第四章 指数函数和对数函数 高考真题练（课件）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了指数函数与对数函数的运算、性质、综合运用及函数零点、模型应用等核心内容，通过考点分类与高考真题串联，构建“概念-运算-性质-应用”的知识网络，帮助学生理解知识点间的内在逻辑。 其亮点在于采用“真题演练-一题多解-分层拓展”模式，如考点一通过换底公式转化与特殊值法培养数学思维，函数模型应用（声压级计算）强化数学语言表达。强基与竞赛题目满足个性化需求，助力学生巩固知识，教师可精准教学。

第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 高考真题练 第1讲　描述运动的基本概念 考点一　指数、对数运算 1.[2022天津,6]化简(2log43+log83)·(log32+log92)= ( ) A.1　    B. 　    C.2　    D.      C     解析　原式= 2× log23+ log23  log32+ log32 = log23× log32=2. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2022浙江,7]已知2a=5,log83=b,则4a-3b= ( ) A.25　    B.5　    C. 　    D.      C     解析　由log83=b得8b=3,又2a=5,所以4a-3b= = = = . 一题多解　依题意得a=log25,a-3b=log25-log827=log25-log23=log2 =log4 ,所以4a-3b= . 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2024全国甲,15]已知a>1且 - = ,则a=__________. ①关键点拨　换底公式;对点突破    P344疑难5     64     真题降维　换底→化简→解“一元二次方程”. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一: - = - log2a=- ,整理得 -5log2a-6=0,∴(log2a+1)(log2a-6)=0, ∵a>1,∴log2a>0,∴log2a=6=log226,故a=26=64. 解法二: - = - =- ,整理得(lg a)2-5lg 2lg a-6(lg 2)2=0, ∴(lg a+lg 2)(lg a-6lg 2)=0,∵a>1,∴lg a>0,∴lg a=6lg 2=lg 26,故a=26=64. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2023北京,11]已知函数f(x)=4x+log2x,则f =_________.     1     解析　因为f(x)=4x+log2x, 所以f = +log2 =2-1=1. 第1讲　描述运动的基本概念 考点二　指数函数、对数函数的综合运用 5.[2023天津,3]若a=1.010.5,b=1.010.6,c=0.60.5,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a<b<c　    B.b<a<c　    C.c<b<a　    D.c<a<b     D     解析　易知函数y=1.01x在R上单调递增,因为0.5<0.6,所以1.010.5<1.010.6,即a<b.易知y=x0.5在[0,+∞)上单调 递增,因为0.6<1.01,所以0.60.5<1.010.5,即c<a.所以c<a<b. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2021新高考Ⅱ,7]若a=log52,b=log83,c= ,则 ( ) A.c<b<a　    B.b<c<a　    C.a<c<b　    D.a<b<c     C     解析　∵a=log52<log42= =c(点拨:画出y=log5x与y=log4x的图象判断,画图时结合直线y=1),b=log83>log93 = =c,∴a<c<b. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2024天津,5]若a=4.2-0.2,b=4.20.2,c=log4.20.2,则a,b,c的大小关系为 ( ) A.a<b<c　    B.a<c<b　    C.c<b<a　    D.c<a<b     D     解析　易知y=4.2x在R上单调递增,且函数值恒大于0,因为-0.2<0.2,所以0<4.2-0.2<4.20.2,即0<a<b, 易知y=log4.2x在(0,+∞)上单调递增,又0<0.2<1,所以log4.20.2<log4.21=0,即c<0,所以c<a<b. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2025全国一卷,8]已知2+log2x=3+log3y=5+log5z,则x,y,z的大小关系不可能为 ( ) A.x>y>z　    B.x>z>y　    C.y>x>z　    D.y>z>x     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一(图象法):设2+log2x=3+log3y=5+log5z=M,则x=2M-2,y=3M-3,z=5M-5. 在同一平面直角坐标系中作出函数t=2x-2,t=3x-3,t=5x-5的图象,如图所示.   由图可知,x>y>z,y>x>z,y>z>x均可能成立. 解法二(特殊值法):令2+log2x=3+log3y=5+log5z=t, 当t=3时,x=2,y=1,z= ,则x>y>z,选项A成立;当t=5时,x=8,y=9,z=1,则y>x>z,选项C成立; 当t=8时,x=64,y=243,z=125,则y>z>x,选项D成立. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2023北京,4]下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是 ( ) A. f(x)=-ln x　    B. f(x)=  C. f(x)=- 　    D. f(x)=3|x-1|     C     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,因为y=ln x在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)=-ln x在(0,+∞)上单调递减,故A错误; 对于B,因为y=2x在(0,+∞)上单调递增,且2x>0,所以f(x)= 在(0,+∞)上单调递减,故B错误; 对于C,因为y= 在(0,+∞)上单调递减,所以f(x)=- 在(0,+∞)上单调递增,故C正确; 对于D,因为f = = = , f(1)=3|1-1|=30=1, f(2)=3|2-1|=3,所以f(x)=3|x-1|在(0,+∞)上不单调,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2023新课标Ⅱ,4]若f(x)=(x+a)·ln 为偶函数,则a= ( ) A.-1　    B.0　    C. 　    D.1     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:由f(x)为偶函数,知f(x)=f(-x), 即(x+a)ln =(-x+a)ln , 即(x+a)ln =(-x+a)ln =(-x+a)· ,∴x+a=-(-x+a)恒成立,∴a=0. 解法二(特殊值法):易知f(x)的定义域为 ∪ ,由已知得∀x∈ ∪ , f(-x)=f(x) 恒成立, ∴f(1)=f(-1),∴(1+a)ln =(-1+a)ln 3,∴a=0. 经检验符合题意. 解法三:易知y=ln 为奇函数, 又f(x)为偶函数, ∴y=x+a为奇函数,∴a=0. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2021天津,3]函数y= 的图象大致为 ( )       B     解析　设f(x)= ,易知f(x)的定义域为{x|x≠0},且f(-x)= =f(x),所以f(x)是偶函数,排除A,C. 当x>1时,ln x>0,x2+2>0,故f(x)>0,排除D. 第1讲　描述运动的基本概念 一题多解　设f(x)= ,易知x≠0. f(e)= = >0,故C,D不正确. f(-e)= = >0,故A不正 确. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2023新课标Ⅰ,4]设函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)单调递减,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,-2]　    B.[-2,0) C.(0,2]　    D.[2,+∞)     D     解析　因为函数f(x)=2x(x-a)在区间(0,1)上单调递减,y=2x在R上单调递增, 所以函数y=x(x-a)在区间(0,1)上单调递减, 所以 ≥1(结合函数y=x(x-a)的图象,根据对称轴的位置与区间(0,1)的关系列不等式),即a≥2,故a的取值 范围是[2,+∞). 第1讲　描述运动的基本概念 13.[2024新课标Ⅰ,6]已知函数f(x)= 在R上单调递增,则a的取值范围是 ( ) A.(-∞,0]　    B.[-1,0]　     C.[-1,1]　    D.[0,+∞)     B     解析　因为f(x)在R上单调递增,(需要满足三个条件:①x≥0时单调递增,②x<0时单调递增,③x<0时函数 的“最大值”不大于x≥0时函数的最小值) 所以 解得-1≤a≤0,即a的取值范围是[-1,0]. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2024北京,9]已知(x1,y1),(x2,y2)是函数y=2x的图象上两个不同的点,则 ( ) A.log2 < 　    B.log2 >  C.log2 <x1+x2　    D.log2 >x1+x2     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,B,由题意不妨设x1<x2,因为函数y=2x是增函数,所以0< < ,即0<y1<y2. 又 > = ,即 > >0, 所以log2 >log2 = ,故A错误,B正确. 对于C,取x1=-1,x2=-2,则y1= ,y2= ,可得log2 =log2 =log23-3∈(-2,-1),即log2 >-3=x1+x2,故C错误. 对于D,取x1=0,x2=1,则y1=1,y2=2,可得log2 =log2 ∈(0,1),即log2 <1=x1+x2,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 考场速决　令f(x)=y=2x,作出函数y=f(x)的图象,如图,   由图可知, f  < , ∴ < ,两边取对数得log2 <log2 , ∴log2 > . 第1讲　描述运动的基本概念 15.[2023全国甲文,11]已知函数f(x)= .记a=f ,b=f ,c=f ,则 ( ) A.b>c>a　    B.b>a>c　    C.c>b>a　    D.c>a>b     A     名师点睛　由函数f(x)= 的解析式特征不难想到,把复合函数f(x)拆成常见函数y=et,t(x)=-(x-1)2,因为 函数y=et为定义在R上的增函数,所以只需比较t ,t ,t 的大小即可. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　令t(x)=-(x-1)2,则t(x)的图象开口向下,对称轴为直线x=1.因为 -1- = -2,( + )2- 42=9+6 -16=6 -7>0,所以 -2>0,所以 -1>1- ,由二次函数的性质知t <t .因为 -1 - = -2,( + )2-42=8+4 -16=4 -8=4( -2)<0,所以 -1<1- ,所以t >t . 综上,t >t >t .又y=ex为增函数,所以b>c>a. 第1讲　描述运动的基本概念 考点三　函数零点及其应用 16.[2024新课标Ⅱ,8]设函数f(x)=(x+a)·ln(x+b).若f(x)≥0①,则a2+b2的最小值②为 ( ) A. 　    B. 　    C. 　    D.1 ①关键点拨　考虑积式中因式的符号 ②心中有“数”　必有关于a,b的定值出现     C     第1讲　描述运动的基本概念 真题降维     关键信息 信息判断 思维要点 f(x)≥0 讨论x+a,ln(x+b)的符号 结合函数的定义域得出a,b的关 系 a2+b2 的最小值 二元函数的最值 转化为一元函数的最值问题 第1讲　描述运动的基本概念 解析　解法一:由题意可知f(x)=(x+a)ln(x+b)≥0对任意x>-b恒成立. 当x+a>0,即x>-a时,要满足题意,则ln(x+b)≥0,即x+b≥1,解得x≥1-b. 当x+a<0,即x<-a时,要满足题意,则ln(x+b)≤0,即0<x+b≤1,解得-b<x≤1-b. 所以-a=1-b,即a=b-1, 所以a2+b2=(b-1)2+b2=2 + ≥ ,当且仅当b= 时取等号. 解法二:令φ(x)=x+a,Q(x)=ln(x+b), 因为f(x)≥0,且φ(x)与Q(x)在定义域上均单调递增,所以必有φ(x)与Q(x)在公共定义域的相同区间上的函 数值同正、同负或同为零. 如图,令φ(x)与Q(x)的图象交于x轴上同一点, 第1讲　描述运动的基本概念   易知Q(1-b)=0,设点A(1-b,0),将点A的坐标代入φ(x)=x+a,得0=1-b+a,即a=b-1. 所以a2+b2=(b-1)2+b2=2 + ,当且仅当b= 时,a2+b2取最小值,为 . 解后反思　函数f(x),g(x)在公共定义域上的单调性相同时,由f(x)g(x)≥0,可得到两函数同零点.在解答小 题时利用此结论可快速得解. 第1讲　描述运动的基本概念 17.[天津,9]已知函数f(x)= 若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,则k的取值范围是  ( ) A. ∪(2 ,+∞) B. ∪(0,2 ) C.(-∞,0)∪(0,2 ) D.(-∞,0)∪(2 ,+∞)     D 第1讲　描述运动的基本概念 解析　令h(x)=|kx2-2x|,函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|(k∈R)恰有4个零点,即y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个交点. 当k=- 时,h(x)= = ,在同一平面直角坐标系中作出y=f(x),y=h(x)的图象,如图1.   由图可知y=f(x)与y=h(x)的图象恰有4个交点,即函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有4个零点,排除A,B. 当k=1时,h(x)=|x2-2x|,作出y=h(x)与y=f(x)的图象,如图2所示. 此时,函数y=f(x)与y=h(x)的图象仅有2个交点,不合题意,排除C. 第1讲　描述运动的基本概念 18.[2021北京,15]已知函数f(x)=|lg x|-kx-2,给出下列四个结论: ①当k=0时, f(x)恰有2个零点; ②存在负数k,使得f(x)恰有1个零点; ③存在负数k,使得f(x)恰有3个零点; ④存在正数k,使得f(x)恰有3个零点. 其中所有正确结论的序号是________. 　①②④     第1讲　描述运动的基本概念 解析　令f(x)=|lg x|-kx-2=0, 得|lg x|=kx+2, 令g(x)=|lg x|,h(x)=kx+2, 所以f(x)的零点个数即函数g(x)与h(x)图象的交点个数. 当k=0时,如图a,g(x)与h(x)的图象有2个交点,则f(x)有2个零点,故①正确; 当k>0时,如图b,存在h(x)=k0x+2的图象与函数g(x)=|lg x|(x>1)的图象相切的情况,此时h(x)与g(x)的图象有 2个交点,当0<k<k0时,g(x)与h(x)的图象有3个交点,则f(x)有3个零点,故④正确; 当k<0时,如图c,g(x)与h(x)的图象最多有2个交点,g(x)与h(x)的图象相切时有1个交点,如图d,故②正确,③ 不正确. 综上,正确结论的序号为①②④. 第1讲　描述运动的基本概念       第1讲　描述运动的基本概念 考点四　函数模型的综合运用 19.[2025北京,9]一定条件下,某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间T=klog2N(单 位:h),其中k为常数.在此条件下,已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时,训练时间增加 20 h;当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加 ( ) A.2 h　    B.4 h　    C.20 h　    D.40 h     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设当N取106个单位、1.024×109个单位、4.096×109个单位时所需时间分别为T1 h,T2 h,T3 h, 由题意得,T1=klog2106=6klog210, T2=klog2(1.024×109)=klog2(210×106)=k(10+6log210), T3=klog2(4.096×109)=klog2(212×106)=k(12+6log210), 因为T2-T1=k(10+6log210)-6klog210=10k=20,所以k=2, 所以T3-T2=k(12+6log210)-k(10+6log210)=2k=4, 所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时,训练时间增加4 h. 第1讲　描述运动的基本概念 20.[多选题][2023新课标Ⅰ,10]噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱,定义声压级 Lp=20×lg ,其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值,p是实际声压.下表为不同声源的声压级: 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60~90 混合动力汽车 10 50~60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1,p2,p3,则 ( ) A.p1≥p2　    B.p2>10p3 C.p3=100p0　    D.p1≤100p2     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    p0,p1,p2,p3均大于0,∵ - =20×lg  -20×lg  =20×lg  ≥0, ∴ ≥1,∴p1≥p2,故A正确; ∵ - =20×lg  ≥10,∴lg  ≥ ,∴ ≥ ,∴p2≥ p3,故B错误; ∵ =20×lg  =40,∴ =100,∴p3=100p0,故C正确; ∵ - =20×lg ≤90-50=40, ∴lg ≤2,∴ ≤100,∴p1≤100p2,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 强基计划 21.[多选题][2024清华大学强基计划]若a+ea=b+ln b=4,则 ( ) A.aln b+bln a>1　    B.aln b+bln a=1　     C.ab<4　    D.ab>e     ACD     第1讲　描述运动的基本概念 解析    a+ea=ln ea+ea=b+ln b=4,构造f(x)=x+ln x-4, (方法技巧:“同构”,构造函数f(x)=x+ln x-4,则f(ea)=ea+ln ea-4=a+ea-4, f(b)=b+ln b-4) 则f(ea)=f(b)=0. 易得f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(e)=e+ln e-4=e-3<0, f(3)=3+ln 3-4=ln 3-1>0, 所以f(x)=0有唯一的正根,且该根位于区间(e,3)内, 所以ea=b∈(e,3),即a∈(1,ln 3),b∈(e,3). 对于A,B,aln b+bln a>aln b>a>1,故A正确,B错误;对于C,D,由a∈(1,ln 3),b∈(e,3)得,e<ab<3ln 3<4,故C,D 正确. 第1讲　描述运动的基本概念 22.[2025中国科技大学强基计划]已知c∈(0,+∞), f(x)= 若f(f(x))=3恰有一解,求c的取值范 围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　当c>1时,3x≥3c>3,所以只有在x<c时, f(x)=x2-6x+3才可以取到3,当c≥6时,由f(f(x))=3得f(x)=0或f (x)=6,即x2-6x+3=0或x2-6x+3=6,此时方程f(f(x))=3至少有2个解,不满足题意. 当1<c<6时,由f(f(x))=3得f(x)=0,即x2-6x+3=0,解得x=3- 或x=3+ ,因为3- <1,所以要使方程仅有1个 解,则需3+ 不满足,则1<c≤3+ . 当0<c≤1时,由f(f(x))=3得f(x)=0或f(x)=1. 若f(x)=1,则x2-6x+2=0,解得x=3- 或x=3+ (舍去); 若f(x)=0,则x2-6x+3=0,解得x=3- 或x=3+ (舍去). 因为仅有一解,所以要求x=3- 满足,但x=3- 不满足,所以3- <c≤3- . 综上,c∈(3- ,3- ]∪(1,3+ ]. 第1讲　描述运动的基本概念 学科竞赛 23.[2025全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛]方程 = 的解构成的集合为__________.     {2,8}     第1讲　描述运动的基本概念 解析　因为 = , 所以log4x=logx , 由换底公式得 = = = , 整理,得(ln x)2-4ln 2ln x+3(ln 2)2=0, 所以(ln x-ln 2)(ln x-3ln 2)=0,解得ln x=ln 2或ln x=3ln 2, 所以x=2或x=8. 故原方程的解构成的集合为{2,8}. 第1讲　描述运动的基本概念 24.[2025全国高中数学联赛重庆赛区预赛]已知函数f(x)= 设a,b,c是三个不同的实数,满 足f(f(a))=f(f(b))=f(f(c)),则a+b+c的取值范围为____________. 第1讲　描述运动的基本概念 解析　设f(f(a))=f(f(b))=f(f(c))=t,则方程f(f(x))=t有三个不同的实数根a,b,c. 作出函数f(x)的图象,如图所示.   由图可知,若方程f(f(x))=t有三个不同的实根,则方程f(x)=t有两个不同的实根,所以t∈(0,1]. 设方程f(x)=t的两个实数根为x1,x2,且x1<x2,则 =t,log2x2+1=t, 所以x1=log2t,x2=2t-1,所以x1∈(-∞,0],x2∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 下面考虑方程f(x)=x1和f(x)=x2. f(x)=x1⇔log2x+1=x1⇔x= = . f(x)=x2⇔2x=x2或log2x+1=x2⇔x=log2x2=t-1或x= = . 所以a+b+c= +t-1+ = + -1. 因为t∈(0,1],且y= + -1单调递增,所以a+b+c∈ . 第1讲　描述运动的基本概念 $