专题3.8 圆锥曲线的方程50道计算题专项训练（5大题型）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题3.8 圆锥曲线的方程50道计算题专项训练（5大题型） 题型一 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型二 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型三 根据a、b、c求双曲线的标准方程 题型四 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型五 根据定义求抛物线的标准方程 【经典计算题一 椭圆中焦点三角形的面积问题】 1．设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【分析】（1）根据椭圆定义，结合勾股定理进行求解即可； （2）根据三角形面积公式进行求解即可. 【详解】（1）因为点在椭圆上， 所以， 因为，，． 所以， 所以，即椭圆的方程为； （2）设，因为的面积为， 所以， 因为点在椭圆上， 所以， 所以点的坐标为或或或. 2．已知椭圆C的一个焦点，且短轴长为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在C上，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意求出b，c，进而求出a，最后得到答案； （2）根据题意轴，进而求出点P的坐标，即求得的高，然后求出面积. 【详解】（1）由题意，，则椭圆C的方程为：. （2）由已知，，轴，将代入椭圆C的方程解得：，于是，，即的面积为. 3．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴为2，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在椭圆C上，分别为椭圆C的左，右焦点，且，求的面积. 【答案】(1)； (2). 【分析】(1)设出椭圆的标准方程，根据短轴2b＝2求出b，将已知点代入椭圆方程即可求出a； (2)在内，利用椭圆的定义和余弦定理求出即可根据三角形面积公式求其面积. 【详解】（1）设椭圆的标准方程为，由题意知，∴， 将点代入椭圆方程中得，解得， 故椭圆的标准方程为. （2）设，由椭圆的定义可知， 在中，由余弦定理可得， 即，解得， ∴. 4．已知圆圆心为M，定点，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若点Q是曲线C上一点，且，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意中的几何关系，判断动点的轨迹为椭圆，写出其方程即可； （2）利用椭圆定义结合余弦定理，即可求得，再求三角形面积即可. 【详解】（1）由已知，故， 所以P点轨迹是以M、N为焦点的椭圆， 设P点轨迹方程为，则， 所以P点轨迹方程为. （2）不妨设，由椭圆定义可得，又， 则在中，由余弦定理可得：， 解得. 故的面积. 5．已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标． 【答案】，，，. 【分析】设是椭圆上一点，由面积可得，代入椭圆可得，即可求出坐标. 【详解】由椭圆方程可得， 设是椭圆上一点， 则，代入椭圆，则， 所以点P的坐标为，，，. 6．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，其焦点为，. （1）求椭圆的标准方程；                     （2）已知点在椭圆上，且，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）设椭圆方程，由椭圆过点，其焦点为，，求出、、，即可求出椭圆方程； （2）由点在椭圆上，且，可求出，由焦点坐标可求出，由此可求出的面积. 【详解】（1）由题意，椭圆过点，其焦点为，， 所以设椭圆方程， 则，，所以， 所以椭圆的标准方程为：； （2）由题意，点在椭圆上，且， 由椭圆定义知，，所以， 又椭圆焦点为，，所以， ，所以， 所以的面积. 【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法和椭圆定义的应用，属于基础题. 7．已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出、的值，可得出的值，由此可得出椭圆的标准方程； （2）利用椭圆定义结合余弦定理可求得的值，结合三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）因为椭圆的焦距为，得， 又，则，得， 因此，椭圆的标准方程为. （2）因为点是椭圆上的一点，则有， 可得，① 又由结合余弦定理，得② ①②可得，即， 则的面积. 8．设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，求的面积. 【答案】4 【分析】先根据勾股定理得，，然后结合椭圆定义及完全平方式得，代入面积公式求解即可. 【详解】，. 又，， . 9．在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程. (2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，再根据题意列出关于的等式，化简即可； （2）根据椭圆的定义结合余弦定理求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】（1）设， 则，即， 整理得， 所以动点的轨迹方程为； （2）由（1）得动点的轨迹为椭圆，且为其焦点， 则， 由余弦定理得， 即， 所以， 所以. 10．已知椭圆的两焦点为，，P为椭圆上一点，且，，求的面积. 【答案】 【分析】根据给定条件，求出焦距，进而求出长短半轴长，在中由余弦定理求出，再由三角形面积公式计算作答. 【详解】依题意，，椭圆长轴长，即长半轴长，短半轴长b，有， 所以椭圆的标准方程为. 在中由余弦定理得： ， 有， 解得，， 所以的面积是. 【经典计算题二 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 11．如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，若点在直线上，求椭圆的离心率 【答案】 【分析】由直线和的方程求点的横坐标，根据点在直线上，得到关于a，c齐次式，再求椭圆的离心率. 【详解】由题意可知，点的坐标分别为，，， 所以直线的方程为，直线的方程为. 由和，消除，得，即为点的横坐标. 因为点在直线上，所以. 整理得，所以， 所以离心率. 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为其左、右顶点，为椭圆上一点，且，求的离心率． 【答案】 【分析】根据斜率公式可得，进而可得离心率. 【详解】设，则有，则， 又，，则， 即，则， 故离心率． 13．如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，求该椭圆的离心率.    【答案】 【分析】首先求出、的坐标，即可得到、的值，从而求出，即可得到离心率. 【详解】对于直线，令，解得，所以， 令，解得，所以， 则，，所以， 则离心率. 14．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点．若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为m，近地点与地球表面的距离为n，设地球的半径为r，试用m，n，r表示出地球同步转移轨道的离心率． 【答案】 【分析】设椭圆的长半轴长为，半焦距为，根据题意可得，运算求解即可. 【详解】设椭圆的长半轴长为，半焦距为， 依题意可知，解得， 所以离心率. 15．已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为，，且椭圆C经过点，求椭圆C的离心率. 【答案】 【分析】利用两点间距离公式和椭圆的定义求出，进而求解即可. 【详解】由椭圆的定义可得： ， 所以.又由已知c=1， 所以椭圆C的离心率. 16．若椭圆的准线上存在一点，它与焦点弦构成正三角形，求椭圆离心率的取值范围． 【答案】 【分析】考虑临界状况，当焦点弦为通径时可求解，进而根据通径为最短的焦点弦，即可列不等式求解. 【详解】如图， ①当焦点弦为通径AB时，若是正三角形，根据对称性可知位于准线与轴相交于处，此时，，且 ②当焦点弦不为通径时，要在准线上找到点D满足条件，此时到焦点弦的距离,则，故 综合①②可知：要使在准线上存在一点，它与焦点弦构成正三角形，则需要 ∴，故 ∴． 17．已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，若存在以为直径的圆恰过原点，求离心率的取值范围． 【答案】 【分析】设过右焦点的直线方程为，，联立椭圆方程，结合题意可得，进而计算求解即可. 【详解】过右焦点斜率为0的直线不符合题意，设过右焦点的直线方程为，， 已知， 联立，得， 即． 因为， 即， 即， 所以， 可得，从而， 即，即， 所以，解得． 故，所以离心率的取值范围为． 18．设椭圆长轴端点为，中心为，如果椭圆上存在一点，使得，求证：椭圆的离心率的取值范围为． 【答案】 如图，设，由， ， 因为，所以， 所以，又，， 所以，① 又点在椭圆上，所以，② 将①代入②得：， 由，， 所以设为方程的两个不同的根， 则， 又，所以， 所以，所以有， 即， 所以，所以， 又，所以椭圆的离心率的取值范围为. 【分析】设，由，利用已知条件结合相关性质证明即可. 【详解】略 19．椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，，，求椭圆的离心率． 【答案】 【分析】由题意结合椭圆定义表示出相关线段的长，利用余弦定理可列式，化简可得，即可求得答案. 【详解】由题意知，故， 由，可得， 又， 故， 即， 化简可得，即得， 解得或（舍去），故椭圆的离心率为. 20．已知椭圆，为右端点，在椭圆上存在一点使，求离心率的取值范围． 【答案】 【分析】解法：写出点坐标，设出点的参数坐标，得到的表达式，利用得出，化简方程，利用韦达定理求出，即可求出离心率的取值范围； 解法：写出点坐标，设出点的直角坐标，得到的表达式，利用得出，化简方程，利用韦达定理求出，即可求出离心率的取值范围. 【详解】由题意， 解法1  如图，已知，，    由几何知识得，，， 设，则，， ∵， ∴， ∴，即， 即，整理得． 当时，， 等式成立，所以其中一个根为， 从而， ∴，即，解得， ∴． 解法2  由，得，，    由几何知识得，，， 设．，， ∵， ∴， ∴，即， 即，整理得． 当时，， 等式成立，所以其中一个根为， ∴，即． ∴，即，解得， ∴， ∴，解得， ∴． 【经典计算题三 根据a、b、c求双曲线的标准方程】 21．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 【答案】(1) (2) 【分析】结合题意，利用待定系数法即可求取双曲线的标准方程. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上， 所以可设双曲线的标准方程为， 由，经过点， 可得，解得， 故双曲线的标准方程为； （2）椭圆的两个焦点为、， 故该双曲线的焦点在轴上，可设双曲线的标准方程为， 令，即有，解得， 故有，解得， 故双曲线的标准方程为. 22．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程； (2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件列出关于的方程，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，设椭圆方程，列出方程，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）因为顶点在轴上，设双曲线方程为， 又两顶点间距离是8，即，所以， 且，所以， 又， 所以双曲线方程为. （2）因为双曲线中， 设椭圆方程为， 则，解得， 所以椭圆方程为. 23．已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．求双曲线的方程. 【答案】 【分析】根据数量积的坐标运算可得，又根据可得，即可求解. 【详解】由已知，，，，① ∵，则，∴， 则，∴，代入①式， 解得，， ∴双曲线的方程为． 24．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为，代入运算求解即可； （2）设双曲线的标准方程为，代入点、运算求解即可. 【详解】（1）因为，可知双曲线的焦点在x轴上， 设双曲线的标准方程为， 代入，即，解得， 所以双曲线的标准方程为. （2）设双曲线的标准方程为， 代入点、可得，解得， 所以双曲线的标准方程为. 25．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上，且过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据焦点位置及曲线所过的点求出，即可得标准方程； （2）依题意可设双曲线的方程为，利用待定系数法求解即可. 【详解】（1）由于双曲线的焦点在轴上， 可设其标准方程为：， 因为双曲线过点， 所以， 又因为，所以， 解得：，， 故所求双曲线的标准方程为：. （2）设双曲线方程为， 把点与点代入， 有，解得：， 故所求双曲线的标准方程为：. 26．求下列各曲线的标准方程 (1)长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆； (2)一个焦点为，实轴长为6的双曲线． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件求出，，根据椭圆的焦点位置写出椭圆的标准方程； （2）由条件求出，，根据双曲线的焦点位置写出双曲线的标准方程. 【详解】（1）由题意，，，又，即，，，又焦点在轴上， 椭圆的标准方程为. （2）由题意，，双曲线焦点在轴上，，即， ， 双曲线的标准方程为. 27．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设双曲线的标准方程为，将点代入双曲线的方程，求得，即可求解； （2）设双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，求得的值，即可求解； （3）根据题意，设双曲线标准方程为，代入点，结合，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：因为，且双曲线的焦点在轴上， 可设双曲线的标准方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （2）解：设双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线方程可得，解得， 因此，双曲线的标准方程为. （3）解：由题意知，椭圆的焦点坐标为， 所以可设双曲线标准方程为，其中， 代入点可得，联立解得； 所以双曲线标准方程为. 28．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设出双曲线的标准方程，代入已知条件求解即可； （2）根据焦点设出双曲线的方程，代入经过的点计算即可； （3）设双曲线的方程，代入点的坐标，联立解参数即可． 【详解】（1）由， 当焦点在x轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得，不符合题意； 当焦点在y轴上时，设所求双曲线的标准方程为， 把点A的坐标代入，得． 故所求双曲线的标准方程为：． （2）设所求双曲线的方程为． ∵双曲线过点，∴， 解得或（舍去）． 故双曲线的标准方程为． （3）可设双曲线的方程为， 则有解得 则双曲线的标准方程为． 29．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在x轴上，且过点； (2)，一个焦点的坐标是； (3)经过两点，． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点位置及过点求出得出标准方程； （2）根据焦点及，求出即可得出标准方程； （3）设双曲线方程为，利用待定系数法求解. 【详解】（1）由于双曲线的焦点在x轴上， 故可设它的标准方程为． 因为双曲线过点， 所以，又， 解得，， 因此，所求双曲线的标准方程为． （2）由题意知，，且焦点在x轴上， 所以， 故所求双曲线方程为： （3）设双曲线方程为， 代入点，， 则，解得， 所以所求双曲线方程为. 30．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两焦点坐标为，，且； (2)两焦点坐标为，，且经过点； (3)焦点在y上，且经过点和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据焦点及a求出可写出标准方程； （2）根据焦点及双曲线上的点利用定义求出a，再求即可得解； （3）设出双曲线方程，代入点求出，得解. 【详解】（1）由题意，，所以， 又焦点在轴上， 所以所求双曲线方程为. （2）由题意，焦点在轴上，， 又经过点， 所以， 所以，又， 所以所求双曲线方程为. （3）因为焦点在y上，所以设， 因为经过点和， 所以，解得， 所以所求双曲线方程为. 【经典计算题四 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 31．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且，，求双曲线的离心率 【答案】2 【分析】根据题意，求得，得到为直角三角形，利用边长关系得到，利用齐次式法求出离心率. 【详解】由，可设， 在中，因为， 所以，即， 则，即为直角三角形， 在中，，，， 可得，所以，所以， 则双曲线的离心率为. 32．如图，已知正六边形ABCDEF，双曲线以B，E为焦点，且经过A，C，D，F四点，求该双曲线的离心率．    【答案】 【分析】以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴建系，令正六边形的边长为2，求出顶点A坐标，由焦点坐标、点在双曲线上求双曲线参数，进而求离心率. 【详解】如下图，以正六边形中心为原点，为x轴，过作垂线为y轴，    令正六边形的边长为2，则， 令所求双曲线为，则，A在双曲线上， 所以，解得，故， 则. 33．双曲线的两个焦点为，，若双曲线上存在点，使，求双曲线离心率的取值范围. 【答案】 【分析】首先结合双曲线的性质求得，再根据双曲线右支上的点到焦点的距离的范围，即可求解. 【详解】由题意知在双曲线上存在一点， 使得，如图所示.    又， 即在双曲线右支上恒存在点使得， 即， ，. 又，，，即， 所以双曲线离心率的取值范围为. 34．过双曲线C:(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求C的离心率. 【答案】 【分析】设与渐近线平行的直线l的斜率为，表示出直线l的方程，由点横坐标代入双曲线方程，求出点坐标，利用条件建立方程，即可得出结论. 【详解】如图所示， 不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为， 又直线l过右焦点F(c，0)，    则直线l的方程为. 因为点P的横坐标为2a， 代入双曲线方程得， 化简得或(点P在x轴下方，故舍去)， 故点P的坐标为， 代入直线方程得， 化简可得离心率. 35．求双曲线的离心率和渐近线方程. 【答案】时，离心率为，渐近线方程为；时，离心率为，渐近线方程为. 【分析】就的正负分类讨论并将方程化为标准方程后可求离心率和渐近线方程. 【详解】当时，即为， 故离心率，此时渐近线方程为. 当时，即为， 故，此时渐近线方程为. 36．已知双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率． 【答案】或 【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到，的关系，然后求解双曲线的离心率即可． 【详解】当双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为， 双曲线的渐近线方程是，， 因此，此双曲线的离心率． 当双曲线的焦点在轴上， 设双曲线的方程为， 双曲线的渐近线方程为，， 可得． 综上，双曲线的离心率为或． 37．设双曲线的左、右焦点分别为为双曲线左支上一点，到左准线的距离为.已知，求双曲线离心率的取值范围. 【答案】 【分析】解法一、由焦半径公式，代入计算可得，再根据即可求解；解法二、根据双曲线第二定义，又可解，再利用即可求解. 【详解】解法一：设，则，. . ，. . . ， . 解法二：由已知及双曲线第二定义，有， .① 又据双曲线第一定义知.② 联立①②得，. 由平面几何知识可知， ，即. ， . 38．定义：以已知双曲线的虚轴为实轴､实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. (1)已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，离心率为，求的共轭双曲线的方程； (2)已知双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）不妨设双曲线的标准方程为， 则的标准方程为，所以 . （ii） 【分析】（1）利用，可求出，再利用求出，可得的方程，再利用共轭双曲线的概念求解即可； （2）（i）假设两曲线方程 ，，根据离心率定义求证即可； （ii）据离心率定义求，再利用不等式求最值即可. 【详解】（1）解：设双曲线的焦距长为，长轴长为，短轴长为， 由题意，，解得， 从而， 因为双曲线的中心在原点，焦点在上，所以的方程为， 从而它的共轭双曲线的方程为. （2）解：（i）略 （ii）， 因为，所以，（当且仅当时取等号） 所以，即的取值范围是. 39．已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ (1)求E的离心率； (2)M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据向量关系计算点的坐标，再代入求出方程解出离心率即可； （2）结合图形特征，再应用面积公式计算. 【详解】（1）由题意得，直线与双曲线两交点A，B关于原点对称， 不妨设点A在第一象限，由，得， 设，则， 所以，则， 将其代入双曲线方程，得，即， 化简得，即， 因为，所以，则，即双曲线E的离心率为． （2）因为点关于的平分线MN的对称点G在或的延长线上， 所以， 又ON是的中位线，所以， 因为，所以， 因为，所以双曲线E的方程为， 所以，则． 又，所以． 40．双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与双曲线C的两支分别交于M，N两点．且，求双曲线C的离心率． 【答案】 【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，作于点，利用三角函数定义结合双曲线的定义得到，即可得离心率. 【详解】依题意不妨设双曲线焦点在轴，过作圆的切线，切点为， 因为，所以在双曲线的右支，作于点， 所以，，故， 由，故，， 由，则， 则，， 由双曲线定义知：， 故有， 所以，即， 所以双曲线的离心率. 【经典计算题五 根据定义求抛物线的标准方程】 41．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程 【答案】 【详解】利用抛物线定义可求得，即可求出抛物线的方程. 【分析】点在抛物线上，    由抛物线定义得，解得， 故抛物线的标准方程为． 42．分别求符合下列条件的抛物线方程: (1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点; (2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为. 【答案】(1)或 (2)或或或 【分析】（1）由题意方程可设为或,将代入求解即可; （2）根据抛物线的定义焦点到准线的距离为,即,写出抛物线方程即可. 【详解】（1）由题意,方程可设为或, 将点的坐标代入,得或, ∴或, ∴所求的抛物线方程为或. （2）由焦点到准线的距离为,可知, ∴所求抛物线方程为或或或. 43．已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等. (1)求曲线的方程； (2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程. 【答案】(1) (2)或或 【分析】（1）根据抛物线的定义可得曲线方程； （2）分类讨论：斜率为0，即与抛物线的对称轴平行；斜率不存在与抛物线相切，斜率存在且与抛物线相切（应用判别式为0），分别求解可得． 【详解】（1）设的坐标，由抛物线的定义可知，的轨迹为抛物线，且焦点在轴上，焦点坐标，所以的轨迹方程为. 故曲线C的方程为： （2）当直线过点，且斜率为0时，即直线与拋物线的对称轴平行时，直线与曲线有一个公共点， 此时直线的方程为； 当过的直线的斜率不存在时，即直线的方程为，显然与拋物线相切； 当过的直线斜率存在时，设直线的方程为， 联立，整理可得， 则，即，解得， 此时直线的方程为， 综上所述，满足条件的直线的方程为或或. 44．设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为，求抛物线的方程和点M的坐标． 【答案】；. 【分析】根据抛物线定义，用p表示点M的纵坐标，进而将点M的坐标表示出，再代入抛物线方程即可作答. 【详解】抛物线的准线方程为，设点M的纵坐标为， 由已知结合抛物线定义得，又点M到y轴的距离为， 于是得点，而点M在抛物线上， 从而有，整理得，而，解得， 所以抛物线的方程为，点M的坐标为. 45．已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）若抛物线的顶点在坐标原点，焦点在椭圆的长轴上，且椭圆的四个顶点到准线的距离之和等于6，求的方程． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由离心率可得，将点代入方程可得，即可求出，得出椭圆方程； （2）设抛物线的方程为：，由抛物线性质可得，求出即得抛物线方程. 【详解】解：（1）由题意得e ==，所以c =，所以①， 又点在E上，所以②， 联立①②，解得，所以椭圆E的方程为． （2） 设抛物线的方程为：， 由题意得：椭圆的四个顶点到准线的距离之和等于6， 又因为椭圆长轴上的两个顶点到准线的距离和为4，所以，则 即的方程为． 46．动圆与定圆：外切，且与直线：相切，求动圆圆心的轨迹方程． 【答案】 【分析】作直线：，点性质转化为到点的距离等于到直线的距离，轨迹为抛物线，由此易得轨迹方程. 【详解】如图，设动圆圆心为，过点作于点， 作直线：，过点作于点，连接．    设动圆的半径为，由题知圆的半径为1．∵圆与圆外切，∴． 又∵圆与直线：相切，∴． ∵，即动点到定点与到定直线的距离相等， ∴点的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线． 设抛物线的方程为，可知， ∴所求动圆圆心的轨迹方程为． 47．求满足下列条件的抛物线方程： (1)过点； (2)焦点在轴上,此抛物线上的点到准线的距离为. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）当抛物线的焦点在轴上时,设其方程为，当抛物线的焦点在轴上时,设其方程为，将点分别代入求得各条件下的即可； （2）利用抛物线的定义，将抛物线上一点到焦点的距离转化为它到其准线的距离即可. 【详解】（1）当抛物线的焦点在轴上时,设其方程为. ∵抛物线过点,∴,解得 故所求方程为； 当抛物线的焦点在轴上时,设其方程为， ∵抛物线过点,∴,解得 故所求方程为 （2）∵抛物线的焦点在轴上且过, ∴可设其方程为. 由题意得，解得：. 故所求方程为. 48．已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)设线段、长度分别为、，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意圆A与轴相切，A到抛物线焦点的距离为，得到A到抛物线准线的距离为，从而求出及抛物线方程；    （2）设A的坐标，由垂径定理可知，设，，求得，，，分、讨论可得答案． 【详解】（1）解：当轴时，圆A与轴相切，点为切点， 由题意可知此时点A的横坐标为， 因为A到抛物线焦点的距离为，所以A到抛物线准线的距离为， 故准线与轴之间的距离为，解得， 所以抛物线的标准方程为． （2）解：设A的坐标，由垂径定理可知，， 设，， 所以，． 所以， 当时，则； 当时，则，因为， 所以，当且仅当时，等号成立.此时． 综上所述，． 49．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求的方程； (2)过上一动点作的切线交轴于点.判断线段的中垂线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)过定点，定点为 【分析】（1）利用抛物线的定义求解； （2）设直线的方程为，，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线C相切，由求得，再得到，写出线段的中垂线方程求解. 【详解】（1）解：由题意得，， 解得=2p， 因为点M（，4）在抛物线C上， 所以42=2p=4p2， 解得p=2， 所以抛物线C的标准方程为. （2）由已知得，直线的斜率存在且不为0， 所以设直线的方程为， 与抛物线方程联立并消去得：， 因为直线与抛物线C相切， 所以，得，， 所以，得， 在中，令得， 所以， 所以线段中点为， 线段的中垂线方程为， 所以线段的中垂线过定点. 50．已知抛物线：的焦点到准线的距离是． (1)求抛物线方程； (2)设点是该抛物线上一定点，过点作圆：（其中）的两条切线分别交抛物线于点A，B，连接AB．探究：直线AB是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）由题意可得，从而可得抛物线方程； （2）由直线与圆相切，可得，，从而可得是方程的两个根，再利用根与系数的关系结合直线的方程可求得结果 【详解】（1）因为抛物线：的焦点到准线的距离是， 所以， 所以抛物线方程为 （2）当时，，所以， 设，则直线为，即， 因为直线与圆相切， 所以，整理得， 同理直线与圆相切， 可得， 所以可得是方程的两个根， 所以， 代入化简得，， 令，得， 所以直线恒过定点 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.8 圆锥曲线的方程50道计算题专项训练（5大题型） 题型一 椭圆中焦点三角形的面积问题 题型二 求椭圆的离心率或离心率的取值范围 题型三 根据a、b、c求双曲线的标准方程 题型四 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 题型五 根据定义求抛物线的标准方程 【经典计算题一 椭圆中焦点三角形的面积问题】 1．设椭圆：的两个焦点为，，点在椭圆上，且，，． (1)求椭圆的方程； (2)点在椭圆上，且的面积为，求点的坐标． 2．已知椭圆C的一个焦点，且短轴长为. (1)求椭圆C的方程； (2)若点P在C上，且，求的面积. 3．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，短轴为2，且点在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点P在椭圆C上，分别为椭圆C的左，右焦点，且，求的面积. 4．已知圆圆心为M，定点，动点A在圆M上，线段AN的垂直平分线交线段MA于点P (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)若点Q是曲线C上一点，且，求的面积. 5．已知P是椭圆上的一点，且以点P及焦点，为顶点的三角形的面积等于1，求点P的坐标． 6．在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，其焦点为，. （1）求椭圆的标准方程；                     （2）已知点在椭圆上，且，求的面积. 7．已知点是椭圆上的一点，和是焦点，焦距为，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若，求的面积． 8．设点为椭圆上一点，，分别为的左、右焦点，且，求的面积. 9．在平面直角坐标系内，动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是. (1)求动点的轨迹方程. (2)若为动点的轨迹上一点，且，求三角形的面积. 10．已知椭圆的两焦点为，，P为椭圆上一点，且，，求的面积. 【经典计算题二 求椭圆的离心率或离心率的取值范围】 11．如图，在平面直角坐标系中，分别为椭圆的三个顶点，为其右焦点，直线与直线相交于点，若点在直线上，求椭圆的离心率 12．已知椭圆的左、右焦点分别为，，，为其左、右顶点，为椭圆上一点，且，求的离心率． 13．如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点，求该椭圆的离心率.    14．航天器的轨道有很多种，其中“地球同步转移轨道”是一个椭圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点．若地球同步转移轨道的远地点（即椭圆上离地球表面最远的点）与地球表面的距离为m，近地点与地球表面的距离为n，设地球的半径为r，试用m，n，r表示出地球同步转移轨道的离心率． 15．已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为，，且椭圆C经过点，求椭圆C的离心率. 16．若椭圆的准线上存在一点，它与焦点弦构成正三角形，求椭圆离心率的取值范围． 17．已知直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，若存在以为直径的圆恰过原点，求离心率的取值范围． 18．设椭圆长轴端点为，中心为，如果椭圆上存在一点，使得，求证：椭圆的离心率的取值范围为． 19．椭圆的左、右焦点分别为，过点作直线交椭圆于两点，，，求椭圆的离心率． 20．已知椭圆，为右端点，在椭圆上存在一点使，求离心率的取值范围． 【经典计算题三 根据a、b、c求双曲线的标准方程】 21．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，经过点，焦点在轴上； (2)与椭圆有共同的焦点，它们的一个交点的纵坐标为. 22．求适合下列条件的圆锥曲线的标准方程： (1)顶点在轴上，两顶点间距离是8且的双曲线的标准方程； (2)与双曲线有相同焦点，并且经过点的椭圆的标准方程. 23．已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．求双曲线的方程. 24．求满足下列条件的双曲线的标准方程． (1)经过点，且； (2)经过点、． 25．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在轴上，且过点； (2)经过两点，. 26．求下列各曲线的标准方程 (1)长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆； (2)一个焦点为，实轴长为6的双曲线． 27．求适合下列条件的双曲线的标准方程． (1)焦点在轴上，，经过点； (2)经过、两点． (3)过点，且与椭圆有相同焦点双曲线方程. 28．根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)，经过点； (2)与双曲线1有相同的焦点，且经过点； (3)经过两点． 29．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)，焦点在x轴上，且过点； (2)，一个焦点的坐标是； (3)经过两点，． 30．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)两焦点坐标为，，且； (2)两焦点坐标为，，且经过点； (3)焦点在y上，且经过点和． 【经典计算题四 求双曲线的离心率或离心率的取值范围】 31．已知，分别为双曲线：的左、右焦点，Р为渐近线上一点，且，，求双曲线的离心率 32．如图，已知正六边形ABCDEF，双曲线以B，E为焦点，且经过A，C，D，F四点，求该双曲线的离心率．    33．双曲线的两个焦点为，，若双曲线上存在点，使，求双曲线离心率的取值范围. 34．过双曲线C:(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，求C的离心率. 35．求双曲线的离心率和渐近线方程. 36．已知双曲线的渐近线方程为，求双曲线的离心率． 37．设双曲线的左、右焦点分别为为双曲线左支上一点，到左准线的距离为.已知，求双曲线离心率的取值范围. 38．定义：以已知双曲线的虚轴为实轴､实轴为虚轴的双曲线叫作原双曲线的共轭双曲线. (1)已知双曲线的中心在原点，焦点在轴上，焦距为16，离心率为，求的共轭双曲线的方程； (2)已知双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为， （i）求证：； （ii）求的取值范围. 39．已知O为坐标原点，分别是双曲线的左、右焦点，直线与E交于A，B两点，﹒ (1)求E的离心率； (2)M为E上一点（不在x轴上），过作平分线的垂线，垂足为N，若，求的面积． 40．双曲线C的两个焦点为，，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与双曲线C的两支分别交于M，N两点．且，求双曲线C的离心率． 【经典计算题五 根据定义求抛物线的标准方程】 41．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，求抛物线的方程 42．分别求符合下列条件的抛物线方程: (1)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,且过点; (2)顶点在原点,以坐标轴为对称轴,焦点到准线的距离为. 43．已知曲线上任一点与点的距离与它到直线的距离相等. (1)求曲线的方程； (2)求过定点，且与曲线只有一个公共点的直线的方程. 44．设抛物线上的点M与焦点F的距离为4，点M到y轴的距离为，求抛物线的方程和点M的坐标． 45．已知椭圆的离心率为，点在上． （1）求的方程； （2）若抛物线的顶点在坐标原点，焦点在椭圆的长轴上，且椭圆的四个顶点到准线的距离之和等于6，求的方程． 46．动圆与定圆：外切，且与直线：相切，求动圆圆心的轨迹方程． 47．求满足下列条件的抛物线方程： (1)过点； (2)焦点在轴上,此抛物线上的点到准线的距离为. 48．已知是抛物线上一点，是轴上的点，以为圆心且过点的圆与轴分别交于点、，且当圆与轴相切时，到抛物线焦点的距离为． (1)求抛物线的标准方程； (2)设线段、长度分别为、，求的取值范围． 49．已知是抛物线的焦点，点在抛物线上，且. (1)求的方程； (2)过上一动点作的切线交轴于点.判断线段的中垂线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由. 50．已知抛物线：的焦点到准线的距离是． (1)求抛物线方程； (2)设点是该抛物线上一定点，过点作圆：（其中）的两条切线分别交抛物线于点A，B，连接AB．探究：直线AB是否过一定点，若过，求出该定点坐标；若不经过定点，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $