第四章 指数函数与对数函数（复习课件）数学人教A版必修第一册

第四章 单元复习课件 人教A版（2019）·高一数学必修一 指数函数与对数函数 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 01 理解指数函数y=ax(a>0且a≠ 1)和对数函数y=logax(a>0且a≠ 1)的定义、定义域、值域、单调性和过定点等性质；掌握指数与对数的互化公式ax=N⇔logaN=x及对数运算性质；能绘制函数图像并识别其变化规律。 02 过程与方法目标 经历从生活实例中抽象出函数模型的过程，体会数形结合与转化化归思想；通过观察图像、对比分析，归纳出函数性质，提升逻辑推理和直观想象能力。 情感与价值目标  感受指数、对数函数在生物学、经济学、物理学等领域的应用价值，激发学习兴趣，培养严谨求实的科学态度和合作探究精神。 知识与技能目标 03 3 单元重点难点 重 点 难 点 重点 指数函数底数a>0且a≠1的逻辑必然性理解；指数函数与对数函数互为反函数（图像关于直线y=x对称）的本质；复合函数定义域与值域的求解；将实际问题转化为数学模型并识别参数含义。 指数函数和对数函数的概念、图像与性质；指数与对数的互化关系及应用。 4 知识图谱 5 考点串讲 ——1：根式与分数指数幂 1、根式： (1)n次方根的定义：一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. ①n为奇数时，正数a的奇次方根有一个，是正数，记为；负数a的奇次方根有一个，是负数，记为；零的奇次方根为零，记为． ②n为偶数时，正数a的偶次方根有两个，记为±；负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，记为． (2)根式的定义：式子叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数 6 考点串讲 ——1：根式与分数指数幂 2、两个等式 (2) (1)当n>1且n∈N*时， 3、分数指数幂： 为避免讨论，我们约定a>0，n>1，n,m∈N*，且为既约分数，分数指数幂可如下定义： 规定: 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义. 考点串讲 ——1：根式与分数指数幂 5、实数指数幂的运算性质： (a>0,b>0，r,s∈R) (1) aras=ar+s (2) (ar)s=ars (3) (ab)r=arbr 4、一般地,无理数指数幂aα(a>0,α为无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂． 二级结论： ①, ②, ③, ④, ⑤. 考点串讲 ——2：指数函数 1、定义： 一般地,函数y＝ax(a>0,且a≠1)叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域是R. 2、指数函数y=ax(a>0,且a≠1)解析式的结构特征： ①ax的系数为1； ②底数a是大于0且不等于1的常数. 9 考点串讲 ——2：指数函数 3、指数函数的图像和性质 图 象 性 质 R ( 0 , + ∞) 过定点 ( 0 , 1 )，即x=0时，y=1 当x＞0时，y＞1；当x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时， 0＜y＜1；当x＜0时， y＞1 在R上是减函数 在R上是增函数 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 (1)定义域 (2)值域 (3)定点 (5)函数值的变化 (4)单调性 10 4、底数对指数函数图象的影响 指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的底数对图象的影响可以从不同角度来记忆理解. (1)无论是a>1还是0<a<1，在第一象限内，自下而上，图象越高的指数函数的底数越大，即“底大图高”. 考点串讲 ——2：指数函数 (2)左右比较：在直线y=1的上面，a>1时，a越大，图象越靠近y轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近y轴.  (3)上下比较：比较图象与直线x=1的交点，交点的纵坐标越大，对应的指数函数的底数越大. x O y 1 y = b x y = c x y = d x y = a x 底数逐渐增大 am>bm>cm>dm(特别地，m=1时，a>b>c>d) m y=1 5、比较指数幂的大小的方法 比较指数幂的大小的方法（分三种情况）： (1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断； (2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象变化规律来判断； (3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较，一般引入中间量“1”. 考点串讲 ——2：指数函数 6、指数方程(不等式)的求解思路 指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化求解. 12 考点串讲 ——3：对数 1、对数定义： 一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 2、对数的性质： ①loga1=0，logaa=1(a>0,且a≠1)，负数和0没有对数. ②对数恒等式：alogaN=N(N>0,a>0,且a≠1). 3、对数与指数的关系： 根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系：当a>0，且a≠1时，ax=N ⟺ x=logaN. 用图表示为： 13 考点串讲 ——3：对数 5、对数运算性质 如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么： (1)loga(M·N)＝logaM＋logaN； (2)loga =logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 6、换底公式 logab＝(a>0,且a≠1；c>0,且c≠1；b>0)． 4、常用对数与自然对数 (1)以10为底的对数叫做常用对数，log10N简记作lg N (2)以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数(e≈2.71828)，logeN简记作ln N 14 考点串讲 ——3：对数 二级结论： (1)logaN＝(N>0,且N≠1；a>0,且a≠1)； (2)＝logab(a>0,且a≠1,b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0,b>0,c>0,d>0,且a≠1,b≠1,c≠1)． 15 考点串讲 ——4：对数函数 1、对数函数的概念： 一般地,函数y＝logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,＋∞)． 2、对数函数的图象和性质 函数 y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) 底数 a ＞ 1 0 ＜ a ＜ 1 图象 定义域 奇偶性 值域 定点 单调性 函数值 符号 1 x y o 1 x y o 非奇非偶函数 ( 0 , + ∞ ) R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数 当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0 当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0 16 考点串讲 ——4：对数函数 3、底数a对对数函数图象的影响 (1)底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”. 当a>1时，对数函数的图象“上升”; 当0<a<1时,对数函数的图象“下降”. (2)函数y=logax与y= (a>0,且a≠1)的图象关于x轴对称. (3)底数的大小决定了图象相对位置的高低： 无论是a>1还是0<a<1,在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. O x y y=logdx ①上下比较：在直线x=1的右侧,a>1时,a越大,图象越靠近x轴;0<a<1时,a越小,图象越靠近x轴; ②左右比较：比较图象与直线y=1的交点,交点的横坐标越大,对应的对数函数的底数越大. 1 x=1 y=logax y=logbx y=logcx 底数增大 底数增大 y=1 a b c d b>a>1>d>c>0 17 考点串讲 ——5：反函数 1、反函数定义： 设A、B分别为函数y=f(x)的定义域和值域，如果由函数y=f(x)所解得的x=φ(y)也是一个函数（即对任意的一个y∈B，都有唯一的x∈A与之对应），那么就称函数x=φ(y)是函数y=f(x)的反函数，记作x=f -1(y)，在x=f -1(y)中，y是自变量，x是y的函数，习惯上改写成y=f -1(x)（x∈B,y∈A）的形式．函数x=f -1(y)（y∈B,x∈A）与函数y=f -1(x)（x∈B,y∈A）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是B，对应法则都为f -1． 由定义可以看出，函数y=f(x)的定义域A正好是它的反函数y=f -1(x)的值域；函数y=f(x)的值域B正好是它的反函数y=f -1(x)的定义域． 2、一般地，指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数，它们的定义域与值域正好互换 18 考点串讲 ——5：反函数 3、反函数的性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称． （2）若函数y=f(x)图象上有一点(a,b)，则(b,a)必在其反函数图象上;反之，若(b,a)在反函数图象上，则(a,b)必在原函数图象上． y=ax (a>1) y=logax(a>1) x y y=x O x y y=x O y=ax (0<a<1) y=logax(0<a<1) 19 考点串讲 ——6：函数的零点 1、函数的零点 (1)函数零点的概念：对于一般函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值. (2)函数的零点与方程的解的关系 函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横坐标.所以方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)有零点⇔函数y=f(x)的图象与x轴有公共点. (3)几种常见函数的零点 ①二次函数的零点 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根也称为函数y=ax2+bx+c(a≠0)的零点. ②正比例函数y=kx(k≠0)仅有一个零点0. 零点不是点 20 考点串讲 ——6：函数的零点 ③一次函数y=kx+b(k≠0)仅有一个零点. ④反比例函数y=(k≠0)没有零点. ⑤指数函数y=ax(a>0,且a≠1)没有零点. ⑥对数函数y=logax(a>0,且a≠1)仅有一个零点1. ⑦幂函数y=xα，当α>0时，仅有一个零点0；当α≤0时，没有零点. 2、函数零点存在定理 (1)如果函数y＝f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y＝f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的解． 21 考点串讲 ——6：函数的零点 (2)函数零点存在定理的几何意义： 在闭区间[a,b]上有连续不断的曲线y=f(x)，且曲线的起始点(a,f(a))与终点(b,f(b))分别在x轴的两侧，则连续曲线与x轴至少有一个交点. 3、确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 22 考点串讲 ——7：二分法 思考 1．二分法 (1)二分法的定义： 对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法. (2)区间的中点：一般地，我们把x= 称为区间(a,b)的中点. (3)用二分法求方程的近似解： 用二分法求方程的近似解：先找一个包含根的区间，然后多次将包含根的区间一分为二，直至根落在要求的区间内，即用区间中点将区间(a,b)一分为二，从而得到两个区间(a,)和(,b)，其中一个区间一定包含根，如若f(a)<0，f()>0， 23 考点串讲 ——7：二分法 我们便知区间(a, )包含根，如图，不断重复上述步骤，根最终落在要求的区间内. (4)用二分法求函数零点的近似值的步骤： 给定精确度ε，用二分法求函数y=f(x)零点x0的近似值的一般步骤如下： 1.确定零点x0的初始区间[a,b]，验证f(a)f(b)<0. 2.求区间(a,b)的中点c. 3.计算f(c)，并进一步确定零点所在的区间： (1)若f(c)=0(此时x0=c)，则c就是函数的零点； (2)若f(a)f(c)<0(此时x0∈(a,c))，则令b=c； (3)若f(c)f(b)<0(此时x0∈(c,b))，则令a=c. 4.判断是否达到精确度ε：若|a-b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复步骤2~4. 以上步骤可简化为：定区间,找中点,中值计算两边看；同号去,异号算,零点落在异号间；周而复始怎么办？精确度上来判断． 24 考点串讲 ——8：函数模型的应用 1.指数函数、对数函数模型 (1)指数型函数模型：f(x)=bax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). (2)对数型函数模型：f(x)=blogax+c(a,b,c为常数，b≠0，a>0且a≠1). 2.实际问题中函数建模的基本步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型. (2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型. (3)求解：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解. (4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答. 25 考点串讲 ——8：函数模型的应用 3.拟合函数模型的建立 (1)函数拟合：根据收集的数据或给出的数据画出散点图，然后选择函数模型并求出函数解析式，再进行拟合、比较，从而选出最恰当的函数模型的过程，称为函数拟合(或数据拟合). (2)函数拟合与预测的一般步骤 ①绘图：通过原始数据、表格，绘出散点图； ②连线：通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线； ③列式：求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式； ④判定：根据拟合误差要求判断，选择最佳的拟合函数； ⑤预测：利用选取的拟合函数进行预测； ⑥结论：利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据. 考点串讲 ——8：函数模型的应用 4.三种函数模型性质比较 例1．(2025-2026山东青岛期中)化为分数指数幂是(　 　) A． B． C． D． 题型全解 题型01 根式与分数指数幂的互化 【解析】根据指数幂的运算性质，可得 故选：D D 28 题型全解 题型01 根式与分数指数幂的互化 反思归纳 1.根指数化为分数指数的分母，被开方数（式）的指数化为分数指数的分子。 2.在具体计算时，如果底数相同，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题。 【变式1-1】(2025-2026江苏南通期中)设a>0， 的分数指数幂形式为(　 　) A． B． C． D． 题型全解 题型01 根式与分数指数幂的互化 【解析】当a>0时，有. 故选：B B 练习1-1 30 【变式1-2】若a=27，b=16，则 题型全解 题型01 根式与分数指数幂的互化 【解析】，因为a=27，b=16，所以原式= 6 练习1-2 31 题型全解 题型02 指数、对数的运算 例2．计算下列各式的值． ； (2)2lg 5＋lg 4－eln 2－log34×log43． 【解析】(1)原式＝＝1－2＋． (2)原式＝lg 25＋lg 4－2－log34×＝lg 100－2－1＝－1． 32 题型全解 题型02 指数、对数的运算 反思归纳 (1)指数与对数的运算应遵循的原则 ①指数式的运算:注意化简顺序,一般负指数先转化成正指数,根式化为分数指数幂运算.另外,若出现分式,则要注意对分子、分母因式分解以达到约分的目的. ②对数式的运算:注意公式应用过程中范围的变化,前后要等价,一般本着真数化简的原则进行. (2)底数相同的对数式化简的两种基本方法 ①“收”:将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数. ②“拆”:将积(商)的对数拆成对数的和(差). 【变式2-1】已知,, ,则( ) 题型全解 题型02 指数、对数的运算 【解析】因为,, 所以, ,, 故 . 故选A. 练习2-1 A. B. C. D. A 34 【变式2-1】（多选题）下列各式的值等于6的是( ) 题型全解 题型02 指数、对数的运算 【解析】对于A选项, ,A错误； 对于B选项, ,B正确； 对于C选项,,C正确； 练习2-2 对于D选项, ,D错误. 故选 . A. B. C. D. BC 35 【变式2-1】［2025·杭州四中高一月考］已知,,求 的值. 题型全解 题型02 指数、对数的运算 【解析】因为, , 所以 , 所以, 又 , 所以 . 练习2-3 36 例3．若函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象如下图所示,则下列函数图像正确的是(　　) 题型全解 题型03 指数函数与对数函数的图象及其应用 B 37 题型全解 题型03 指数函数与对数函数的图象及其应用 【解析】由已知函数图象,可得loga3=1,所以a=3. 在选项A中,函数的解析式为y=3-x,在R上单调递减,与图象不符; 在选项C中,函数的解析式为y=(-x)3=-x3,当x>0时,y<0,与图象不符; 在选项D中,函数的解析式为y=log3(-x),在区间(-∞,0)内单调递减,与图象不符; 在选项B中,函数的解析式为y=x3,与图象相符,故选B. 题型全解 方法总结 1.根据函数的解析式判断函数的相关性质,如定义域、值域、单调性、奇偶性等,也可根据函数的性质排除干扰项而得到正确结果. 2.根据函数解析式的特征确定相关的基本初等函数,如指数函数、对数函数等,然后确定其平移变化的方向,从而判断函数的图象. 3.指数函数与对数函数的图象经过定点的实质是a0=1,loga1=0. 4.指数函数与对数函数都具有单调性,当0<a<1时,两者在整个定义域上都是单调递减函数;当a>1时,两者在整个定义域上都是单调递增函数. 题型03 指数函数与对数函数的图象及其应用 方法技巧 若f(x)=ax-2,g(x)=loga|x|(a>0,且a≠1),且f(3)·g(-3)<0,则函数f(x),g(x)在同一平面直角坐标系内的大致图象是(　　) 题型全解 题型03 指数函数与对数函数的图象及其应用 【变式3-1】 练习3-1 【解析】由f(3)·g(-3)=a·loga3<0,得0<a<1,所以f(x)=ax-2在R上为减函数,g(x)=loga|x|在区间(0,+∞)内单调递减,在区间(-∞,0)内单调递增,故选B. B 40 已知函数,, 的图象如图所示, 则( ) 题型全解 【解析】由图知最上方的图象是 的图象, 过点的是的图象, 过点 的是的图象, 因此, ,, 则,, , 所以 ,故选C. 题型03 指数函数与对数函数的图象及其应用 【变式3-2】 C 练习3-2 A. B. C. D. 题型全解 题型04 指数函数与对数函数的性质及其应用 例4．函数f(x)=ln(2+x)-ln(2-x)是(　　) A.奇函数,在区间(-2,2)内单调递增 B.奇函数,在区间(-2,2)内单调递减 C.偶函数,在区间(0,2)内单调递增 D.偶函数,在区间(0,2)内单调递减 【解析】因为函数f(x)的定义域为(-2,2), 且f(-x)=ln(2-x)-ln(2+x)=-f(x),所以函数f(x)是奇函数. 又因为，而 在区间(-2,2)内单调递增，所以f(x)在区间(-2,2)内单调递增. 故选：A． A 题型全解 题型04 指数函数与对数函数的性质及其应用 反思归纳 判断函数的奇偶性时,应首先确定函数的定义域,然后根据奇函数和偶函数的定义进行判断.对于指数型和对数型的复合函数,其单调性应根据“同增异减”的规则进行判断. 题型全解 题型04 指数函数与对数函数的性质及其应用 【解析】对于A,因为,且在 上单调递增, 所以,故A正确； 对于B,由 在上单调递减可得 ,故B错误； 对于C,由在 上单调递增,得, 所以 ,即 ,故C正确； 对于D,由可得 , 由可得,故D正确. 故选 . 【变式4-1】 （多选题）下列不等式正确的是( ) 练习4-1 A. B. C. D. ACD 题型全解 题型04 指数函数与对数函数的性质及其应用 【解析】对于A,由题知,的定义域为 , 且,所以 为偶函数,故A正确； 对于B,C,D,令,则当 时,, 当且仅当 时取最小值2,易证当时,单调递增,当时, 单调递减,又函数为增函数,所以由复合函数的单调性可知,当时, 在上单调递增,在上单调递减,最小值为 ,又函数为偶函数,所以在上单调递增, 的最小值为9,故B错误,C,D正确.故选 . 【变式4-2】 （多选题）已知函数 ,则( ) 练习4-2 A.为偶函数 B.在 上单调递减 C.在上单调递增 D.的最小值为9 ACD 题型全解 题型05 函数的零点与方程的根 例5． 函数 的零点所在的区间为( ). A. B. C. D. 【解析】由 为增函数， 为增函数，得 为增函数，又 ， ，根据零点存在定理可得, , ，故选B. B 题型全解 题型05 函数的零点与方程的根 例6． 已知函数关于x的方程f(x)=m有4个根x1，x2，x3，x4(x1<x2<x3<x4)，则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【解析】因为，所以函数图象如下所示： B 题型全解 题型05 函数的零点与方程的根 【解析】由图象可知x1+x2=-2，其中-1<x2<0，其中0<x3<1，x4>1，|lgx3|=|lgx4|，则-lgx3=lgx4，得x3x4=1.⸫.令t = x1x2 =(-2-x2)x2 = -(x2+1)2+1，⸪-1<x2<0，⸫t∈(0,1) 又在(0,1)上单调递减，，即∈.    故选：B. 题型全解 方法总结 (1)函数的零点与方程的根的关系:方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点. (2)确定函数零点的个数有两个基本方法:利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数进行判断. 题型05 函数的零点与方程的根 【解析】①当x≤0时,由f(x)=0,即x2-2=0,解得 因为x≤0，所以 ②当x>0时,由f(x)=0,得2x-6+ln x=0, 即ln x=6-2x. 如图,分别作出函数y=ln x和y=6-2x的图象. 显然,由图可知,两函数图象只有一个交点,且在y轴的右侧,故当x>0时,f(x)=0只有一个解. 综上,函数f(x)共有2个零点. 题型全解 【变式5-1】 题型05 函数的零点与方程的根 函数的零点个数是 .  练习5-1 2　 2　 已知函数，其中m>0.若存在实数b,使得关于x的方程f(x)=b有三个不同的根，则m的取值范围是 .  题型全解 题型05 函数的零点与方程的根 【解析】如图,当x≤m时,f(x)=|x|. 当x>m时,f(x)=x2-2mx+4m, 在(m,+∞)上为增函数. 若存在实数b,使方程f(x)=b有三个不同的根, 则m2-2m·m+4m<|m|. 因为m>0,所以m2-3m>0,解得m>3. 练习5-2 (3,+∞) 题型全解 题型05 函数的零点与方程的根 练习5-3 ［2025·浙江强基联盟高一联考］已知函数 若实数,,满足 且 ,则 的取值范围为( ) A. B. C. D. 【解析】的图象如图所示, 因为 且 , 所以从图象可得,, , 因为,所以 ,即, 因为,所以 ,则, 所以 的取值范围为 . 故选C. C 题型全解 题型06 函数模型及其应用 例7．（多选题）［2023· 新课标Ⅰ卷］噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级 ,其中常数是听觉下限阈值, 是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dm 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车 处测得实际声 压分别为,, ,则( ) A. B. C. D. ACD 题型全解 题型06 函数模型及其应用 【解析】方法一：由题意可得燃油汽车的声压级, 所以, . 同理,,, . 对于A,由表知,可得,故A正确； 对于B, 得,所以 ,故B错误； 对于C, ,即,故C正确； 对于D, 得,即,即 , 故D正确.故选 . 题型全解 题型06 函数模型及其应用 【解析】方法二：因为 , 所以 , 又因为,所以,即,所以 ,故A正确； 同理, , 因为,所以 , 即,所以,则 ,故B错误； 因为,所以,则,即 , 所以,故C正确； 因为,即 ,所以,即, 故D正确.故选 . 题型全解 方法总结 1．本章主要学习了两类函数模型：一类是指数型函数模型，通常可表示为y＝a(1＋p)x(其中a为原来的基数，p为增长率，x为时间)；另一类是对数型函数模型，通常可表示为y＝mlogax＋n(m，n，a为常数，a>0，a≠1，m≠0)．解题的关键是依据实际情况所提供的数据求得相应解析式，然后利用相应解析式解决实际问题． 2．根据给定函数模型解决实际问题的技巧: (1)．认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数． (2)．根据已知条件，确定模型中的待定系数． (3)．分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题． 题型06 函数模型及其应用 题型全解 题型06 函数模型及其应用 练习6-1 近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速．某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量．将2020年记为第0年，统计数据如下表所示： 年份 2020 2021 2022 2023 2024 时间t/年 0 1 2 3 4 年销售数量Q/万片 100 150 225 337.5 506.25 题型全解 题型06 函数模型及其应用 (1)在平面直角坐标系中，以t为横轴，Q为纵轴，根 据表格中的数据画出散点图． (2)为了描述年销售数量Q与时间t的关系，现有以下 三种数学模型供选择： ①Q＝at＋b；②Q＝kat；③Q＝klogat＋b． (ⅰ)根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式； (ⅱ)根据(ⅰ)中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2 000万片？(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477) 题型全解 题型06 函数模型及其应用 (2)(ⅰ)由散点图可知，年销售数量呈指数型增长，故选择函数模型Q＝kat合适． 将(0，100)，(1，150)分别代入Q＝kat， 得 解得所以Q＝100·， 【解析】(1) 题型全解 题型06 函数模型及其应用 当t＝2时，Q＝225；当t＝3时，Q＝337.5；当t＝4时，Q＝506.25， 所以Q＝100·． (ⅱ)令100·＞2 000，则＞20， 则≈≈7.39， 所以预测该公司芯片的年销售数量在2028年会首次超过2 000万片． 题型全解 题型06 函数模型及其应用 练习6-2 2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGPT”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注． 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为 （参考数据：lg2≈0.3010） 74 题型全解 题型06 函数模型及其应用 【解析】根据题意可得，该指数衰减的学习率模型为L=0.5 当G=18时，L=0.4，代入得0.4=0.5 ， 解得D=0.8，由学习率衰减到0.2以下（不含0.2），可得，即，所以，因为，所以G>73.8，又因为G∈N*，所以所需的训练迭代轮数至少为74. 1．（1）求值：； （2）求值：； （3）已知a+a-1=3，求a3+a-3的值. 针对训练 解：(1)原式= (2)原式= (3)原式=(a+a-1)(a2-1+a-2)=(a+a-1)[(a+a-1)2-3]=3[32-3]=3×6=18 针对训练 2．化简(2log43+log83)(log32+log92)的值为（         ） A．1 B．2 C．4 D．6 解：原式 故选B B 针对训练 3．函数的图象大致为（    ） 解：根据函数解析式，分析函数在x≥0时的单调性及值域即可得解. 由可知，当x≥0时，单调递减，且f(x)≤f(0)=0 故选C. C A. B. C. D. 针对训练 4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） 解：当x≥1时，的值域为(-∞,0]， 当x<1时，f(x)=(3a-2)x-4a的值域应包含(0,+∞)，所以f(x)为减函数. 所以3a-2<0且(3a-2)×1-4a≤0，解得 故选A. A A. B. C. D. 针对训练 5．已知函数f(x)=ex，，，，则有( ) 解：根据f(x)=ex为增函数，结合a,b,c的大小关系判断即可. ，0<b=3-0.5<30=1，c=20.5>1，所以a<b<c，又f(x)=ex为增函数，从而f(a)<f(b)<f(c).故选A. A A.f(a)<f(b)<f(c) B.f(c)<f(b)<f(a) C.f(a)<f(c)<f(b) D.f(c)<f(a)<f(b) 针对训练 6．已知函数f(x)=loga(8-ax)满足a>1，若在f(x)>1区间[1,2]上恒成立，则实数a的取值范围是( ) A.(4,+∞) B.C.D. C 解：因为f(x)=loga(8-ax)且a>1，又y=8-ax单调递减，y=logax在定义域上单调递增， 所以f(x)=loga(8-ax)在定义域上单调递减， 因为f(x)>1在区间[1,2]上恒成立，所以f(2)=loga(8-2a)>1=logaa恒成立， 所以8-2a>a，解得，又a>1，所以； 故选C. 针对训练 7.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足L=5+lgV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为( )（） C A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 解：由L=5+lgV，当L=4.9时，lgV = -0.1， 则V=10-0.1. 故选C. 针对训练 8.若是奇函数，则a=_____，b=______． 解：[方法一]：奇函数定义域的对称性 若a=0，则f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称 ⸫a≠0 若奇函数有意义，则x≠1且 ≠0 ⸫x≠1且， ⸪函数f(x)为奇函数，定义域关于原点对称， ⸫，解得， 由f(0)=0得，，⸫b=ln2 ln2 针对训练 8.若是奇函数，则a=_____，b=______． 解：[方法二]：函数的奇偶性求参 ⸪函数f(x)为奇函数 ⸫f(x)+f(-x)=0 ⸫ ⸫ ⸫2a+1=0 ln2 针对训练 8.若是奇函数，则a=_____，b=______． 解：[方法三]： 因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由 ≠0，可得(1-x)(a+1-ax)≠0，所以，解得：，即函数的定义域为(-∞,-1)⋃(-1,1)⋃(1,+∞)，再由f(0)=0可得，b=ln2．即，在定义域内满足f(-x)=-f(x)，符合题意． ln2 针对训练 9.要测定古物的年代，可以用放射性碳法：在动植物的体内都含有微量的放射性14C．动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C不再产生，且原有的14C会自动衰变，经过5730年（14C的半衰期），它的残余量只有原来的一半，经过科学测定，若14C的原始含量为1，则经过x年后的残留量为y=0.999879x.用放射性碳法，测得我国辽东半岛普兰店附近的泥炭中发掘出的古莲子中14C的残余量占原来的87.9%，试推算古莲子的生活年代约（    ）（lg0.879≈-0.0560，lg0.999879≈-5.2553×10-5，结果保留整数） A．1033年前 B．1044年前 C．1055年前 D．1066年前 D 针对训练 解：由题设可知，原始含量为1的14C经过x年后的残余量是y=0.999879x. 由y=87.9%=0.879可知0.879=0.999879x，两边取常用对数，得xlg0.999879=lg0.879， 所以，故古莲子约是1066年前的产物. 故选：D. 针对训练 10.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=3x+a(a∈R)． (1)求函数f(x)在R上的解析式； (2)若，f(x2-x)+f(4-mx)>0恒成立，求实数m的取值范围． (1)解：由题意知f(0)=0，解得a= -1，所以当x≥0时，f(x)=3x-1;当x<0，则-x>0，所以f(-x)=3-x-1．又f(x)为奇函数，所以f(x)= -f(-x)= -3-x+1， 故当x<0时，f(x)= -3-x+1． 综上：． (2)解：由f(x2-x)+f(4-mx)>0，得f(x2-x)> -f(4-mx)，因为y=f(x)是奇函数，所以f(x2-x)>f(mx-4)．当x≥0时f(x)=3x-1，所以函数f(x)在[0,+∞)上单调递增，又f(x)是定义在R上的奇函数，所以y=f(x)在R上单调递增．可得，x2-(m+1)x+4>0恒成立， 故∆=[-(m+1)]2-16<0，解得-5<m<3． 所以m(-5,3)． 针对训练 11.已知. (1)求证函数y=f(x)是奇函数： (2)判断函数y=f(x)的单调性并用定义法证明. 解：（1）函数的定义域为R， ⸪， 所以，函数y=f(x)是奇函数： 针对训练 11.已知. (1)求证函数y=f(x)是奇函数： (2)判断函数y=f(x)的单调性并用定义法证明. 解：（2），函数f(x)为R上的增函数，证明如下： 任取x1, x2，且x1>x2， f(x1)-f(x2)=， ⸪x1>x2，⸫，⸫f(x1)-f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， 因此，函数y=f(x)为R上的增函数. 单元总结/易错复盘 指数主线: · n次方根 → 分数指数幂 · 指数幂运算性质（三条） · 指数函数 y = ax · 图象：过(0,1)，单调由a与1定 对数主线: · 对数概念（指数式反写） · 对数运算性质（三条+换底公式） · 对数函数 y = loga x · 图象：过(1,0)，与指数对称 核心关系：指数函数与对数函数互为反函数 定义域值域互换，图象关于 y = x 对称 易错点 1：忽略底数的限制条件 易错点 2：对数 易错点 3：运算性质用错 易错点 4：混淆指数与对数的定点 78 谢谢聆听 人教A版（2019）·高一数学必修一 $