专题3.4 双曲线的简单几何性质重难点题型专训（1个知识点+15大基础题型+3大提高题型+自我检测）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题3.4 双曲线的简单几何性质重难点题型专训 （1个知识点+15大基础题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求双曲线的焦点坐标 题型二、求双曲线的焦距 题型三、求共焦点的双曲线方程 题型四、根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 题型五、双曲线的对称性 题型六、求双曲线的顶点坐标 题型七、求双曲线的实轴、虚轴 题型八、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 题型九、已知方程求双曲线的渐近线 题型十、根据双曲线的渐近线求标准方程 题型十一、求共渐近线的双曲线的标准方程 题型十二、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 题型十三、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型十四、根据离心率求双曲线的标准方程 题型十五、由双曲线的离心率求参数的取值范围 第二部分·练提高题型 题型一、双曲线相关求值 题型二、渐近线方程相关求解 题型三、双曲线离心率的求值及应用 第三部分・自我检测 知识点01 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a，y∈R y≥a或y≤-a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1（-a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a） 半轴长 实半轴长为a，虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程若双曲线方程为，则其渐近线方程为. 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即可得到渐近线方程. （2）已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为mx±ny=0，则可设双曲线方程为m2x2-n2y2=λ，根据己知条件，求出λ即可. （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，其渐近线方程为y=±x，因此等轴双曲线可设为. 3．双曲线的离心率 （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. （2）双曲线离心率的范围：e>1. （3）离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.（4）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 （1）直接求出a， c的值，利用离心率公式直接求解.（2）列出含有a， b， c的齐次方程（或不等式），借助于消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解. 【方法技巧与总结】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，. 【即时训练】 1．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）双曲线的离心率为__________. 【基础题型一 求双曲线的焦点坐标】 【例1】（25-26高二上·山西太原·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·北京东城·期末）双曲线的右焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃白银·阶段检测）（多选）过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的右支于点，为右焦点，连接，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西太原·期末）双曲线的焦点坐标为______. 4．（24-25高二上·云南大理·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦距为8，且椭圆上任一点到两焦点的距离之和为12； (2)与双曲线有相同的焦点，长轴长是10． 【基础题型二 求双曲线的焦距】 【例2】（25-26高三下·河北·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 1．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）双曲线的焦距为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 3．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线，则它的焦距为_______． 4．（25-26高二·全国·课后作业）判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出，，的值及焦距；若不是，请说明理由． （1）； （2）； （3）； （4）． 【基础题型三 求共焦点的双曲线方程】 【例3】（25-26高二上·四川凉山·阶段检测）已知双曲线与有相同的焦点，则等于（    ） A．3 B． C．2 D．3 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）与椭圆焦点相同且经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）（多选）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）试写出一个以为焦点的双曲线的标准方程：________． 4．（25-26高二·全国·课后作业）求实半轴长为，且与双曲线有公共焦点的双曲线的标准方程． 【基础题型四 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值】 【例4】（2025·江西南昌·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·江西南昌·期中）若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（2025·江苏南京·二模）（多选）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·上海浦东新·阶段测试）设点、均在双曲线：上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为________. 4．（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 【基础题型五 双曲线的对称性】 【例5】（2025·湖南·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 1．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 2．（2026·广东汕头·一模）（多选）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，直线与C交于两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（    ） A．四边形为平行四边形 B． C．直线的斜率为 D． 3．（2025·四川成都·一模）已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为___________. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）设和为双曲线的两个焦点，若点、、是等腰直角三角形的三个顶点，求的值. 【基础题型六 求双曲线的顶点坐标】 【例6】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·山西太原·期末）双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）双曲线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京西城·模拟预测）双曲线的顶点坐标为_________. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的取值范围. 【基础题型七 求双曲线的实轴、虚轴】 【例7】（2026·浙江温州·二模）双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 1．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 2．（25-26高二上·四川眉山·期末）双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2026·北京昌平·二模）双曲线的实轴长为_________ . 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标． 【基础题型八 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】 【例8】（25-26高二上·河南南阳·期中）设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（2026·广西·模拟预测）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·北京顺义·期中）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东汕头·阶段检测）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为__________. 4．（25-26高二·全国·课堂例题）在双曲线中，一定满足，请用几何图形表述出在双曲线中分别表示哪些线段的长. 【基础题型九 已知方程求双曲线的渐近线】 【例9】（26-27高三上·广东深圳·课后作业）双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 1．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 D．过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点 3．（25-26高二下·四川成都·期末）双曲线的渐近线方程为______． 4．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线的方程是． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 【基础题型十 根据双曲线的渐近线求标准方程】 【例10】（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．25 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）（多选）以为渐近线的双曲线可以是（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·上海·阶段检测）若直线是双曲线的一条渐近线，则______． 4．（2025高三·全国·专题练习）求渐近线方程为，经过的双曲线标准方程. 【基础题型十一 求共渐近线的双曲线的标准方程】 【例11】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·辽宁鞍山·一模）与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·北京东城·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 【基础题型十二 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程】 【例12】（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 1．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·全国·课后作业）已知双曲线的离心率，则渐近线方程为________、________． 4．（24-25高二上·福建莆田·期末）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P.若，求双曲线的渐近线方程 【基础题型十三 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 【例13】（26-27高三上·北京朝阳·阶段测试）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 1．（26-27高三上·贵州毕节·课后作业）若双曲线（）的一个焦点坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）（多选）下列选项中与双曲线的离心率相同的曲线是（   ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）双曲线的离心率为__________． 4．（26-27高三·全国·阶段测试）双曲线渐近线，求离心率. 【基础题型十四 根据离心率求双曲线的标准方程】 【例14】（25-26高二上·福建福州·期末）若双曲线的离心率为，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知双曲线的离心率，则的值为 （　　） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）（多选）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东惠州·期中）离心率为，一个焦点坐标为的双曲线的标准方程为________. 4．（24-25高二上·广西梧州·阶段检测）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【基础题型十五 由双曲线的离心率求参数的取值范围】 【例15】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 1．（2025·山西·模拟预测）双曲线的离心率为3，则（   ） A． B．2 C． D．3 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）（多选）若双曲线的离心率是2，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的离心率是，则双曲线的实轴长为__________. 4．（25-26高二·全国·课后作业）设k为实数，已知双曲线的离心率，求k的取值范围． 【提高题型一 双曲线相关求值】 【例1】（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 1．（2025·河南·模拟预测）对于曲线（且），以下说法正确的是（    ） A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线 C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京平谷·期末）双曲线的焦点到顶点的最小距离是______. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线. (1)求双曲线的顶点坐标与焦点坐标； (2)设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹的方程； 【提高题型二 渐近线方程相关求解】 【例2】（24-25高二下·新疆伊犁·期中）与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二下·四川成都·期中）经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·山西长治·期末）（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程可能为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·上海·期末）若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则______． 4．（25-26高二上·河北石家庄·期中）回答下面两个问题 (1)求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； (2)求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【提高题型三 双曲线离心率的求值及应用】 【例3】（2026·福建漳州·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）圆心为原点、半径为的圆分别与轴负半轴、双曲线：（，）的一条渐近线交于，两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）（多选）以两条直线为渐近线的双曲线的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·北京通州·开学考试）已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的大小为________． 4．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点.若，，双曲线的离心率. 1．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 2．（24-25高三上·江苏南京·阶段检测）过双曲线C：（，）的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 3．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平面直角坐标系中函数的图象是双曲线C，将曲线C绕原点顺时针旋转得到曲线，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·广东广州·期末）双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏盐城·期末）（多选）已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（    ） A．焦距为6 B．实轴长为 C．离心率为 D．渐近线方程为 7．（2025·江西萍乡·三模）（多选）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形 8．（25-26高二上·湖北十堰·期末）（多选）已知双曲线，则（    ） A．C的一个顶点坐标为 B．C的实轴长为8 C．C的焦距为 D．C的离心率为 9．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 10．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）（多选）已知双曲线的右焦点为，直线：是的一条渐近线，是上一点，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．点坐标为 C．离心率 D．的最小值为 11．（26-27高二上·全国·课后作业）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 12．（24-25高二上·江西·期中）已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则________． 13．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 14．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为______． 15．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于的任意一点，与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为__________. 16．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值． 17．（25-26高三上·天津南开·开学考试）求渐近线夹角为的双曲线的离心率. 18．（26-27高二上·全国·课后作业）根据以下条件，分别求出双曲线的方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)与双曲线有共同的渐近线，且过点． 19．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 20．（2026·湖南长沙·三模）若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， (1)求双曲线标准方程 (2)点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.4 双曲线的简单几何性质重难点题型专训 （1个知识点+15大基础题型+3大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、求双曲线的焦点坐标 题型二、求双曲线的焦距 题型三、求共焦点的双曲线方程 题型四、根据双曲线中x、y的范围求范围或最值 题型五、双曲线的对称性 题型六、求双曲线的顶点坐标 题型七、求双曲线的实轴、虚轴 题型八、根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程 题型九、已知方程求双曲线的渐近线 题型十、根据双曲线的渐近线求标准方程 题型十一、求共渐近线的双曲线的标准方程 题型十二、根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程 题型十三、求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型十四、根据离心率求双曲线的标准方程 题型十五、由双曲线的离心率求参数的取值范围 第二部分·练提高题型 题型一、双曲线相关求值 题型二、渐近线方程相关求解 题型三、双曲线离心率的求值及应用 第三部分・自我检测 知识点01 双曲线的简单几何性质 1．双曲线的简单几何性质 双曲线的一些几何性质： 图形 标准方程 范围 x≥a或x≤-a，y∈R y≥a或y≤-a，x∈R 对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称 顶点 A1（-a，0），A2（a，0） A1（0，-a），A2（0，a） 半轴长 实半轴长为a，虚半轴长为b 离心率 渐近线方程 2．双曲线的渐近线 （1）已知双曲线方程求渐近线方程若双曲线方程为，则其渐近线方程为. 已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即可得到渐近线方程. （2）已知渐近线方程求双曲线方程 若双曲线渐近线方程为mx±ny=0，则可设双曲线方程为m2x2-n2y2=λ，根据己知条件，求出λ即可. （3）与双曲线有公共渐近线的双曲线与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（λ>0，焦点在x轴上；λ<0，焦点在y轴上） （4）等轴双曲线的渐近线等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，其渐近线方程为y=±x，因此等轴双曲线可设为. 3．双曲线的离心率 （1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率. （2）双曲线离心率的范围：e>1. （3）离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小. 因为，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.（4）等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=. 4．求双曲线离心率或其取值范围的方法 （1）直接求出a， c的值，利用离心率公式直接求解.（2）列出含有a， b， c的齐次方程（或不等式），借助于消去b，转化为含有e的方程（或不等式）求解. 【方法技巧与总结】 1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则，. 【即时训练】 1．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，渐近线方程为， 因为右焦点到该渐近线的距离为，所以，得， 故的实轴长为. 2．（26-27高三上·云南昆明·阶段检测）双曲线的离心率为__________. 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程及离心率公式求解即可. 【详解】方程可化为， 所以，所以，， 所以离心率为. 【基础题型一 求双曲线的焦点坐标】 【例1】（25-26高二上·山西太原·期末）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，进而求得焦点坐标. 【详解】因为，，所以，得， 焦点在轴上， 所以焦点坐标为. 故选：A 1．（25-26高二上·北京东城·期末）双曲线的右焦点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质求解. 【详解】因为双曲线的标准方程为，所以， 所以， 所以该双曲线的右焦点为， 故选：B 2．（24-25高二上·甘肃白银·阶段检测）（多选）过双曲线的左焦点引圆的切线，切点为，延长交双曲线的右支于点，为右焦点，连接，若为线段的中点，为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的几何性质，逐一判断，即可得到结果. 【详解】 不妨设点在第一象限，分别为，的中点， 则为的中位线，即,即，故B正确； 由双曲线的定义得，则，故C错误； ，故A正确； ，故D正确； 故选：ABD 3．（25-26高三上·山西太原·期末）双曲线的焦点坐标为______. 【答案】， 【分析】直接根据双曲线的方程求解即可. 【详解】由双曲线方程得双曲线焦点在轴上，且， 所以双曲线的焦点坐标为， 故答案为：， 4．（24-25高二上·云南大理·期中）求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦距为8，且椭圆上任一点到两焦点的距离之和为12； (2)与双曲线有相同的焦点，长轴长是10． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）确定，，，得到椭圆方程； （2）双曲线的焦点在轴上且焦点坐标为，且，得到答案. 【详解】（1）由已知条件可得，，， 故所求椭圆的标准方程为或； （2）由已知双曲线的焦点在轴上且焦点坐标为， ，， 故所求椭圆的标准方程为． 【基础题型二 求双曲线的焦距】 【例2】（25-26高三下·河北·开学考试）已知双曲线的左右焦点分别为，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，. 所以，. 所以. 1．（25-26高二上·河南信阳·阶段检测）双曲线的焦距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据双曲线标准方程可得，即可求出焦距. 【详解】由题意知，可得，则, 所以双曲线的焦距为. 故选：D. 2．（25-26高二上·北京海淀·阶段检测）双曲线的焦距为（   ） A．2 B．4 C．6 D．12 【答案】D 【分析】由双曲线方程明确，再利用求出，即可求出焦距. 【详解】由双曲线方程可知， 所以，即， 所以双曲线的焦距为. 故选：D 3．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线，则它的焦距为_______． 【答案】 【详解】双曲线方程，化为标准方程得， 则双曲线为焦点位于x轴的双曲线，且， 故双曲线的焦距为. 4．（25-26高二·全国·课后作业）判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出，，的值及焦距；若不是，请说明理由． （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】答案见解析 【分析】（1）（2）（3）均可化为双曲线标准方程，，，通过焦距定义即可得解，而（4）式非双曲线方程. 【详解】（1）表示双曲线，，，，焦距为． （2）表示双曲线，，，，焦距为． （3）表示双曲线，，，，焦距为． （4）不表示双曲线，由，得，即或，所以该方程表示直线和直线． 【基础题型三 求共焦点的双曲线方程】 【例3】（25-26高二上·四川凉山·阶段检测）已知双曲线与有相同的焦点，则等于（    ） A．3 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为双曲线与有相同的焦点， ， 解得 ， 故选：C. 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期末）与椭圆焦点相同且经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】利用椭圆的三个参数的关系求出椭圆的焦点坐标，设出双曲线的方程，将已知点的坐标代入双曲线方程得到双曲线的三个参数的一个关系，再利用双曲线本身具有的关系，求出，，的值，即得到双曲线的方程． 【详解】解：设双曲线的方程为 椭圆的焦点坐标为 双曲线中的，① 双曲线过点， ② ③ 解①②③得，， 双曲线的方程为． 故选：A 2．（24-25高二上·海南省直辖县级单位·阶段检测）（多选）过点且与椭圆有相同焦点的圆锥曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】本题考查椭圆的简单性质以及椭圆方程的求法和双曲线的简单性质和双曲线的标准方程，考查计算能力．求出椭圆的焦点坐标，设出方程利用圆锥曲线经过的点，求解即可． 【详解】解：椭圆的焦点，可得， 设椭圆的方程为， 可得，， 解得，， 所求的椭圆方程为 设双曲线的方程为：， 可得，， 解得，， 所求的双曲线方程为． 故选：BC 3．（24-25高二上·江苏常州·期中）试写出一个以为焦点的双曲线的标准方程：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据双曲线的焦点写出双曲线的方程即可. 【详解】解：双曲线为， ， 则焦点坐标为， 故以为焦点的双曲线的标准方程可以为. 故答案为：. 4．（25-26高二·全国·课后作业）求实半轴长为，且与双曲线有公共焦点的双曲线的标准方程． 【答案】 【分析】设所求双曲线方程为，依题意可得，代入即可得解； 【详解】解：依题意设所求双曲线方程为，又实半轴长为，所以，所以双曲线方程为； 【基础题型四 根据双曲线中x、y的范围求范围或最值】 【例4】（2025·江西南昌·模拟预测）若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据化简可得该方程表示双曲线的右支，再结合双曲线的性质判断. 【详解】由，左右两边同时平方得， 即， 该方程可表示双曲线的右支，如图所示，    故的最小值为， 故选：A. 1．（24-25高二上·江西南昌·期中）若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想，将等式两边平方后可看作曲线的方程，最后将看作是曲线上的点到原点距离的平方，结合图形求其最小值. 【详解】由题意得，， 将两边同时平方可得：， 即， 所以可看作是双曲线的右支上的点， 又如图所示， 双曲线的右支上的点到原点距离最小， 即的最小值为1，故的最小值为1. 故选：A. 2．（2025·江苏南京·二模）（多选）若实数，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据不等式性质得到AB正确，取特殊值排除CD，得到答案. 【详解】对选项A：，故，正确； 对选项B：，正确； 对选项C：取，满足，此时不成立，错误； 对选项D：取，满足，此时，错误. 故选：AB 3．（24-25高三下·上海浦东新·阶段测试）设点、均在双曲线：上运动，、是双曲线的左、右焦点，则的最小值为________. 【答案】4 【分析】由向量的运算即可得到，再根据双曲线的性质即可求解. 【详解】解：为的中点， . 故答案为：. 4．（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算，来求动点的轨迹； （2）利用两点间的距离公式，消元后求值域即可. 【详解】（1）设，则，， 由题意，，， 所以由直线，的方向向量分别为，， 即有：,, 所以有：，， 消去得点的轨迹方程：， 整理得：； （2）由题意， 由，所以. 【基础题型五 双曲线的对称性】 【例5】（2025·湖南·模拟预测）过双曲线的左焦点作直线交双曲线于A，B两点，若实数使得的直线恰有3条，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据双曲线对称性可知：满足题意的直线，其中一条与实轴垂直，另两条关于轴对称，即可得到答案. 【详解】左支内最短的焦点弦，又， 所以与左、右两支相交的焦点弦长， 因为实数使得的直线恰有3条， 根据双曲线对称性可知：其中一条与实轴垂直，另两条关于轴对称. 如图所示：    所以当时，有3条直线满足题意. 故选：C 1．（24-25高二下·上海闵行·期末）已知点在双曲线上，则（    ） A．点不在双曲线上 B．点不在双曲线上 C．点在双曲线上 D．以上均无法确定 【答案】C 【分析】根据双曲线的对称性进行判断即可. 【详解】因为双曲线关于横轴、纵轴、原点对称， 而点关于横轴、纵轴、原点对称的点分别为、、， 所以只有选项C正确， 故选：C 2．（2026·广东汕头·一模）（多选）已知双曲线的左、右两个焦点分别为，直线与C交于两点，轴，垂足为E，直线与C的另一个交点为P，则下列结论正确的是（    ） A．四边形为平行四边形 B． C．直线的斜率为 D． 【答案】AC 【分析】利用关于原点对称，可判断A，利用趋近于0时点的位置，得出大于，从而判断B．设，计算斜率可判断C，由三角形外角定理得，从而可判断D． 【详解】双曲线关于原点对称，又直线过原点，所以关于原点对称， 由得四边形为平行四边形，A正确； 当，点趋近于右顶点，此时趋近于平角，因此不可能有，B错． 设，则，由轴知，， 而，C正确； 中，，因此，D错； 故选：AC． 3．（2025·四川成都·一模）已知为双曲线的两个焦点，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为___________. 【答案】 【分析】根据双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，再根据双曲线的定义以及勾股定理求得，即可得到四边形的面积． 【详解】由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形， 所以，解得， 所以四边形的面积为． 故答案为：． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）设和为双曲线的两个焦点，若点、、是等腰直角三角形的三个顶点，求的值. 【答案】 【分析】由双曲线对称性可知，利用勾股定理可构造方程得到，结合双曲线的关系可求得结果. 【详解】由题意得：，；由双曲线对称性可知：， ，即，整理可得：， 即，，. 【基础题型六 求双曲线的顶点坐标】 【例6】（25-26高二上·宁夏中卫·阶段检测）双曲线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用双曲线的几何性质求解即得. 【详解】由双曲线方程，得该双曲线焦点在轴上，实半轴长， 所以双曲线的顶点坐标为. 故选：B 1．（24-25高二上·山西太原·期末）双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据双曲线的几何性质即可求解. 【详解】由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，. 故选：B. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）双曲线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据双曲线方程可得答案. 【详解】双曲线的焦点在轴上， 因为，所以， 所以左顶点为，右顶点为. 故选：AB.      3．（2025·北京西城·模拟预测）双曲线的顶点坐标为_________. 【答案】 【分析】化为双曲线标准方程，写出顶点坐标. 【详解】因为为双曲线方程， 所以，即， 所以双曲线的顶点坐标为. 故答案为： 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知双曲线的离心率等于，且点在双曲线上. (1)求双曲线的方程； (2)若双曲线的左顶点为，右焦点为，P为双曲线右支上任意一点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件得到的关系式，求解即可得到双曲线的方程. （2）设，表示，计算数量积，利用点在双曲线上可求取值范围. 【详解】（1）由题意得， 又∵，∴，，， ∴双曲线的方程为. （2） 由题意得，，设， ∴，， 由点在双曲线上得，， ∴ . ∵，∴当时，取得最小值， ∴的取值范围为. 【基础题型七 求双曲线的实轴、虚轴】 【例7】（2026·浙江温州·二模）双曲线的实轴长为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据已知条件求得，进而求得实轴长. 【详解】双曲线，对应， 所以，所以实轴长为. 1．（25-26高二上·贵州黔东南·期末）双曲线的虚轴长为（    ） A． B．5 C．10 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线方程求出，即可求出虚轴长. 【详解】双曲线，则， 所以双曲线的虚轴长为. 故选：C 2．（25-26高二上·四川眉山·期末）双曲线的实轴长为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】由双曲线实轴的概念即可求解. 【详解】由双曲线的方程，可得， 即，故实轴长， 故选：A 3．（2026·北京昌平·二模）双曲线的实轴长为_________ . 【答案】 【详解】将双曲线方程化为标准形式得. ∴ 该双曲线焦点在轴上，. ∴ ，双曲线的实轴长为. 4．（24-25高二上·上海·课堂例题）求双曲线的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标． 【答案】实半轴长2，虚半轴长，焦点坐标为，，顶点坐标为， 【分析】化双曲线方程为标准形式，再求出要求问题即得. 【详解】把方程化为标准方程， 因此该双曲线的实半轴长，虚半轴长，半焦距， 所以焦点坐标为，，顶点坐标为，． 【基础题型八 根据顶点坐标、实轴、虚轴求双曲线的标准方程】 【例8】（25-26高二上·河南南阳·期中）设双曲线的焦距为，若双曲线的焦距与实轴长的和为16，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据题意列出关于的方程组求解即可. 【详解】由题意知，整理得，解得. 故选：B 1．（2026·广西·模拟预测）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为4，实轴长为6，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由距离公式得出，进而由双曲线的性质得出方程. 【详解】右焦点到渐近线的距离，因为实轴长为， 所以，即的方程为. 故选：D 2．（24-25高三上·北京顺义·期中）若双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍，且一个顶点的坐标为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列关于a，b，c的方程组求解即可. 【详解】设双曲线的标准方程为， 由已知得，解得， 所以双曲线的标准方程为 故选：A. 3．（24-25高二上·广东汕头·阶段检测）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为__________. 【答案】 【分析】根据给定条件，结合焦点在上的双曲线方程特征写出结论. 【详解】依题设，设双曲线方程为，且，即， 所以双曲线方程为. 故答案为： 4．（25-26高二·全国·课堂例题）在双曲线中，一定满足，请用几何图形表述出在双曲线中分别表示哪些线段的长. 【答案】 由于就是下图中的三边长， 它们从另一个角度反映了参数的几何意义． AI 【详解】略. 【基础题型九 已知方程求双曲线的渐近线】 【例9】（26-27高三上·广东深圳·课后作业）双曲线的渐近线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】双曲线，化为标准式：， 焦点在轴上，，即， 焦点在轴上的双曲线渐近线方程为， 代入得：. 1．（25-26高三下·广西南宁·阶段检测）已知双曲线的一个焦点坐标是，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将转化为标准形式， 显然，由，所以，解得. 所以双曲线标准方程为. 所以该双曲线的渐近线方程为. 2．（2025·河南·模拟预测）（多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线经过两点，则（    ） A．双曲线的离心率为 B．双曲线C的渐近线方程为 C．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点 D．过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点 【答案】ABD 【分析】设满足题意的双曲线的标准方程为，代入点的坐标，计算可得双曲线方程，进而逐项判断每个选项的正误即可. 【详解】不妨设满足题意的双曲线的标准方程为， 双曲线经过两点，则由题意有，解得， 显然有满足题意的双曲线的标准方程为. 在双曲线中，，则，故A正确. 双曲线的渐近线方程为，故B正确.， 因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧，且其斜率1大于渐近线斜率， 所以直线与双曲线的右支有两个交点，故C错误. 画图可得，过点可以作四条直线与双曲线只有一个公共点，    其中两条与双曲线相切，另两条与渐近线平行，故D正确. 故选：ABD. 3．（25-26高二下·四川成都·期末）双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【详解】令得：， 所以双曲线的渐近线方程为. 4．（24-25高二上·重庆沙坪坝·期中）已知双曲线的方程是． (1)求双曲线的渐近线方程； (2)设和是双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，求的大小． 【答案】(1)； (2)2. 【分析】（1）由双曲线方程直接写出渐近线方程； （2）由双曲线定义有，结合已知求即可. 【详解】（1）由双曲线方程知：其渐近线方程为； （2）由双曲线定义，又，    所以，可得（负值舍）， 所以的大小为2. 【基础题型十 根据双曲线的渐近线求标准方程】 【例10】（25-26高二下·贵州黔南·期末）已知双曲线C：的渐近线方程为，则的值为（    ） A． B． C．5 D．25 【答案】C 【详解】因为双曲线C：的渐近线方程为， 所以，解得. 1．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知双曲线C：的虚轴长是实轴长的2倍，且焦点到渐近线的距离为2，则此双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，渐近线方程， 焦点到的距离为，则， 则此双曲线的方程为 2．（24-25高二上·陕西汉中·期中）（多选）以为渐近线的双曲线可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】利用渐近线的求法，直接求出各个选项的渐近线方程，即可求解. 【详解】对于选项A，由得渐近线方程为，所以选项A错误， 对于选项B，由得渐近线方程为，所以选项B正确， 对于选项C，由得渐近线方程为，所以选项C错误， 对于选项D，由得渐近线方程为，所以选项D正确， 故选：BD. 3．（24-25高二下·上海·阶段检测）若直线是双曲线的一条渐近线，则______． 【答案】3 【分析】根据双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 又，所以. 4．（2025高三·全国·专题练习）求渐近线方程为，经过的双曲线标准方程. 【答案】 【分析】设所求为，根据已知求得即可. 【详解】由渐近线方程得双曲线方程：. 因为过点，所以将点的坐标代入得，故所求双曲线方程. 【基础题型十一 求共渐近线的双曲线的标准方程】 【例11】（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知焦点在 轴上的双曲线 与双曲线 有共同的渐近线，且点 在双曲线 上，则双曲线 的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据共渐近线方程可设双曲线的方程为，代入点坐标，解出即可. 【详解】设双曲线的方程为， 将点代入得，得， 所以双曲线的方程为. 故选：D. 1．（2025·辽宁鞍山·一模）与双曲线有相同渐近线的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求的渐近线，逐项验证渐近线即可 【详解】由题意有的渐近线为，因为的渐近线为，故A错误； 由的渐近线为，故B错误，由的渐近线为，故C正确； 由的渐近线为，故D错误， 故选：C. 2．（2025·江苏淮安·模拟预测）双曲线与双曲线：的渐近线相同，且过点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法设的方程为，，代入即可得到答案. 【详解】设双曲线的方程为，， 代入点，则， 则方程为，即. 故选：B. 3．（2026·北京东城·二模）已知双曲线与有相同的渐近线，则数对可以为_____. 【答案】（答案不唯一） 【详解】可知双曲线的渐近线为， 可知双曲线的渐近线为， 当渐近线相同时，可得或，即， 所以数对可以为. 4．（25-26高二上·安徽·阶段检测）求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在x轴上，经过点，； (2)与双曲线有相同的渐近线，且过点． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，利用待定系数法求解. （2）由给定双曲线设所求方程，再求出参数值即得. 【详解】（1）依题意，设双曲线方程为，由该双曲线过点， 得，解得，所以所求双曲线标准方程为. （2）设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为， 由该双曲线过点，得， 所以所求双曲线的方程为，标准方程为. 【基础题型十二 根据a,b,c齐次式关系求渐近线方程】 【例12】（2026·山西忻州·模拟预测）已知双曲线：（，）的离心率为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【分析】利用离心率的定义可求出. 【详解】由的离心率为，可得，解得. 1．（25-26高二上·湖南邵阳·期末）若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的离心率求出的值，即可写出双曲线的渐近线方程. 【详解】由题意， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：C. 2．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助双曲线离心率与双曲线渐近线方程定义计算即可得. 【详解】由双曲线的离心率为，则， 即有，故， 则双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 3．（26-27高二上·全国·课后作业）已知双曲线的离心率，则渐近线方程为________、________． 【答案】 【详解】因为双曲线的离心率， 所以，即，， 又，则， 所以双曲线的渐近线方程为． 4．（24-25高二上·福建莆田·期末）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P.若，求双曲线的渐近线方程 【答案】 【解析】设右焦点为，由已知可求得为的中位线，，由勾股定理可求得，进而求得渐近线方程. 【详解】设右焦点为， ∵， ∴为的中点，又为的中点， ∴为的中位线，∴，， ∵，∴，∵切圆于，∴，∴， ∵，，∴， ∴由勾股定理得， ∴，∴， ∴双曲线的渐近线方程：. 【基础题型十三 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 【例13】（26-27高三上·北京朝阳·阶段测试）已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出的值，进而求出离心率即可. 【详解】由双曲线方程，可知，，即，， 又因为双曲线的渐近线， 所以，解得，所以，则， 所以双曲线的离心率，故A正确. 1．（26-27高三上·贵州毕节·课后作业）若双曲线（）的一个焦点坐标为，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由双曲线方程以及焦点坐标求出，进而得出双曲线的离心率. 【详解】由题意可知，，，则， 则该双曲线的离心率为. 2．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）（多选）下列选项中与双曲线的离心率相同的曲线是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合双曲线离心率计算公式逐项判断即可. 【详解】对于双曲线，， 所以，即， 对于A：，， 所以，即，正确； 对于B：，， 所以，即，错误； 对于C：，， 所以，即，正确； 对于D：，， 所以，即，正确； 故选：ACD 3．（26-27高三上·北京门头沟·开学考试）双曲线的离心率为__________． 【答案】 【详解】由题意可知，所以， 则，解得，因此双曲线的离心率. 4．（26-27高三·全国·阶段测试）双曲线渐近线，求离心率. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按双曲线焦点的位置分类计算离心率即可. 【详解】已知双曲线渐近线， 若双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，则，离心率； 若双曲线的焦点在轴上，设双曲线的标准方程为，则，即，离心率. 【基础题型十四 根据离心率求双曲线的标准方程】 【例14】（25-26高二上·福建福州·期末）若双曲线的离心率为，则的值为（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】利用双曲线离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为， 则，解得：，即; 故选：B 1．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知双曲线的离心率，则的值为 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线，即可求解. 【详解】由题知，，即 ， 即 ，解得 . 故选：D. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）（多选）过点且的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由离心率得，从而得，然后分类讨论设出双曲线方程代入已知点坐标求得值后可得． 【详解】，，于是， 若双曲线方程为，则，，双曲线方程为， 若双曲线方程为，则，双曲线方程为， 故选：AC 3．（24-25高二下·广东惠州·期中）离心率为，一个焦点坐标为的双曲线的标准方程为________. 【答案】 【分析】根据条件确定，即可求解双曲线的标准方程. 【详解】由条件可知，，且，得， ，并且双曲线的焦点在轴， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 4．（24-25高二上·广西梧州·阶段检测）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，实轴长为8，离心率为； (2)焦点在轴上，焦距为，渐近线方程为. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）结合题意求出双曲线的长、短半轴长，根据焦点位置，即可求得双曲线方程. 【详解】（1）因为双曲线焦点在轴上，实轴长为8，离心率为，所以， 解得，所以， 所以所求双曲线的标准方程为. （2）依题意，可设所求双曲线的标准方程为. 因为焦距为，所以， 所以. 又渐近线方程为，所以， 则，所以所求双曲线的标准方程为. 【基础题型十五 由双曲线的离心率求参数的取值范围】 【例15】（25-26高三上·贵州贵阳·期中）双曲线 的离心率为 ，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用即可得解. 【详解】双曲线的离心率， ，， 因为双曲线的渐近线方程为，即为. 故选：C． 1．（2025·山西·模拟预测）双曲线的离心率为3，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据双曲线方程及离心率得，再由双曲线参数关系求解. 【详解】双曲线的实半轴为， 设双曲线的半焦距为，因为双曲线的离心率为，故， 所以. 故选：A 2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）（多选）若双曲线的离心率是2，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】BC 【分析】根据双曲线的解析式，确定取值范围，分和两种情况结合双曲线离心率列出方程解得即可. 【详解】因为双曲线方程为，所以有， 解得或；双曲线离心率为 若，则有，，双曲线离心率为， 即，解得； 若，则有，，双曲线离心率为， 即，解得；所以或. 故选：BC 3．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）已知双曲线的离心率是，则双曲线的实轴长为__________. 【答案】 【分析】根据离心率的公式以及可求解出的值，则结果可知. 【详解】因为，解得，所以实轴长为， 故答案为：. 4．（25-26高二·全国·课后作业）设k为实数，已知双曲线的离心率，求k的取值范围． 【答案】. 【分析】根据双曲线离心率公式进行求解即可. 【详解】因为表示双曲线的方程，所以有，因此， 因为， 所以由， 即k的取值范围为. 【提高题型一 双曲线相关求值】 【例1】（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线与椭圆的的公式求解即可. 【详解】双曲线中，焦点在轴， 故椭圆中有，解得， 故选：C. 1．（2025·河南·模拟预测）对于曲线（且），以下说法正确的是（    ） A．曲线是椭圆 B．曲线是双曲线 C．曲线的焦点坐标是 D．曲线的焦点坐标是 【答案】D 【分析】对m进行分类讨论，分为双曲线和椭圆，即可判断. 【详解】当时，曲线为双曲线，，故焦点坐标为； 当时，曲线为椭圆，，焦点坐标为. 故选：D. 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期中）（多选）已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线与椭圆有相同的焦距，且一条渐近线方程为，则双曲线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】求出椭圆的焦距即双曲线的焦距，从而可设双曲线方程为，分 和两种情况讨论，即可求出双曲线的标准方程． 【详解】解：椭圆中，， 焦距， 双曲线与椭圆有相同的焦距，一条渐近线方程为， 设双曲线的方程为，即， 当时，，解得， 双曲线的方程为； 当时，，解得， 双曲线的方程为； 综上，双曲线的方程可能为或． 故选：AD. 3．（24-25高二上·北京平谷·期末）双曲线的焦点到顶点的最小距离是______. 【答案】1 【分析】双曲线焦点到顶点的最小距离为. 【详解】双曲线的焦点到顶点的最小距离为， 故答案为：1 4．（25-26高二上·全国·课后作业）已知反比例函数的图象是以轴与轴为渐近线的等轴双曲线. (1)求双曲线的顶点坐标与焦点坐标； (2)设、为双曲线的两个顶点，点、是双曲线上不同的两个动点.求直线与交点的轨迹的方程； 【答案】(1)顶点坐标，，焦点坐标、 (2) 【分析】（1）分析可知双曲线的顶点和焦点均在上，联立直线与双曲线的方程，可求得双曲线的顶点坐标，进而可求得该双曲线焦点的坐标； （2）设点，利用向量共线的坐标表示结合化简可得出轨迹的方程. 【详解】（1）解：因为反比例函数的图象在第一象限和第三象限， 第一、三象限的角平分线所在直线的方程为， 所以，双曲线的顶点和焦点均在直线上， 联立可得或，故双曲线的顶点坐标、. 所以该等轴双曲线的焦距为， 设双曲线的焦点坐标为，则，解得， 因此，双曲线的焦点坐标为、. （2）解：因为点、是双曲线上不同的两个动点，则且， 设交点，，且，， 所以，，① ，且，， 所以，，② 因为点在双曲线上，则，且， 将代入①式化简可得，③ 将代入②式化简可得，④ ③式与④式相乘可得，可得， 因此，轨迹的方程为. 【提高题型二 渐近线方程相关求解】 【例2】（24-25高二下·新疆伊犁·期中）与双曲线共渐近线，且经过点的双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设要求的双曲线为，将点的坐标代入，计算可得t的值，将其方程变形为标准方程，即可得答案． 【详解】根据题意，要求双曲线与双曲线共渐近线， 设要求的双曲线为， 又由双曲线经过点，则，解可得， 则要求双曲线的标准方程为； 故选：D． 1．（25-26高二下·四川成都·期中）经过点且与双曲线有共同渐近线的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有相同的渐近线可设所求双曲线为，把点代入，解得：的值，进而求出答案． 【详解】解：由题意可得：设所求双曲线为， 把点，解得， 所求的双曲线方程为，即． 故选：A． 2．（24-25高二下·山西长治·期末）（多选）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线垂直于双曲线的一条渐近线，直线交双曲线于点，若，则双曲线的渐近线方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】作交于，则可得，，，过作轴交于，求出将点的坐标代入双曲线的方程化简即可得到答案. 【详解】作交于，则可得，，， 过作轴交于，则，所以， 即，整理可得， 由双曲线的定义可得， 又因为，所以，解得， 可得，可得①， 而在双曲线上，所以，② ②联立可得， 将点的坐标代入双曲线的方程可得：，即， 由，整理可得，解得，所以， 所以双曲线的渐近线的方程为. 故选：AB. 3．（25-26高二上·上海·期末）若双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则______． 【答案】 【分析】求出双曲线的两渐近线方程，分析可知该双曲线的两渐近线垂直，即可求出的值. 【详解】由题意可知，则该双曲线的两渐近线方程分别为，， 因为该双曲线的两条渐近线之间的夹角为，则这两渐近线互相垂直， 所以，解得. 4．（25-26高二上·河北石家庄·期中）回答下面两个问题 (1)求焦点为，，且过点的双曲线的标准方程； (2)求与双曲线有相同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先求和，再根据双曲线的定义，即可求解； （2）首先设双曲线方程为，再代入点，即可求解. 【详解】（1）由题意知，双曲线的焦点在轴上，且半焦距， 故设所求双曲线的标准方程为，         ，，         所以，所以，         所以， 故所求双曲线的标准方程为. （2）设所求双曲线的方程为，         将点代入上述方程，得，         所以，所以，             故所求双曲线的方程为. 【提高题型三 双曲线离心率的求值及应用】 【例3】（2026·福建漳州·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别为，，过且垂直于直线的直线与交于点，与的右支交于点，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件得过且垂直于直线的直线方程，联立两直线方程求出，再结合条件求出，利用点在双曲线上，得到间的关系，即可求解. 【详解】设，其中，， 则过且垂直于直线的直线为， 由，解得，所以， 又，且三点共线，点在双曲线右支上，则， 所以，得到，， 所以，又点在双曲线上， 所以，整理得到，得到， 又，所以. 1．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）圆心为原点、半径为的圆分别与轴负半轴、双曲线：（，）的一条渐近线交于，两点（在第一象限），若的另一条渐近线与直线垂直，则的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得交点、的坐标，结合两条直线垂直斜率乘积为建立方程，再利用双曲线中，，的关系求解离心率. 【详解】 双曲线的渐近线方程为，半径为的圆的方程为. 圆与轴负半轴交点为，联立 ， 代入得， 结合，解得第一象限交点. 由题意，另一条渐近线与直线垂直，故两条直线斜率乘积为. 直线的斜率为： . 因此有： ， 化简得，结合双曲线关系， 得.两边同除以，结合离心率，得， 解得（不符合离心率取值范围，舍去）. 2．（24-25高三下·广东揭阳·开学考试）（多选）以两条直线为渐近线的双曲线的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据双曲线渐近线方程的定义，可得，的关系，再由离心率的计算公式可求得. 【详解】根据渐近线方程可得，双曲线的渐近线斜率为.根据双曲线渐近线方程的性质可得或. ①当时，， ∴，则 ②当时，， ∴，则. 故选：BD. 3．（25-26高三下·北京通州·开学考试）已知双曲线的离心率为，则双曲线两条渐近线的夹角的大小为________． 【答案】 【分析】通过双曲线的离心率，求得渐近线斜率，即可求解. 【详解】由离心率定义 ，平方得 ， 又，代入得 ，解得 即双曲线的渐近线为 ，两条渐近线的倾斜角分别为和， 又直线夹角定义为不大于的角， 因此夹角为 . 4．（25-26高二上·河北沧州·阶段检测）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点.若，，双曲线的离心率. 【答案】 【分析】设出点坐标，根据坐标关系以及几何关系，结合点的坐标满足渐近线方程，即可求得离心率. 【详解】如图，因为，故为的中点，又为的中点，则为的中位线， 又，则，. 设，， 因为点在渐近线上，则，解得， 又为的中点，则， 又在渐近线上，故，整理得：， 故双曲线的离心率. 1．（2026高三·全国·专题练习）已知双曲线过点，渐近线方程为，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】首先求双曲线方程，再根据条件求圆心，即可求解距离. 【详解】设双曲线方程为，代入点， 得，，所以双曲线方程为， 根据对称性不妨设圆经过双曲线的焦点，若过左顶点，则圆心所在的直线方程为与双曲线没有交点，所以应过右顶点， 所以圆心所在的直线方程为，代入，得， 所以圆心到双曲线中心的距离为. 2．（24-25高三上·江苏南京·阶段检测）过双曲线C：（，）的左焦点F作C的其中一条渐近线的垂线l，垂足为M，l与双曲线C的另一条渐近线交于点N，且，则C的离心率为（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】由得直线l为的垂直平分线，进而得到，再解三角形即可求得. 【详解】解：因为，即， 所以点为的中点， 又因为，所以， 又因为，所以 因为，，所以， 所以. 故选：B.    3．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知平面直角坐标系中函数的图象是双曲线C，将曲线C绕原点顺时针旋转得到曲线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析旋转后双曲线的渐近线和顶点，由此可求的值. 【详解】因为的两条渐近线，所以顺时针旋转后的渐近线为， 所以，即， 设与的交点为， 令，解得或， 所以，， 旋转后为双曲线的左右顶点， 所以， 所以， 故选：B. 4．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的焦距为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先设出与共渐近线的双曲线方程，再代入点，求出，从而求出的方程，进而求解的焦距. 【详解】由题可知与有相同的渐近线， 故设的方程为：， 点代入得：， 把代入所设方程得：， ，，因此，即，双曲线的焦距为. 5．（25-26高二下·广东广州·期末）双曲线和有相同的渐近线，离心率分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若双曲线和的焦点在同一坐标轴上，则离心率相等，不合题意， 不妨设双曲线，，，，，， 则对于，其半焦距为，实半轴为，则； 对于，其半焦距为，实半轴为，则， 所以，又，所以，所以，所以. 6．（25-26高二下·江苏盐城·期末）（多选）已知双曲线：的一个焦点为，则双曲线的（    ） A．焦距为6 B．实轴长为 C．离心率为 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】先根据双曲线的焦点坐标结合双曲线基本关系求出参数的值，再逐一验证各选项对应性质是否正确． 【详解】由双曲线的方程，可得， 已知一个焦点为，故， 根据双曲线性质，代入得，即， 对于A，双曲线焦距为，A正确； 对于B，双曲线实轴长为，B错误； 对于C，离心率，C正确； 对于D，渐近线方程为，整理得，D正确． 7．（2025·江西萍乡·三模）（多选）已知双曲线，为上四个动点，则四边形的形状可能为（    ） A．菱形 B．等腰梯形 C．正方形 D．矩形 【答案】BD 【分析】根据特例可判断BD正误，根据渐近线夹角可判断AC正误. 【详解】不妨令，轴；当时，四边形为等腰梯形， 当时，四边形为矩形，故B，D正确； 因为为等轴双曲线，所以两条渐近线之间的夹角为， 故四边形的对角线必不可能相互垂直， 故A，C错误. 故选：BD. 8．（25-26高二上·湖北十堰·期末）（多选）已知双曲线，则（    ） A．C的一个顶点坐标为 B．C的实轴长为8 C．C的焦距为 D．C的离心率为 【答案】BD 【分析】根据双曲线方程可得可得答案. 【详解】因为，所以， 因为焦点在y轴上，所以C的顶点坐标为，实轴长为8， 离心率为，焦距为，所以BD正确. 故选；BD. 9．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使的方程为的是（   ） A．的离心率为 B．的渐近线方程为 C．的实轴长为 D．是上的点 【答案】AD 【分析】根据双曲线的方程以及双曲线的几何性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知，，即，因此. 双曲线方程，等价于. 对于A：若的离心率，解得， 又因为，故，符合题意，故A正确； 对于B：若的渐近线方程为，则，即， 又因为，易解得，与题意不符，故B错误； 对于C：若的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误； 对于D：将代入，可得，又因为， 联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确. 故选：AD. 10．（25-26高三上·重庆沙坪坝·开学考试）（多选）已知双曲线的右焦点为，直线：是的一条渐近线，是上一点，则下列说法中正确的是（    ） A．双曲线的虚轴长为 B．点坐标为 C．离心率 D．的最小值为 【答案】AC 【分析】先根据条件求的值，再结合双曲线的性质，逐项分析，判断准确性即可. 【详解】如图： 因为双曲线的渐近线为， 由题意. 所以双曲线的虚轴长为，故A正确； 因为，所以双曲线的右焦点坐标为，故B错误； 双曲线的离心率为，故C正确； 双曲线的右焦点到直线：的距离为 ， 即的最小值为，故D错误. 故选：AC 11．（26-27高二上·全国·课后作业）中心在原点，实轴在轴上，一个焦点在直线上的等轴双曲线方程是________． 【答案】 【详解】直线中，令，得， 所以等轴双曲线的一个焦点坐标为，所以． 因为双曲线为等轴双曲线，即，所以， 即，故等轴双曲线方程为． 12．（24-25高二上·江西·期中）已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则________． 【答案】4 【分析】根据双曲线顶点坐标以及旋转角度可得，即可求得答案. 【详解】易知双曲线的右顶点坐标为， 且双曲线绕点逆时针旋转得曲线， 又曲线的其中一个顶点坐标为，所以， 解得． 故答案为：4 13．（2026·四川泸州·三模）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则__________． 【答案】/2.25 【分析】利用双曲线的渐近线求解. 【详解】∵方程表示双曲线， ∴，解得. 由题意知，，，， 所以，即，整理得，解得. 14．（25-26高二上·安徽池州·阶段检测）若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的右焦点在直线上，则双曲线的标准方程为______． 【答案】 【分析】根据有相同渐近线设出双曲线方程，结合已知条件求出交点坐标，即可求出双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线的方程为（），即， 所以，则，所以右焦点坐标为. 因为双曲线的右焦点在直线上，所以，解得. 所以双曲线的方程为. 故答案为：. 15．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）已知双曲线的左､右焦点分别为，实轴端点分别为，点是双曲线上不同于的任意一点，与的面积比为，则双曲线的渐近线方程为__________. 【答案】 【分析】由题意得到，再求出，即可求出答案. 【详解】， 即， 所以， 因为双曲线的焦点在轴上，故双曲线的渐近线方程为. 故答案为：.    16．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知双曲线的实轴长为4，且与双曲线有公共的焦点. (1)求双曲线的方程； (2)已知，是双曲线上的任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）根据题意设双曲线，由双曲线的性质即可求解； （2）设出坐标，根据双曲线的性质得出的范围，利用两点间距离公式求解. 【详解】（1）由双曲线的焦点在轴，坐标为，， 所以可设双曲线的方程为， 由已知，所以， 又因为双曲线与双曲线有公共的焦点，所以， 解得， 所以双曲线的方程为； （2） 由，可得或， 设，因为是双曲线上的任意一点， 所以，则或， ， 因为或， 所以当时，有最小值. 17．（25-26高三上·天津南开·开学考试）求渐近线夹角为的双曲线的离心率. 【答案】或 【分析】以双曲线的中心为原点，焦点所在直线为轴，建立平面直角坐标系，故可设双曲线方程为，求双曲线的渐近线方程，由条件可求，结合离心率的定义求结论. 【详解】如图以双曲线的中心为原点，焦点所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 故可设双曲线方程为， 故双曲线的渐近线方程为. 因为两渐近线的夹角为，所以直线的倾斜角为或， 所以或. 当时，双曲线的离心率， 当时，双曲线的离心率. 所以双曲线的离心率为或. 18．（26-27高二上·全国·课后作业）根据以下条件，分别求出双曲线的方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)与双曲线有共同的渐近线，且过点． 【答案】(1)或． (2) (3) 【详解】（1）由两顶点间的距离是6得，即． 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得，即， 于是有． 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或． （2）依题意，双曲线的实轴可能在轴上，也可能在轴上，分别讨论如下： 若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为．由，得． 因为，所以① 由点在双曲线上，得② 由①②得，．此时双曲线的方程为．若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为． 同理有，，，解得（舍去）． 故双曲线的实轴只能在轴上，所求双曲线的方程为． （3）设所求双曲线的方程为．将点代入得． 所以双曲线的方程为，即． 19．（2026高三·全国·专题练习）根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线有公共焦点得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. （2）根据双曲线有公共渐近线得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解法1：设双曲线方程为. 由题意易求. 又双曲线过点， ， ， ， 故所求双曲线方程为， 解法2：设双曲线方程为， 将点代入得， ∴双曲线方程为. （2）解法1：设双曲线方程为. 由题意得，解得. 故双曲线方程为. 解法2：设所求双曲线方程为， 将点代入得. 所以双曲线方程为，即. 20．（2026·湖南长沙·三模）若双曲线标准方程为的离心率为，且过点， (1)求双曲线标准方程 (2)点P为双曲线右支上第一象限的点，轴，点A为双曲线左顶点，为左右焦点，求直线AP方程 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为离心率，故， 因为，得，即，所以， 双曲线过点，将其代入方程， 因为，所以，解得，则， 因此，双曲线的标准方程为； （2）由轴，可知的横坐标为， 代入双曲线方程，得， 因为在第一象限，故，即， 直线的斜率. 所以直线的方程为，即. 学科网（北京）股份有限公司 $