 【详解】因为焦点为，，所以可设椭圆方程为， 因为点在椭圆上，所以，解得， 所以椭圆方程为. 4．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）已知为椭圆上的两点，的左､右焦点分别为． (1)求的方程； (2)若过点的直线（不与轴重合）与交于两点，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点代入即可求解， （2）根据椭圆的定义即可求解. 【详解】（1）由题意得可得故椭圆的方程为． （2）根据椭圆的定义，得， 所以的周长为． 【基础题型十四 轨迹问题--椭圆】 【例14】（24-25高二上·贵州遵义·期末）设是平面内的一个动点，，，点到，的距离之和为6，则点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由椭圆定义即可求解. 【详解】由题可得， 所以点的轨迹是以，为焦点长轴长为6的椭圆， 则，所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：D 1．（25-26高二上·安徽·阶段检测）已知，，直线相交于点P，且直线与直线的斜率之积为，则点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线斜率的概念，列出方程，求出结果即可. 【详解】设点，则，且， 可得，化简得，即，且. 故选：D. 2．（25-26高二上·广西·阶段检测）（多选）设定点，，动点满足，则点的轨迹可能是（    ） A．圆 B．线段 C．椭圆 D．直线 【答案】BC 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】由题意知，定点，，可得， 因为，可得， 当且仅当，即时取得等号， 当时，可得的，此时点的轨迹是线段； 当时，可得，此时点的轨迹是椭圆. 故选：BC. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知动点到定点的距离和到定直线的距离的比是常数，则点的轨迹方程为______． 【答案】（其中）（答也对） 【分析】设点的坐标为，直接利用条件建立关系式，进而求解即可. 【详解】设动点，由题意得，即， 整理得， 由，可令，所以点的轨迹方程为（其中）． 故答案为：（其中）. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）点A，B的坐标分别是，直线AM，BM相交于点，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的乘积是，求点的轨迹方程． 【答案】． 【分析】设点的坐标为，把点满足的条件用坐标表示，得到曲线方程，化简整理即可. 【详解】设点的坐标为，因为点的坐标是，所以直线AM的斜率， 同理，直线BM的斜率. 由已知有， 化简，得点的轨迹方程为． 【提高题型一 椭圆中焦点三角形的相关问题】 【例1】（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为．过且垂直于的直线与交于，两点，则的周长为（ ） A．4 B．8 C．12 D． 【答案】B 【分析】由垂直平分线性质得，，再根据椭圆的定义求解即可. 【详解】因为为线段的垂直平分线， 所以，根据对称性有：，， 所以的周长等于的周长， 所以，利用椭圆的定义，的周长为． 1．（25-26高二上·河北石家庄·期末）如图，椭圆的离心率为，左､右焦点分别为，上顶点为，过且垂直于的直线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，，，由离心率可得，即可得到为等边三角形，然后结合椭圆的定义即可得到结果. 【详解】如图，连接，，，由题意可得． 因为椭圆的离心率为，所以，即．又， 所以，故为等边三角形． 由可得为线段的垂直平分线， 所以，， 所以的周长为 ． 故选：A 2．（2025·山东烟台·三模）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，则下列说法正确的有（    ）． A．的面积的最大值为12 B．的平分线必过椭圆的中心 C．若，则 D．设，椭圆C上存在点P，使得 【答案】ACD 【分析】利用椭圆焦点三角形的性质计算面积的最大值后判断A，利用反证法判断B，；利用椭圆的定义结合余弦定理计算CD后可判断它们的正误. 【详解】由题设有椭圆的长半轴长，短半轴长， 半焦距，故， 对于A，当为短轴顶点时，的面积的最大， 此时面积为，故A正确； 对于B，若的平分线必过椭圆的中心， 因为，则此时为等腰三角形，故， 故此时为短轴顶点，故当不为短轴顶点时，的平分线不过椭圆的中心， 故B错误； 对于C，因为，故， 由余弦定理可得， 故，故， 所以，故，故C正确； 对于D，设，则， 故， 所以， 而，故， 所以即，故， 所以，因为，故符号该不等式， 故椭圆C上存在点P，使得，故D正确； 故选：ACD. 3．（25-26高二上·江苏苏州·期中）设，为椭圆：的两个焦点，点在上，若，则___. 【答案】2 【分析】根据列方程得到点坐标，然后利用等面积的思路求. 【详解】设，则，由题意知，，， 所以，， ，解得，， 所以，则. 故答案为：2. 4．（24-25高二上·安徽·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，且直线与轴垂直. (1)证明：； (2)若的角平分线恰好过点，求的面积. 【答案】(1)证明：由椭圆的定义得， 因为直线与x轴垂直，所以， 即， 故. (2) 【分析】（1）利用椭圆定义以及勾股定理计算可得结论； （2）由角平分线定理可得，，解得，代入可求得面积. 【详解】（1）略 （2）因为平分，所以，即，如下图所示： 由和，解得，， 代入得，解得； 故的面积为. 【提高题型二 椭圆的相关方程求解】 【例2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的左､右焦点分别为，真线与轴的交点为，过右焦点作于点，且的中点在椭圆上，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，结合椭圆的定义，利用求出，由求出可得答案. 【详解】连接，依题意，知是线段的中点，， 又是线段的中点，所以，， 因为，所以， 因为点在椭圆上，结合椭圆的定义， ，得， 解得（舍去），所以， 所以椭圆的方程为. 故选：C. 1．（25-26高二上·江西抚州·阶段检测）若椭圆的两个焦点分别为和，且椭圆过点，则椭圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可知焦点在y轴上，可设，再代入求解即可． 【详解】由题可知焦点在y轴上，可设， ，解得， 所以椭圆的方程是． 故选：B 2．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）以坐标轴为对称轴，两焦点的距离是，且过点的椭圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据椭圆的焦点所在坐标轴进行分类讨论，由此求得椭圆方程. 【详解】椭圆的焦点在轴上，则，得，此时椭圆方程是； 若焦点在轴上，则，则，此时椭圆方程是． 故选：AB 3．（24-25高二上·上海·期中）已知椭圆的一个焦点是，且经过点．则这个椭圆的标准方程为________． 【答案】 【分析】根据焦点坐标得，根据椭圆的定义求出，再根据求出，从而可得椭圆的标准方程. 【详解】由已知，设椭圆的标准方程为， 因为椭圆的一个焦点是，且经过点， 所以椭圆的另一个焦点为，， ， 则，所以， 所以这个椭圆的标准方程为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点坐标得到，根据点坐标得到，然后解方程即可； （2）设椭圆方程，然后将点坐标带入，解方程即可. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，则①， 将带入椭圆方程得到②， 联立①②解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 1．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知一动圆与圆外切，同时与圆内切，则该动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出已知圆的圆心及半径，利用两圆相切建立等式，再利用圆锥曲线的定义求出轨迹方程. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 圆，即的圆心，半径； 圆，即的圆心，半径， 而，则点在圆内，由圆分别与圆外切，与圆内切， 得，整理得， 因此动圆圆心的轨迹是以为焦点，长轴长为12的椭圆， 长半轴长，半焦距，短半轴长， 所以所求轨迹方程为. 故选：B 2．（2026·陕西商洛·三模）已知椭圆的两焦点分别为是上任意一点，则的最大值（    ） A．只与有关 B．只与有关 C．与和都有关 D．与都无关 【答案】B 【详解】因为，所以椭圆的焦点在轴上，且， 则，所以， 当且仅当时等号成立， 所以的最大值只与有关. 3．（25-26高三下·河南·阶段检测）设椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为，与的另一个交点为，若，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用角的余弦值得到，从而求出，再利用椭圆的定义求出的周长为. 【详解】依题意，，，（为坐标原点）， 因为，则， 所以，，所以，所以， 解得，所以，所以， 的周长, 由于，代入得： ， 根据椭圆定义，得,， 故所求的周长为. 4．（2026·江西·模拟预测）已知点P在椭圆：上，C的左焦点为F，若线段的中点在以原点O为圆心，为半径的圆上，则的值为(     ) A．1 B．2 C． D．4 【答案】D 【分析】利用三角形中位线定理结合椭圆的定义，将中点的圆上条件转化为右焦点到点的距离，再通过椭圆的定义求解. 【详解】由椭圆，得，， ，故左焦点，右焦点，. 设的中点为，由题设，在以原点为圆心、为半径的圆上，故. 在中，为的中点，为的中点， 故为的中位线，得. 由椭圆的定义，， 因此，. 故选：D 5．（25-26高二上·浙江衢州·期末）在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义判断轨迹为椭圆，由求得，由求得，即可得到椭圆方程. 【详解】由题意得，， 则点的轨迹为以为焦点的椭圆，所以，即. 因为为轴上关于原点对称的两点，所以椭圆的焦点在轴上， 设其方程为，，则， 将代入方程得， 因为，所以，解得，故椭圆方程为. 故选：A. 6．（25-26高二上·河南郑州·期中）（多选）已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解. 【详解】由题意知， 若，令，得，所以，故A正确； 若，则，又，所以，故D正确； 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确. 故选:ABD. 7．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知椭圆的左、右焦点分别是，，点是上一点，是等腰三角形，则的面积可能是（    ） A． B． C．7 D． 【答案】AD 【分析】根据椭圆定义，可得，，分别讨论、和三种情况，求得各个长度，代入面积公式，即可得答案. 【详解】设为坐标原点，则，， 当时，，， 所以的面积为； 当时，， 所以的面积为. 同理，当时，的面积为. 故选：AD. 8．（25-26高二上·山东临沂·期中）（多选）已知方程，则下列说法正确的有（　　） A．当时，方程表示直线 B．当时，方程表示的曲线是圆 C．当时，方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆 D．若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于ABC，代入数据逐个判断即可，对于D，由求解即可判断. 【详解】当时，方程可化为，解得，表示直线，故A正确． 当时，方程可化为，表示以原点为圆心，半径的圆，故B正确． 当且时，方程可化为．当时，方程可化为，表示焦点在轴上的椭圆，故C错误． 若方程表示的曲线是焦点在轴上的椭圆， 则，解得， 即实数的取值范围是，故D正确． 故选：ABD． 9．（2025·河南驻马店·模拟预测）（多选）已知P是椭圆上位于第二象限的一点，为C的左、右焦点，O为坐标原点，，的平分线与x轴交与点Q，点M在直线上，，且，则（   ） A．点P在以为直径的圆上 B．的周长为10 C．椭圆C的方程为 D． 【答案】AC 【分析】由已知得出为等腰三角形，过点作，垂足为，由三线合一及中位线得出即可判断A；结合又，得出点在同一直线上，结合平分，得出为等腰直角三角形，进而用表示出，在中利用勾股定理求出，即可判断BCD． 【详解】由题可知，，设，， 又，所以， 过点作，垂足为，则为中点，， 又为中点，所以，，，故A正确； 又，所以， 所以点在同一直线上， 又平分，所以，则， 所以，即，解得，即，， 在中，，即，解得， 所以的周长为，故B错误； 所以，则椭圆C的方程为，故C正确； 因为，所以，故D错误； 故选：AC． 10．（24-25高三上·湖南长沙·阶段检测）（多选）在直角坐标系中，点为动点，，记的轨迹为为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】先求出轨迹方程判断A，根据距离公式可判断B，根据反例判断C，根据二次函数的性质判断D. 【详解】设（），由斜率公式得，， 所以，整理得（，）. 因为轨迹不包含，两点， 所以的方程不能写成的形式，A 错误； 由的方程知其上顶点为，所以，B 正确； 当 时，与重合. 直线 的斜率分别为 ， 则，而为三角形内角，故. 而​，C错误； ， 因为 在椭圆 上，所以 ， 故， 而或，所以即，D 正确. 11．（25-26高二下·上海·期中）已知周长为，，则顶点的轨迹方程为__________. 【答案】 【详解】由，，得. 周长为，故. ，所以点轨迹为焦点在轴上的椭圆，除去与共线两点. 设椭圆方程. 椭圆焦点在轴，，， ，所以得椭圆方程：. 不在直线上，故. 顶点的轨迹方程为. 12．（2026·湖南长沙·二模）已知点在椭圆上，的左焦点为，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则的值为_______. 【答案】 【分析】连接与椭圆的右焦点，与的中点，结合相似三角形与椭圆的定义求解即可. 【详解】由已知得：， 设椭圆的右焦点为，的中点为，连接和（如图所示）， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 又为的中点，为的中点，所以， 由椭圆的定义知：. 13．（2026·山东淄博·二模）椭圆C：的左右焦点分别为，，点，P为C上一动点，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据椭圆的定义及线段和差关系即可求解． 【详解】依题意可得，， 将点代入椭圆C，有，则点在椭圆C内， 由椭圆的定义可知，即， 所以， 所以的最小值为． 14．（24-25高二上·重庆渝中·阶段检测）已知椭圆：的一个顶点为，焦距为4，则的值为______； 【答案】或 【分析】代入点求出，再由焦距得出，根据分类讨论求解. 【详解】将代入椭圆方程：，解得； 故椭圆方程为， 由焦距为4，得，. 由题意知，且，方程可化为， 若椭圆焦点在轴上，故，，则有，解得； 若椭圆焦点在轴上，，，则有，解得； 综上所述，或. 故答案为：或 15．（25-26高二下·上海静安·期末）已知焦点在y轴上的椭圆的长轴长为6，短轴长为4，则该椭圆的标准方程是__________ 【答案】 【分析】先设出椭圆的标准方程，再根据题设条件可求基本量，从而可求椭圆的标准方程. 【详解】由题意可得，椭圆长轴为6，短轴为4，焦点在y轴上， 设椭圆的标准方程为, 则，即, 所以椭圆的标准方程为. 16．（24-25高二上·云南大理·期中）分别求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点分别是，，并且椭圆经过点； (2)经过两点、. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）法：根据焦点坐标以及点在椭圆上得到关于的方程组，由此可求的值，则椭圆标准方程可知；法：根据椭圆定义求解出的值，根据求出的值，则椭圆标准方程可知； （2）设出椭圆方程，代入点的坐标可求，则椭圆标准方程可求. 【详解】（1）法：由题意可知椭圆的焦点在轴上，设它的标准方程为， 由已知得， 又因为，所以， 因为点在椭圆上，所以，即， 从而有，解得或（舍去）， 因此， 从而所求椭圆的标准方程为. 法：由题意可知椭圆的焦点在轴上，且， 所以， 故， 从而所求椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为， 因为椭圆经过两点、， 所以，解得，， 即椭圆方程为， 故椭圆的标准方程为：. 17．（24-25高二上·湖南邵阳·期中）（1）已知中心在坐标原点的椭圆过点和点，求此椭圆的标准方程； （2）已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为M，N，过F2的直线l交C于A，B两点(异于M，N)，△AF1B的周长为，且直线AM与AN的斜率之积为，求椭圆C的标准方程. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设椭圆的方程为，代入点和点，解出即可； （2）由椭圆的定义求出，设点，由直线AM与AN的斜率之积为－得到方程①，又由点在椭圆上得到方程②，联立解出即可； 【详解】（1）设椭圆的方程为， 因为点和点在椭圆上，所以，解得. 所以所求椭圆的标准方程为. （2）由的周长为，可知， 解得，则， 设点，由直线AM与AN的斜率之积为－，可得， 即．① 又，所以，② 由①②解得，所以椭圆C的标准方程为. 18．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 19．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上的点. (1)若点在第一象限内，且，求点的坐标； (2)若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，根据得到，再根据求解即可. （2）根据得到，利用余弦定理得到，再利用三角形面积公式求面积即可. 【详解】（1）设点的坐标为（其中，）， 由，，，可得，.     由，有，可得，     又由点在椭圆上，有.     联立方程解得，， 故点的坐标为. （2）由椭圆的性质，有，     又由，可得.     又由，在中，有.     可得.     可得的面积为. 20．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件求椭圆的标准方程． (1)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点； (2)经过两点和． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先用椭圆的定义求出长半轴，结合通径公式算出，分焦点在x、y轴两种情况写方程; （2）设椭圆一般式，代入两点坐标解方程组，直接得到标准方程. 【详解】（1）设椭圆的标准方程是或， 则由题意知.  . 在方程中令得， 在方程中令得， 因为过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点， 所以.  . 即椭圆的标准方程为或. （2）设经过两点的椭圆的一般方程为，代入A、B得 ∴所求椭圆方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $