专题3.5 抛物线重难点题型专项训练（2个知识点+14大基础题型+2大提高题型+自我检测）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题3.5 抛物线重难点题型专训 （2个知识点+14大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、抛物线定义的理解 题型二、利用抛物线定义求动点轨迹 题型三、抛物线上的点到定点的距离及最值 题型四、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型五、根据抛物线方程求焦点或准线 题型六、抛物线的焦半径公式 题型七、根据抛物线的方程求参数 题型八、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 题型九、根据定义求抛物线的标准方程 题型十、根据抛物线上的点求标准方程 题型十一、求抛物线的轨迹方程 题型十二、求实际问题中的抛物线方程 题型十三、求抛物线的对称轴 题型十四、根据抛物线的对称性求相关的参数 第二部分·练提高题型 题型一、抛物线相关求解问题 题型二、求抛物线方程 第三部分・自我检测 知识点01 抛物线的标准方程 1.抛物线的定义 （1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. （2）集合语言表示 设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px（p>0） y2=-2px（p>0） x2=2py（p>0） x2=-2py（p>0） 3.抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 4.与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： （1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. （2）代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【即时训练】 1．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】由抛物线的定义求解． 【详解】表示动点到直线的距离， 表示动点到定点的距离， 因为，所以动点的轨迹为抛物线， 故选：D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为______． 【答案】 【分析】求得抛物线的准线方程为，根据题意，利用抛物线的定义，得到，求得的值，即可求解. 【详解】由抛物线，可得准线方程为， 因为，根据抛物线定义可知点到准线的距离为， 又因为到轴的距离为5，可得，解得， 所以抛物线的标准方程为． 故答案为：． 知识点02 抛物线的简单几何性质 1.抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2=2px（p>0） y2=-2px（p>0） x2=2py（p>0） x2=-2py（p>0） 图形 顶点 （0，0） （0，0） 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2.抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 【即时训练】 1．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 2．（2026·四川·二模）点在抛物线上，F是抛物线的焦点，则_____________． 【答案】2 【分析】先根据点在抛物线上求出，再根据定义求出焦半径即可. 【详解】因为点在抛物线上， 所以，解得. 则. 【基础题型一 抛物线定义的理解】 【例1】（25-26高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据抛物线的性质即可求解． 【详解】可知抛物线的焦点为，准线方程为， 点在抛物线上，则点A到准线的距离即为AF的长， 所以． 故选：B． 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义列方程，由此求得的值. 【详解】根据抛物线的定义，是其准线， 因为的准线方程为， 所以，解得. 2．（24-25高二上·广西桂林·期末）（多选）抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据抛物线的定义求得的横坐标，进而求得的坐标. 【详解】依题意，抛物线的焦点为， 准线方程为， 由于，根据抛物线的定义可知， 则， 所以的坐标为、. 故选：AB 3．（2026·福建·模拟预测）若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 【答案】 【详解】设， 因为，所以， 则，所以， 所以． 4．（25-26高二·全国·课后作业）一条抛物线的焦点是，其准线方程是，求抛物线的顶点坐标． 【答案】 【分析】设过与准线垂直的直线为，再将点的坐标代入求出，然后两直线方程联立求出交点的坐标，由抛物线的定义可知的中点就是抛物线的顶点，从而可求出其坐标. 【详解】设过与准线垂直的直线为， 因为点在直线上， 所以，得， 所以直线方程为， 设直线与准线交点， 由，得，即， 因为顶点为的中点， 所以顶点坐标为， 故答案为： 【基础题型二 利用抛物线定义求动点轨迹】 【例2】（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义得，再整理即可得答案. 【详解】设为抛物线上任意一点，根据抛物线的定义可得， 即，化简得． 所以，以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为 故选：C 1．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用抛物线的定义求解即可. 【详解】由题意可知，动点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点P在以为焦点，为准线的抛物线上，其轨迹方程为， 故选：D 2．（2025·广东深圳·一模）（多选）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据动圆C与圆A和直线l都相切，分圆C与圆A相外切和圆C与圆A相内切，分别取到A的距离为d+1，d-1，且平行于l的直线，，利用抛物线的定义求解. 【详解】解：动圆C与圆A和直线l都相切， 当圆C与圆A相外切时，取到A的距离为d+1，且平行于l的直线， 则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离， 由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线； 当圆C与圆A相内切时，取到A的距离为d-1，且平行于l的直线， 则圆心C到A的距离等于圆心C到的距离， 由抛物线的定义得：圆心C的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线； 所以，当时，抛物线不完整， 所以，，，， 故选：ABD 3．（25-26高二上·吉林延边·期中）在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是______． 【答案】或 【分析】由抛物线的定义即可求解. 【详解】当点M横坐标大于等于0时，由题意可转化为点M到点的距离等于点M到的距离， 设，所以点M的轨迹是以为焦点，为准线，顶点在原点， 开口向右的抛物线，设其方程为，所以，， 所以点M的轨迹方程为； 当点M横坐标小于0时，因为点到y轴的距离为2，所以点M在x轴上，即点M的轨迹方程为； 所以点M的轨迹方程为或. 故答案为：或. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求得正确答案. 【详解】设动圆圆心为，半径为， 由已知可得圆的圆心为，半径． 因为两圆外切，所以． 又动圆与已知直线相切， 所以圆心到直线的距离， 所以， 即动点到定点的距离等于它到定直线的距离． 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 且，故动圆圆心的轨迹方程为.    【基础题型三 抛物线上的点到定点的距离及最值】 【例3】（25-26高三上·辽宁抚顺·阶段检测）已知点以及抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】求出抛物线的焦点的坐标，根据抛物线的定义求出，则，利用两点间距离公式求出，从而得到的最小值． 【详解】抛物线的焦点的坐标为， 因为，所以，则， 因为，所以的最小值为1． 故选：D. 1．（25-26高三上·全国·阶段检测）若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的性质，点到焦点的最短距离为，代入求解即可． 【详解】抛物线上的点到焦点的最短距离为， ，解得， 所以抛物线方程为． 故选：D． 2．（24-25高二上·安徽宿州·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据抛物线的定义，结合点在抛物线上，对每个选项逐一求解即可. 【详解】对：由题意可知，由，可得，故A正确； 对B：当时，，解得，即，故B错误； 对C：，故C错误； 对D：，故D正确； 故选：AD. 3．（2025高二·湖南·专题练习）已知点满足，，则的最小值为__________ 【答案】 【分析】根据条件，利用抛物线的定义知点的轨迹为抛物线，进而可得其方程为，设，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】因为表示点到点的距离；表示点到直线的距离， 又，所以点到点的距离等于点到直线的距离， 由抛物线的定义知，点的轨迹为抛物线，抛物线方程为， 设，则， 当且仅当时，等号成立， 故答案为：。 4．（25-26高二·全国·课后作业）若M是抛物线上一动点，点，设是点M到准线的距离，要使最小，求点M的坐标． 【答案】 【分析】由抛物线的定义可求解. 【详解】由题意，可知抛物线的焦点， 由抛物线的定义有, 所以最小值为，此时点为直线与抛物线的交点， 而直线的方程求得为：， 所以有，解得 所以 【基础题型四 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 【例4】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件得到，再利用两点间的距离公式，即可求解. 【详解】设的焦点为，则，则， 又，则，所以的最小值为， 故选：A. 1．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用抛物线的定义将转化为点到准线的距离，结合几何意义，求得的最小值为点到抛物线准线的距离. 【详解】抛物线的准线方程为． 设到准线的距离为到准线的距离为， 则， 则的最小值为6． 故选：C 2．（2025·湖北荆州·模拟预测）（多选）已知为曲线上一动点，则（    ） A．的最小值为2 B．到直线的距离的最小值为 C．的最小值为6 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 【答案】BCD 【分析】化简曲线为，利用抛物线的定义及距离公式，逐项判定，即可求解. 【详解】由题意，曲线，化简可得， 则曲线为抛物线的右班部分，如图所示， 因为抛物线，可得抛物线的焦点坐标为，准线方程为 对于A中，由，所以A错误； 对于B中，结合图象可得，原点到直线的距离取得最小值， 最小值为，所以B正确； 对于C中，由点到准线的距离为，点到准线的距离为， 则， 所以的最小值为，所以C正确； 对于D中，根据抛物线的定义，点到焦点的距离等于点到准线的距离， 所以D正确. 故选：BCD. 3．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则的最小值是_____ ． 【答案】8 【分析】结合抛物线的定义将抛物线上动点到焦点的距离转换成到准线的距离，进而可求解. 【详解】对于抛物线，得，即，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上动点到焦点的距离等于到准线的距离， 即 ， 因此 ， 又，点在抛物线内部， 的最小值为点到准线的距离， 计算得， 故的最小值是8. 4．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，确定，根据计算得到答案. 【详解】如图所示，作点关于的对称点，连接，设点，不妨设， ，直线方程为，，， 即，由， 当且仅当三点共线时取等号， 又， 故的最小值为． 【基础题型五 根据抛物线方程求焦点或准线】 【例5】（26-27高三上·广东广州·开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线化为, 当,则,从而,所以焦点的坐标是; 当,则,从而,所以焦点的坐标是. 所以抛物线的焦点坐标是. 1．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）抛物线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将给定抛物线方程转化为开口向上的抛物线标准形式，再结合标准方程对应的焦点坐标公式计算即可． 【详解】首先将抛物线方程整理为标准形式：， 可得，解得， 因此焦点坐标为． 2．（24-25高三上·四川南充·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C不正确； 由，所以D正确． 故选：BD． 3．（2026·广东广州·模拟预测）抛物线的准线方程为______． 【答案】 【分析】将抛物线方程化为标准形式，确定焦点位置和参数的值，再代入对应准线公式求解 【详解】原抛物线标准形式为：，则，故， 故该抛物线的准线方程为. 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)焦点坐标为，准线方程为． (2)焦点坐标为，准线方程为． (3)焦点坐标为，准线方程为． 【分析】（1）（2）（3）根据抛物线的焦点坐标和准线方程的求法即可得到答案. 【详解】（1）对于，焦点在轴正半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． （2）对于，焦点在轴负半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． （3）对于，即，焦点在轴负半轴上， 则焦点坐标为，准线方程为． 【基础题型六 抛物线的焦半径公式】 【例6】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，点为上一点，当时，点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记点的纵坐标为，由题意知， 借助焦半径公式可得，故， 所以点的纵坐标为. 1．（2026·海南儋州·二模）已知抛物线的焦点为点，点在上，且，则点的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意知，，由抛物线的定义可知，得， 故点的横坐标为 2．（2025·黑龙江·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】AC 【分析】利用抛物线的定义来求焦半径，即可得到答案. 【详解】由点在抛物线上，可得点横坐标， 因为，由抛物线定义得，解得或， 故选：. 3．（25-26高三下·甘肃白银·期中）设为抛物线的焦点，点在上，则__________. 【答案】16 【分析】根据抛物线的定义，利用焦半径公式求解． 【详解】解：由题可知， 所以． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，求． 【答案】 3 【分析】结合焦点坐标可求得点横坐标，利用焦半径公式可求得，进而得到结果. 【详解】 由抛物线方程得：，准线方程为： 为中点，点在轴上，点的横坐标为， 由抛物线定义知：， 【基础题型七 根据抛物线的方程求参数】 【例7】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点坐标代入抛物线的方程，从而求得的值. 【详解】点坐标代入抛物线的方程得，解得. 故选：A 1．（2025·浙江·二模）抛物线的焦准距是（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据抛物线标准方程求出即可得解. 【详解】化为标准方程为， 所以，， 即焦点与准线的距离为， 故选：A 2．（24-25高二上·河北廊坊·期中）（多选）若抛物线上一点到焦点的距离为m，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】根据抛物线的定义，可得，结合点在抛物线上，联立方程组，即可得的值，得到答案. 【详解】由抛物线，可得其准线方程为， 因为点到焦点的距离为m，根据抛物线的定义，可得， 又由点是抛物线上的点，可得， 联立方程组，解得. 故选：AC. 3．（2025·湖北武汉·一模）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则__________. 【答案】 【分析】根据抛物线方程可得点坐标，进而可. 【详解】依题意得，，解得， 故， 故答案为：. 4．（25-26高二·全国·课后作业）若抛物线的焦点到点的距离等于5，求实数的值. 【答案】m的值为11或. 【分析】讨论或，求出抛物线的焦点，再利用两点间的距离公式即可求解. 【详解】解析当，即时，，， 所以焦点为， 依题意有，解得或（舍去）； 当，即时，， 所以焦点为， 依题意有，解得（舍去）或. 综上，m的值为11或. 【基础题型八 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程】 【例8】（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，准线为，关于的对称点为， 故，解得，故的标准方程为. 1．（25-26高二上·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设该抛物线的标准方程为，求出的值，即可得出该抛物线的标准方程. 【详解】因为抛物线的准线方程为，故该抛物线开口向下， 设该抛物线的标准方程为， 则，解得，故该抛物线的标准方程为. 故选：D. 2．（25-26高三上·云南·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分别对抛物线焦点位置进行分类讨论，求出直线与坐标轴交点即可得出结果. 【详解】由于焦点在直线上， 当焦点在y轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为； 当焦点在x轴上时，令，可得，所以焦点坐标为， 设方程为，由焦点坐标知，所以抛物线的标准方程为， 故选：BC． 3．（25-26高三下·北京·阶段检测）平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 【答案】 【分析】根据抛物线焦点的坐标确定抛物线的标准方程与参数的值，即可求解． 【详解】由焦点位于轴负半轴，可知抛物线的标准方程形式为， 抛物线的焦点坐标为，结合题给焦点坐标列方程：，解得， 所以抛物线的标准方程为． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 【答案】(1) (2)或或或. 【分析】（1）根据条件确定焦点的位置，求出的值，得抛物线的标准方程； （2）根据条件求出的值，得抛物线的标准方程. 【详解】（1）由于焦点在轴的负半轴上，且，， 抛物线的标准方程为. （2）由焦点到准线的距离为，可知. 所求抛物线的标准方程为或或或. 【基础题型九 根据定义求抛物线的标准方程】 【例9】（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】等式两边同时平方，化简即可. 【详解】由，两边同时平方有， 故选：B. 1．（24-25高三下·云南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】将代入抛物线方程得，解得，再根据抛物线焦半径公式列出方程，求出的值. 【详解】由题意，将代入抛物线方程得，解得，由抛物线的焦半径公式可得，整理得，解得， 故选：C. 2．（25-26高三·重庆渝中·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】分焦点在轴，轴上进行讨论，根据条件求出即可 【详解】由于焦点在直线上， 则当焦点在y轴上时，令， 所以焦点坐标为：， 设方程为，由焦点坐标知， 所以抛物线的方程为： 当焦点在x轴上时，令， 所以焦点坐标为：， 设方程为，由焦点坐标知， 所以抛物线的方程为：， 故选：BC. 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义及条件可求答案. 【详解】因为点A到C的焦点的距离为8， 所以点A到准线的距离为8， 因为点A到y轴的距离为6，所以，即. 故答案为： 4．（24-25高二上·天津河东·阶段检测）求满足下列条件的曲线方程： (1)渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程； (2)顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，过点且满足的抛物线的标准方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据题意设双曲线方程为：，代入点即可得解； （2）设抛物线方程为，根据抛物线过点先得到，再根据焦半径公式求解即可. 【详解】（1）∵双曲线的渐近线方程为，∴设双曲线方程为：. ∵双曲线经过点，，解得. 所以满足条件的双曲线的标准方程为. （2）设抛物线方程为，则准线方程为. 因为抛物线过点，所以， 所以，解得或， 故满足条件的抛物线的标准方程为或. 【基础题型十 根据抛物线上的点求标准方程】 【例10】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】由抛物线过点，得，解得， 所以抛物线的焦点到准线的距离为2. 1．（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由抛物线的定义结合题意可得， 所以抛物线的方程为. 2．（25-26高二上·陕西渭南·期中）（多选）顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据题意可得抛物线开口向左或开口向上，利用待定系数法求解即可. 【详解】因为抛物线经过，所以抛物线开口向左或开口向上， 设开口向左的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向左的抛物线方程为， 故B正确,错误； 设开口向上的抛物线方程为（）， 将点代入，得， 所以开口向上的抛物线方程为， 故C正确，错误. 故选:BC. 3．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的方程为_____. 【答案】 【分析】根据题意可设抛物线方程为，代入点坐标求解. 【详解】因为抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点， 所以抛物线的焦点在轴的正半轴上，可设方程为， 代入点得，，解得， 所以抛物线的方程为. 故答案为：. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程． 【答案】或 【分析】根据题意分焦点在y轴正半轴和y轴负半轴，分别设出抛物线标准方程，解出即可. 【详解】当焦点在y轴正半轴时，设方程为， 由题意可得，解得.所以抛物线方程为． 当焦点在y轴负半轴时，设抛物线方程为， 由题意可得，解得，所以抛物线方程为. 综上，抛物线方程为或． 【基础题型十一 求抛物线的轨迹方程】 【例11】（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设垂线段的中点为，由题意得到点在抛物线上，将该点代入抛物线即可求解. 【详解】设垂线段的中点为， 则由题意可得点在抛物线上，所以，即， 所以垂线段的中点的轨迹方程是. 故选：D 1．（2025·山东济南·模拟预测）以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】不妨设点为抛物线上一点，由抛物线的定义可得出，化简可得出抛物线的方程. 【详解】不妨设点为抛物线上一点， 由题意可知，点到原点的距离等于点到直线的距离，所以， 化简得出，即抛物线的方程为. 故选：B. 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知A，B两点的坐标为，直线，相交于点M，直线，斜率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则M的轨迹方程为 B．若，则M在一条抛物线上 C．若，则M的轨迹为双曲线 D．若，则M轨迹方程为 【答案】BD 【分析】设，则，根据选项中的条件，结合抛物线，双曲线的方程判断即可. 【详解】设，则 对于A，，化简得，则，，故A错误； 对于B，，化简得，则点M的轨迹是抛物线（除去两个点），即点M在一条抛物线上，故B正确； 对于C，，化简得，则点M的轨迹是双曲线（除去顶点），故C错误； 对于D，，化简得，故D正确； 故选：BD 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为__________． 【答案】 【分析】设出动点坐标，由给定条件列出方程并化简即得. 【详解】设动点坐标为，依题意，，两边平方整理得， 所以所求轨迹方程为. 故答案为： 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点P在抛物线上，，连接RP并延长至Q，使得，记点Q的轨迹为曲线C.求C的方程； 【答案】 【分析】首先设，，再根据中点坐标公式，找到两点坐标的关系，利用代入法，即可求轨迹方程. 【详解】设，，因为点P在抛物线上，所以①. 因为，所以P为RQ的中点，即②，将②代入①中可得C的方程为. 【基础题型十二 求实际问题中的抛物线方程】 【例12】（25-26高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 【答案】A 【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长． 【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：   ，， 设抛物线的解析式为，将代入，得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴C（-20，150），， ， 故选：A 1．（24-25高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为，代入点求出，进而可得答案. 【详解】如图所示，以接收天线的轴截面所在平面上建立平面直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在上， 设抛物线的标准方程为， 由已知得在抛物线上，所以，得， 其顶点到焦点的距离等于. 故选：A. 2．（24-25高二上·山西长治·期末）（多选）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 【答案】AD 【分析】根据题意结合抛物线方程和定义分析逐项分析求解. 【详解】对于选项A：根据题意可知：远光灯光线按照路径射向远处，故A正确； 如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 设抛物线方程为，可知， 可得，解得， 所以抛物线方程为，焦点坐标为， 对于选项B：光源到反光镜顶点的距离是，故B错误； 对于选项C：与抛物线对称轴垂直的光线长度为，故C错误； 对于选项D：灯口上任意一点到焦点的距离是，故D正确； 故选：AD. 3．（24-25高二下·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为___________．    【答案】 【分析】设抛物线的方程为，代入点即可求解. 【详解】设抛物线的方程为，抛物线过点，所以， 则这条抛物线的方程为，即． 故答案为：. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.    【答案】 【分析】建立直角坐标系，利用待定系数法和代入法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系， 设抛物线的方程为， 把点代入方程中，得， 所以抛物线方程为 把代入方程中，得， 所以， 所以管柱OA的高度为.    【基础题型十三 求抛物线的对称轴】 【例13】（25-26高三上·河北保定·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 【答案】D 【分析】利用抛物线定义结合已知计算即可. 【详解】因为是上一点， 所以，所以， 由抛物线的定义可得到的距离为， 点到的对称轴的距离为， 则，解得或. 故选：D. 1．（24-25高二上·重庆大足·期末）抛物线的对称轴是直线 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据抛物线的简单几何性质即可求出． 【详解】因为抛物线：，所以其关于轴对称，即对称轴为直线． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质的应用，属于基础题． 2．（2025·湖南长沙·二模）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 【答案】AC 【分析】依题意可得抛物线的方程为，即可得到其焦点坐标与准线方程，再根据抛物线的性质判断即可. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称， 所以抛物线的方程为， 则抛物线的焦点坐标是，准线方程为，故A、C正确； 抛物线关于轴对称，故B错误； 抛物线的焦点到准线的距离为，故D错误. 故选：AC 3．（25-26高二上·全国·课后作业）抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________． 【答案】1或9 【分析】设该点的坐标为，根据题中条件列出方程组求解即可. 【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴， 设该点的坐标为， 由题意可得，，则， 即，解得或， 因为，所以或. 故答案为：1或9. 4．（25-26高二·全国·随堂练习）求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1)，对称轴为x轴，，； (2)，对称轴为y轴，， ； (3)，对称轴为y轴，， (4)，对称轴为x轴，，； 【分析】根据抛物线的标准方程即可得到答案. 【详解】（1）的焦点在x轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； （2）的焦点在y轴正半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （3）即，焦点在y轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为y轴，焦点坐标为，准线方程为； （4）即，焦点在x轴负半轴上，， 顶点坐标为，对称轴为x轴，焦点坐标为，准线方程为； 【基础题型十四 根据抛物线的对称性求相关的参数】 【例14】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 【答案】B 【解析】由题意，得到，结合抛物线方程，即可求出结果. 【详解】因为抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和， 所以，即，代入抛物线方程可得， 整理得，解得或. 故选：B. 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 2．（24-25高二上·山西长治·期中）（多选）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（    ） A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个 B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个 C．使得的点M有且仅有4个 D．使得的点M有且仅有4个 【答案】ABD 【分析】为等腰三角形，考虑两边相等，结合图形，可得有4个点；为直角三角形，考虑直角顶点，结合图形，可得有4个点；考虑直线，与抛物线的方程联立，解方程可得交点个数；由对称性可得有2个；考虑直线，代入抛物线的方程，解方程可得交点个数，由对称性可得点有4个． 【详解】如图，    由为等腰三角形，若，则有两个点；若，则不存在，若，则有两个点，则使得为等腰三角形的点有且仅有4个,故A正确； 由中为直角的点有两个；为直角的点不存在；为直角的点有两个，则使得为直角三角形的点有且仅有4个，故B正确； 若的在第一象限，可得直线，代入抛物线的方程可得，解得，由对称性可得在第四象限只有一个，则满足的有且只有2个，故C错误； 使得的点在第一象限，可得直线， 代入抛物线的方程，可得，， 可得点有2个；若在第四象限，由对称性可得也有2个，则使得的点有且只有4个，故D正确． 故选：ABD 3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知圆与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是的中点，则p的值等于_________________. 【答案】 【分析】抛物线的准线方程为，所以由对称性得点，代入圆的方程即可得p的值. 【详解】因为抛物线的准线方程为，所以由对称性得点， 代入圆的方程得，解得. 故答案为： 【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，属于基础题. 4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解； （2）设，，结合可得线段关于x轴对称，得，求得，得解. 【详解】（1）因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 （2）设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又， ，即， ，又，，， 由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 【提高题型一 抛物线相关求解问题】 【例1】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】利用抛物线的定义，结合已知列方程求的横坐标. 【详解】由抛物线方程，可知，即， 该抛物线的焦点为，准线方程为， 根据抛物线的定义：抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离， 已知点到焦点的距离，那么点到准线的距离也等于， 设点的横坐标为，则它到准线的距离为，即，解得， 所以，点的横坐标为. 1．（2026·云南·三模）已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义，结合三点共线即可求解. 【详解】设抛物线的焦点为，设 由抛物线定义知，， 因，则, 由图知，， 解得，即当过点时，的最小值为. 2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）（多选）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 【答案】BCD 【分析】利用抛物线的定义将焦半径转化为横坐标，再用韦达定理处理抛物线的焦半径问题，以及利用三角形三边关系解决不等关系. 【详解】对于A， 抛物线得，所以准线方程，故A错误； 对于B，，所以， 故B正确； 对于C，抛物线的焦点的坐标为 ，设直线方程为. 联立方程，消去得. 由韦达定理得，. . 因为，所以. 所以的取值范围为，故C正确； 对于D，设中点为，则. 点到准线的距离. 又因为， 在中， ， 所以，故D正确. 3．（2025·江西新余·模拟预测）将抛物线绕原点逆时针旋转后得到的曲线方程为：__________. 【答案】 【分析】分析可知旋转后所得图形仍为抛物线，且新焦点为，新准线为，结合抛物线的定义列式求解即可. 【详解】因为的焦点为，准线为，准线与x轴交点为， 旋转后所得图形仍为抛物线，且新焦点为，抛物线的对称轴为， 则新准线过点，斜率为， 可得新准线方程为，即， 由抛物线定义可得， 整理得， 所以得到的曲线方程为. 故答案为： 4．（25-26高二上·全国·课后作业）（1）设P是抛物线上的一个动点. ①求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值； ②若，求的最小值. （2）已知抛物线，A点的坐标为.求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离. 【答案】（1）①；②4；（2）， 【分析】（1）①根据抛物线定义，点P到准线的距离等于P到点的距离，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到的距离与P到的距离之和最小，数形结合得解；②同理可处理. （2）设抛物线上任一点P的坐标为，用两点间距离公式求出转化为二次函数求最小值. 【详解】（1）①抛物线焦点为，准线方程为，    ∵点P到准线的距离等于P到点的距离. ∴问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到的距离与P到的距离之和最小. 显然P是的连线与抛物线的交点，最小值为. ②同理与P点到准线的距离相等.如图：    过B作准线于Q点，交抛物线于点. ∵， ∴. ∴的最小值为4. （2）由题意设抛物线上任一点P的坐标为， 则， 因为，所以当时，. 故距离点A最近的点P的坐标为，最短距离是. 【提高题型二 求抛物线方程】 【例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知：， 因为，且，可知为锐角， 则， 设，则， 则，整理可得，解得或（舍去）， 所以的横坐标为. 故选：C. 1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的标准方程，焦点到准线的距离为，然后分析判断即可 【详解】因为焦点到准线的距离为1，所以， 对于A，,故A错误； 对于B，，故B选项符合. 对于C，，故C错误， 对于D，，则，故D错误， 故选：B. 2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知抛物线的准线与直线的距离为3，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由准线平行于y轴，可设抛物线的方程为,再应用与直线的距离为3,求值即可. 【详解】由准线平行于y轴，可设抛物线的方程为. 当时，，所以，抛物线的准线方程为， 依题意得，所以，所以抛物线的方程为; 当时，，所以，抛物线的准线方程为， 依题意得，所以或，显然不符合此种情况， 所以，所以抛物线的方程为. 故选:AB. 3．（25-26高二下·陕西安康·期中）记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______． 【答案】 【分析】分析可知、关于轴对称，设点在第一象限，求出点的坐标，将点的坐标代入抛物线方程，即可求出的值. 【详解】直线与抛物线交于、两点，则、关于轴对称， 又因为，则，不妨设点在第一象限，则直线的方程为， 设点，则，故，即点， 将点的坐标代入抛物线方程得，解得. 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解法1：根据已知条件，设点，列出方程，化简； 解法2：定义法求抛物线的方程. （2）轨迹法求点的轨迹方程. 【详解】（1）解法1：设M(x,y)，由题意知 当时，可化为， 整理得，（舍去） 当x< 3时，可化为 整理得， 故点M的轨迹方程为 解法2：由题可知，点M到点F（－2，0）的距离与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹是以F（－2，0）为焦点，为准线的抛物线， 点M的轨迹方程为； （2）设Q（x，y）， 则，  ∴ 又，故 即为所求. 1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用定义法可求抛物线方程，也可以利用几何关系代入坐标公式求出抛物线方程，再利用抛物线的几何性质转化线段可求和的最小值. 【详解】方法一：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小2， ，化简得， 即点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线． 方法二：设点，直线， 动点到点的距离比到直线的距离小 动点到点的距离等于到直线的距离， 点的轨迹是以为焦点，以直线为准线的抛物线， 即抛物线方程为． 如图，过点作准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，得， 则，当三点共线时， 取得最小值，最小值为． 故选：C． 2．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】焦点，准线方程为， 分别过作轴的垂线，垂足为， 则， 等号成立时三点共线， 故到轴的最短距离为 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出双曲线的右焦点坐标进而得抛物线的焦点坐标，即可得抛物线方程. 【详解】双曲线的右焦点为，所以抛物线的焦点为， 所以抛物线的方程为：, 故选：C 4．（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【详解】如下图： 由题可知，设，且， 则两式相减得， 则直线的方程为， 因为中点的纵坐标为2，得， 由抛物线的定义可知， 即， 解得或， 故的方程为或. 5．（24-25高二上·重庆·阶段检测）古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【分析】先利用中位线计算，结合对称性判断抛物线以为对称轴，焦点在上，再以顶点为原点建立坐标系，设抛物线标准方程，根据点在抛物线上求得参数p即得结果. 【详解】因为为底面圆的直径，，，则都是等腰直角三角形. 可求出.M是PB的中点，O是AB的中点，则，， 截圆锥平面平行于母线PA且过母线PB中点M，故O在截面上， 根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上， 建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴， 设抛物线与底面交点为E，则， 设抛物线为，则，解得， 即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为. 故选：C. 6．（25-26高二下·陕西西安·期末）（多选）已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用点求出，得到抛物线的方程，求出焦点坐标，得到直线轴，由点在抛物线上得到，利用抛物线的定义求出，由的范围得到的范围，从而得到的范围，继而求出，由得到，由得到，计算得到的范围，从而得到. 【详解】因为点在抛物线上， 所以， 解得，选项A正确. 则抛物线的标准方程为， 则焦点，，两点横坐标相等，纵坐标不同， 因此直线垂直于轴，平行于轴，选项B正确. 因为点在抛物线上，所以， 则， 因为，所以，则，即， 则， 因为，所以，选项C错误. 因为，所以， 因为，所以， 即，解得， 因为，所以， 则，即，选项D正确. 7．（25-26高二上·安徽六安·期末）（多选）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（   ） A．的坐标为 B． C． D． 【答案】CD 【分析】选项A：根据抛物线方程得焦点坐标及其准线方程判断；选项BC：根据抛物线定义判断；选项D：根据两点间距离公式判断. 【详解】对于A：抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，故A错误； 对于BC：由抛物线定义可得 ， 所以 ，则，解得 ，故B错误，C正确； 对于D：，故D正确. 故选：CD. 8．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据题意假设出抛物线方程，再利用点在抛物线上与焦半径公式得到关于的方程组，解之即可得解. 【详解】依题意，设所求抛物线方程为，则焦点为， 因为在抛物线上，且， 所以，解得 所以. 故选：CD. 9．（2025·江西·二模）（多选）已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（    ） A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 【答案】BD 【分析】设，根据题意写出斜率之差的方程，化简可得的轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，由此可以分析各个选项的正误. 【详解】设，则，整理得， 即，所以轨迹为挖去两个点的关于轴对称的抛物线，故A错误，B正确； 当时，，即一条直线挖去了两个点，故C错误； 当时，轨迹为，开口向下，有最高点，故D正确． 故选：BD 10．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）（多选）已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（    ） A．若为直角三角形，则圆的面积为 B． C．直线PM与抛物线C相切 D．直线PN与抛物线C有两个交点 【答案】ABC 【分析】对于A：分析可知直线MN过焦点F且与x轴垂直，可得，进而可得结果；对于B：分析可知，即可得结果；对于CD：，求直线AM的方程，与抛物线联立，结合以及对称性分析判断. 【详解】记抛物线C的焦点为，坐标原点为O， 则圆的圆心为F，半径． 对于选项A：由抛物线与圆的对称性可知，点M，N关于x轴对称， 若为直角三角形，则， 则直线MN过焦点F且与x轴垂直，则，圆的面积为，故A正确； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C，D：设，由抛物线定义可知，， 又因为，则，所以直线PM的方程为， 与抛物线C：联立可得，，则， 故，所以直线PM与抛物线C相切， 由抛物线与圆的对称性可知直线PN也与抛物线C相切，故C正确，D错误． 故选：ABC．    11．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 12．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 13．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 【答案】/6.4 【分析】设，，利用代入数据可得的值，进而利用抛物线的定义可求解． 【详解】依题意，，准线l的方程为， 因为点Q是l上一点，所以设点，， 则，， 因为，所以， 所以，解得， 又P是C上一点，所以由抛物线的定义可得． 14．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 【答案】 【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以， 所以抛物线的方程为.又点在抛物线上，所以， 由得，，即，则， 由焦半径公式可得. 15．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 【答案】8 【分析】建立适当的直角坐标系，求出抛物线的标准方程，据题意求解即可. 【详解】以拱顶为原点，过拱顶的水平切线为轴建立直角坐标系（如图）， 设抛物线的标准方程为， 由题意可知点在抛物线上， 所以，则， 所以抛物线的标准方程为， 当水位下降，水面宽为8m时，， 设点，则， 所以，所以拱顶到水面的距离是8. 故答案为：8. 16．（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 【答案】(1)9 (2) 【分析】（1）延长交准线于点，由抛物线定义知，再利用三角形不等式可得答案； （2）设点关于准线的对称点为点，利用对称性及三角不等式可得答案. 【详解】（1）抛物线的焦点为，准线方程为，延长交准线于点， 如图所示．根据抛物线的定义知，． 所以， 故的最小值为9． （2）因为，所以，准线方程为． 设，则，即， 代入中，得， 不妨取，即． 设点关于准线的对称点为点，可得， 故， 故的最小值为． 17．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知抛物线的准线与圆相切，是上一点. (1)若是抛物线的焦点，为坐标原点，且满足，求； (2)若点的坐标为，求点到点的距离与到轴的距离之和的最小值. 【答案】(1)4； (2)12. 【分析】（1）根据给定条件，利用圆的切线性质求出，再作出几何图形，数形结合求解. （2）由（1）中信息，利用抛物线的定义，结合线段和差关系求出最小值. 【详解】（1）抛物线的准线方程为，圆的圆心为，半径为1， 由抛物线的准线与圆相切，得，解得， 抛物线的准线为，焦点， 过点作准线的垂线，垂足为，过作于， 由，得，在中，， 所以. （2）在抛物线的方程中，令，得，则点与焦点在抛物线的两侧， 设点到轴距离为，则 ，当且仅当是线段与抛物线的交点时取等号， 所以点到点的距离与到轴的距离之和的最小值为12. 18．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线C：的左、右焦点为，，点P在C上. (1)求双曲线C的离心率及渐近线方程； (2)若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； (3)若，求的面积. 【答案】(1)离心率，渐近线方程； (2)； (3)9. 【分析】（1）根据给定的双曲线方程直接求出离心率及渐近线方程. （2）由（1）求出抛物线的顶点及焦点坐标，进而求出抛物线方程. （3）利用双曲线定义，结合垂直关系求出三角形面积. 【详解】（1）双曲线C：的实半轴长，虚半轴长，则半焦距， 所以双曲线C的离心率，渐近线方程为. （2）由（1）得抛物线E的顶点为，焦点为， 所以抛物线E的方程为. （3）由（1）知，，， 由，得， 则， 所以的面积. 19．（26-27高二上·全国·课堂例题）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 【答案】 【分析】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为，通过待定系数法确定抛物线方程，并求出货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离，即可求出能使该货车顺利通过桥洞的限高. 【详解】以为原点，所在的直线为轴，过且与垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设抛物线方程为， 将代入方程可得，解得， 所以抛物线方程为， 若宽为的一辆货车沿桥洞中线行驶，则货车边缘的横坐标为， 将其代入抛物线方程可得，解得， 所以货车边缘处，即处桥洞与洞口底部的垂直距离为， 又因为货车与其正上方的墙壁高度差至少为， 所以货车能顺利通过桥洞的限高为. 20．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 【答案】(1); (2). 【分析】（1）由题意可得上的任意点到点的距离等于它到直线的距离，根据抛物线的定义即可求解； （2）由题意可设直线方程为,由题可得与有两个不同交点,根据韦达定理及根的判别式可得的中点坐标及的取值范围，根据的中点坐标在直线上即可求解. 【详解】（1）因为上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1， 所以上的任意点到点的距离等于它到直线的距离， 所以曲线是以为焦点的抛物线. 因为曲线在轴右侧， 所以曲线的方程是. （2）设关于直线对称，所以. 设直线方程为, 代入,得. 因为与有两个不同交点, 所以,解得. 当直线经过原点时，, 所以且. 所以, , 所以中点坐标为. 又中点坐标为在直线上, 所以,即, 因为且，所以且. 所以的取值范国是.    学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.5 抛物线重难点题型专训 （2个知识点+14大基础题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 题型一、抛物线定义的理解 题型二、利用抛物线定义求动点轨迹 题型三、抛物线上的点到定点的距离及最值 题型四、抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值 题型五、根据抛物线方程求焦点或准线 题型六、抛物线的焦半径公式 题型七、根据抛物线的方程求参数 题型八、根据焦点或准线写出抛物线的标准方程 题型九、根据定义求抛物线的标准方程 题型十、根据抛物线上的点求标准方程 题型十一、求抛物线的轨迹方程 题型十二、求实际问题中的抛物线方程 题型十三、求抛物线的对称轴 题型十四、根据抛物线的对称性求相关的参数 第二部分·练提高题型 题型一、抛物线相关求解问题 题型二、求抛物线方程 第三部分・自我检测 知识点01 抛物线的标准方程 1.抛物线的定义 （1）定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的焦点，直线l叫作抛物线的准线. （2）集合语言表示 设点M（x，y）是抛物线上任意一点，点M到直线l的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}. 2.抛物线的标准方程 抛物线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系： 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px（p>0） y2=-2px（p>0） x2=2py（p>0） x2=-2py（p>0） 3.抛物线标准方程的求解 待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. 4.与抛物线有关的最值问题 求解此类问题一般有以下两种思路： （1）几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解. （2）代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解. 【即时训练】 1．（24-25高三上·云南昆明·阶段检测）在平面内，设是直线的法向量（直线的法向量：直线的方向向量为，若向量，则向量叫做直线l的法向量），是平面内的两个定点，，，若动点P满足.则动点P的轨迹为（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知抛物线的焦点为为抛物线上一点，若到轴的距离为5，且，则该抛物线的标准方程为______． 知识点02 抛物线的简单几何性质 1.抛物线的几何性质 抛物线的简单几何性质： 标准方程 y2=2px（p>0） y2=-2px（p>0） x2=2py（p>0） x2=-2py（p>0） 图形 顶点 （0，0） （0，0） 轴 对称轴y=0 对称轴x=0 焦点 准线 离心率 e =1 e=1 开口 开口向右 开口向左 开口向上 开口向下 焦半径 范围 x≥0 x≤0 y≥0 y≤0 2.抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异 抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异： ①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形； ②顶点个数不同，椭圆有4个顶点，双曲线有2个顶点，抛物线只有1个顶点； ③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2个焦点，抛物线只有1个焦点； ④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1，双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1； ⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线； ⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线. 【即时训练】 1．（2026·湖北·二模）在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川·二模）点在抛物线上，F是抛物线的焦点，则_____________． 【基础题型一 抛物线定义的理解】 【例1】（25-26高二上·浙江台州·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，则线段的长度为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 1．（25-26高二下·湖南长沙·期中）抛物线C：的焦点为F，C上的点到F的距离等于到直线的距离，则（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．（24-25高二上·广西桂林·期末）（多选）抛物线的焦点为，点在上，若.则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·福建·模拟预测）若抛物线上一点到其焦点的距离为5，为坐标原点，则________． 4．（25-26高二·全国·课后作业）一条抛物线的焦点是，其准线方程是，求抛物线的顶点坐标． 【基础题型二 利用抛物线定义求动点轨迹】 【例2】（25-26高三上·山西运城·期末）以为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·福建福州·阶段检测）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东深圳·一模）（多选）已知定圆A的半径为1，圆心A到定直线l的距离为d，动圆C与圆A和直线l都相切，圆心C的轨迹为如图所示的两条抛物线，记这两抛物线的焦点到对应准线的距离分别为，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·吉林延边·期中）在平面内，到定点的距离比到y轴的距离大2的动点的轨迹方程是______． 4．（25-26高二上·全国·课后作业）若动圆与圆外切，又与直线相切，求动圆圆心的轨迹方程. 【基础题型三 抛物线上的点到定点的距离及最值】 【例3】（25-26高三上·辽宁抚顺·阶段检测）已知点以及抛物线上一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 1．（25-26高三上·全国·阶段检测）若抛物线上的点到焦点的最短距离为2，则抛物线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽宿州·期中）（多选）已知抛物线的焦点为，顶点为，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二·湖南·专题练习）已知点满足，，则的最小值为__________ 4．（25-26高二·全国·课后作业）若M是抛物线上一动点，点，设是点M到准线的距离，要使最小，求点M的坐标． 【基础题型四 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】 【例4】（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知为抛物线上的动点，点，到的准线的距离为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知为抛物线上的动点，为的焦点，点，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（2025·湖北荆州·模拟预测）（多选）已知为曲线上一动点，则（    ） A．的最小值为2 B．到直线的距离的最小值为 C．的最小值为6 D．存在一个定点和一条定直线，使得到定点的距离等于到定直线的距离 3．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，则的最小值是_____ ． 4．（24-25高二上·甘肃白银·期末）已知抛物线的焦点为，准线为，点是直线上的动点．若点在抛物线上，且为坐标原点，求的最小值． 【基础题型五 根据抛物线方程求焦点或准线】 【例5】（26-27高三上·广东广州·开学考试）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高三上·贵州贵阳·高考复习）抛物线的焦点坐标为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·四川南充·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（    ） A．的坐标为 B． C． D． 3．（2026·广东广州·模拟预测）抛物线的准线方程为______． 4．（24-25高二上·全国·课堂例题）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程： (1)； (2)； (3)． 【基础题型六 抛物线的焦半径公式】 【例6】（2026·陕西咸阳·三模）已知抛物线的焦点为，点为上一点，当时，点的纵坐标为（   ） A． B． C． D． 1．（2026·海南儋州·二模）已知抛物线的焦点为点，点在上，且，则点的横坐标为（    ） A．2 B． C．3 D．4 2．（2025·黑龙江·模拟预测）（多选）已知抛物线的焦点为，点在上，，则的值可能是（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 3．（25-26高三下·甘肃白银·期中）设为抛物线的焦点，点在上，则__________. 4．（25-26高一·全国·随堂练习）已知F是抛物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，求． 【基础题型七 根据抛物线的方程求参数】 【例7】（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知抛物线上一点，则（   ） A． B． C． D． 1．（2025·浙江·二模）抛物线的焦准距是（    ） A． B． C．3 D．6 2．（24-25高二上·河北廊坊·期中）（多选）若抛物线上一点到焦点的距离为m，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·湖北武汉·一模）已知为坐标原点，抛物线的焦点为，点在抛物线上，则__________. 4．（25-26高二·全国·课后作业）若抛物线的焦点到点的距离等于5，求实数的值. 【基础题型八 根据焦点或准线写出抛物线的标准方程】 【例8】（25-26高二下·河南许昌·期末）若抛物线的焦点关于准线的对称点为，则的标准方程为（     ） A． B． C． D． 1．（25-26高二上·广东广州·期末）准线方程为的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·云南·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·北京·阶段检测）平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，则该抛物线的标准方程是______． 4．（24-25高二上·黑龙江牡丹江·期中）分别求满足下列条件的抛物线的标准方程. (1)焦点为； (2)焦点到准线的距离为. 【基础题型九 根据定义求抛物线的标准方程】 【例9】（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（ ） A． B． C． D． 1．（24-25高三下·云南·阶段检测）已知抛物线的焦点为，抛物线上一点，满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．（25-26高三·重庆渝中·阶段检测）（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东广州·期末）已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为8，到y轴的距离为6，则______． 4．（24-25高二上·天津河东·阶段检测）求满足下列条件的曲线方程： (1)渐近线方程为，且经过点的双曲线的标准方程； (2)顶点在坐标原点，焦点F在x轴正半轴上，过点且满足的抛物线的标准方程. 【基础题型十 根据抛物线上的点求标准方程】 【例10】（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知抛物线上一点，则焦点到准线的距离为（    ） A．1 B． C．2 D．3 1．（2026·四川雅安·二模）已知抛物线（）上一点到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·陕西渭南·期中）（多选）顶点在原点，对称轴是坐标轴，并且经过点的抛物线的标准方程是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为轴，且过点，则此抛物线的方程为_____. 4．（2025高二上·全国·专题练习）已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点，若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线的方程． 【基础题型十一 求抛物线的轨迹方程】 【例11】（25-26高二上·四川达州·期末）从抛物线上各点向y轴作垂线段，则垂线段的中点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 1．（2025·山东济南·模拟预测）以坐标原点为焦点，直线为准线的抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知A，B两点的坐标为，直线，相交于点M，直线，斜率分别为，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则M的轨迹方程为 B．若，则M在一条抛物线上 C．若，则M的轨迹为双曲线 D．若，则M轨迹方程为 3．（24-25高二上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，到轴的距离与到点的距离相等的点的轨迹方程为__________． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）已知点P在抛物线上，，连接RP并延长至Q，使得，记点Q的轨迹为曲线C.求C的方程； 【基础题型十二 求实际问题中的抛物线方程】 【例12】（25-26高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（    ）    A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 1．（24-25高二上·四川德阳·期末）一种卫星接收天线（如图①所示）的曲面是旋转抛物面（抛物线围绕其对称轴旋转而得的一种空间曲面，抛物线的对称轴、焦点、顶点分别称为旋转抛物面的轴线、焦点、顶点），已知卫星波束以平行于旋转抛物面的轴线的方式射入该卫星接收天线经反射后聚集到焦点处（如图②所示），已知该卫星接收天线的口径（直径）为6m，深度为1m，则其顶点到焦点的距离等于（    ） A． B． C．1m D． 2．（24-25高二上·山西长治·期末）（多选）如图所示是某家用汽车远光灯示意图，其中心截口曲线是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，且灯口直径是，灯深，则（    ） A．远光灯光线按照路径射向远处 B．光源到反光镜顶点的距离是 C．与抛物线对称轴垂直的光线长度为 D．灯口上任意一点到焦点的距离是 3．（24-25高二下·河北·期末）如图，这是一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面，水面宽，根据图中坐标系，这条抛物线的方程为___________．    4．（25-26高二·全国·随堂练习）某农场为节水推行喷灌技术，喷头装在管柱OA的顶端A处，喷出的水流在各个方向上呈抛物线状，如图所示.现要求水流最高点B离地面5m，点B到管柱OA所在直线的距离为4m，且水流落在地面上以O为圆心，以9m为半径的圆上，求管柱OA的高度.    【基础题型十三 求抛物线的对称轴】 【例13】（25-26高三上·河北保定·阶段检测）已知抛物线的焦点为，是上一点，且到的距离与到的对称轴的距离之差为2，则（    ） A． B．1 C．2或4 D．4或36 1．（24-25高二上·重庆大足·期末）抛物线的对称轴是直线 A． B． C． D． 2．（2025·湖南长沙·二模）（多选）已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为4 3．（25-26高二上·全国·课后作业）抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________． 4．（25-26高二·全国·随堂练习）求下列抛物线的顶点坐标､对称轴､焦点坐标和准线方程. (1)； (2)； (3)； (4). 【基础题型十四 根据抛物线的对称性求相关的参数】 【例14】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为3和，则（    ） A．2 B．2或4 C．1或2 D．1 1．（24-25高二上·山东烟台·期末）抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西长治·期中）（多选）已知点F为抛物线的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（    ） A．使得为等腰三角形的点M有且仅有4个 B．使得为直角三角形的点M有且仅有4个 C．使得的点M有且仅有4个 D．使得的点M有且仅有4个 3．（2025·河北衡水·模拟预测）已知圆与抛物线交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，且坐标原点O是的中点，则p的值等于_________________. 4．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【提高题型一 抛物线相关求解问题】 【例1】（25-26高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，则的横坐标为（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 1．（2026·云南·三模）已知是抛物线上的动点，点满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．4 2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）（多选）已知抛物线，过抛物线的焦点的直线与抛物线交于，两点，则（  ） A．抛物线的准线方程为 B．若，则 C．的取值范围为 D．设为坐标原点，的中点到准线的距离为，则 3．（2025·江西新余·模拟预测）将抛物线绕原点逆时针旋转后得到的曲线方程为：__________. 4．（25-26高二上·全国·课后作业）（1）设P是抛物线上的一个动点. ①求点P到点的距离与点P到直线的距离之和的最小值； ②若，求的最小值. （2）已知抛物线，A点的坐标为.求抛物线上距离点A最近的点P的坐标及相应的距离. 【提高题型二 求抛物线方程】 【例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，点为抛物线的焦点，点在上，若，则的横坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（25-26高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列抛物线中，焦点到准线的距离为1的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知抛物线的准线与直线的距离为3，则抛物线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·陕西安康·期中）记抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于、两点，且，，则______． 4．（24-25高二上·河南南阳·期中）已知点到点的距离比点到直线的距离小1. (1)求点的轨迹方程； (2)求线段中点的轨迹方程. 1．（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线，点，点，动点到点的距离比到直线的距离小2，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高二下·重庆·期末）点、在抛物线上，且，记线段的中点为，则到轴的最短距离为（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）以双曲线的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·山西晋中·三模）已知抛物线的焦点为，过的直线与交于两点，过点分别向的准线作垂线，垂足为，若中点的纵坐标为2，则的方程为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．（24-25高二上·重庆·阶段检测）古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.在如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为的中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高为，，则该抛物线的焦点到准线的距离为（   ） A．2 B． C． D．4 6．（25-26高二下·陕西西安·期末）（多选）已知点均在抛物线上，是的焦点，则（   ） A． B．直线轴 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高二上·安徽六安·期末）（多选）已知抛物线的焦点为，为坐标原点，点在抛物线上，若，则（   ） A．的坐标为 B． C． D． 8．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）已知抛物线的焦点在y轴上，抛物线上一点到焦点的距离为5，则m的值为（    ） A． B． C． D． 9．（2025·江西·二模）（多选）已知两点的坐标分别为为坐标平面内的动点，直线的斜率分别为，且满足（为定值），设动点的轨迹为．则（    ） A．轨迹关于原点对称 B．轨迹关于直线对称 C．当时，轨迹为一条直线 D．当时，轨迹存在最高点 10．（24-25高三上·黑龙江大庆·期中）（多选）已知抛物线C：，圆．若C与交于M，N两点，圆与x轴的负半轴交于点P，则（    ） A．若为直角三角形，则圆的面积为 B． C．直线PM与抛物线C相切 D．直线PN与抛物线C有两个交点 11．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 12．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 13．（25-26高二下·江西赣州·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P是C上一点，直线PF与l交于点Q，若，则________． 14．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则_______． 15．（25-26高二上·陕西渭南·期末）如图是一座抛物线型拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽4m.当水位下降，水面宽为8m时，拱顶到水面的距离是__________m. 16．（26-27高二上·全国·课后作业）求解下列问题： (1)已知是抛物线上的动点，点在轴上的射影是点，点的坐标是，求的最小值； (2)已知点为抛物线的焦点，为直角坐标系原点．点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，求的最小值． 17．（25-26高二上·山东菏泽·期末）已知抛物线的准线与圆相切，是上一点. (1)若是抛物线的焦点，为坐标原点，且满足，求； (2)若点的坐标为，求点到点的距离与到轴的距离之和的最小值. 18．（25-26高二上·江苏徐州·期中）已知双曲线C：的左、右焦点为，，点P在C上. (1)求双曲线C的离心率及渐近线方程； (2)若抛物线E的顶点、焦点分别是C的中心、左顶点，求抛物线E的方程； (3)若，求的面积. 19．（26-27高二上·全国·课堂例题）一座桥梁的一个桥洞的横截面曲线是抛物线形，如图所示，它的洞口底部宽为，为的中点，桥洞最高处点的高度为.规定车辆在桥洞下行驶时，其顶部（设为平顶）每处与其正上方的墙壁高度差至少为.若一辆货车宽为，沿桥洞中线行驶，求该货车能顺利通过桥洞的限高. 20．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）已知一条曲线在轴右侧，上的任意点到点的距离减去它到轴的距离的差都是1． (1)求曲线的方程； (2)若曲线上总存在不同两点关于直线对称，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $