专题3.6 圆锥曲线的方程易错必刷题型专训（60题15个考点）-2026-2027学年高二数学上学期重难点专训（人教A版选择性必修第一册）

专题3.6 圆锥曲线的方程易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 椭圆定义及辨析】 1．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（多选）下列说法中正确的有（   ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 3．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 4．如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程. 【易错必刷二 利用椭圆定义求方程】 5．椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 6．（多选）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程无解 B．方程有两个解 C．的最小值为 D．的最大值为 7．已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为______. 8．分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程： (1)点到点、的距离之和为10； (2)点到点、的距离之和为12； (3)点到点、的距离之和为8． 【易错必刷三 根据方程表示椭圆求参数的范围】 9．已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 10．（多选）若为椭圆的方程，则的值可以为（   ） A．3 B．6 C．8 D．1 11．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________． 12．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. 【易错必刷四 根据椭圆方程求a、b、c】 13．设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（   ） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 14．（多选）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．6 D． 15．椭圆的焦距为2，则______. 16．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，且当时，的面积最大，求椭圆的标准方程. 【易错必刷五 求椭圆的焦点、焦距】 17．椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 18．（多选）两个焦点分别为的椭圆的标准方程可能为（　　） A． B． C． D． 19．椭圆的焦距为__________． 20．求下列椭圆的焦点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【易错必刷六 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 21．椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 22．（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，则椭圆C的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 23．已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 24．设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为，求椭圆的离心率 【易错必刷七 双曲线定义的理解】 25．已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 26．（多选）平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（    ） A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线 27．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，______. 28．已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求点的坐标． 【易错必刷八 利用双曲线定义求方程】 29．已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 30．（多选）已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（    ） A． B． C． D． 31．已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为________． 32．已知，动点P满足，求动点P的轨迹方程． 【易错必刷九 根据方程表示双曲线求参数的范围】 33．已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 34．（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．若表示椭圆，则 35．已知一个双曲线的方程为，则的取值范围是______. 36．若方程是双曲线的方程，求实数a的取值范围． 【易错必刷十 求双曲线的焦点坐标】 37．双曲线的焦点坐标为（    ）． A． B． C． D． 38．（多选）已知双曲线，则C的一个焦点坐标（    ） A． B． C． D． 39．双曲线的一个焦点为，则______. 40．已知双曲线C的方程是： (1)求双曲线C的焦点坐标； (2)如果双曲线C上一点P到其一个焦点的距离等于8，求点P到其另一个焦点的距离． 【易错必刷十一 已知方程求双曲线的渐近线】 41．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 42．（多选）已知双曲线，点，，，均在上，则四边形可能为（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 43．双曲线的两条渐近线为______． 44．求双曲线的焦点坐标和渐近线方程. 【易错必刷十二 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 45．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 46．（多选）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 47．若双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为________． 48．已知双曲线C的顶点为，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求双曲线C的离心率． 【易错必刷十三 抛物线定义的理解】 49．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 50．（多选）若抛物线上一点到焦点的距离是它到直线的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为（    ） A． B． C． D． 51．已知抛物线的焦点为F，A是C上一点，且位于第一象限，若，则点A的纵坐标为________． 52．已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，，求的方程. 【易错必刷十四 利用抛物线定义求动点轨迹】 53．到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 54．（多选）若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹不可能是（    ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 55．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为______. 56．已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 【易错必刷十五 根据抛物线的方程求参数】 57．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 58．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 59．抛物线的焦点到准线的距离为________． 60．已知方程的抛物线上有一点，点M到焦点F的距离为5，求m的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.6 圆锥曲线的方程易错必刷题型专训（60题15个考点） 【易错必刷一 椭圆定义及辨析】 1．设，分别是椭圆的左、右焦点，点P在C上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆的定义求解即可. 【详解】根据椭圆的定义可知，， 又， 解得，． 故选：A． 2．（多选）下列说法中正确的有（   ） A．已知点，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹是椭圆 B．已知点，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆 C．已知点，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆 D．已知点，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆 【答案】CD 【分析】根据椭圆定义分别判断各个选项即可. 【详解】根据题意，点，，则， 对于A，，到，两点的距离之和等于7的点的轨迹不存在，错误； 对于B，，到，两点的距离之和等于8的点的轨迹为线段，错误； 对于C，，到，两点的距离之和等于9的点的轨迹是椭圆，正确； 对于D，，到，两点的距离之和等于10的点的轨迹是椭圆，正确； 故选：CD. 3．椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．若，则________． 【答案】 4 【详解】由题可知，又， 所以. 4．如图所示，已知是椭圆的左，右焦点，是椭圆上任意一点，过作的外角的角平分线的垂线，垂足为，求点的轨迹方程. 【答案】 【分析】延长，与的延长线交于点，连接，由角平分线、中位线性质得，，再根据椭圆定义得，即可得轨迹. 【详解】 延长，与的延长线交于点，连接， 由是的外角的角平分线，且， 在中，且为线段的中点 又为线段的中点，由三角形的中位线：， 根据椭圆的定义得：，则， 点的轨迹为以原点为圆心，为半径的圆，点的轨迹方程：. 【易错必刷二 利用椭圆定义求方程】 5．椭圆的两个焦点坐标分别为，，且椭圆上一点到两个焦点的距离之和为20，则此椭圆的标准方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，所以. 又，所以. 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为：. 6．（多选）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题．结合上述观点，对于函数，下列结论正确的是（   ） A．方程无解 B．方程有两个解 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】根据两点间距离公式，结合题意可得，取计算可得A、C、D；结合椭圆定义计算可得B. 【详解】， 设，，，则， 如图，取，则， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 又当时，随增大而增大，故无最大值，故C正确、D错误； 由，故有解，故A错误； ，则， 则的轨迹是以，为焦点的椭圆， 此时，，即，， 即椭圆方程为， 当时，得，得，即， 即方程有两个解，故B正确. 故选：BC. 7．已知点在以为圆心，半径为6的圆上，，若点在线段上且满足点到，两点的距离相等，则点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】根据几何关系和椭圆的定义可知点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆，即可求解轨迹方程. 【详解】由题意，可作图如下， 因为点到，两点的距离相等，即， 所以， 则点的轨迹为以定点，为焦点的椭圆， 其中，，解得，故其轨迹方程为. 故答案为： 8．分别写出满足下列条件的动点的轨迹方程： (1)点到点、的距离之和为10； (2)点到点、的距离之和为12； (3)点到点、的距离之和为8． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据椭圆的定义可求出结果； （2）根据椭圆的定义可求出结果； （2）可知动点的轨迹是线段. 【详解】（1）因为， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆， 这里，，即，， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （2）因为， 所以动点的轨迹是焦点在轴上的椭圆， 这里，，即，， 所以， 所以动点的轨迹方程为. （3）因为， 所以动点的轨迹是线段，其方程为. 【易错必刷三 根据方程表示椭圆求参数的范围】 9．已知方程表示椭圆，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【详解】因为方程表示椭圆，所以， 解得且． 10．（多选）若为椭圆的方程，则的值可以为（   ） A．3 B．6 C．8 D．1 【答案】AC 【分析】将方程化为标准式，依题意可得，即可求出的取值范围，即可判断. 【详解】方程，即， 依题意可得，解得且， 即的取值范围为，结合选项可知A、C符合题意. 故选：AC 11．已知方程表示椭圆，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据题意结合椭圆方程的标准形式列式求解即可. 【详解】因为方程表示椭圆， 则，解得且， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围. 【答案】 【分析】由焦点在轴的椭圆方程的特征求解即可． 【详解】因为方程表示焦点在轴上的椭圆， 所以，解得， 所以的取值范围是.    【易错必刷四 根据椭圆方程求a、b、c】 13．设椭圆的标准方程为，若焦距为2，则的值等于（   ） A．7 B．7或5 C．10 D．10或2 【答案】B 【分析】根据椭圆中，，的关系求解即可. 【详解】因为焦距为2，所以. 当焦点在轴上，此时，且，解得； 当焦点在轴上，此时，且，解得. 综上，的值为7或5. 故选：B 14．（多选）已知椭圆的标准方程为，并且焦距为6，则实数m的值可以为（    ） A．4 B． C．6 D． 【答案】AB 【分析】首先确定c的值，然后分类讨论焦点位置在x轴和y轴两种情况求解m的值即可. 【详解】因为，所以， 当焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知，，所以， 又，解得. 当焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知，，所以， 解得. 综上，解得或． 故选：AB. 15．椭圆的焦距为2，则______. 【答案】2或4 【分析】根据给定条件，按椭圆焦点位置分类求解. 【详解】椭圆的半焦距， 当椭圆焦点在轴上时，，解得， 当椭圆焦点在轴上时，，解得， 所以或. 故答案为：2或4 16．已知是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，，且当时，的面积最大，求椭圆的标准方程. 【答案】. 【分析】由题意知，当△的面积最大时，点与椭圆在轴上的顶点重合，即可得出结论． 【详解】解：因为当点P为短轴端点时，最大，所以，因此，由题意知，所以，于是，故椭圆的标准方程为. 【易错必刷五 求椭圆的焦点、焦距】 17．椭圆的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆焦点在轴，可得,，根据，即可求得焦点坐标. 【详解】由椭圆，可得椭圆焦点在轴，且,， 由，则， 所以椭圆的焦点坐标为， 故选：A 18．（多选）两个焦点分别为的椭圆的标准方程可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据题意，逐项确定椭圆焦点位置及坐标判断即可． 【详解】对于A：的焦点在轴上，A错误； 对于B：的两个焦点分别为，B正确； 对于C：的两个焦点分别为， C错误； 对于D：的两个焦点分别为，D正确. 故选：BD． 19．椭圆的焦距为__________． 【答案】 【分析】由椭圆方程确定长半轴的平方，短半轴的平方，根据椭圆中、、的关系求出半焦距的平方，从而得到半焦距，由椭圆的焦距为计算焦距. 【详解】由椭圆方程可知，椭圆的焦点在轴上因为， 其中长半轴的平方，短半轴的平方. 根据椭圆中、、的关系，计算得：， 故.椭圆的焦距为，因此焦距为. 故答案为：. 20．求下列椭圆的焦点坐标： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4). 【分析】将椭圆的方程化为标准方程，确定的取值，根据即可求出c，再确定焦点的位置，从而写出焦点坐标. 【详解】（1）椭圆的标准方程为， ， ，∴c＝， 由于椭圆的焦点坐标在轴上， 椭圆的焦点坐标为； （2）椭圆的标准方程为， ， ，∴c＝， 由于椭圆的焦点坐标在轴上， 椭圆的焦点坐标为； （3）将方程化为标准方程是， ， ，∴c＝3， 由于椭圆的焦点坐标在轴上， 椭圆的焦点坐标为. （4）将方程化为标准方程是， ， ，， 由于椭圆的焦点坐标在轴上， 椭圆的焦点坐标为. 【易错必刷六 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 21．椭圆的离心率为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将椭圆方程化为标准方程，再由离心率定义即可求解. 【详解】将原方程，整理得标准形式： ， 因此，，得； 根据椭圆关系，代入得，即， 离心率. 22．（多选）已知椭圆C：的左、右焦点分别为，且，点在椭圆内部，则椭圆C的离心率可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据已知条件列不等式，求得的取值范围，进而求得离心率的取值范围，从而确定正确答案. 【详解】依题意，则， 由于在椭圆内部，所以， 则即， 即，令，则， 解得，即，所以， 所以， 而 ， 所以AB选项错误，CD选项正确. 故选：CD 23．已知椭圆：（）的右焦点为，若，则椭圆的离心率为_________． 【答案】 【分析】根据题意，得到方程即可求解. 【详解】已知椭圆：（），且，则， 化简得，即，使用求根公式，得， 又因为，所以. 24．设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为，求椭圆的离心率 【答案】 【分析】求出点坐标，即可求的方程，利用点到直线的距离公式得，整理即可求出离心率. 【详解】由题设，及，不妨设， 所以，，解得或（舍去）， 从而，则， 则直线的方程为，整理得， 原点到直线的距离为， 将代入整理得，即， 所以离心率. 【易错必刷七 双曲线定义的理解】 25．已知双曲线的上、下焦点分别为，，点P在双曲线C上，若，则（    ） A．3 B．17 C．3或15 D．1或17 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义即可求解. 【详解】由题意有：，，， 由双曲线的定义有：，且， 所以，所以或. 故选：C. 26．（多选）平面内到两定点、的距离之差的绝对值等于常数2a的点M的轨迹（    ） A．椭圆 B．一条直线 C．两条射线 D．双曲线 【答案】BCD 【分析】由双曲线的定义判断． 【详解】当时，点M的轨迹为的垂直平分线， 当时，点M的轨迹为两条射线， 当时，点M的轨迹为双曲线， 当时，点不存在， 故选：BCD 27．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，______. 【答案】 【分析】根据给定条件，确定点在双曲线上的位置，再利用双曲线的定义求解. 【详解】点在双曲线上，而，则点在该双曲线的左支上， 又，分别为该双曲线的左、右焦点，因此， 所以. 故答案为： 28．已知双曲线的两个焦点为，点在双曲线上，若，求点的坐标． 【答案】点的坐标是，，，． 【分析】不妨设点在第一象限，坐标为，为左焦点，为右焦点，根据双曲线的定义及勾股定理求得，再根据三角形的面积，从而可求得，从而可求得点在第一象限是的坐标，再根据对称性可求得其他三个象限内的坐标. 【详解】解：由双曲线的方程，知， 不妨设点在第一象限，坐标为，为左焦点，为右焦点， 则 由①，得， 所以， 所以， 在中，， 所以，代入双曲线的方程，得， 即点的坐标是， 再根据双曲线的对称性，得点坐标还可以是，，． 【易错必刷八 利用双曲线定义求方程】 29．已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】由双曲线的定义结合双曲线的方程，即可解得的值. 【详解】设双曲线的半焦距为.因为，所以， 所以，解得. 由双曲线的定义可得， 所以，解得或，且有， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，满足题意.综上，. 故选：A. 30．（多选）已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据双曲线定义得到的轨迹方程为，，联立四个选项中的直线，求出交点横坐标，从而判断出答案. 【详解】则由题意得， 故点的轨迹为以为焦点，长轴长为2的双曲线的右支， 故，， 故点满足的轨迹方程为，， A选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，A正确； B选项，联立与，解得，负值舍去，满足要求，B正确； C选项，联立与，解得，不合要求，C错误； D选项，联立与，解得，负值舍去，D正确. 故选：ABD 31．已知两定点，，曲线上的点到、的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为________． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义进行求解. 【详解】因为, 所以曲线的轨迹是以为焦点，实轴长为6的双曲线， 所以， 所以曲线的方程为. 故答案为： 32．已知，动点P满足，求动点P的轨迹方程． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义求得正确答案. 【详解】因为，所以根据双曲线的定义可知， 一定在1，2且焦点在x轴上的双曲线的右支上，则， 这就是说，点P的坐标一定满足． 另一方面，由可知，因此P的横坐标要大于零， 从而可知P的轨迹方程为． 【易错必刷九 根据方程表示双曲线求参数的范围】 33．已知曲线的方程为.若曲线表示的是双曲线，则的取值范围（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】由双曲线方程的结构得到，求解即可. 【详解】由方程表示双曲线， 可得， 解得或， 故选：D 34．（多选）已知曲线，下列说法正确的是（    ） A．曲线可以表示圆 B．当时，曲线为双曲线，渐近线为 C．若表示双曲线，则或 D．若表示椭圆，则 【答案】AC 【分析】根据曲线方程的特点可得答案. 【详解】若，即时，曲线表示圆，A正确； 当时，表示双曲线，其渐近线方程为，B不正确； 若表示双曲线，则有，即或，C正确； 若表示椭圆，则，解得且，D不正确. 故选：AC 35．已知一个双曲线的方程为，则的取值范围是______. 【答案】或 【分析】利用双曲线的标准方程列式求解. 【详解】表示双曲线， ，或. 故答案为：或. 36．若方程是双曲线的方程，求实数a的取值范围． 【答案】 【分析】根据双曲线的标准方程即可求解. 【详解】解：由题意得：，(且) 即，又它表示的曲线是双曲线， 可知， 解得：. 【易错必刷十 求双曲线的焦点坐标】 37．双曲线的焦点坐标为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线的方程，求得的值，结合双曲线的焦点在轴上，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，则， 又因为双曲线的焦点在轴上，可得双曲线的焦点坐标为. 故选：B. 38．（多选）已知双曲线，则C的一个焦点坐标（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据双曲线方程直接写出焦点坐标即可. 【详解】因为双曲线，所以该双曲线为焦点在轴双曲线， 所以，所以， 所以焦点坐标为或， 故选：BC. 39．双曲线的一个焦点为，则______. 【答案】1 【分析】利用双曲线方程结合直接计算作答. 【详解】因双曲线的一个焦点为，则有，解得. 故答案为：1 40．已知双曲线C的方程是： (1)求双曲线C的焦点坐标； (2)如果双曲线C上一点P到其一个焦点的距离等于8，求点P到其另一个焦点的距离． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由题意，，，，即可求双曲线的焦点的坐标； （2）根据双曲线的定义，双曲线上的点到两焦点的距离差等于，设，由，即可求出． 【详解】（1）解：设双曲线的下焦点为，上焦点为，因为双曲线方程为，即，，所以，，又，所以， 双曲线的焦点，； （2）解：根据双曲线的定义，双曲线上的点到两焦点的距离差等于，设点到焦点的距离等8，即，，解得或（舍去），即点P到其另一个焦点的距离为． 【易错必刷十一 已知方程求双曲线的渐近线】 41．双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化双曲线方程为标准方程即可求解. 【详解】由题意得双曲线标准方程为， 即得， 所以双曲线的渐近线方程为. 42．（多选）已知双曲线，点，，，均在上，则四边形可能为（   ） A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 【答案】AC 【分析】令，轴，或即可判断AC；根据等轴双曲线两条渐近线之间的夹角为即可判断BD. 【详解】不妨令，轴，， 则此时四边形为等腰梯形，故A正确； 因为为等轴双曲线，所以两条渐近线之间的夹角为， 故四边形的对角线必不可能相互垂直，故B，D错误； 令，，分别在不同象限内，轴，， 则四边形为矩形，故C正确． 故选：AC． 43．双曲线的两条渐近线为______． 【答案】 【详解】易知双曲线的焦点在轴上，且由双曲线方程可知， 所以，所以该双曲线的渐近线为. 44．求双曲线的焦点坐标和渐近线方程. 【答案】， 【分析】通过双曲线的标准方程，求解，，即可得到所求的结果． 【详解】双曲线方程化为标准方程形式， ，且焦点在轴上， ， 焦点坐标为，渐近线方程为.    【易错必刷十二 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 45．已知双曲线的一条渐近线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ） A．2 B． C． D．3 【答案】B 【分析】首先利用双曲线渐近线的方程得到，然后利用离心率公式求解离心率即可. 【详解】根据双曲线渐近线的方程满足，所以. 所以双曲线的离心率为 46．（多选）已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率可能为（   ） A． B． C． D．2 【答案】AD 【分析】根据题意，求得双曲线其中一条渐近线方程为，由双曲线的两条渐近线的夹角为，得到直线的倾斜角为或，求得或，利用离心率的公式，分类讨论，即可求解. 【详解】由双曲线，可得其中一条渐近线方程为， 因为双曲线的两条渐近线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或，则或， 解得或， 当时，可得，此时双曲线的离心率为； 当时，可得，此时双曲线的离心率为. 故选：AD. 47．若双曲线的一个焦点坐标为，则双曲线的离心率为________． 【答案】 【详解】由双曲线的一个焦点坐标为， 得，且， 解得， 所以双曲线的离心率. 48．已知双曲线C的顶点为，虚轴的一个端点为B，且是一个等边三角形，求双曲线C的离心率． 【答案】2 【分析】利用题给条件得到关于的关系式，即可求得双曲线的离心率. 【详解】， 由是等边三角形可知，因此， 又因为， 所以，从而． 【易错必刷十三 抛物线定义的理解】 49．设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先由标准方程读出 并写出焦点与准线，再结合点 在抛物线上、由抛物线的定义把焦半径转化为点到准线的距离求解，并用两点间距离公式核对结果. 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 50．（多选）若抛物线上一点到焦点的距离是它到直线的距离的8倍，则该抛物线的焦点到准线的距离可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据抛物线的定义列方程，化简求得的值，也即求得正确答案. 【详解】设焦点为F，则，解得或. 故选：BD 51．已知抛物线的焦点为F，A是C上一点，且位于第一象限，若，则点A的纵坐标为________． 【答案】6 【分析】利用抛物线定义求出点的横坐标，再利用抛物线方程求出其纵坐标. 【详解】抛物线的准线，设，则 解得，所以. 故答案为：6 52．已知抛物线：的焦点为，为上一点，为准线上一点，，，求的方程. 【答案】 【分析】根据题设中的，求得焦半径，再利用三角形相似得出焦半径的另外表达式，即可求得. 【详解】 如图，设准线与轴交于点，过点作于点，由，可得， 根据抛物线定义可得：；又由可得：而故 解得：则的方程为. 【易错必刷十四 利用抛物线定义求动点轨迹】 53．到定点的距离比到轴的距离大的动点且动点不在轴的负半轴的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义即可得解. 【详解】因为动点到定点的距离比到轴的距离大， 所以动点到定点的距离等于到的距离， 所以动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以动点的轨迹方程是. 故选：B. 54．（多选）若动点P到定点的距离与到直线的距离相等，则P点的轨迹不可能是（    ） A．抛物线 B．线段 C．直线 D．射线 【答案】BCD 【解析】根据抛物线的定义可得动点的轨迹为抛物线. 【详解】因为动点到定点的距离等于到定直线的距离，且点不在直线上，符合抛物线的定义，所以P点的轨迹是抛物线，不可能是线段、直线、射线， 故选：BCD 55．若点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，由抛物线的定义，即可得到结果. 【详解】因为点P到点的距离比它到直线的距离大1， 所以点P到点的距离等于它到直线的距离， 由抛物线的定义可知，点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线， 即抛物线的焦点在轴正半轴，，即， 所以点P的轨迹方程为. 故答案为： 56．已知点，过点且与y轴垂直的直线为，轴，交于点N，直线l垂直平分FN，交于点M. 求点M的轨迹方程； 【答案】 【分析】由抛物线的定义求解即可. 【详解】 由题意得，即动点M到点的距离和到直线的距离相等， 所以点M的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线， 根据抛物线定义可知点M的轨迹方程为； 【易错必刷十五 根据抛物线的方程求参数】 57．已知点在抛物线上，则的焦点到其准线的距离为（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】将点代入抛物线方程求得，即得到结果. 【详解】将点代入，可得， 故的焦点到其准线的距离为1． 故选：B. 58．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（       ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】ACD 【分析】化为标准方程后，得出焦参数，从而可得抛物线的性质，判断各选项． 【详解】由已知抛物线标准方程是，，， 所以焦点坐标为，开口方向向上，A正确，B错误； 焦点到准线的距离为，C正确； 准线方程是，D正确． 故选：ACD． 59．抛物线的焦点到准线的距离为________． 【答案】1 【分析】将抛物线方程化为标准方程，得出的值，即可得出答案. 【详解】由题意可得，抛物线标准方程为，所以， 所以，焦点到准线的距离为1. 故答案为：1. 60．已知方程的抛物线上有一点，点M到焦点F的距离为5，求m的值． 【答案】 【分析】先由抛物线的定义求出p=4得到标准方程，再将M点坐标代入抛物线方程即可求解. 【详解】抛物线的准线方程是. 由抛物线的定义可得：,解得p=4. 所以抛物线方程是. 将M点坐标代入抛物线方程得，解得：. 综上所述： 学科网（北京）股份有限公司 $