3.1.1椭圆及其标准方程知识点练习-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.1椭圆及其标准方程 题型一：待定系数法求椭圆的标准方程 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，，焦点在y轴上； (2)焦距为4，且经过点； (3)经过点，的椭圆标准方程. 2．过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个． 3．若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的2倍，则其标准方程为 ． 4．中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 题型二：定义法求椭圆标准方程 5．已知圆：（为圆心），点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹是（    ） A．两条直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 6．方程表示的曲线是 ，其标准方程是 . 7．用圆规画一个圆，然后在圆内标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出与折痕的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，．进行折叠并得到标记点，，．设圆的半径为4，点到圆心的距离为2，所有的点，，，形成的轨迹记为曲线． (1)以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的标准方程； (2)设直线与曲线交于，两点，且以直径的圆经过曲线的中心，求实数的值． 8．在平面直角坐标系中，，圆，动圆过且与圆相切． (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)求曲线上的点到直线的最大距离，并求的坐标． 题型三：根据椭圆方程求参数 9．方程表示椭圆的充要条件是（   ）. A． B．或 C． D． 10．已知表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 11．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 12．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 . 13．（多选）若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C．若，则为椭圆 D．若为椭圆，且焦点在轴上，则 四、题型四：椭圆中焦点三角形问题-求焦点三角形的周长或内角 14．已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ） A．4 B．9 C． D．12 15．已知过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 16．（多选）点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为（    ） A．4 B． C． D．6 17．已知是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是 . 18．设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是 题型五：椭圆中的焦点三角形问题-求焦点三角形的面积 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（    ） A．7 B．3 C． D．9 20．（多选）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 21．已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为 ． 22．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 23．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 题型六：椭圆中的焦点三角形问题-其它问题 24．已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则（     ）. A． B． C． D． 25．（多选）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 26．已知椭圆的左、右焦点为、，在椭圆上，且是直角，这样的点有 个. 27．已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 28．椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 题型七：椭圆中的焦点三角形问题-几何最值问题 29．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 30．为椭圆上任意一点，，，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 31．已知，是椭圆的左、右焦点，点，点在上，则的取值范围为 ． 32．点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 33．直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 题型八：与椭圆有关的轨迹问题 34．已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 35．设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 36．已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 37．平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1.1椭圆及其标准方程 题型一：待定系数法求椭圆的标准方程 1．求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)，，焦点在y轴上； (2)焦距为4，且经过点； (3)经过点，的椭圆标准方程. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由题意设出椭圆的标准方程，直接由平方关系算出即可求解. （2）分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论即可求解. （3）由题意可以直接得出，且长轴端点在轴上，从而即可求解. 【详解】（1）不妨设椭圆的标准方程为， 因为，， 所以, 所以椭圆的标准方程为. （2）由题意，所以，分以下两种情形来讨论， 情形一：若短轴端点为，即，此时焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以椭圆的标准方程为； 情形二：若长轴端点为，即，此时焦点在轴上， 不妨设椭圆的标准方程为， 则， 所以椭圆的标准方程为； 综上所述，椭圆的标准方程为或. （3）由题意可得点，分别为椭圆的长轴、短轴端点， 所以，所以，且长轴端点在轴上， 所以椭圆的标准方程为. 2．过四点，，，中的三点的一个椭圆标准方程可以是 ，这样的椭圆方程有 个． 【答案】 或（写一个即可） 2 【分析】首先分析满足条件的三点，再设椭圆方程的一般形式，再代入椭圆方程，即可求解. 【详解】因为点，关于轴对称，所以椭圆过四点中的三点，只有，，和，，两种情况． 设椭圆方程为（，，）． 当椭圆过，，三点时，将，的坐标代入椭圆方程，得 ，解得，所以椭圆的方程为． 同理可得当椭圆经过，，三点时，代入椭圆方程有，得 ，得； 该椭圆的方程为． 故答案为：或（写一个即可）； 3．若中心在原点，对称轴为坐标轴的椭圆过点，且长轴长是短轴长的2倍，则其标准方程为 ． 【答案】或 【分析】分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论即可求. 【详解】当椭圆焦点在轴，设椭圆方程为， 因为椭圆过点， 所以， 又因为长轴长是短轴长的2倍， 所以， 所以椭圆方程为； 当椭圆焦点在轴，设椭圆方程为， 因为椭圆过点， 所以， 又因为长轴长是短轴长的2倍， 所以， 所以椭圆方程为. 综上，椭圆的方程为或. 故答案为：或 4．中心位于坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆的上、下焦点分别为，右顶点为，若的长轴长为，，则的标准方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，由，可得，可求椭圆的标准方程. 【详解】由椭圆的长轴长为4，则可得，解得， 因为，由椭圆的对称性可知， 所以，解得，所以， 又椭圆的焦点在轴上，所以的标准方程为. 故答案为：. 题型二：定义法求椭圆标准方程 5．已知圆：（为圆心），点，点是圆上的动点，线段的垂直平分线交线段于点，则动点的轨迹是（    ） A．两条直线 B．椭圆 C．圆 D．双曲线 【答案】B 【分析】由线段的垂直平分线交线段于点，，得到，结合椭圆的定义，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，线段的垂直平分线交线段于点，， 又由，即， 根据椭圆的定义，可得点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 故选B. 【点睛】本题主要考查了椭圆的定义及其应用，其中解答中熟练应用垂直平分线的性质，以及椭圆的定义进行判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题. 6．方程表示的曲线是 ，其标准方程是 . 【答案】 椭圆 【分析】根据椭圆的定义即可得解. 【详解】方程， 表示点到两点的距离之和等于，而， 所以方程表示的曲线是椭圆， 且长轴长，焦距，所以， 所以半短轴长， 所以其标准方程为. 故答案为：椭圆；. 7．用圆规画一个圆，然后在圆内标记点，并把圆周上的点折叠到点，连接，标记出与折痕的交点（如图），若不断在圆周上取新的点，，．进行折叠并得到标记点，，．设圆的半径为4，点到圆心的距离为2，所有的点，，，形成的轨迹记为曲线． (1)以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，求曲线的标准方程； (2)设直线与曲线交于，两点，且以直径的圆经过曲线的中心，求实数的值． 【答案】(1); (2) 【分析】（1）由已知可得，进而由椭圆的定义知点，，，形成的轨迹是以，为焦点，以为长轴的椭圆，进而可求曲线的标准方程； （2）设直线与曲线交于，两点坐标为，，，，联立方程可得，，以直径的圆经过曲线的中心，则，可得，求解即可． 【详解】（1）把圆周上的点折叠到点，折痕是的垂直平分线，， ， 若不断在圆周上取新的点，，．进行折叠并得到标记点，，． 总有成立，又是圆内的一点，， 故点，，，形成的轨迹是以，为焦点，以为长轴的椭圆， ，，，，， 以所在的直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系， 曲线的标准方程为； （2）设直线与曲线交于，两点坐标为，，，， 由，消去得， 整理得， ，， ，， ， 以直径的圆经过曲线的中心，则， ，，， ， 解得， 经检验，符合题意，故． 8．在平面直角坐标系中，，圆，动圆过且与圆相切． (1)求动点的轨迹的标准方程； (2)求曲线上的点到直线的最大距离，并求的坐标． 【答案】(1) (2) ， 【分析】（1）设动圆的半径为，由题意得到： ，再利用椭圆的定义求解； （2）设直线 ，根据与椭圆相切，联立方程求得m，再利用两平行间的距离求解. 【详解】（1）解：设动圆的半径为， 由题意知： ，， 所以 . 所以点的轨迹是以为焦点的椭圆． 其长轴长，焦距为，． 所以曲线的标准方程为： . （2）设直线 与椭圆相切， 消得 ， 与相切 ， ，即 ， ， ， ， 当 时，即 时，有最大距离 此时为与的切点． ， 题型三：根据椭圆方程求参数 9．方程表示椭圆的充要条件是（   ）. A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】借助椭圆的标准方程与充要条件的定义计算即可. 【详解】若表示椭圆， 则，解得或. 故选：. 10．已知表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据椭圆的定义列出不等式组求解. 【详解】要使表示焦点在轴上的椭圆， 需满足解得， 即实数的取值范围为. 故选：B. 11．若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为（    ） A． B．且 C． D． 【答案】D 【分析】根据焦点在x轴上的椭圆的标准方程列出不等式即可求解. 【详解】，即， 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得. 故选：. 12．如果方程表示焦点在轴上的椭圆，那么实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先判断，再将方程化为标准式，即可结合焦点的位置得到不等式，解得即可. 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆，显然，则方程可化为， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故答案为： 13．（多选）若方程所表示的曲线为，则（   ） A．曲线可能是圆 B．当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为 C．若，则为椭圆 D．若为椭圆，且焦点在轴上，则 【答案】AD 【分析】根据条件，利用圆、椭圆的标准方程及椭圆的性质，对各个选项逐一分析判断即可得出结果. 【详解】对于A，当，解得，此时方程为，表示圆，故A正确； 对于B，当时，方程为表示焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得，焦距为，故B错误； 对于C，由A知，表示圆，故C错误； 对于D，若为椭圆，且焦点在轴上，则，解得，故D正确. 故选：AD. 四、题型四：椭圆中焦点三角形问题-求焦点三角形的周长或内角 14．已知点、是椭圆:的左、右焦点，若过焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，则的周长为（    ） A．4 B．9 C． D．12 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求解. 【详解】根据椭圆方程可得，则， 由椭圆的定义得，，， 所以的周长为. 故选：D. 15．已知过椭圆中心的直线交椭圆于两点，是椭圆的一个焦点，则的周长的最小值为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义求出，再由，即可求解. 【详解】由椭圆的对称性可知，两点关于原点对称，设椭圆的另一个交点为， 则四边形为平行四边形，由椭圆的定义可知：， 又，所以， 又直线过原点，所以， 所以的周长的最小值为：. 故选：D    16．（多选）点，为椭圆的两个焦点，点为椭圆内部的动点，则周长的取值可以为（    ） A．4 B． C． D．6 【答案】BC 【分析】根据焦点三角形的周长取值范围即可得到答案. 【详解】由椭圆，得：，， 当点在椭圆上时，周长最大，为； 当点位于（包括端点）之间时，取极限值，为. 又因点为椭圆内部的动点， 所以周长的取值范围为， 故选：BC. 17．已知是椭圆的两个焦点，若点是椭圆上的一个动点，则的周长是 . 【答案】 【分析】利用椭圆定义即可直接得答案. 【详解】由椭圆的定义可知， ， 如图可知的周长为， 故答案为：. 18．设P是椭圆=1上一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，则cos∠F1PF2的最小值是 【答案】 【分析】方法一：当点是椭圆的短轴的端点时,取得最大值,此时可取得最小值. 【详解】方法一：（二级结论应用） 椭圆,. 当点是椭圆的短轴的端点时,取得最大值, , 的最小值 . 故答案为：. 方法二：在中，因为，， . 当且仅当时取等号. 故答案为：. 题型五：椭圆中的焦点三角形问题-求焦点三角形的面积 19．已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一个动点，若的面积的最大值为，则（    ） A．7 B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】利用点的纵坐标表示的面积，再借助范围求出最大值即可. 【详解】依题意，椭圆半焦距，设点，则， 因此的面积， 则，即，而，解得， 所以. 故选：A 20．（多选）椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点为椭圆上一点且在第一象限.若是等腰三角形，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．点到轴的距离为 D． 【答案】AC 【分析】根据椭圆的定义和性质，确定焦点三角形的有关结论. 【详解】如图：    因为椭圆的标准方程为：，所以：，，. 因为点在第一象限，且是等腰三角形，离心率， 所以必是：. 根据椭圆的定义，，故A正确； 在中，，， 由余弦定理：，故B错误； 由，到轴的距离为：，故C正确； ，故D错误. 故选：AC 21．已知为椭圆的两个焦点，M为椭圆C上一点，若，则的面积为 ． 【答案】1 【分析】根据椭圆定义以及勾股定理可得即可得出的面积. 【详解】根据题意可知，即可得，即； 由椭圆定义可得， 又可知； 所以可得，即， 解得， 因此的面积为. 故答案为：1 22．已知椭圆的左右焦点分别为，点是椭圆上一点，，则的内切圆半径为 . 【答案】 【分析】由题意知，由余弦定理可得，由面积公式即可求解. 【详解】 因为分别为椭圆的左右焦点，为该椭圆上一点， 所以， 则由余弦定理得,， ， 即， 所以， 故的面积 ， 设的内切圆半径为， 则， 解得,. 故答案为：. 23．设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【答案】 【分析】结合椭圆定理、勾股定理的逆定理与三角形面积公式计算即可得. 【详解】由椭圆定义可得， 则有，即，， 又， 由，故， 故. 故答案为：. 题型六：椭圆中的焦点三角形问题-其它问题 24．已知椭圆的左右焦点分别为，的三个顶点均在上，分别落在线段上且轴，若，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出图象，由题意可知，从而可得，在和中，分别求得，从而可得，即有， ，过作于， 可得，为中点，即可得解. 【详解】如图所示： 由题意可知， 设椭圆的半长轴为， 则， 在中，， 在中， ， 所以 ， 整理得：，即 解得：或， 当时，，不满足题意，故舍去； 当时，，满足题意，且， 过作于， 则， 所以, 所以， 故为中点， 所以. 故选：D. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是在和中，分别求得，建立等量关系，求得. 25．（多选）已知为椭圆上一点，分别为椭圆的上焦点和下焦点，若构成直角三角形，则点坐标可能是（   ）. A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据给定条件，按直角顶点为点和焦点分类求出点坐标. 【详解】椭圆的焦点，设， 由为直角三角形，则直角可能为 若为直角，则，由，得； 若为直角，则，由，得； 若为直角，则在圆上， 由，解得， 所以点坐标可能是AD. 故选：AD 26．已知椭圆的左、右焦点为、，在椭圆上，且是直角，这样的点有 个. 【答案】 【分析】分析可知，在以为直径的圆上，将圆的方程与椭圆的方程联立，求出公共解，即可得出结论. 【详解】当是直角时，在以为直径的圆上，， 故圆的方程为，联立方程：， 解得和，两个点满足. 故答案为：. 27．已知圆，椭圆的左、右焦点分别为，，为坐标原点，为椭圆上一点，直线与圆交于点，，若，则 . 【答案】6 【分析】利用求出，然后将转化为求解即可. 【详解】 设，由于， 而，则， 所以， ． 故答案为：6 28．椭圆的焦点为，点在该椭圆上，若，则的大小为 ． 【答案】 【分析】由椭圆方程，结合椭圆的定义求，在焦点三角形中应用余弦定理求的余弦值，进而确定其大小. 【详解】∵，， ∴， ∴，又，， ∴，由余弦定理，得， ∴. 故答案为： 题型七：椭圆中的焦点三角形问题-几何最值问题 29．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，点是上一点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用椭圆定义对长度进行转化计算即可. 【详解】设椭圆的左焦点为，则由椭圆的定义知， 所以. 当三点共线时，， 所以的最小值为. 故选：C. 30．为椭圆上任意一点，，，则的最大值为(    ). A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件可知，当且仅当，，三点共线且点在第二象限时，为最大值. 【详解】由椭圆，可得，，，所以可知为椭圆的下焦点， 设为椭圆上焦点，又因为为椭圆上任意一点，所以由椭圆定义可知：， 即，因为当，，三点共线且点在第二象限时有最大值， 即，又因为， 所以. 故选：D. 31．已知，是椭圆的左、右焦点，点，点在上，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据椭圆的定义，由几何法即可求解. 【详解】 由椭圆方程，可得，， 所以，所以， 因为点在上，所以， 由于，， 所以的范围是. 故答案为：. 32．点P在椭圆上运动，分别在圆，圆上运动，则的最大值为，最小值为，则 . 【答案】8 【分析】易知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心，由椭圆定义以及定点到圆上点距离最值问题计算可得结果. 【详解】根据由题意可知椭圆的左、右焦点坐标恰好为两圆圆心； 易知两圆半径都为，由椭圆定义可得，如下图所示： 因此可得的最大值为，即图中的位置； 最小值为；即图中的位置； 所以可得. 故答案为：8 33．直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【答案】 【分析】根据椭圆定义即可结合三点共线求解. 【详解】由题意可得， 记椭圆右焦点为，则周长 当且仅当直线经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号.， 故答案为： 题型八：与椭圆有关的轨迹问题 34．已知点的轨迹方程为，则PC的中点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“相关动点法”求轨迹方程即可. 【详解】设点坐标为，点坐标为 由中点坐标公式得，即， 将代入 得点的轨迹方程为：，即. 故选：B 35．设点，的周长为36，则的顶点的轨迹方程为（   ） A． B． C．+ D． 【答案】B 【分析】由题意得到，根据椭圆的定义，可得点的轨迹是一条以为焦点的椭圆，即可得到答案. 【详解】由题意的周长为，， 所以，所以, 可知点的轨迹是以为焦点，长轴长为除去长轴的两个端点的椭圆， 所以， 所以点的轨迹方程为. 故选：B. 36．已知曲线，过上任意一点向轴引垂线，垂足为，则线段的中点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，，则， 然后利用，得到点，然后代入即可求解. 【详解】设，，，则， 由题意可知，即， 将点代入， 得，即 故选：D. 37．平面内，已知两点，及动点，若直线，的斜率之积是，则点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】设动点，斜率用坐标表示，由斜率之积为可得出之间的关系式，进而得的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$