3.3.1 抛物线及其标准方程-2020-2021学年高二数学重难点手册（圆锥曲线篇，人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.1抛物线及其标准方程 知识储备 1．抛物线的定义 满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内； (2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等； (3)定点不在定直线上． 其中点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． 2．抛物线的标准方程 标准方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px(p＞0) x2＝2py(p＞0) x2＝－2py(p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 典例剖析 考点一 抛物线的定义及应用 [典例精析] (1)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　) A. 　　　　　　　　　 B．1 C. D．2 (2)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线的焦点．若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 【答案】 (1)B　(2)4 【解析】(1)设P(xP，yP)，由题可得抛物线焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1. 又点P到焦点F的距离为2， ∴由定义知点P到准线的距离为2. ∴xP＋1＝2，∴xP＝1. 代入抛物线方程得|yP|＝2， ∴△OFP的面积为S＝·|OF|·|yP|＝×1×2＝1. (2)如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|. 则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4， 即|PB|＋|PF|的最小值为4. 1．(变条件)若将本例(2)中“B(3,2)”改为B(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________． 【答案】2 【解析】由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部． ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)， ∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝＝2， 即|PB|＋|PF|的最小值为2. 2．(变设问)在本例(2)条件下，点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________． 【答案】 【解析】如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到点F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到点F(1,0)的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点