精品解析：贵州毕节市金沙县实验高级中学2026-2027学年高二上学期第一次素养监测数学试题

金沙县实验高级中学高二年级10月素养训练参考答案 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用交集的定义可求. 【详解】由题设有， 故选：B . 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果. 【详解】因为，故，故 故选：C. 3. 已知函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，应代入， 得. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，所以． 5. 在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点．若，，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是平行四边形，所以，从而． 又为的中点，所以． 于是． 6. 已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据侧面积公式以及弧长公式即可求解母线和半径长，进而可由勾股定理求解高，由体积公式即可求解. 【详解】设该圆锥的母线长为，底面圆的半径为， 由已知条件可得：，解得 故圆锥的高，所以该圆锥的体积为. 故选：B 7. 已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期公式求出，得到函数，由求出，结合正弦函数的图像得到最小值. 【详解】 ，由，得， 即，当时， ， 画出图象，如图，由图可知，在上单调递减， 所以，当时，． 故选： 8. 已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是偶函数推得的图象关于直线对称，利用函数的对称性与单调性,结合题设条件求解抽象不等式即可. 【详解】因为是偶函数，所以，即的图象关于直线对称． 又在上单调递减，且，则在上单调递增，且， 故等价于．所以． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，因平行于同一平面的两条直线可能相交、平行或异面，故A错误； 对于B，因为垂直于同一平面的两条直线平行，故B正确； 对于C，因为垂直于同一直线的两个平面平行，故C正确； 对于D，因为若，且满足，为平面外的直线，则可得，，故D错误. 10. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若A与B互斥，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B互斥 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用概率的加法公式，结合互斥事件、相互独立事件的概率性质，分别代入公式计算并判断每个选项的正误． 【详解】对于A，这是概率的加法公式，对任意事件A，B都成立，A正确； 对于B，若A与B互斥，则，所以，B正确； 对于C，若A与B相互独立，则，C正确； 对于D，只说明，概率为不代表事件是空集（存在零概率非空事件），D错误． 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点M在线段上 B. 点M到平面的距离是定值 C. 点M到点的距离的最小值为1 D. 直线BM与平面ABCD所成角的正切值的最小值为1 【答案】AB 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，根据坐标关系判断即可；对于B，根据点到平面的向量公式判断即可；对于C，根据点到平面的向量公式计算即可；对于D，根据线面角的向量公式计算即可. 【详解】建立空间直角坐标系，以点A为原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴．则正方体各点坐标为：，，，，，，，． 因为点M在底面内，故可设，其中． 由，向量，， 所以， 解得．因此点M的轨迹是顶面上的线段． A选项：由且，点M的轨迹正是线段，故A正确． B选项法1：平面经过点，，．设其法向量为， 则取，得． 点，则． 由点到平面的距离公式（即向量在法向量方向上的投影的绝对值），． 又由得，所以，为定值．故B正确． B选项法2：平面经过点，，．设其法向量为， 则，取，得，平面方程为． 点到平面的距离，为定值．故B正确． C选项：点到线段（方程，）的距离， 即点到直线的距离，为， 所以点M到点的距离的最小值为，不是1，故C错误． D选项：直线BM的方向向量为，平面ABCD的法向量为． 设直线BM与平面ABCD所成角为，则． 由，得，所以． 因为，所以，于是． 当时，，取得最小值，不是1，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间向量坐标的加减和数乘运算法则直接计算即可. 【详解】由题. 故答案为：. 13. 从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 【答案】## 【解析】 【分析】先列举出从个数中任取两个不同数的全部基本事件，再找出两数同奇或同偶（和为偶数）的事件个数，由古典概型公式求出概率． 【详解】从中随机取两个不同的数有，，，，，，，，，，共种情况， 其中满足和为偶数的有，，，，共种情况， 所以所求的概率为． 14. 已知三棱锥中，平面ABC，，在中，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理求出外接圆的半径，结合外接球半径为R与球心到平面ABC的距离建立方程求解即可. 【详解】在中，由正弦定理，， 其中r为外接圆的半径．代入，， 得， 所以． 因为平面ABC， 所以三棱锥的外接球球心在过外心且垂直于平面ABC的直线上， 且球心到平面ABC的距离为． 设外接球半径为R，则， 所以． 因此外接球的表面积． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人命中目标的概率都是，计算： （1）两人都命中目标的概率； （2）至少有一人命中目标的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）判定事件独立性，根据相互独立事件的概率计算； （2）根据对立事件的概率计算. 【小问1详解】 设“甲射击一次命中目标”为事件，“乙射击一次命中目标”为事件， 两人都命中目标的概率为. 【小问2详解】 两人都未命中目标的概率为. 至少有一人命中目标的概率. 16. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，且． （1）求的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）以为基底，表示出，利用向量的数量积求向量的模即可. （2）利用空间向量求异面直线所成的角的余弦. 【小问1详解】 设，，．则，，， ，． 因为，所以 ． 故． 【小问2详解】 ，． ． 又，， ，． 设异面直线与AC所成角为，则． 所以异面直线与AC所成角的余弦值为． 17. 已知分别是内角的对边，． （1）若，求； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）由，结合正弦定理可得：，再利用余弦定理即可得出； （2）利用（1）及勾股定理可得，再利用三角形面积计算公式即可得出. 【小问1详解】 由题设及正弦定理可得 又，可得 由余弦定理可得 【小问2详解】 由（1）知 因为，由勾股定理得， 故，得 所以的面积为. 18. 四棱锥中，平面平面，，，，，O是AB的中点 （1）求证：CD平面POC （2）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值 （3）在侧棱PC上是否存在点M，使得平面POD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 【答案】（1）证明:因为，O是AB的中点，故， 而平面平面，平面，平面平面， 故平面，而平面，故. 在中，，故，同理. 在直角梯形中，， 故即，而， 故平面. （2） （3）在侧棱PC上存在点M，使得平面POD，此时. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直可得平面，从而可得，又可证，从而可证平面. （2）可建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量后再求出它们的夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值. （3）设，则可求的坐标，再求出平面的法向量后可求的值，从而可得的值. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 在平面中，过作，则， 而由（1）可得平面，而平面，故， 故可建立如图所示的内角直角坐标系，其中轴在上， 则 故， 设平面的法向量为， 则 ，故，取，则， 故， 设平面的法向量为，而， 故，则，取，故，故. 故，而二面角C-PD-O的平面角为锐角， 故二面角C-PD-O的平面角的余弦值为. 【小问3详解】 设，则，故， 故. 若平面POD，则，故即， 故在侧棱PC上存在点M，使得平面POD，此时. 19. 若是的重心，则对平面内任意点，有．类似地，在四面体中，若点满足对任意点，有，则称为四面体的重心．设为的重心，点，分别在棱，上，且，，，为线段的中点． （1）证明：，，三点共线，并求； （2）用和，，，表示，并证明点随变化的轨迹是一条线段； （3）当时，求四面体与四面体的体积比． 【答案】（1）证明：由重心定义，． 因为为的重心，所以． 于是 又因为， 代入得． 所以，即A，G，三点共线， 且，从而. （2）； 证明：令为中点，为中点，则，， 于是． 当时，始终是线段上的点，所以点的轨迹是线段． 当时，． 即点M与四面体的重心G重合． 其几何意义为：当时，，分别为，的中点，线段是连接对棱中点的线段，其中点恰好是四面体的重心． （3）. 【解析】 【分析】(1)选取作为向量起点，写出与的向量表达式，证明两个向量共线，结合有公共点，得到三点共线，再由向量倍数关系求出线段比值. (2)利用向量线性运算表示，由中点向量公式得到；将表达式整理为关于参数的一次式，由，确定点的轨迹为线段. (3)利用空间向量与几何体高的比例关系，底面相同，体积之比等于高之比，求出两个四面体的体积比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得． 由，得． 因为为的中点，所以． 证明略 【小问3详解】 当时，设为点到平面的距离. 因为，， 且，，均在平面内，所以在平面内，故． 又在上，且，因此． 因为为的中点，所以． 四面体与四面体共底面，故． 所以体积比为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 金沙县实验高级中学高二年级10月素养训练参考答案 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 在四棱锥中，底面ABCD是平行四边形，E为PD的中点．若，，，则用基底表示向量为（ ） A. B. C. D. 6. 已知某圆锥的侧面积为，该圆锥侧面的展开图是弧长为的扇形，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的最小正周期为π，则f（x）在的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 8. 已知函数的定义域为R，为偶函数，在上单调递减，且．则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 已知事件，且，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若A与B互斥，则 C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B互斥 11. 如图，在棱长为2的正方体中，点M是底面内的一点（包括边界），且，则下列说法正确的是（ ） A. 点M在线段上 B. 点M到平面的距离是定值 C. 点M到点的距离的最小值为1 D. 直线BM与平面ABCD所成角的正切值的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知空间向量，，则_________. 13. 从中随机取两个不同的数，则这两个数之和为偶数的概率为____． 14. 已知三棱锥中，平面ABC，，在中，，，则三棱锥的外接球的表面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人命中目标的概率都是，计算： （1）两人都命中目标的概率； （2）至少有一人命中目标的概率． 16. 如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱长为4，且． （1）求的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知分别是内角的对边，． （1）若，求； （2）若，且，求的面积． 18. 四棱锥中，平面平面，，，，，O是AB的中点 （1）求证：CD平面POC （2）求二面角C-PD-O的平面角的余弦值 （3）在侧棱PC上是否存在点M，使得平面POD，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 19. 若是的重心，则对平面内任意点，有．类似地，在四面体中，若点满足对任意点，有，则称为四面体的重心．设为的重心，点，分别在棱，上，且，，，为线段的中点． （1）证明：，，三点共线，并求； （2）用和，，，表示，并证明点随变化的轨迹是一条线段； （3）当时，求四面体与四面体的体积比． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $