专题03 圆锥曲线的方程全章15大题型107题（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题03 圆锥曲线的方程 基础·固本强基 题型1 椭圆的定义与标准方程 题型2 椭圆的几何性质 题型3 双曲线的定义与标准方程 题型4 双曲线的几何性质（重点） 题型5 抛物线的定义与标准方程 题型6 抛物线的几何性质（重点） 提升·进阶突破 题型7 圆锥曲线中距离和差最值 题型8 圆锥曲线的离心率综合（难点） 题型9 直线与圆锥曲线的位置关系判定（重点） 题型10 圆锥曲线的弦长问题 题型11 圆锥曲线的中点弦问题（难点） 题型12 圆锥曲线的向量问题（难点） 拔高·压轴破难 题型13 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题（重难点） 题型14 圆锥曲线的范围与最值问题（重难点） 题型15 轨迹方程与深度交汇（重难点） 基础·固本强基 题型1 椭圆的定义与标准方程 (共 8 小题) 1．（26-27高二上·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】椭圆：的长半轴长， 分别是椭圆左、右焦点，点在上， 由椭圆的定义知，椭圆上任意一点到两个焦点距离之和等于长轴长， 所以. 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为2，则的值等于________． 【答案】 【分析】根据焦点在轴上的椭圆的方程特征，结合椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距之间的关系进行求解即可. 【详解】因为椭圆的焦点在轴上， 所以，又因为焦距为2， 所以. 故答案为：7 3．（26-27高二上·北京·期中）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 【答案】 【详解】依题意可得，椭圆焦点在轴上且．因为长轴长是短轴长的倍， 所以，则，所以， 解得，故，所以椭圆的标准方程为. 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 【答案】 【详解】由题意，得，解得， 则椭圆方程为. 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆的定义求解即可. 【详解】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B 6．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 【答案】D 【详解】的周长为， 7．（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】C 【分析】根据椭圆的定义结合勾股定理计算即可. 【详解】设该椭圆的长轴长为，焦距长为，由题意可知， 设，则， 因为，所以， 即， 解之得或，即或， . 故选：C 8．（25-26高二上·广东清远·期中）（多选）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 【答案】CD 【分析】根据方程的特点，结合圆、椭圆和双曲线的标准方程判断. 【详解】对于A，若曲线是圆，则，解得，故A错误； 对于B，若曲线为椭圆，则，解得且，故B错误； 对于C，若曲线为双曲线，则，解得或，故C正确； 对于D，若曲线表示焦点在x轴上的椭圆，则，解得，故D正确； 故选：CD. 题型2 椭圆的几何性质 (共 7 小题) 9．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】椭圆的焦点在轴上，半焦距， 所以所求焦点坐标为. 10．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点在椭圆内求解可得. 【详解】由题意可知，点在椭圆内， 所以，解得或. 故选：D 11．（25-26高二上·辽宁抚顺·期中）若圆与椭圆外切，则______． 【答案】 【分析】求出圆的圆心及半径，再结合圆及椭圆的图形特征确定切点，列式求解. 【详解】圆的圆心，半径为1， 椭圆的左、右顶点分别为，， 由圆与椭圆外切，得圆与椭圆外切于点或点， 因此或，所以. 故答案为： 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆方程为，则椭圆的离心率为________． 【答案】/ 【详解】由已知，， 所以，， 所以. 13．（25-26高二上·江苏苏州·期中）椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出各选项中椭圆的离心率即可判断得解. 【详解】椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 椭圆的离心率， 可得， 得到最接近于圆的椭圆是，故B正确. 故选：B 14．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 【答案】 【分析】利用基本不等式和椭圆的定义求得正确答案. 【详解】由椭圆的定义及基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 由于，所以，长轴长. 故答案为： 15．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点. (1)求出椭圆 C 的标准方程及其离心率、准线方程. (2)求出与（1）中椭圆 C 共焦点且离心率等于的椭圆D的标准方程. 【答案】(1)标准方程为，离心率为，准线方程 (2) 【分析】（1）设椭圆方程为：且，代入所过两点可得答案； （2）由（1）设椭圆方程为：，然后由离心率可得答案. 【详解】（1）设椭圆方程为：且， 代入，可得，则椭圆方程为：。 离心率为：。准线方程为：； （2）由（1）知，故可设与椭圆共焦点的椭圆的方程为：， 因离心率为：，则椭圆D的标准方程为：. 题型3 双曲线的定义与标准方程 (共 9 小题) 16．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则______________. 【答案】6 【分析】先求出的值，再根据双曲线的定义即可求出代数式的值. 【详解】双曲线中，，所以，. 由双曲线的定义可知，. 故答案为：6 17．（25-26高二上·江苏南通·期中）双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（    ） A．到左焦点的距离为 B．到左焦点的距离为 C．到左焦点的距离不唯一 D．这样的点不存在 【答案】D 【分析】根据双曲线的定义和性质来判断到左焦点的距离． 【详解】对于双曲线，可得，，则， 设该双曲线的左、右焦点分别为、，由题意可知， 又因为，所以这样的不存在. 故选：D. 18．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为8，则__________． 【答案】 【分析】先根据焦距求出，再利用双曲线方程求出，最后利用双曲线的性质列方程求解． 【详解】双曲线焦距为，， 又焦点在x轴上的双曲线方程为：， ， ， ，解得． 故答案为：． 19．（25-26高二上·河北·期中）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为___________． 【答案】 【分析】设双曲线的方程为，将点代入方程，求得的值，即可求解. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将代入方程得， 所以双曲线的标准方程为． 故答案为：. 20．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 【答案】36 【分析】利用双曲线的定义先求出的值，由此即可求出的周长. 【详解】由已知，，则，所以是双曲线的右焦点，，，则 ， 所以， 所以的周长为. 故答案为：. 21．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线定义计算即可得. 【详解】由题意可知，爆炸点到的距离比到的距离少， 又，由双曲线定义可知，爆炸点为双曲线的左支， 其中，，则， 又，故爆炸点所在曲线的方程为. 故选：B. 22．（25-26高一下·北京·期中）已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程化成标准形式，根据选项中图形，结合椭圆、双曲线图形特征判断即可. 【详解】方程变形为， A选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，二，四象限，A不可能； B选项，椭圆焦点在轴上，，此时经过第一，二，三象限，B不可能； C选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，三，四象限，C可能； D选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，D不可能. 23．（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 【答案】AD 【分析】由椭圆、双曲线、圆的方程以及直线方程列式求解判断即得. 【详解】对A，当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 当时，曲线的方程为，解得，此时表示直线， 则，则曲线的方程为， 若曲线表示圆，则有，则，A对； 对B，若曲线表示椭圆，则有，则且，B错； 对C，若曲线表示双曲线，则有，则或，C错； 对D，若曲线表示轴，则，此时表示直线，即轴，D正确. 故选：AD 24．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据双曲线的定义求解即可； （2）设，，由双曲线的定义和勾股定理列方程组，进而可求出，从而可得出答案. 【详解】（1）由双曲线的定义及， 可得点的轨迹是焦点在轴上的双曲线， 设其标准方程为（，）， 则，解得，， 所以的方程为； （2）设，，由双曲线的定义得， 因为，所以， 所以的面积为. 题型4 双曲线的几何性质 (共 9 小题) 25．（25-26高二上·江苏扬州·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________. 【答案】 【分析】设双曲线方程为，将点代入求出的值，从而可得双曲线方程. 【详解】由题意可设双曲线方程为，又经过点， 所以，即，解得或(舍)， 所以双曲线的标准方程为， 故答案为：. 26．（25-26高三上·河北衡水·期中）记双曲线斜率为正的渐近线为，则虚轴的上端点到的距离为________． 【答案】/0.5 【分析】根据双曲线方程求得其虚轴的上端点和渐近线方程，由点到直线的距离公式即可求得. 【详解】由：可得实半轴，虚半轴， 故：，即， 则双曲线虚轴的上端点到直线的距离为． 故答案为：． 27．（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件求出，再求渐近线方程. 【详解】由题意可得，，得， 则该双曲线的渐近线方程为. 故选：B 28．（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由离心率的定义得到，再利用关系求出，然后可得渐近线方程. 【详解】因为双曲线的离心率为，即， 由， 所以渐近线方程为. 故选：A 29．（25-26高二下·广西南宁·期中）（多选）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值有关 C．存在实数m，使得点在C上 D．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 【答案】ACD 【详解】双曲线，则需满足， 解得，故A正确； 双曲线的标准方程为，则， 故，焦距为，与无关，故B错误； 若点存在，则代入双曲线方程得：， 解得， ， 存在这样的实数，故C正确； 由题意知，即，解得， ， ，故D正确． 30．（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设双曲线的左焦点为，则，再由已知可得四边形为矩形，则可得，再由，得到关系，即可求得离心率. 【详解】如图，设在右支上， 设双曲线的左焦点为，则，且， 所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形， 所以， 因为，， 所以， 因为，所以， 所以. 31．（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，建立平面直角坐标系，求得双曲线标准方程，当时，代入计算可解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B 32．（26-27高二上·河北保定·期中）（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 【答案】BC 【详解】由双曲线：，得，则， 即， 则双曲线实轴长为，虚轴长为，离心率为，故A错误，BC正确； 而双曲线的两渐近线方程为， 则两渐近线的倾斜角分别为， 所以两渐近线的夹角为，则夹角的正切值为，故D错误. 33．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知双曲线的一条渐近线的方程为，若点在双曲线上，、分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（   ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 【答案】BC 【分析】先确定双曲线焦点所在的轴，再根据渐近线方程确定双曲线的参数，对于A，由，可得的值，即点到轴的距离，对于B，由的值确定点的坐标，使用两点间距离公式计算的值即可，对于C，由中最长边所对的角的余弦值的正负即可判断是否为钝角三角形，对于D，直接求的余弦值是否等于即可判断是否等于. 【详解】由题意得双曲线的焦点在轴上，因为双曲线的一条渐近线的方程为， 则有，则， 则，此时有， 对于A：因为的面积为20， 则有，解得， 即到轴的距离为，故A错误； 对于B：由，解得或， 将之代入到，解得或， 即点的坐标可以是， ，取点， 则，， 则，同理代入其它点也满足此结论，故B正确； 对于C：仍取，由B得，，， 则在中，为最长边，则设的对角为， 则有，则有为钝角， 同理代入其它点也满足此结论，故C正确； 对于D：仍取，由B得，，， 则有，则有， 同理代入其它点也满足此结论，故D错误. 故选：BC. 题型5 抛物线的定义与标准方程 (共 6 小题) 34．（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】先由标准方程读出 并写出焦点与准线，再结合点 在抛物线上、由抛物线的定义把焦半径转化为点到准线的距离求解，并用两点间距离公式核对结果. 【详解】由 得 ，即 ，所以焦点 、准线为 . 由抛物线的定义， 等于点 到准线 的距离， 故 . 35．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据焦半径公式求得，再将点的坐标代入求解即可. 【详解】，得， ∴抛物线的方程为， 再将点的坐标代入，得． 故选：A． 36．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 【答案】6 【详解】由题意得双曲线的方程为，则， 则，右焦点为， 抛物线的焦点为， 则有，解得. 37．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据焦半径公式求得的值，则抛物线方程可知. 【详解】由焦半径公式可知，解得， 所以抛物线方程为， 故选：A. 38．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考察点到F的距离与到直线的距离，作辅助直线结合抛物线定义可解. 【详解】由图可知，到F的距离比到直线的距离大1， 记直线为直线 ，则到F的距离等于到直线的距离， 由抛物线定义可知，M的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中， 所以M的轨迹方程为： 故选：B 39．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 【答案】/ 【分析】建立平面直角坐标系，设出抛物线的方程，代入点，求得抛物线的方程，利用抛物线的定义，即可求解. 【详解】建立平面直角坐标系，如图所示， 设抛物线的方程为，其焦点为， 碗口直径为，碗深，所以抛物线过点， 所以，解得，所以抛物线的方程为， 设，过中点作轴， 由抛物线的定义可得，解得， 所以，所以木棒的中点离桌面的距离为. 故答案为：.    题型6 抛物线的几何性质 (共 4 小题) 40．（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 【答案】D 【分析】根据抛物线的方程结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】因为抛物线方程为，则，即， 所以开口向左，焦点坐标为，准线为，对称轴为x轴， 即D正确，ABC错误. 故选：D. 41．（25-26高二上·重庆·期中）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，，将代入抛物线方程可得答案. 【详解】由题可得，如图，做垂直于x轴，因，， 则，，则， 将代入， 可得， 则抛物线的方程为：. 故选：C 42．（25-26高二下·上海·期中）抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 【答案】/ 【分析】利用抛物线的性质和定义，结合等边三角形性质计算求解． 【详解】 抛物线，焦点为，准线为， 由抛物线的定义可知，又， 是等边三角形， 设点，则， 由等边三角形性质可得，，所以， . 43．（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】依题写出直线的方程并与抛物线方程联立，求得的横坐标，利用弦长公式结合抛物线对称性求出相关线段长，即可求得答案． 【详解】由题意知，直线的倾斜角，则直线的方程为， 联立，消去可得：，解得， ，， 由抛物线的定义可得，， 根据抛物线的对称性结合是过抛物线焦点的两条互相垂直的弦， 可知，， 故， 故“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为． 故选：D 提升·进阶突破 题型7 圆锥曲线中距离和差最值 (共 6 小题) 44．（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】求出圆心坐标及半径，求出椭圆上的点到圆心距离的最大值，再利用圆的性质求得答案. 【详解】设圆的圆心为，其半径，则， 设椭圆上的点，则，即， 因此 ，当且仅当时取得最大值， 所以. 故选：D 45．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】设，可得，利用两点之间的距离公式可得，结合二次函数的单调性即可判断出结论． 【详解】如图，作出符合题意的图形，设， 则，， 当且仅当时取等号，此时， ，. 46．（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为______. 【答案】8 【分析】根据给定条件，求出圆心及半径，利用圆的性质及双曲线定义求出最大值. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点， ，， 要取最大值，点必在双曲线左支上， 所以. 故答案为： 47．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 【答案】1 【分析】利用抛物线的定义，得，即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，准线方程为， 由抛物线的定义，可知点到焦点的距离等于点到准线的距离，即， 所以，当且仅当，，三点共线时，取等号， 所以， 则的最小值是．    故答案为：. 48．（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）设，根据斜率公式，可得，表达式，根据，代入化简，即可得答案. （2）由（1）可得为椭圆的左焦点，分析可得点N在椭圆内，根据椭圆的定义，可得，分析求解，即可得答案. 【详解】（1）设，则，， 由，得，整理得， 故点P的轨迹方程E为. （2）由（1）知，点P的轨迹为除去长轴端点的椭圆，其中，，， 故点为椭圆的左焦点，设椭圆的右焦点为， 因为，所以点N在椭圆内， 由椭圆的定义得， 当P，N，三点共线(在线段PN上)时取等号， 所以的最大值为· 49．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 【答案】(1)（或）. (2)（i）；（ii）3 【分析】（1）根据距离公式得到方程，整理即可得解； （2）（i）由（1）可得，再根据双曲线的定义计算可得；（ii）利用勾股定理求出，再由面积公式计算可得. 【详解】（1）因为动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为， 所以， 将上式两边平方，化简得， 所以的方程为（或）. （2）（i）由（1）可知分别是的左､右焦点，又，， 因为第一象限内的点在上，所以，则， 又，所以， 所以， 当且仅当在与双曲线在第一象限的交点时取等号， 所以的最小值为. （ii）由题意得， 将①左右两边平方，得，结合②得， 所以的面积为.    题型8 圆锥曲线的离心率综合 (共 8 小题) 50．（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，由椭圆的定义及，结合勾股定理求参数m，进而由余弦定理构造椭圆基本量的齐次方程求离心率. 【详解】 设，椭圆的焦距为，则， 由，有，解得或（舍）， 故，，且， 在中，由余弦定理可得， 所以，故，. 51．（26-27高二上·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，利用椭圆的定义、余弦定理以及三角形的面积公式可得出，再利用正弦定理得出，结合可求得该椭圆的离心率的值. 【详解】设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得，即② ， ①② 得，所以， 又， 又，因为，所以， 解得，故椭圆的离心率为. 52．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 53．（24-25高二上·天津南开·期中）已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称性，令，则，若结合斜率的两点式及椭圆上点得，再由已知及离心率公式求其范围. 【详解】由题意，和均关于原点对称，令，则， 若，则， 所以椭圆离心率. 故选：A 54．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图： 设双曲线的左焦点为，根据双曲线的对称性可得：，且. 所以. 结合双曲线的定义，，. 在中，. 由余弦定理，， 整理得：，所以. 55．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知圆锥曲线的焦点为，若此曲线上存在点P，满足（其中为坐标原点），则这个曲线可能是（   ） A．离心率为的椭圆 B．离心率为的椭圆 C．离心率为2的双曲线 D．离心率为的双曲线 【答案】ABD 【分析】结合选项，分曲线表示椭圆、双曲线两种情况讨论，确定满足的条件，即可判断. 【详解】当、且时，曲线表示椭圆， 不妨令，设焦点为，，且， 由椭圆的定义可知， 由余弦定理， ， 又， 所以， 又， 所以， 又， 所以，所以， 又椭圆上的最大值为，显然恒成立， 故所有椭圆上均存在点满足， 又椭圆的离心率，故A、B正确； 当时，曲线表示双曲线， 不妨令，设焦点为，，且， 由双曲线的定义可知， 由余弦定理， ， 又， 所以， 又， 所以， 又， 所以，所以， 又双曲线的离心率且，所以， 又，， 所以该双曲线可以是离心率为的双曲线，不能是离心率为的双曲线，故C错误，D正确. 56．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点F与右支上一点Q，作直线l交“伴随圆”C于A，B，若，则的离心率为_________． 【答案】 【分析】取的中点，右焦点，设，结合双曲线定义，通过，，结合勾股定理，列出方程即可求解. 【详解】 设双曲线左焦点，右焦点，满足，离心率， 由，设， 则总长度， 的中点满足， ，因此是的中点 原点是中点，因此是的中位线， 得： ，且， 由双曲线定义：在双曲线右支，故， 代入得，因此， 是圆的弦中点，故， 由勾股定理： ，其中（半径），， 代入得： 展开化简得，，故， 由，，得，即是直角三角形， 由勾股定理： ， 代入，，， 得 化简得，即， 因此离心率. 57．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的离心率为，得，将点代入双曲线方程，得，代入，得利用不等式的性质，可得其取值范围. 【详解】由的离心率为，得，所以． 所以双曲线的渐近线方程为. 因为点在上，所以，，， 所以， 因为，所以 故选：A. 题型9 直线与圆锥曲线的位置关系判定 (共 8 小题) 58．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与椭圆相切，写出一条此直线l方程：_________． 【答案】（答案不唯一，可以为） 【分析】求出直线所过定点，设出的方程并与椭圆方程联立，利用判别式为0求解. 【详解】由题意得直线，即， 由，解得，即直线恒过定点， 由直线与椭圆相切，得直线不垂直于轴，设其方程为， 由，消去得， 因此，整理得，解得或， 所以直线的方程为或. 59．（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在同一坐标系中分别画出直线和曲线的图象，即可直观的看出公共点的个数. 【详解】曲线， 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，实轴长为，虚轴长为的双曲线； 当时，变形为：，即：当时，曲线表示焦点，长轴长为，短轴长为的椭圆； 当时，代入得：，即：当时，代表两个点：和. 在同一个直角坐标系中画出直线和曲线的图象如图所示： 由双曲线的特点可知：当时，直线与曲线没有公共点， 所以直线与曲线有1个交点. 60．（25-26高二上·陕西榆林·期中）（多选）已知双曲线过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线仅有一个交点 【答案】AD 【分析】将点的坐标代入双曲线方程，可求出的值，可判断A选项；求出、、的值，结合双曲线的离心率公式可判断B选项；根据双曲线的方程可求出渐近线方程，可判断C选项；将直线方程与双曲线方程联立，结合判别式可判断D选项. 【详解】双曲线的标准方程为， 对于A选项，将点的坐标代入双曲线的方程得，解得，A对； 对于B选项，由A选项可知，双曲线的标准方程为，则，，， 双曲线的离心率为，B错； 对于C选项，双曲线的渐近线方程为，C错； 对于D选项，联立可得，则， 所以直线与双曲线仅有一个交点，D对. 故选：AD. 61．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）（多选）已知圆，直线，为实数，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点 C．圆心到直线的距离的最大值为 D．，分别是圆和椭圆上的动点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】选项A，将整理成，则有，计算得解；选项B，由直线恒过定点，求出点到圆心的距离， 判断与圆的半径的大小关系得解；选项C，圆心到直线的距离取最大值时，此时直线与直线垂直，从而得到最大值为；选项D，圆上的点到椭圆上点的最远距离为圆心到椭圆的最大距离加上半径，，设，求出，利用二次函数求最值即可得解. 【详解】选项A，，， ，，直线恒过定点，选项A错误； 选项B，直线恒过定点， ，圆心， 点到圆心的距离为， 又圆的半径为，，在圆内，过圆内点的直线必与圆相交，选项B正确； 选项C，圆心到直线的距离取最大值时，直线与直线垂直，则最大值为，故选项C正确； 选项D，圆上的点到椭圆上点的最远距离为圆心到椭圆上点的最大距离加上半径， ，设， ， 设，当时，取最大值，且最大值为， 的最大值为，的最大值为，故选项D正确. 故选：BCD. 62．（25-26高二上·上海·期中）若抛物线的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值_______. 【答案】 【分析】根据题意得到直线与抛物线相离，再由抛物线的定义即可得所求距离和的最小值为焦点到直线的距离. 【详解】由，消去得， 因为，所以直线与抛物线相离. 点P在抛物线上，点P到准线l的距离等于点P到焦点的距离， 所以P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值， 为抛物线的焦点到直线的距离. 故答案为： 63．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围； (3)当时，直线l与椭圆C交于P，Q两点，求的面积. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据已知求出椭圆参数，即可得方程； （2）联立直线与椭圆得一元二次方程，根据交点个数有求参数范围； （3）联立直线与椭圆求交点坐标，再求三角形的面积即可. 【详解】（1）由题设，则，故椭圆； （2）联立，则，即， 由直线l与椭圆C有两个公共点，则，得. （3）由题设，联立，由（2）知， 所以，则，或，则，不妨令，而， 如下图，在中，则其面积为.    64．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知直线与抛物线：（）交于，两点（为坐标原点）.的中点为，过点作轴的垂线，交于点，过点且与相切的直线交直线于点. (1)若，求的方程； (2)求证：点与点关于点对称. 【答案】(1) (2) 证明：由（1），得，， 所以的中点为，所以直线的方程为，如下图所示： AI将代入（），得，即点， 设过点且与相切的直线的方程为（）， 与抛物线联立，得. 因为，解得. 所以直线的方程为，即， 令，得，即. 因为，所以点与点关于点对称. 【分析】（1）联立直线和抛物线方程，解得点的坐标，根据，利用两点间的距离公式建立方程，解出即可； （2）根据中点坐标公式求得点，继而可得直线的方程为，代入抛物线方程，可得.设出直线的方程，与抛物线方程联立，可得，继而可以证明结论. 【详解】（1）联立，化为，解得或， 所以，. 因为， 解得，所以的方程是. （2）略 65．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)（i）， （ii）证明：设，则, 由（i）可知，， 直线的方程为，即， 令可得 把，代入可得， 即直线恒过，所以直线过轴上一定点，该定点的坐标为. AI 【分析】（1）根据渐近线的斜率和实轴长可求方程； （2）（i）联立方程，结合根与系数的关系式可求范围；（ii）求出直线的方程，利用根与系数的关系式，可得直线恒过点. 【详解】（1）由题意可知，解得， 所以双曲线的方程为. （2）（i）当时，易知不符合题意； 当时，联立，得， 因为直线与双曲线的左支交于两点，所以， 解得或，故实数的取值范围为. （ii）略 题型10 圆锥曲线的弦长问题 (共 6 小题) 66．（26-27高二上·四川·期中）已知动圆分别与圆外切和圆内切，设动圆的圆心轨迹为，过点的直线垂直于轴交曲线于两点，则弦长等于______ 【答案】/ 【分析】利用两圆外切、内切的距离条件，得到动圆圆心到两定点距离之和为定值，由椭圆定义写出椭圆方程，将代入椭圆方程求出纵坐标，上下两点纵坐标之差即为弦长． 【详解】 如图所示，设圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的半径为， 由圆分别与圆外切和圆内切， 则，，则， 即动点到两定点的距离之和为定值，且大于，满足椭圆定义， 即点是以为焦点，且，的椭圆， 所以动点的轨迹方程为，如图所示， 由轴，且过点， 设，， 将代入椭圆方程，得， 即，，所以． 67．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先根据长轴长及焦点列式结合计算求解椭圆方程； （2）法一：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可；法二：设直线，再联立方程组得出韦达定理，再结合图形特征得出计算求参即可. 【详解】（1）由题知，则，又因为， 所以椭圆的标准方程为． （2）法一：由题可知，直线斜率不为， 设直线的方程为， 联立，消去，得， 因为恒成立，所以， 则， 所以的面积， 化简得，解得，所以或， 所以直线的方程为或． 法二：设直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，消去，得， 点到直线的距离， 所以的面积， 解得或． 所以直线的方程为或． 68．（26-27高二上·河南·期中）已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）（ii）或 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程，求出双曲线方程； （2）（i）先设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和弦长公式计算得到弦长. （ii）设直线的方程，联立双曲线方程，消元化简，结合韦达定理和斜率公式，根据题中条件列出等式解得参数，进而得到直线方程. 【详解】（1）已知双曲线：（）的渐近线方程为. 可得，解得. （2）由（1）知，双曲线：，则， 所以右焦点，设， （ⅰ）因直线的斜率为2，则其方程为，即， 联立，消去整理得：， 由韦达定理，， ； （ⅱ）由题可知直线的斜率不为，设直线的方程为， 联立，消去整理得：， 则 由韦达定理，， 因， 则 ， 因为直线，的斜率之积为， 所以，化简得，解得或， 所以直线的方程为或. 69．（25-26高二上·山东济南·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据题意，建立得方程求出，得解； （2）当直线的斜率为0时，显然不合题意；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，与双曲线方程联立可得根与系数关系，利用弦长公式求出，进而求得，得解. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线方程为，所以，即. 又点是双曲线的右焦点，所以， 得，所以， 所以双曲线的方程为. （2）当直线的斜率为0时，显然有，不合题意，舍去； 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为， 联立直线与双曲线方程，消得， 设，则， ， 所以，即， 解得或0，即或0， 所以l的方程为或.    70．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程； (2)求证：； (3)若，求实数k的值． 【答案】(1) (2) 当时，易知直线与抛物线仅一个交点，不符合题意，舍去； 当时，设，， 联立直线与抛物线方程， 将代入， 整理得： ， 由韦达定理得：，， ， 又，，所以， 因此， 故，得证； (3) 【分析】（1）由抛物线的定义确定顶点到焦点的距离最小，即可求解； （2）联立直线和抛物线方程，通过即可求证； （3）由三角形面积公式求得，再结合韦达定理即可求解. 【详解】（1）由题意，设抛物线的方程为 ，准线是， 根据抛物线定义：抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， 又抛物线上点到准线的距离最小值为顶点到准线距离， 故最小距离即为顶点到焦点的距离，即， 由条件得​，解得 ​， 因此抛物线E的方程为 ； （2）略 （3）的面积， 其中直线过点，故， 因此：， 所以​， 平方得： ， 又 ​，， 得：，解得， 即. 71．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线上两个不同的点． (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度． 【答案】(1)，. (2)8 【分析】（1）根据焦点坐标为，故，则，即可得到抛物线方程和准线方程； （2）写出直线的方程，联立直线与抛物线方程利用韦达定理得到，再由焦半径公式得到. 【详解】（1）因为抛物线的焦点为，所以，则， 所以抛物线方程为，准线方程为. （2）因为直线斜率为1，且过点，所以直线的方程为； 联立直线与抛物线方程，得到， 设，则， 所以过焦点的弦长为. 题型11 圆锥曲线的中点弦问题 (共 6 小题) 72．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知点，直线与的斜率之积为．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； (2)若是直线被曲线所截得的线段的中点，求直线的方程． 【答案】(1)曲线的方程是且，曲线是不含长轴端点的椭圆. (2). 【分析】（1）设所求轨迹上任意点，根据斜率公式和，即可求解. （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，结合韦达定理可得，求解即可. 【详解】（1）设，则直线的斜率， 直线的斜率. 由题意得，． 化简，得且. 所以曲线的方程是且，曲线是不含长轴端点的椭圆. （2）由题意及椭圆的对称性可知，直线的斜率存在且不为0. 设直线的方程为，与曲线的方程联立，得 消去，整理得. 设，则. 由题意得，， 解得， 所以直线的方程为，化为一般式，得. 73．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得， ，利用求得即可求解方程； （2）设，，代入椭圆方程作差求得直线的斜率，代入点斜式直线方程即可求解. 【详解】（1）设的焦距为，因为的长轴长是短轴长的倍，所以. 因为的焦距为4，所以，解得， 因为，所以，解得， 所以，则的方程为. （2）设，，因为点，在上，所以 两方程相减得，所以. 因为是线段的中点，所以， 即直线的斜率为，所以直线的方程为，即.    74．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线过点，左右焦点分别为． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据双曲线的定义求得，进而求得双曲线的方程. （2）求得直线的方程并与双曲线方程联立，化简写出根与系数关系，根据弦长公式求得. （3）利用点差法求得直线的斜率. 【详解】（1）根据题意可得， ， 所以， 故双曲线C的方程为； （2）直线的方程为， 设，由得， ， 所以． （3）设，则， 则两式相减得． 设，则所以， 即， 所以，所以直线OQ的斜率. 75．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 【答案】(1) (2) (3)为定值 【分析】（1）根据条件，列式求的值，可得双曲线的标准方程. （2）中点弦的问题，可用“点差法”求解. （3）设直线方程，代入双曲线方程，利用韦达定理，表示出，，再结合，探索的值. 【详解】（1）由题意可得：. 所以双曲线的标准方程为：. （2）设，， 则， 两式相减得：， 又线段的中点为，所以， 所以，即直线的斜率为1. 所以直线的方程为：即. 直线过点，故直线与双曲线相交，满足条件； （3）如图： 因为直线过点，且与轴相交，所以直线必存在斜率. 设直线方程为：，代入双曲线方程得. 整理得：（）. 设，， 则，. 又，， 所以 ，为定值. 76．（25-26高二上·福建三明·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) 不存在符合题意的直线，理由如下： 方法一：假设存在符合题意的直线，设， 则两式相减，得，即， 所以直线的斜率， 若点是的中点，则，所以， 所以直线的方程为，即. 联立方程组，消去得，，方程组无解 即该直线与抛物线没有两个交点，不符合题意，即直线不存在. 方法二：假设存在符合题意的直线，设， 依题直线的斜率不为0，设其方程为， 联立方程组，消去x得，   所以， 则，解得， 所以，解得， 此时，与矛盾， 所以假设不成立，即符合题意的直线不存在. 【分析】（1）根据条件，求出圆心和半径，结合抛物线标准方程，可求出p值，即可得答案. （2）方法一：设，，利用点差法，求出直线l的斜率k，进而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，得关于y的一元二次方程，检验判别式，方程无解，所以不成立；方法二：设l方程为，与抛物线方程联立，根据韦达定理，求出m、n的值，检验与矛盾，故无解. 【详解】（1）圆的方程可化为， 故圆心的坐标为. 设抛物线的方程为，所以，所以， 所以抛物线的方程为. （2）略 77．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出椭圆的顶点即可得出抛物线的焦点，求出即得抛物线方程； （2）设，由中点弦公式计算可得，直线的方程为，直线与抛物线联立方程，利用弦长公式及三角形面积公式列式计算即可求解. 【详解】（1）由题知，椭圆右顶点坐标为，抛物线开口向右， 所以，故，即， 所以抛物线的方程为； （2）如图，由题意，设， 代入抛物线方程，可得， 两式相减可得，即， 由可得，故， 又由点为线段的中点且点在抛物线内， 所以直线的方程为，即. 联立，得，其中， 故， 所以， 又因为到直线的距离， 所以的面积. 题型12 圆锥曲线的向量问题 (共 6 小题) 78．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆经过点，且离心率为，是右焦点，过焦点的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆过点结合椭圆的离心率列式解得，，即可得方程； （2）设直线的方程为，联立方程可得韦达定理，根据向量关系可得，联立求解即可. 【详解】（1）由题意：，解得，， 所以椭圆的方程为：. （2）由（1）可知：，直线与椭圆必相交，且直线的斜率存在，    设直线的方程为，，， 联立方程，消去y可得， 则，， 因为，， 若，则，可得， 与联立解得，， 代入，可得，解得， 所以直线的方程为，即. 79．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可得c和a值，根据的关系，可得b值，即可得答案. （2）由（1）可得椭圆C的“准圆”方程，即可得A、B点坐标，设，根据数量积公式，可得表达式，根据m的范围，即可得答案. 【详解】（1）由题意知，且，可得， 故椭圆的方程为． （2）由（1）得椭圆的“准圆”方程为，由题意不妨设，， 设，则有，，， 所以， 又，则， 所以的取值范围是． 80．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的离心率是，焦距为6. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且（为坐标原点），求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线的离心率和焦距先求出的值，然后由即可得出双曲线的方程； （2）联立直线和双曲线方程整理后，写出韦达定理以及向量的坐标，代入中解出的值即可. 【详解】（1）因为双曲线的离心率是，焦距为6， 所以，， 解得，又， 又， 所以的方程为. （2）设，， 联立方程， 消去得， 因为直线与相交于两点，如图所示：    所以，即且， 由韦达定理得， 又， 所以， 所以， 将韦达定理代入上式得： ， 即，解得，满足且. 所以. 81．（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程． (2)过点的直线l与双曲线相交于A，B两点； ①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围； ②若，求此时直线l的方程． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据渐近线设双曲线方程，由经过的点代入方程即可求解； （2）运用分类讨论思想，联立直线与双曲线方程，根据条件及韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为双曲线的渐近线为， 可设双曲线的方程为： 又点在双曲线上，所以： 双曲线的方程为：. （2）①当k不存在时，直线l交双曲线于左支上两点，不符合题意． 当k存在时，直线l的方程可设为：，设， 联立双曲线方程：, 由题意：，∴， 所以直线l的斜率的取值范围为． ②由，可得： 当直线l与x轴重合时，，，此时，不满足条件； 直线l的方程设为：， 联立方程可得：， ， 由，可得：代入上式可得：， ，解得：，故：． 此时直线l的方程为：或． 82．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为顶点，离心率为2的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点． (1)求曲线的方程； (2)设点的横坐标分别为，证明：； (3)设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围. 【答案】(1)； (2) 证明：由题意，设点、， 直线的方程为，（）， 联立椭圆方程， 消去得， 由，可得， 联立双曲线方程， 消去得， 同理可得， 所以； (3). 【分析】（1）由题意，设双曲线的方程，利用双曲线的离心率为2建立方程即可求解； （2）由题意，设直线的方程为，然后联立椭圆方程，利用韦达定理求出、两点的横坐标，即可证明； （3）利用，结合点是双曲线在第一象限内的一点，可得，结合椭圆和双曲线的方程，利用三角形的面积公式可得，由（2）问结论化简并换元，最后利用函数的单调性即可求解的取值范围，进而求得的取值范围. 【详解】（1）由题意，，， 因为曲线是以、两点为顶点的双曲线， 所以设双曲线的方程为， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为； （2）略 （3）设点、，则，， 因为，所以，即， 因为点在双曲线上，即，所以，即， 又点是双曲线在第一象限内的一点，所以， 因为，， 所以， 由（2）知，，设，则，则， 令，， 设，则， 因为，故即， 所以在区间上单调递增，当时 ，，， 则，则，所以， 即当时，的取值范围为. 83．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知动圆与圆内切，与圆外切. (1)求圆的圆心的轨迹方程； (2)曲线与轴交于，两点，是上除点和以外一点，试判断直线，的斜率之积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知直线恒过定点， 且与相交于，两点， 若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)是，定值为 (3) 【分析】（1）根据圆与圆的位置关系得到为定值，再根据椭圆的定义得到方程； （2）设点，根据是上除点和以外一点，得到的关系，再计算直线，的斜率之积，判断是否为定值即可； （3）设点，根据得到，联立椭圆于直线方程，利用韦达定理表示出，再计算求出范围即可. 【详解】（1）圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径； 圆化成标准方程为：， 所以圆心，半径； 设，动圆的半径为， 因为动圆与圆内切，与圆外切， 所以， 所以， 所以的轨迹为椭圆，，所以， 所以圆的圆心的轨迹方程为：， （2）由题可知， 设点，显然直线，的斜率肯定存在， ， 又是上除点和以外一点，所以，即， 所以， 故直线，的斜率之积为定值，为； （3）因为直线恒过定点， 所以，设点， 由得，即， 联立，消去得：， 由韦达定理：， ， 因为，所以，所以，，， 所以， 故的取值范围为 拔高·压轴破难 题型13 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题 (共 12 小题) 84．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i） 设直线与直线交于点，所以，所以，所以， 显然，直线的斜率存在且不为0，则直线的方程为，，，且，， 由可得，所以，， 所以，整理可得，， 所以，解得，所以直线的方程为，所以直线过定点. （ii） 【分析】（1）根据焦点坐标，结合代入法、，，三者之间的关系进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、直线的斜率公式进行求解即可； （ii）根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【详解】（1）因为椭圆右焦点坐标为，所以，因为椭圆过点，所以，因为， 所以解得，，所以椭圆方程为. （2）（i）略 （ii）由（i）可得，由， 解得，且，，所以， 代入可得，令，所以， 所以当，即，所以的最大值为. 85．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N．（上述各点均不重复） (1)求与的标准方程； (2)证明：； (3)是否存在点G，使直线与直线的斜率之积为定值，若存在，求点G的坐标． 【答案】(1)； (2) 设直线分别为，其斜率依次为， 设直线， 联立得， 其中，故. 又，所以， 代入直线方程得， 则，设， 则经过的两直线之间斜率满足关系：， 将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两者斜率满足，所以， 所以. (3). 【分析】（1）首先求出，再代入即可得到答案； （2）设直线分别为，其斜率依次为，联立的方程与椭圆方程后结合韦达定理可求用表示，从而可得，结合变换关系可证. （3）设直线，联立椭圆方程得到，则得到的坐标，再计算得，，设，计算化简得，则得到定点坐标. 【详解】（1）由题意得，，又因为在上， 代入得，所以，则. （2）略 （3）设直线为，其斜率为. 结合（2）的方法，同理将直线绕原点顺时针旋转后也会经过， 所以两直线斜率满足， ， 设，则有，代入上式得：， 得到， 所以，因此存在定点， 使直线和直线的斜率之积为定值5. 86．（25-26高三上·河北·期中）已知椭圆C 直线与C 交于点 M，N，且线段的中点为 (1)求C 的离心率. (2)若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线与直线平行. （i）求直线与直线之间距离的取值范围； （ii）求证：直线，的交点在定直线上. 【答案】(1) (2)（i）， （ii）证明：设的中点，直线与的交点为， 由（1）知，即，所以， 即弦的中点始终在直线上， 又，所以直线的方程为. 因为，所以直线与的交点始终在直线上， 即直线与的交点在定直线上. AI 【分析】（1）利用点差法可得，进而得，求得椭圆的离心率； （2）由题可先求得椭圆的方程，（i）设，代入椭圆方程，由求得的范围，结合两平行线间距离公式求得答案；（ii）由（1）点差法结论可得弦的中点始终在直线上，由，得直线与的交点始终在直线上，得证. 【详解】（1）设，，的中点，则，， 由，两式相减整理得，即， ，解得， 所以椭圆离心率. （2）在中，令，得，故， 由的中点为，故， 直线方程为，即， 所以椭圆的方程为. （i）由，设， 代入椭圆方程并整理得， 由，得，且， 直线与的距离， 结合的范围，得，， ， （ii）略. 87．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点． (1)若， ①求出外接圆半径R和内切圆半径r（用含a，b，c的式子表示）； ②若，且的外接圆面积是其内切圆面积的4倍，求该椭圆的方程； (2)在（1）求得的椭圆中，若P为一椭圆上动点，若延长交椭圆于点Q，椭圆的左右顶点分别为M，N（不与P，Q重合）记直线与的斜率分别为，证明为定值． 【答案】(1)①，；② (2) ， ， 设，直线的方程为：， 联立，消得： ， ， 由韦达定理：， 又，则 ， 将代入上式， ， 将代入上式化简得： ， 故为定值． 【分析】（1）①在中，利用余弦定理求出的表达式，用正弦定理求出，再用等面积法求内切圆的半径；②由面积比得到，将代入关系式，化简得到方程求解； （2）设直线方程，联立椭圆方程，利用韦达定理得到，写出的表达式，进行化简计算． 【详解】（1）（1）①设，由椭圆定义得：， 在中，由余弦定理：， ， 解得：， 由正弦定理：， 即，解得：， ， 又， ， 解得：； ②由题意：，得， ，将代入其中得， ， 整理得到：， 解得：，则， 椭圆方程为：； （2）略 88．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设，直线、直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证直线过定点． 【答案】(1)； (2)； (3) 由题意得直线的方程为， 代入：，得， 设，所以， 即，则， 所以，同理得， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以直线过定点. 【分析】（1）根据双曲线所过点坐标和离心率公式得到方程组，解出即可； （2）设直线的方程为，联立双曲线方程得到一元二次方程，再根据韦达定理和判别式即可得到不等式组，解出即可； （3）写出直线的方程为，将其与双曲线方程联立得到点坐标，同理得到点坐标，再写出直线方程，最后化简即可. 【详解】（1）由题意，得，解得， 故双曲线的标准方程为. （2）设，由题意得， 当直线的斜率为0时，此时交于双曲线左右两支，不合题意，则， 设直线的方程为． 联立，得 因为、在的左支，所以， 所以 解得或， 所以的取值范围为． （3）略 89．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，其离心率为，焦点到渐近线的距离为，点是直线上一点，直线的斜率分别是，是坐标原点. (1)求双曲线的标准方程. (2)是否存在实数，使得为定值？若存在，求出及该定值.若不存在说明理由. (3)若直线与双曲线相交于、两点，求出点的坐标使得. 【答案】(1)； (2)存在实数使得为定值； (3)或. 【分析】（1）根据题意得，再结合解方程即可得答案； （2）结合（1）得，进而根据代入整理得，此时，即时即为定值； （3）设直线的方程为，，进而与双曲线联立方程，结合韦达定理化简整理得所以，解方程即可求得或，最后根据即可求得坐标. 【详解】（1）由题知，双曲线的焦点在轴上， 故焦点为，渐近线方程为 因为其离心率为，焦点到渐近线的距离为， 所以，又因为， 所以，，， 所以双曲线的标准方程为，即 （2）由（1）知， 因为点是直线上一点，所以， 所以， 所以 ， 所以，当，即时，，为定值. 所以，存在实数使得为定值； （3）设直线的方程为， 联立方程得， 因为直线与双曲线相交于、两点， 所以，即， ，， 所以， 即，整理得，即， 解得或，满足判别式. 当时，即，解得，，即； 当时，即，解得，，即. 所以，当点或时，. 90．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 【答案】(1) (2) （i）易知，， 由题可设直线的方程为，，， 由，得， ∵直线与的右支交于两点， ∴，， ，， ，∴. ， 故为定值. （ii）. 【分析】（1）由题意求出，即可求得答案； （2）（i）设直线的方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系式，结合的表达式，即可证明结论； （ii）利用直线方程求出相关点坐标，可得的表达式，即可求出的表达式，结合不等式性质，即可求得答案. 【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，右焦点， 所以，解得，， 故双曲线的标准方程为； （2）（i）略 （ii）由题意可得， 直线的方程为，则， 同理可得， ∴， ∴， ∵，∴，∴， 当且仅当时等号成立，故的取值范围为. 91．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 【答案】(1) (2) ① 因为为双曲线右焦点，所以，，， 设过直线的方程为，，， 所以，联立可得， 由韦达定理可得， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 设，所以， 将，，所以， 整理可得 ， 因为， ，所以， 所以， ，解得， 所以点在定直线上. ②或. 【分析】（1）由双曲线的实轴长为，所以，再通过离心率以及即可求解. （2）①设直线的方程为，，，直线与双曲线方程联立，通过韦达定理得到，的关系，求出直线与直线的方程，两式联立求解交点，再根据代入求解即可.②由，得到，再由三点共线，可得到向量共线，即可得到线段比，代入求解即可. 【详解】（1）因为双曲线实轴长为，所以，即， 又因为离心率为，所以，所以， 因为，所以， 所以双曲线：. （2）①略 ②设，因为在直线，，如图所示： ， 因为，，三点共线，所以，即， ，，所以， 同理，即，，， 所以， 所以，因为， 所以， 所以 ， ，， 因为， 所以， ， 所以， 解得，即，所以直线的方程为或. 92．（25-26高二上·福建厦门·期中）在抛物线上任取一点，过点作x轴的垂线段，为垂足，当点在抛物线上运动时，为线段的中点．（当点经过抛物线与x轴的交点时，规定点M与点重合）． (1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线． (2)点在直线上，直线l绕点P旋转，试讨论直线和第（1）题所求曲线的公共点个数． 【答案】(1),开口向右，焦点坐标为，准线为的抛物线； (2) 当或或斜率不存在时，直线和抛物线无公共点； 当或或时，直线和抛物线有一个公共点； 当且时，直线和抛物线有两个公共点. 【分析】(1)设点，，以及轴可得出点坐标，根据和点的位置关系，及点在抛物线上即可求出结果； (2)先分直线斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率不存在时，可得直线方程，当直线斜率存在时，设直线方程为，与(1)中求出抛物线联立，再分与两种情况讨论，当根据判别式即可确定直线和抛物线的公共点个数. 【详解】（1）设点，，根据轴可得出点， 因为为线段的中点，则，即， 又因点在抛物线上， 代入可得，化简可得， 当点经过抛物线与x轴的交点时，点M与点重合，代入也满足， 所以点M的轨迹方程为，它是开口向右，交点坐标为，准线为的抛物线. （2）根据题意当直线斜率不存在时，因为直线恒过点， 可得方程为，代入，可得方程无实数根，此时无公共点； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 当时，直线方程为，代入中可得，此时有一个公共点； 当时，将直线与抛物线联立可得， 整理可得， 计算该方程根的判别式可得 ， 当，即或时，此时直线和抛物线无公共点； 当，即或时，此时直线和抛物线有一个公共点； 当，即且时，直线和抛物线有两个公共点； 综上可得：当或或斜率不存在时，直线和抛物线无公共点； 当或或时，直线和抛物线有一个公共点； 当且时，直线和抛物线有两个公共点. 【点睛】先根据直线斜率不存在时确定直线和曲线是否有公共点；再根据直线斜率存在时，设出直线的斜率，从而可得出直线的方程，再分与两种情况讨论，当时可得直线和曲线的根的个数，即公共点的个数；当时将直线和曲线联立，根据所得方程的根判别式确定根的个数，即有多少公共点. 93．（25-26高二上·浙江·期中）已知抛物线上的一点到焦点的距离为1，直线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)为坐标原点，已知： （i）作垂足为，则是否存在定点，使为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）若在处的切线恰好平分直线与的夹角，求的方程. 【答案】(1) (2)（i）存在，；（ii） 【分析】（1）根据抛物线定义可得答案； （2）（i）设直线，与抛物线方程联立，由利用韦达定理求出，可得直线过定点，结合可得答案； （ii）设切线方程为，与抛物线方程联立，利用得求出切线的倾斜角.直线方程与抛物线方程联立，不妨设直线的倾斜角分别为，则由恰好平分直线与的夹角可知，，根据和韦达定理得出答案. 【详解】（1）到的距离等于到准线的距离， 故， 故； （2）（i）设直线， 联立方程，得， 由韦达定理知，， 而， . 因为，所以，有， 即，解得或（舍去）， 所以直线，即直线过定点， 结合，所以在以为直径的圆上， 所以到定点的距离为定值1； （ii）因为，所以. 设切线方程为， 联立方程组得 令，得， 所以切线方程为， 斜率的倾斜角. 由（i）可知，直线， 联立方程，消得， 则，故. 不妨设直线的倾斜角分别为，则由恰好平分直线与的夹角可知，. ， ，即 ，即 化简得， 即 代入得，即， 解得. 当时，直线过点，舍去. 所以直线. 94．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为原点，，试探究是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)为定值，理由如下. 【分析】（1）先设出直线的方程，然后联立直线与抛物线方程，根据判别式以及抛物线有两个不同交点的条件来确定直线的斜率的取值范围即可； （2）先设，然后根据直线的方程求出，再结合向量求出，最后计算并判断是否为定值即可. 【详解】（1） 由题意知，直线的斜率存在且不为，又直线过点，故设直线的方程为， 联立，可得，，，解得且， 又直线交轴于，直线交轴于，故直线不过点， 把代入，解得，从而， 故直线的斜率的取值范围为. （2）为定值，理由如下： 设，由（1）可知， ， ， ， 故, 直线的方程为，令，则，同理可得, 由，可得，得， 由，可得，得同理可得， 则 . 95．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，，记动点的轨迹为. (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，曲线在，两点处的切线交于点. （i）求证：在定直线上： （ii）过点作斜率和为常数的两直线，和曲线相交，交点分别为，和，，弦的中点为，的中点为，若直线过定点，求定点坐标及的取值范围. 【答案】(1) (2) （i）由题可知直线斜率不为0，故可设，，， 联立直线和曲线的方程可整理得：， 故有：，，. 设点处切线方程为：，联立曲线整理得： ，由相切知该方程有两个等根，故有， 代入方程可整理得：，同理可得处切线， 联立，方程可解得：，， 从而在定直线上. （ii）， 【分析】（1）设动圆圆心为，半径为，由题可知，由，将坐标代入化简即可得出答案； （2）（i）可设，点处切线方程为，分别与曲线的方程联立可求出点，处的切线方程，由此可证得在定直线上.（ii）设直线方程为：，联立抛物线的方程，利用根与系数的关系经过一系列化简求出直线方程，即可求出直线过的定点；联立和曲线整理可将问题转化为含参的一元二次不等式解的问题，分类讨论即可求出的取值范围. 【详解】（1）设动圆圆心为，半径为，则由题意可知， 故，将坐标代入可得：，整理得：， 故曲线的方程为：. （2）（i）略 （ii）法一：设，，，由过点 可得：，联立和曲线的方程整理得：， 则有，， 所以 设直线，则由在直线上可得： 设，则同理可得：， 由此可得，为方程两不等实根， 从而有： ，， 由为常数可知：， 所以直线方程为：恒过定点，为常数2. 法二：与法一同理，得，， 由题知过定点，不妨设过定点，则， 记， 则有，即， 同理； ，是方程的两根， ，， 又为常数， 对应系数成比例，常数为2， ，， 令，，，， 故过定点，此时. 法三：设，，，， 则，， 设，斜率分别为，，由，在曲线上可得：，， 两式相减整理得：， 同理可得：从而可知，在曲线上， 设直线方程为：， 代入上面曲线方程整理得：， 从而有，， 由题：为常数， 故有， 所以直线方程为：， 故直线恒过定点，且. 下求取值范围： 法一：联立和曲线整理得： ， 由题可知： 将代入上式得： 同理可得：， 又由前面的分析知：. 故问题转化为：不等式有两个和为2的不同解，求参数范围问题. 1）当时，不等式解为：，显然不存在两个和为2的不同解，不合题意； 2）当时，不等式对应二次函数开口向上，恒成立， 则不等式解集形如，由图可知存在两个和为2的不同解，符合题意. （可在左边区间取个较小的负数，只需让落在右边区间，则这两个数即为满足题意的解） 3）当时，不等式对应二次函数开口向下，恒成立. 则不等式解集形如，要存在两个和为2的不同解，则必有，此时，必然存在， 使得，则只需取，， （否则两根都大于等于1，或两根都小于等于1，均不合题意）， 从而有. 综上，. 法二：设，与联立，得， 由题可知：，即，① 又，故有，② 1）当时，设不等式①解集为， 不等式②解集为， 只需取小于或者取大于的数，即符合题意； 2）当时，不等式①解为：，不等式②解为：，无交集，不合题意； 3）当时，设不等式①解集为，则②式解集为，， 两个解集区间关于对称，若有交集，则必有， 则，所以. 综上，. 题型14 圆锥曲线的范围与最值问题 (共 7 小题) 96．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)点为坐标原点，是椭圆上的两个动点，且为垂足. （i）证明：点的轨迹为圆，并求该圆的方程； （ii）记点的轨迹为圆，对上任意一点，是否存在以为顶点，与外切且与内接的平行四边形？若存在，求出该平行四边形的面积的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）当直线的斜率不存在时，可设方程为，代入椭圆， 可得，, 则，， 因为，所以， 则，解得， 可得，此时点的轨迹为圆，方程为， 如图，作出符合题意的图形，当直线的斜率存在时，可设方程为， 联立，消去可得， 由，设， 则， 可得， 由直线的斜率，直线的斜率，且， 则，整理可得， 化简可得， 解得，而， 则由点到直线的距离公式得. 此时点的轨迹为圆，方程为， 综上可得，点的轨迹为圆，方程为. （ii）如图，作出符合题意的图形， 由题意得平行四边形即为符合题意的平行四边形，设其面积为 由平行四边形性质结合圆的对称性得 ， 由（i）可知：当直线的斜率不存在时，， 而，则， 此时， 当直线的斜率存在时， ，当且仅当时，等号成立， 而，则，即， 则，此时，故， 综上可得，，即该平行四边形的面积的取值范围是. 【分析】（1）由题目所给条件与离心率，结合的关系式，可得答案； （2）（i）分直线的斜率存在与不存在两种情况，设出直线方程，并联立椭圆方程写出韦达定理，利用直线垂直的斜率关系以及点到直线距离公式可得长度为定值，进而得到轨迹是圆，求解轨迹方程；（ii）根据圆的对称性将平行四边形面积转化为三角形面积，分情况利用基本不等式求弦长范围，进而得到面积范围，求出答案即可. 【详解】（1）由题意得椭圆的离心率为，长轴长为4， 可得，解得， 则可得椭圆. （2）（i）略 （ii）略 97．（26-27高二上·四川·期中）已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求动点到直线的距离的最大值； (3)设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用角为参数来表达动点坐标，消参即可得椭圆方程； （2）再利用椭圆的参数方程来表示椭圆上的动点坐标，用点到直线的距离公式即可求最大值； （3）利用动直线方程去求解交点坐标的关系，然后借助，可求出动直线的参数关系式， 从而可研究动直线过定点，最后再研究垂足的轨迹是圆，即可求最小值. 【详解】（1） 设为，，设， 由题意，有，即，平方后相加，可得， 即轨迹的方程为. （2）由（1）知，设，其中， 设动点到直线的距离为，， 故动点到直线的距离的最大值为. （3） 由对称性可知直线的斜率不为0，故可设直线， 联立直线与椭圆， ， 设，， 则 ，① ，，② 又，所以， 令，得点横坐标，同理可得点横坐标， 故 ， 将，代入上式， 整理可得：， 再将② 式代入得 ， （i）若，则直线，恒过，不合题意； （ii）若，则，恒过，符合题意， 故直线恒过，且与椭圆始终有两个交点， 又，，垂足为， 所以点的轨迹是以为直径的半圆（不含点，，在直线下方部分）， 且圆心，半径为1，所以， 当且仅当点在线段上时，取到最小值. 98．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的离心率的值可求出的值，结合的值，即可得出的值； （2）由题意可知直线的方程为，将该直线方程与双曲线方程联立，可得出，分、两种情况讨论，结合直线与双曲线只有一个公共点可得出关于的等式，即可求得的值； （3）分析可知直线的斜率不为零，可设直线的方程为，设点、，可得出，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，根据结合平面向量数量积的坐标运算、韦达定理可得出，结合以及可求出的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，故. （2）当时，双曲线的方程为， 由题意可知，直线的方程为， 联立可得（*）， 当时，即当时，方程（*）即为，该方程只有一个解，合乎题意； 当时，即当时，则，解得. 综上所述，或. （3）由题知、，当直线的斜率为时，此时，不合题意， 则直线的斜率不为，则设直线的方程为，设点、， 根据延长线交双曲线于点，根据双曲线对称性知， 联立有， 显然二次项系数，其中， 由韦达定理可得①，②， ，， 则， 因为、在直线上，则，， 即，即， 将①②代入有， 即  化简得， 所以，代入到，得，所以， 且，解得， 又因为，则， 综上，，. 99．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知圆和定点为圆上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线PC交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若是曲线上的一点，过的直线与直线分别交于S，T两点，且为线段ST的中点． ①求证：直线l与曲线有且只有一个公共点； ②求的最小值（为坐标原点）． 【答案】(1) (2)①设，直线是双曲线的渐近线，如图所示： 则：①．②， ①+②得，，①-②得，， 则，得， 由题可知，则， 得，即， 直线ST的方程为，即， 又点在曲线上，则，得， 将方程联立，得， 得， 由，可知方程有且仅有一个解， 故直线与曲线有且仅有一个交点； ② 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，即可得到，结合双曲线的定义计算可得； （2）（i）设，不妨令，，即可得到，从而表示出直线的方程，再联立直线与双曲线方程，消元、由，即可证明；（ii）由 （i ）求出，，再计算可得为定值，即可结合基本不等式求解. 【详解】（1）为PA的垂直平分线上一点，则， 则， 点的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，且， 故点的轨迹方程为； （2）（i）略 （ii）由（i）联立，可得， 同理可得，，则，同理， 所以， 故， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为． 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 100．（24-25高二上·上海·期中）已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点，，三点共线，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，结合题意求出、，即可得解； （2）由（1）可得，则，根据得到，即可求出，再由弦长公式计算可得； （3）联立直线AB与抛物线的方程，利用求出的值域，进而得到的取值范围. 【详解】（1）设直线的方程为，由，整理可得， 则， 所以，则， 依题意可得，解得，满足， 所以直线的方程为，即； （2）由（1）可得，则， 因为，所以，解得或（舍去）， 所以，， 所以， 当且仅当时取等号， 所以线段的最小值； （3）因为、、三点共线，而抛物线的焦点， 所以直线AB的方程为，，， 联立有， 故，，，， 所以， ，， 所以 所以，即 故的取值范围为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式； （5）代入韦达定理求解. 101．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 【答案】(1)； (2)，曲线的方程为； (3). 【分析】（1）根据直线与圆相切得到方程，化简即可； （2）转化为方程无实数解，则判别式小于0，则得到范围，再根据直线族：为抛物线的切线即可； （3）根据相切可得直线的方程为，根据点到直线的距离求出，换元，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）由题可得，直线族为圆M的切线， 故满足， 所以满足． （2）将点代入，可得关于的方程， 因为点不在直线族上， 故方程无实数解， 所以，那么，故， 因为区域的边界为抛物线， 下证：是的包络曲线． 证明：联立直线与，可得， 所以， 故直线族：为抛物线的切线. 因此直线族的包络曲线的方程为. （3）由（2）得曲线的方程为， 设在直线上， 则，即. 设， 易知直线的斜率存在，设直线的方程为， 与联立，可得， 即. 因为直线与相切， 所以，即. 因为，所以，，解得. 所以直线的方程为，化简得， 同理可得直线的方程为. 因为点在切线上，所以， 所以直线的方程为，即. 将代入， 得，化简得. 则原点到直线的距离. 设，则, 所以， 所以. 当时，，则重合，不符合题意， 所以， 所以. 令，则. 对于二次函数，其对称轴为， 则时，的最小值为， 所以有最大值，则的最大值为. 【点睛】关键点点睛： 本题第三问的关键是通过相切得到直线的方程. 102．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于两点. （ⅰ）若点，求的最小值； （ⅱ）为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）设动点坐标，根据题意列出等式，化简出轨迹方程； （2）（i）设直线方程和交点坐标，联立方程组整理得到二次方程，由韦达定理得到点的坐标之间的关系，由抛物线的定义列出表达式，借助韦达定理的结论进行化简，由此得出最小值. （ii）斜率不存在时写出直线，斜率存在时，设直线方程和交点坐标，联立方程组，整理的二次方程，由韦达定理得到点的坐标的等式，由两点式写出直线方程，因为斜率不存在时，所以直接令，若为定值，则过定点. 【详解】（1）设动圆圆心为， 到轴距离为，动圆截轴所得半弦长为2， 则，化简得； 所以动圆圆心的轨迹方程为. （2）（i）设，当直线斜率存在时，由题易知直线的斜率不为0， 设直线的方程为， 与的轨迹方程联立得 消去得， 由在抛物线内部，故，所以. 由（1）知，为轨迹的焦点，由抛物线定义得， 所以当时，的最小值为； 当直线斜率不存在时，. 由抛物线定义知. 综上，的最小值为. （ii）情况1：直线斜率不存在时，直线的方程为. 情况2：直线斜率存在时， 设直线的方程为. 设直线的方程为. ，则 所以.则，所以.即 同理. 所以直线CD的方程为 令.则 所以定点为. 题型15 轨迹方程与深度交汇 (共 5 小题) 103．（24-25高二下·广东深圳·期中）设为坐标原点，当点在曲线上运动时，点满足，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知，和是上相异的两点，分别记直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) 由题意点坐标适合，即点在曲线上， 若直线的斜率为时，直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立，消去并整理得， 需满足，即， 设、，则，， 因为，， 所以， 所以，将，代入得， 即， 所以直线的方程为，即， 所以直线经过定点. 【分析】（1）设点、，根据题意得出，将点的坐标代入曲线得出，结合化简得出点的轨迹方程； （2）设直线的方程为，联立抛物线方程，设、，可得根与系数的关系式，结合化简可得参数之间的关系，进而利用直线方程求得定点坐标. 【详解】（1）设点、，因为，即， 可得，即， 因为点在曲线上，即，即，即. （2）略 104．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点.    (1)求曲线的方程； (2)过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.） (3)若直线与圆相切于点，且交曲线于两点.证明：为定值. 【答案】(1)； (2) 证明：设点，则切线的方程分别为，， 因此，显然点的坐标满足方程，则直线的方程为， 对于任意实数，当时，恒有，即直线过定点， 所以直线过定点. (3) 证明：当直线的斜率存在时，设其方程为，， 由直线与圆相切于点，得，，则， 由消去并整理得， 则， ，， 因此 ，当直线的斜率不存在时，其方程为或， 由，解得，，于是， 所以为定值. 【分析】（1）根据给定条件，列出方程并化简即得. （2）设出点的坐标，写出切线的方程，进而求出直线方程即可得证. （3）按直线的斜率是否存在，设出方程并与椭圆方程联立，结合圆心到直线距离及向量数量积的坐标表示求出，再利用数量积的运算律计算得证. 【详解】（1）依题意，，化简整理得， 所以曲线的方程为. （2）略 （3）略 105．（25-26高二上·浙江·期中）设椭圆，过外一点作的两条切线，斜率分别为．若满足，则称点的轨迹为的-相关曲线．特别地，当时，的轨迹为一个圆，且满足方程，这样的圆被称作为蒙日圆．（注：为上任一点，则处的切线方程：）． (1)设椭圆与其-相关曲线，点分别为曲线上点，记，用含的式子表示（直接写出结果）； (2)设椭圆，其相关曲线，求； (3)设椭圆与其相关曲线，设与在第一象限的交点为，过分别作与的切线，满足．设的左、右焦点分别为，满足，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用曲线的新定义计算求解； （2）根据切线方程结合直线与椭圆的位置关系得出判别式及韦达定理计算求解； （3）应用-相关曲线，化简得出，再应用余弦定理计算求值. 【详解】（1）由题可知椭圆与其-相关曲线， 所以， ； （2）设为上一点，过的切线方程为， ， . 即， 由题意得， 所以； （3）类似（2），计算可得椭圆的-相关曲线为，即, 由于，故为焦点在轴上的双曲线， 不妨设， 设离心率为离心率为， 由，得 由已知： 从而有 ，即与有共同焦点. 则对于 ，此时 在中，由余弦定理得： ， ，， . 106．（25-26高二上·山西·期中）古希腊数学家帕普斯（Pappus  of  Alexandria）在《数学汇编》中，清晰地阐述了椭圆的“焦点一准线”定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的动点轨迹为椭圆，其标准方程为，其中，点F叫做右焦点，直线叫做右准线.已知椭圆：的一个焦点为，一条准线为：.点M是椭圆的右顶点，将射线绕点逆时针旋转后得到的射线与椭圆相交于点A. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，证明：； (3)已知当时，（2）中的结论依然成立.若直线与椭圆的另一个公共点为B，经过点F且与垂直的直线交椭圆于两点C，D，求四边形面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 证法一：如图，作轴于G，作与直线垂直，垂足为H， 记，点，则，，由（1）知，. 根据椭圆的“焦点-准线”定义，， 又，故， 解得，即； 证法二：设椭圆的左焦点，，则， 在中，由余弦定理得， 即， 解得，即. (3) 【分析】（1）根据椭圆“焦点一准线”的定义列方程组，求解的值，从而可得椭圆方程； （2）法一：作轴于G，作与直线垂直，垂足为H，记，根据椭圆的“焦点-准线”定义得，从而由可得证得所求；法二：设椭圆的左焦点，，由椭圆的定义得，结合余弦定理可证得结论； （3）法一：由A，F，B三点共线，又射线逆时针旋转至的角为，可得射线旋转至的角为，结合几何性质得，，从而得四边形面积，结合三角函数性质得取值范围；法二：设的方程为，联立直线与椭圆得交点坐标关系，求得，同理可得，从而得四边形的面积，结合基本不等式求取值范围. 【详解】（1）由题意知，， 所以，， 所以椭圆的标准方程为； （2）略 （3）解法一：由题意知A，F，B三点共线，又射线逆时针旋转至的角为， 故射线旋转至的角为，故， 所以， 由知，射线逆时针旋转至，的角分别为，， 所以， 所以四边形的面积， 易知，故，所以. 解法二：当轴时，易知的坐标为， 此时四边形的面积， 当不垂直于y轴时，设的方程为，联立 消去x，整理得， 则，， 故， 同理可得， 故四边形的面积. 由，得， 故，可得. 综上，. 107．（25-26高二上·山东济南·期中）法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. (1)求的方程； (2)若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. 【答案】(1) (2) ①证明：设，设直线AB的方程为：， 又椭圆方程可化为， 即， 由， 得， 设，则（★） 故为（★）的两个解， 所以， 因为AB过，故，故， 故， 又，所以. ②证明：连接QM，QN， 由①中的结论可知， 又，故即Q，M，N三点共线， 如图所示，设， 则， 由①中结论知，，故， 故，故为线段的中点. 【分析】（1）根据极线的定义直接求解即可； （2）①设直线AB的方程为，又椭圆方程可化为，利用齐次化方法化简得，结合韦达定理及两点斜率公式化简证明；②先利用①的结论证明Q，M，N三点共线，进而利用斜率关系证得为线段的中点. 【详解】（1）由题意易知，极线的方程为即. （2）①略 ②略 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆锥曲线的方程 基础·固本强基 题型1 椭圆的定义与标准方程 题型2 椭圆的几何性质 题型3 双曲线的定义与标准方程 题型4 双曲线的几何性质（重点） 题型5 抛物线的定义与标准方程 题型6 抛物线的几何性质（重点） 提升·进阶突破 题型7 圆锥曲线中距离和差最值 题型8 圆锥曲线的离心率综合（难点） 题型9 直线与圆锥曲线的位置关系判定（重点） 题型10 圆锥曲线的弦长问题 题型11 圆锥曲线的中点弦问题（难点） 题型12 圆锥曲线的向量问题（难点） 拔高·压轴破难 题型13 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题（重难点） 题型14 圆锥曲线的范围与最值问题（重难点） 题型15 轨迹方程与深度交汇（重难点） 基础·固本强基 题型1 椭圆的定义与标准方程 (共 8 小题) 1．（26-27高二上·河南·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆，其焦距为2，则的值等于________． 3．（26-27高二上·北京·期中）已知椭圆中心在原点，一个焦点为，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是_____． 4．（25-26高二上·浙江杭州·期中）椭圆，（且）经过两点和，则其方程为________． 5．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，过左焦点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为（    ） A．6 B． C． D．12 7．（25-26高二上·四川绵阳·期中）设点为椭圆的两个焦点，点P在此椭圆上，若，则的面积为（    ） A． B．2 C．1 D． 8．（25-26高二上·广东清远·期中）（多选）方程表示的曲线为，下列正确的命题是（   ） A．曲线不可能是圆； B．若，则曲线为椭圆； C．若曲线为双曲线，则或； D．若曲线表示焦点在轴上的椭圆，则． 题型2 椭圆的几何性质 (共 7 小题) 9．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高二上·陕西汉中·期中）若点是椭圆某条弦的中点，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·辽宁抚顺·期中）若圆与椭圆外切，则______． 12．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆方程为，则椭圆的离心率为________． 13．（25-26高二上·江苏苏州·期中）椭圆的离心率大小决定该椭圆的扁平程度，则下面四个椭圆中，最接近于圆的椭圆是（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 15．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过点. (1)求出椭圆 C 的标准方程及其离心率、准线方程. (2)求出与（1）中椭圆 C 共焦点且离心率等于的椭圆D的标准方程. 题型3 双曲线的定义与标准方程 (共 9 小题) 16．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则______________. 17．（25-26高二上·江苏南通·期中）双曲线上一点到右焦点的距离是，则下列结论正确的是（    ） A．到左焦点的距离为 B．到左焦点的距离为 C．到左焦点的距离不唯一 D．这样的点不存在 18．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为8，则__________． 19．（25-26高二上·河北·期中）对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线经过点，该双曲线的标准方程为___________． 20．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知为双曲线：的左焦点，，为右支上的两点.若，点在直线上，则的周长为______. 21．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知，一炮弹在某处爆炸，在处听到爆炸声的时间比在处早，设声速为340．则爆炸点所在曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高一下·北京·期中）已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）已知曲线的方程为（其中为参数），则（   ） A．若曲线表示圆，则 B．若曲线表示椭圆，则 C．若曲线表示双曲线，则 D．若曲线表示轴，则 24．（25-26高二上·广东·期中）已知，，动点满足，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)若点在上，且，求的面积. 题型4 双曲线的几何性质 (共 9 小题) 25．（25-26高二上·江苏扬州·期中）与双曲线：有相同焦点，且过点的双曲线的标准方程为________. 26．（25-26高三上·河北衡水·期中）记双曲线斜率为正的渐近线为，则虚轴的上端点到的距离为________． 27．（25-26高二上·广西桂林·期中）若双曲线的虚轴长为，则该双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·江苏扬州·期中）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高二下·广西南宁·期中）（多选）已知双曲线，则下列结论正确的是（    ） A．m的取值范围是 B．C的焦距与m的取值有关 C．存在实数m，使得点在C上 D．若C的离心率不小于2，则m的取值范围为 30．（26-27高二上·江苏·期中）已知、为双曲线（，）上关于坐标原点对称的两点，点为双曲线的右焦点，且，，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 32．（26-27高二上·河北保定·期中）（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．双曲线实轴长为3 B．双曲线虚轴长为 C．双曲线离心率为2 D．双曲线的两渐近线夹角的正切值为 33．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知双曲线的一条渐近线的方程为，若点在双曲线上，、分别是左、右焦点，若的面积为20，则下列判断正确的有（   ） A．点到轴的距离为 B． C．为钝角三角形 D． 题型5 抛物线的定义与标准方程 (共 6 小题) 34．（26-27高二上·江苏·期中）设抛物线：的焦点为，点在上，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 35．（25-26高二上·陕西榆林·期中）已知抛物线的焦点是，点在抛物线上，若，则（    ） A． B． C． D． 36．（25-26高三上·上海·期中）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则_______． 37．（25-26高二上·吉林长春·期中）若抛物线上一点到其焦点的距离为，则该抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知圆，直线，则与直线相切且与圆外切的圆的圆心的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·江苏徐州·期中）某数学爱好者在上海博物馆参观时，对一件清康熙款青花龙凤纹碗产生了兴趣.如图所示，该瓷碗水平置于桌面上，底座高1cm，碗口直径15cm，碗深7.5cm.若将碗身（不含底座）的轴截面轮廓近似看作抛物线，碗内有一根长度为10cm的木棒通过抛物线焦点，且两端紧贴碗的内壁.则木棒的中点离桌面的距离为__________cm. 题型6 抛物线的几何性质 (共 4 小题) 40．（23-24高二上·陕西汉中·期中）关于抛物线，下列说法正确的是（        ） A．开口向右 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为x轴 41．（25-26高二上·重庆·期中）已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线 上一点， 为坐标原点，若 . 且 ，则抛物线的方程为（    ） A． B． C． D． 42．（25-26高二下·上海·期中）抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 43．（24-25高二下·云南·期中）已知抛物线，其中，是过拋物线焦点的两条互相垂直的弦，直线的倾斜角为，当时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 提升·进阶突破 题型7 圆锥曲线中距离和差最值 (共 6 小题) 44．（25-26高二上·江苏·期中）已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最大值为（    ） A． B． C．5 D． 45．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知P是抛物线上的一个动点，Q是圆上的一个动点．则线段长度的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 46．（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为______. 47．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知点及抛物线上一动点，则的最小值是________． 48．（25-26高二上·辽宁·期中）已知动点P与两定点，连线的斜率之积为，记P的轨迹为曲线 (1)求点P的轨迹E的方程; (2)设点，点，求的最大值; 49．（25-26高二上·贵州·期中）已知动点与定点的距离和它到定直线的距离之比为，且的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知第一象限内的动点在上，点. （i）若点，求的最小值； （ii）若，求的面积. 题型8 圆锥曲线的离心率综合 (共 8 小题) 50．（26-27高二上·河北保定·期中）已知椭圆：的左、右焦点分别为，，过作直线与椭圆相交于、两点，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 51．（26-27高二上·四川·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 52．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 53．（24-25高二上·天津南开·期中）已知平行四边形ABCD内接于椭圆且AB，AD斜率之积的范围为则椭圆离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54．（25-26高二下·福建厦门·期中）已知是双曲线的右焦点，直线与双曲线交于，两点，其中在第一象限，，且，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 55．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）已知圆锥曲线的焦点为，若此曲线上存在点P，满足（其中为坐标原点），则这个曲线可能是（   ） A．离心率为的椭圆 B．离心率为的椭圆 C．离心率为2的双曲线 D．离心率为的双曲线 56．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若圆为双曲线的“伴随圆”，过的左焦点F与右支上一点Q，作直线l交“伴随圆”C于A，B，若，则的离心率为_________． 57．（25-26高二上·湖南邵阳·期中）已知双曲线的离心率为，点在上，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型9 直线与圆锥曲线的位置关系判定 (共 8 小题) 58．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线与椭圆相切，写出一条此直线l方程：_________． 59．（25-26高二下·上海浦东新·期中）直线与曲线的公共点的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 60．（25-26高二上·陕西榆林·期中）（多选）已知双曲线过点，则下列结论正确的是（   ） A． B．双曲线的离心率为 C．双曲线的渐近线方程为 D．直线与双曲线仅有一个交点 61．（25-26高二上·江苏宿迁·期中）（多选）已知圆，直线，为实数，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆有两个交点 C．圆心到直线的距离的最大值为 D．，分别是圆和椭圆上的动点，则的最大值为 62．（25-26高二上·上海·期中）若抛物线的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线的距离之和的最小值_______. 63．（25-26高二上·北京顺义·期中）已知椭圆（）长轴长为4，且椭圆C的离心率，其左右焦点分别为，.直线. (1)求椭圆C的方程； (2)当直线l与椭圆C有两个公共点时，求m的取值范围； (3)当时，直线l与椭圆C交于P，Q两点，求的面积. 64．（25-26高二上·陕西渭南·期中）已知直线与抛物线：（）交于，两点（为坐标原点）.的中点为，过点作轴的垂线，交于点，过点且与相切的直线交直线于点. (1)若，求的方程； (2)求证：点与点关于点对称. 65．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线的一条渐近线的倾斜角的正切值为，实轴长为． (1)求双曲线的方程； (2)直线与双曲线的左支交于两点，点与点关于轴对称． （i）求实数的取值范围； （ii）求证：直线过轴上一定点，并求出该定点的坐标. 题型10 圆锥曲线的弦长问题 (共 6 小题) 66．（26-27高二上·四川·期中）已知动圆分别与圆外切和圆内切，设动圆的圆心轨迹为，过点的直线垂直于轴交曲线于两点，则弦长等于______ 67．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，长轴长为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)若经过椭圆右焦点的直线与椭圆相交于两点，且的面积为，求直线的方程． 68．（26-27高二上·河南·期中）已知双曲线：（）的渐近线方程为. (1)求的值. (2)设为坐标原点，为的右焦点，过的直线与交于，两点. （ⅰ）若直线的斜率为，求； （ⅱ）若直线，的斜率之积为，求直线的方程. 69．（25-26高二上·山东济南·期中）已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为. (1)求双曲线的标准方程； (2)过的直线交双曲线于A，B两点，且，求的方程. 70．（25-26高二上·浙江杭州·期中）若抛物线E的顶点在原点，焦点在x轴上，开口向左，抛物线上一点M到其焦点的最小距离为，抛物线E与直线相交于A、B两点． (1)求抛物线E的方程； (2)求证：； (3)若，求实数k的值． 71．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知在平面直角坐标系中，为原点，抛物线的焦点为，A、B是抛物线上两个不同的点． (1)求抛物线的方程，并求其准线方程； (2)若直线斜率为1，且过点，求线段的长度． 题型11 圆锥曲线的中点弦问题 (共 6 小题) 72．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知点，直线与的斜率之积为．记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程，并指出曲线是什么曲线； (2)若是直线被曲线所截得的线段的中点，求直线的方程． 73．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆的焦距为4. (1)求椭圆的方程； (2)设点，直线过且与椭圆相交于，两点，若是线段的中点，求直线的方程. 74．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线过点，左右焦点分别为． (1)求双曲线的方程； (2)过双曲线的右焦点作斜率为1的直线l，l与双曲线交于A，B两点，求； (3)若是坐标原点，M，N是双曲线上不同的两点，且直线MN的斜率为常数，线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率． 75．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线过点，且右焦点为，直线与双曲线的右支交于两点. (1)求双曲线的方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若直线过，交轴于点，且，求证：为定值. 76．（25-26高二上·福建三明·期中）已知圆的圆心是抛物线的焦点. (1)求抛物线的方程； (2)若直线交抛物线于、两点，是否存在直线，使得点是弦的中点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 77．（25-26高二上·湖南长沙·期中）已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.直线与交于，两点，且点为线段的中点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若为坐标原点，求的面积. 题型12 圆锥曲线的向量问题 (共 6 小题) 78．（25-26高二上·浙江·期中）已知椭圆经过点，且离心率为，是右焦点，过焦点的直线交椭圆于，两点. (1)求椭圆的方程； (2)若，求直线的方程. 79．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期中）给定椭圆：，称圆心在原点，半径是的圆为椭圆的“准圆”．已知椭圆的一个焦点为，其短轴的一个端点到点的距离为． (1)求椭圆的方程； (2)若点，是椭圆的“准圆”与轴的两交点，是椭圆上的一个动点，求的取值范围． 80．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知双曲线的离心率是，焦距为6. (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线交于两点，且（为坐标原点），求的值. 81．（23-24高二上·湖北·期中）已知双曲线的渐近线方程为，且点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程． (2)过点的直线l与双曲线相交于A，B两点； ①若A，B两点分别位于双曲线的两支上，求直线l的斜率的取值范围； ②若，求此时直线l的方程． 82．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆的左、右两个顶点分别为．曲线是以两点为顶点，离心率为2的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点． (1)求曲线的方程； (2)设点的横坐标分别为，证明：； (3)设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围. 83．（25-26高二上·广东惠州·期中）已知动圆与圆内切，与圆外切. (1)求圆的圆心的轨迹方程； (2)曲线与轴交于，两点，是上除点和以外一点，试判断直线，的斜率之积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由； (3)已知直线恒过定点， 且与相交于，两点， 若，求的取值范围. 拔高·压轴破难 题型13 圆锥曲线的定点、定值、定直线问题 (共 12 小题) 84．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 85．（25-26高二上·浙江杭州·期中）如图，椭圆，，已知右顶点为，且它们的交点分别为，，，．点是上的动点，直线交于点，直线交于点，直线交于点，直线与直线交于点N．（上述各点均不重复） (1)求与的标准方程； (2)证明：； (3)是否存在点G，使直线与直线的斜率之积为定值，若存在，求点G的坐标． 86．（25-26高三上·河北·期中）已知椭圆C 直线与C 交于点 M，N，且线段的中点为 (1)求C 的离心率. (2)若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线与直线平行. （i）求直线与直线之间距离的取值范围； （ii）求证：直线，的交点在定直线上. 87．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为椭圆的左、右焦点，点P为该椭圆上一点． (1)若， ①求出外接圆半径R和内切圆半径r（用含a，b，c的式子表示）； ②若，且的外接圆面积是其内切圆面积的4倍，求该椭圆的方程； (2)在（1）求得的椭圆中，若P为一椭圆上动点，若延长交椭圆于点Q，椭圆的左右顶点分别为M，N（不与P，Q重合）记直线与的斜率分别为，证明为定值． 88．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知双曲线过点，离心率，左、右焦点分别为，过且斜率为的直线与双曲线的左支交于两点． (1)求双曲线的标准方程； (2)求直线的斜率的取值范围； (3)设，直线、直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证直线过定点． 89．（25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线的左右焦点分别为，其离心率为，焦点到渐近线的距离为，点是直线上一点，直线的斜率分别是，是坐标原点. (1)求双曲线的标准方程. (2)是否存在实数，使得为定值？若存在，求出及该定值.若不存在说明理由. (3)若直线与双曲线相交于、两点，求出点的坐标使得. 90．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知双曲线：，右焦点为，是它一条渐近线的一个方向向量. (1)求双曲线的标准方程； (2)若双曲线的右顶点为A，过焦点F的直线与的右支交于P，Q两点，直线，分别与直线交于M，N两点，记直线，的斜率分别为，，，的面积分别为，. （i）求证：为定值； （ii）求的取值范围. 91．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知双曲线：的实轴长为2，离心率为2，，分别为左，右顶点，，分别为左，右焦点． (1)求双曲线的方程； (2)若过的直线与双曲线右支交于，两点，直线与直线交于点． ①证明：点在定直线上； ②若，求直线的方程． 92．（25-26高二上·福建厦门·期中）在抛物线上任取一点，过点作x轴的垂线段，为垂足，当点在抛物线上运动时，为线段的中点．（当点经过抛物线与x轴的交点时，规定点M与点重合）． (1)求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线． (2)点在直线上，直线l绕点P旋转，试讨论直线和第（1）题所求曲线的公共点个数． 93．（25-26高二上·浙江·期中）已知抛物线上的一点到焦点的距离为1，直线交于两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)为坐标原点，已知： （i）作垂足为，则是否存在定点，使为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （ii）若在处的切线恰好平分直线与的夹角，求的方程. 94．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知抛物线，过点的直线与抛物线有两个不同的交点，且直线交轴于，直线交轴于. (1)求直线的斜率的取值范围； (2)若为原点，，试探究是否为定值，并说明理由. 95．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴、轴分别交于点，，记动点的轨迹为. (1)求曲线的方程； (2)过点作直线交曲线于，两点，曲线在，两点处的切线交于点. （i）求证：在定直线上： （ii）过点作斜率和为常数的两直线，和曲线相交，交点分别为，和，，弦的中点为，的中点为，若直线过定点，求定点坐标及的取值范围. 题型14 圆锥曲线的范围与最值问题 (共 7 小题) 96．（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知椭圆的离心率为，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)点为坐标原点，是椭圆上的两个动点，且为垂足. （i）证明：点的轨迹为圆，并求该圆的方程； （ii）记点的轨迹为圆，对上任意一点，是否存在以为顶点，与外切且与内接的平行四边形？若存在，求出该平行四边形的面积的取值范围；若不存在，请说明理由. 97．（26-27高二上·四川·期中）已知圆和圆的半径分别为1和2，其圆心均为坐标原点，过圆上任意一点作轴的垂线，垂足为，连接，交圆于点，再过点作轴的垂线交于点（当为圆与轴的交点时，规定点与点重合）. (1)求动点的轨迹的方程； (2)求动点到直线的距离的最大值； (3)设轨迹与轴的正半轴交点为，又为轴上不同于轨迹与轴的交点的两点，且，直线，分别与轨迹交于点（异于点），又，垂足为，求的最小值. 98．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知双曲线左、右顶点分别为、，过点的直线交双曲线于、两点. (1)若离心率时，求的值； (2)若，过点且斜率为的直线与双曲线只有一个交点，求的值； (3)连接并延长交双曲线于点，若，求的取值范围. 99．（24-25高二上·江苏徐州·期中）已知圆和定点为圆上的任意一点，线段PA的垂直平分线与直线PC交于点，设点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若是曲线上的一点，过的直线与直线分别交于S，T两点，且为线段ST的中点． ①求证：直线l与曲线有且只有一个公共点； ②求的最小值（为坐标原点）． 100．（24-25高二上·上海·期中）已知焦点为的抛物线上存在不同的两点，（异于原点）． (1)若且，求直线的方程； (2)若，求线段的最小值； (3)若点，，三点共线，求的取值范围． 101．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线轴），直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线. (1)圆是直线族的包络曲线，求满足的关系式； (2)若点不在直线族的任意一条直线上，求的取值范围及直线族的包络曲线的方程； (3)在（2）的条件下，过直线上的动点作曲线的两条切线，切点分别为，求原点到直线的距离的最大值. 102．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知动圆过定点，且截轴所得的弦长为4. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)过点的直线交的轨迹于两点. （ⅰ）若点，求的最小值； （ⅱ）为在轴上的投影，连接与分别交抛物线于，问：直线是否过定点，若存在，求出该定点；若不存在，请说明理由. 题型15 轨迹方程与深度交汇 (共 5 小题) 103．（24-25高二下·广东深圳·期中）设为坐标原点，当点在曲线上运动时，点满足，记的轨迹为曲线． (1)求的方程； (2)已知，和是上相异的两点，分别记直线、的斜率为、，若，证明：直线过定点． 104．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知曲线上的动点满足点与定点的距离和到定直线：的距离之比是常数.圆：.点为一动点.    (1)求曲线的方程； (2)过点作曲线的两条切线，切点分别为两点.证明：直线过定点：（参考公式：若为椭圆上的点，则其在处的切线方程为.） (3)若直线与圆相切于点，且交曲线于两点.证明：为定值. 105．（25-26高二上·浙江·期中）设椭圆，过外一点作的两条切线，斜率分别为．若满足，则称点的轨迹为的-相关曲线．特别地，当时，的轨迹为一个圆，且满足方程，这样的圆被称作为蒙日圆．（注：为上任一点，则处的切线方程：）． (1)设椭圆与其-相关曲线，点分别为曲线上点，记，用含的式子表示（直接写出结果）； (2)设椭圆，其相关曲线，求； (3)设椭圆与其相关曲线，设与在第一象限的交点为，过分别作与的切线，满足．设的左、右焦点分别为，满足，求的值． 106．（25-26高二上·山西·期中）古希腊数学家帕普斯（Pappus  of  Alexandria）在《数学汇编》中，清晰地阐述了椭圆的“焦点一准线”定义：平面内到定点的距离与到定直线：的距离之比为常数的动点轨迹为椭圆，其标准方程为，其中，点F叫做右焦点，直线叫做右准线.已知椭圆：的一个焦点为，一条准线为：.点M是椭圆的右顶点，将射线绕点逆时针旋转后得到的射线与椭圆相交于点A. (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，证明：； (3)已知当时，（2）中的结论依然成立.若直线与椭圆的另一个公共点为B，经过点F且与垂直的直线交椭圆于两点C，D，求四边形面积的取值范围. 107．（25-26高二上·山东济南·期中）法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的定义：给定一点和一条直线，将直线称为点关于椭圆的极线.已知点关于椭圆的极线为直线. (1)求的方程； (2)若为上任意一点. ①过点作椭圆的割线交椭圆于A，B两点，记PQ，QA，QB所在直线的斜率依次为，求证：. ②过点作直线和椭圆相交于E，F两点，分别连接PE，PF交于点M，N，记EF，MN，PQ和轴的交点依次为，求证：为线段的中点. / 学科网（北京）股份有限公司 $