精品解析：贵州省毕节市金沙县实验高级中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试卷

高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 2. 若点到直线l：的距离为，则（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 或15 3. 已知点M是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线l经过，两点，则（ ） A. 直线l的一个点斜式为 B. 直线l的一个两点式为 C. 直线l的倾斜角为锐角 D. 直线l的一个方向向量为 5. 已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在空间四边形中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 11. 空间内有三点，，，则（ ） A. B. 的一个共线向量为 C. 点P到直线的距离为 D. 点P到直线的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某直线的一般式为，则此直线的倾斜角为______. 13. 已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为______，边上的高所在直线的斜截式为______. 14. 已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线． （1）若，求，之间的距离； （2）若，求，及轴围成的三角形的面积． 16. 如图，在四棱锥中，． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 在三棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 18. （1）若直线沿轴向右平移5个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求的斜率； （2）一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程. 19. 在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2. （1）当二面角为时，判断与平面是否平行； （2）探究当二面角为时，平面与平面是否垂直； （3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二联考数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动用橡皮擦干净后、再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一章至第二章2.3. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的斜率为，求解即可. 【详解】由题意，直线的斜率为, 故选：C. 2. 若点到直线l：的距离为，则（ ） A. 5 B. C. 5或 D. 或15 【答案】C 【解析】 【分析】由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得：点P到直线l的距离，解得或． 故选：C. 3. 已知点M是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由投影得点M的坐标，再由向量模的坐标公式可得所求. 【详解】由题意得，，则. 故选：B. 4. 已知直线l经过，两点，则（ ） A. 直线l的一个点斜式为 B. 直线l的一个两点式为 C. 直线l的倾斜角为锐角 D. 直线l的一个方向向量为 【答案】A 【解析】 【分析】由直线方程、斜率逐项判断即可. 【详解】因为直线l经过，两点，所以两点式为，故B错误； 由题意可得直线斜率，可知倾斜角为钝角，故C错； 一个方向向量为，可判断D错误； 所以点斜式方程为，A正确； 故选:A 5. 已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角与斜率的变化关系，可得答案. 【详解】设直线l的倾斜角为，， 由题意，，则， 所以. 故选：A. 6. 在空间四边形中，，，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助空间向量的线性运算法则计算即可. 【详解】 . 故选：B. 7. 已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量的定义，结合空间向量公式计算可求结果. 【详解】因为向量，， 所以，， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：C. 8. 在直四棱柱中，底面ABCD为等腰梯形，，为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用向量方法求点面距离即可. 【详解】底面ABCD为等腰梯形，，， 如图，在底面ABCD中，过点作，垂足为， 以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则， ， 设平面的法向量为， 则，所以，两式相减可得， 令，解得， 则平面的一个法向量为， 则点到平面的距离为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】AD项，假设共面，由空间向量基本定理建立方程组，由方程组无解推出矛盾则可得不共面结论；BC项，写出其中一个向量用另外两个向量表达的关系式，由平面向量基本定理可得共面结论. 【详解】A项，假设共面，则存在实数，使， 即， 由构成空间的一个基底，则，方程组无解. 故假设错误，故不共面，故A正确； B项，由可知，共面，故B错误； C项，由可知，共面，故C错误； D项，假设共面，则存在实数，使， 即， 由构成空间的一个基底，则，方程组无解. 故假设错误，故不共面，故D正确； 故选：AD. 10. 已知直线经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线的方程可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】分直线过原点和不过原点讨论求解即可. 【详解】若直线过原点，则在两坐标轴上的截距为0，满足题意， 此时直线的方程为，即； 若直线不过原点，设直线方程为， 则， 若，此时直线方程为； 若，此时直线方程为. 综上所述，直线的方程为或或. 故选：ABD. 11. 空间内有三点，，，则（ ） A. B. 的一个共线向量为 C. 点P到直线的距离为 D. 点P到直线的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由空间向量的坐标表示，及点到线的距离向量表示逐项判断即可. 【详解】由，，，可得： ,, 所以，A正确； 的一个共线向量为，B正确； ，所以 所以，则， 所以点P到直线的距离为，故C正确，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知某直线的一般式为，则此直线的倾斜角为______. 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程确定斜率，即可求解. 【详解】由直线方程可得：. 所以直线的倾斜角为. 故答案为：. 13. 已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为______，边上的高所在直线的斜截式为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出的中点坐标，进而求得边上的中线所在直线的斜率，再根据点斜式写出方程即可求解；先求得直线的斜率进而得到边上的高所在直线的斜率，进而再根据点斜式写出方程即可求解. 【详解】由题意，的中点坐标为，即， 则边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线的方程为：，即. 直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的斜率为， 则边上的高所在直线的方程为：，即. 故答案为：；. 14. 已知点，直线：，为直线上一动点，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出关于的对称点为，进而得到的最小值为 【详解】设关于的对称点为， 则解得，即． 因为， 所以的最小值为． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线，直线． （1）若，求，之间的距离； （2）若，求，及轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由求出的值，再由平行线间的距离求解即可. （2）由求出的值，再求出直线，的交点，及，与x轴的交点，由三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 整理得，解得或． 当时，，，，重合； 当时，，，符合题意．故， 则，之间的距离为． 【小问2详解】 因为，所以，解得． ，的方程分别为，． 联立方程组，得． 因为，与轴的交点分别为，， 所以，及轴围成的三角形的面积为． 16. 如图，在四棱锥中，． （1）证明：平面． （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：取的中点，连接．因为，所以． 因为，所以四边形是平行四边形， 所以． 因为，所以，所以． 因为，所以． 因为平面，且，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）在梯形中，取中点，利用平行四边形以及勾股定理证明线线垂直，结合线面垂直判定定理，可得答案； （2）由题意，建立空间直角坐标系，取直线的方向向量且计算平面的法向量，利用线面夹角的公式，可得答案. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 易证两两垂直，则以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 由题中数据可得， 则． 设平面的法向量为， 则，令，得． 设直线与平面所成的角为， 则． 故直线与平面所成角的正弦值为． 17. 在三棱柱中，平面平面，，，，. （1）证明：平面； （2）若异面直线所成角的余弦值为，求BC. 【答案】（1）证明: 因为平面平面，交线为， ，平面， 所以⊥平面， 因为平面，所以⊥， 因为，，平面， 所以平面， 又，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由面面垂直得到线面垂直，进而得到⊥，结合得到平面，再由平行关系得到证明； （2）作出辅助线，证明出⊥平面，建立空间直角坐标系，设，写出各点坐标，利用异面直角夹角的余弦值列出方程，求出，得到答案. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 取的中点，连接，因为，所以⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 取的中点，连接，则， 因为，所以⊥， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，所以，故， 设，则，设， 由得， 解得，故， ， 因为异面直线所成角的余弦值为， 所以， 解得，故. 18. （1）若直线沿轴向右平移5个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，求的斜率； （2）一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）设直线方程为，根据平移的应用得到平移后的直线方程为，由两直线重合可得，化简计算即可. （2）由两点坐标求入射光线所在直线的斜率，再由斜截式可得直线方程；再由入射与反射光线关于轴对称，则斜率互为相反数，求出斜率再由斜截式可求反射光线所在直线方程. 【详解】（1）由题意，直线存在斜率，可设直线方程为， 直线沿x轴向右平移5个单位，沿y轴向上平移2个单位后， 所得直线的方程为： 化简得. 因为平移后与原直线重合，则. 解得，即直线的斜率为. （2）由两点坐标，可得直线的斜率为， 所以入射光线所在直线方程为，即. 因为反射光线与入射光线所在直线关于轴对称， 所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数， 所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线方程为， 即. 19. 在如图1所示的图形中，四边形为菱形，和均为直角三角形，，现沿将和进行翻折，使（在平面同侧），如图2. （1）当二面角为时，判断与平面是否平行； （2）探究当二面角为时，平面与平面是否垂直； （3）在（2）的条件下，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）不与平面平行 （2）平面不与平面垂直 （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，转化为是否为0即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量为，平面的法向量为，转化为两个向量数量积是否为0即可； （3）求出平面与平面的法向量，进而求出向量夹角余弦值再转化即可. 【小问1详解】 若二面角为，则平面平面， 因为平面平面，且，所以平面， 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量为，因为， 所以令，得， 因为，所以， 所以不与平面平行. 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 因为，所以二面角的平面角为，即， 如图，以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为，因为， 所以令，得， 设平面的法向量为， 因为， 所以令，得， 因为，所以不垂直，所以平面不与平面垂直. 【小问3详解】 在（2）中的坐标系中，设平面的法向量为， 因为， 所以令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $