第四章 指数函数和对数函数 高考模拟练（课件）-【学而思·课件分层练习】2026-2027学年高一数学必修第一册同步（人教A版）

该高中数学单元复习课件系统梳理了指数函数与对数函数的概念、性质、图像及应用，通过知识框架将函数单调性、零点问题、实际模型等核心内容串联，帮助学生构建完整的函数知识网络。 其亮点在于结合“数学眼光”“数学思维”设计复习活动，如通过折纸厚度、碳14衰变等实例培养数学建模能力，通过函数奇偶性、不等式求解等题训练逻辑推理，分层练习让不同学生提升，教师可精准把握学情提高复习效率。

第四章 指数函数与对数函数 第1讲　描述运动的基本概念 高考模拟练 第1讲　描述运动的基本概念 应用实践 1.[2026广东四校质检]已知函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,则实数a的取值范围是 ( ) A.(-∞,0)　    B.[-1,0]　    C.[-1,0)　    D.(-1,0)     C     解析　因为函数f(x)=ln(ax+2)在区间(1,2)上单调递减,且y=ln x在定义域内单调递增,所以y=ax+2在(1,2) 上单调递减, 所以 解得-1≤a<0. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2026湖南长沙长郡中学月考]若a=log2 ,b=log4 ,c=log63,则 ( ) A.a=b=c　    B.a<b<c　     C.b<c<a　    D.c<b<a     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    2a=log23,2b=log46=log2 = = ,2c=log69= = , ∵3> ,∴a>b,  =  =  < =1, 又c,b都大于0,∴c<b,∴c<b<a. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025江西南昌第十中学期中]某数学兴趣小组为研究指数函数的“爆炸性增长”进行了折纸活动. 一张纸每对折一次,纸张厚度会翻一倍.现假定对一张足够大的纸张(其厚度等同于0.076 6毫米的胶版 纸)进行无限次的对折.借助计算工具进行运算,整理记录了其中的三次数据如下: 折纸次数 22 27 38 纸张厚度 321米 10 281米 2.1万千米 已知地球到月亮的距离约为38万千米,若纸张的厚度超过地球到月亮的距离,则理论上至少对折的次数 为 ( ) A.41　    B.43　    C.45　    D.47     B     第1讲　描述运动的基本概念 解析　设a=0.076 6,则由题意得a·238毫米=2.1万千米, 设对折x次,纸张厚度超过38万千米, 则a·2x>38⇒ ·2x>38⇒2x-38> ≈18.1, 因为24=16<18,25=32>18,函数y=2x在R上单调递增, 所以x-38≥5⇒x≥43, 因此理论上至少对折43次,纸张的厚度会超过地球到月亮的距离. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026北京顺义一中月考]古生物学家经常利用碳14的含量来推断古生物死亡的大致时间.当生物体 生存时,其体内的碳14含量会保持在一定的水平,设为N0.当生物体死亡后,碳14会发生衰变,且碳14含量 N(t)随时间t(单位:年)的变化规律满足N(t)=N0e-λt,其中λ是衰变常数.已知碳14的半衰期约为5 730年,即每 经过5 730年,碳14含量就会变为原来的 .现古生物学家发现一个古生物化石,经测量,该古生物化石体 内的碳14含量为 N0.由此可以推断这个古生物的死亡时间点至今所经过的时间(单位:年)的大致范围 是(参考数据:ln 2≈0.69,ln 3≈1.10)     ( ) A.(9 800,10 000)　    B.(12 800,13 000)　     C.(13 800,14 000)　    D.(14 800,15 000)     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　依题意,N(5 730)=N0e-5 730λ= N0,得e-5 730λ= , 两边同时取对数得-5 730λ=-ln 2, 解得λ= ,则N(t)=N0 , 令N(t)= N0,得 = , 两边同时取对数得- t=-ln 6, 所以t= = ≈5 730+ ≈14 864.78∈(14 800,15 000). 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025河南郑州中学月考]设函数f(x)=xln x-(a+b)ln x,若f(x)≥0恒成立,则5a+5b的最小值为 ( ) A.1　    B.2　     C. 　    D.2      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    f(x)=xln x-(a+b)ln x=(x-a-b)·ln x, 若a+b≤0,则对任意的x>0,x-a-b>0, 则当0<x<1时, f(x)<0,不符合题意. 若0<a+b<1,则当a+b<x<1时,x-a-b>0,ln x<0,此时f(x)<0,不符合题意. 若a+b>1,则当1<x<a+b时,x-a-b<0,ln x>0,此时f(x)<0,不符合题意. 若a+b=1,则f(x)=(x-1)ln x, f(1)=0, 当0<x<1时,x-1<0,ln x<0,则f(x)>0;当x>1时,x-1>0,ln x>0,则f(x)>0,所以对任意的x>0, f(x)=(x-1)ln x≥0,符 合题意.综上,a+b=1. 由基本不等式可得5a+5b≥2 =2 =2 ,当且仅当 即a=b= 时,等号成立, 故5a+5b的最小值为2 . 第1讲　描述运动的基本概念 考场速决　由f(x)=(x-a-b)ln x≥0可知x-a-b和ln x“同号”,即y=x-a-b与y=ln x的零点相同,故有a+b=1,同 上,利用基本不等式求解最小值. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[多选题][2026黑龙江哈尔滨三中月考]已知函数y=f(x)的定义域为(0,4),y=f(x+2)为偶函数,当0<x≤2时, f(x)=|log2x|,则下列说法正确的是 ( ) A.若函数g(x)=f(x)-m有四个零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则x1x2x3的取值范围为[2,3] B.若函数g(x)=f(x)-m有四个零点x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4),则4x1+x2的取值范围为(4,5) C.函数y=f(f(x))的零点个数为5 D.函数y=f(|2x-1|)-1的零点个数为6     BC     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵函数y=f(x+2)为偶函数, ∴f(-x+2)=f(x+2), 则函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称, 当0<x≤2时, f(x)=|log2x|, f(2)=|log22|=1, 画出函数y=f(x)的大致图象,如图,   令g(x)=f(x)-m=0,得f(x)=m,则x1,x2,x3,x4(x1<x2<x3<x4)为方程的解,即直线y=m与函数f(x)的图象的交点的横 第1讲　描述运动的基本概念 坐标,由图可知m∈(0,1),0<x1<1<x2<2<x3<3<x4<4, ∴由|log2x1|=|log2x2|得-log2x1=log2x2,∴log2x2+log2x1=log2(x1x2)=0,∴x1x2=1,∴x1x2x3=x3∈(2,3),故A错误. ∵x1x2=1,∴x1= ,且x2∈(1,2),∴4x1+x2= +x2, 令g(x)= +x,x∈(1,2),由对勾函数的性质可知,函数g(x)在(1,2)上单调递减,∴g(x)∈(4,5),故B正确. 易知y=f(x)有两个零点1,3, ∴当f(f(x))=0时, f(x)=1或f(x)=3, 当f(x)=1时,由图可知,函数有3个零点, 当f(x)=3时,由图可知,函数有2个零点, ∴函数y=f(f(x))存在5个零点,故C正确. 令y=f(|2x-1|)-1=0,即f(|2x-1|)=1,则|2x-1|= 或|2x-1|=2或|2x-1|= , 第1讲　描述运动的基本概念 若|2x-1|= ,则2x-1=- 或2x-1= ,解得x=-1或x=log23-1;若|2x-1|=2,则2x-1=-2或2x-1=2,解得x=log23;若|2x-1|= , 则2x-1=- 或2x-1= ,解得x=2log23-1. 因此函数y=f(|2x-1|)-1有4个零点,故D错误. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[多选题][2026重庆十一中质检]已知函数f(x)的定义域为R,其图象为一条连续不断的曲线,函数f(x)满 足:①对任意的实数x,都有f(x)+f(-x)=1;②函数f(x+1)是R上的偶函数;③当x∈[0,1]时, f(x)= ,则  ( ) A. f(x)的图象关于直线x=1对称 B. f >f  C. f(x)的最大值为1,最小值为  D.当x∈[2,3]时, f(x)=1-  ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析　对于A,由函数f(x+1)是R上的偶函数,得f(x+1)=f(-x+1), 故函数f(x)的图象关于直线x=1对称,因此A正确. 对于B,由f(x+1)=f(-x+1),得f(2-x)=f(x),又f(x)+f(-x)=1, 所以f(2-x)+f(-x)=1, f(4-x)+f(2-x)=1,因此f(4-x)=f(-x),则f(4+x)=f(x), 故函数f(x)的一个周期为4,则f =f =f , f =f =f . 由当x∈[0,1]时, f(x)= ,得函数f(x)在[0,1]上单调递增, 因为对任意的实数x,都有f(x)+f(-x)=1, 所以函数f(x)的图象关于点 中心对称,则函数f(x)在[-1,0]上单调递增, 由题意知f(x)的图象为一条连续不断的曲线, 第1讲　描述运动的基本概念 于是函数f(x)在[-1,1]上单调递增, 则f <f ,则f >f ,因此B正确. 对于C,由当x∈[0,1]时, f(x)= ,得f(1)=1,由f(x)+f(-x)=1, 得f(1)+f(-1)=1,解得f(-1)=0< ,因此C错误. 对于D,当x∈[2,3]时,x-2∈[0,1], 则f(x)=f(2-x)=1-f(x-2)=1- ,因此D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026湖南平高教育集团期中]已知函数f(x)=ln( +2x)+x2 025,则不等式f(2x2-3x-7)+f(2x-3)<ln 4的 解集为 ( ) A. ∪(2,+∞)　    B.(-∞,-2)∪ 　     C. 　    D.      D     第1讲　描述运动的基本概念 解析    f(x)=ln( +2x)+x2 025=ln( +x)+ln 2+x2 025, (思路探究:对数型函数y=ln( +x)与幂函数y=x2 025均为奇函数,且是增函数,因此构造函数g(x)=f(x)- ln 2,由单调性与奇偶性解决问题) 由 > ≥-x得 +x>0,因此函数f(x)的定义域为R, 令g(x)=ln( +x)+x2 025=f(x)-ln 2,则g(-x)=ln( -x)-x2 025, 则g(x)+g(-x)=ln( +x)+x2 025+ln( -x)-x2 025=ln 1=0,又g(x)的定义域为R, 所以g(x)是奇函数, 当x≥0时,易知g(x)=ln( +x)+x2 025单调递增, 又函数g(x)是奇函数,所以当x<0时,g(x)单调递增, 所以g(x)在R上是增函数, 由f(2x2-3x-7)+f(2x-3)<ln 4得g(2x2-3x-7)+g(2x-3)<0, 第1讲　描述运动的基本概念 即g(2x2-3x-7)<g(3-2x), 由单调性可得2x2-3x-7<3-2x,解得-2<x< , 所以不等式f(2x2-3x-7)+f(2x-3)<ln 4的解集为 . 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025吉林第一中学期中]已知函数f(x)= 方程f(x)-t=0有四个不同的解x1,x2,x3,x4,则实数t的 取值范围是_____________;x1+x2+x3+x4的取值范围是_________.     (0,1)     第1讲　描述运动的基本概念 解析　根据题意作出函数y=f(x)的图象,如图所示,   当x>0时,令f(x)=|log2x|=1,解得x= 或x=2, 由题意可知y=f(x)的图象与直线y=t有4个交点,结合图象可知t∈(0,1). 不妨设x1<x2<x3<x4,则x1+x2=-2, <x3<1,1<x4<2,且|log2x3|=|log2x4|,可得log2x3+log2x4=log2(x3x4)=0,则x3x4=1,即x3 = ,可得x1+x2+x3+x4=x4+ -2, 第1讲　描述运动的基本概念 由对勾函数可知y=x+ 在(1,2)上单调递增,且1+1=2,2+ = , 则2<x+ < ,即2<x4+ < ,可得0<x4+ -2< ,所以x1+x2+x3+x4的取值范围为 . 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026河北邢台质检联盟期中]已知函数f(x)= -mlog2x2+1. (1)若m=-1. (i)求f(x)的最小值,并求出当f(x)取得最小值时x的值; (ii)求f(x)的单调递减区间; (2)对任意x1,x2∈[1,16],|f(x1)-f(x2)|≤8恒成立,求m的取值范围. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)(i)当m=-1时, f(x)= +log2x2+1= +2log2x+1=(log2x+1)2,x∈(0,+∞),显然当log2x=-1,即x = 时, f(x)取得最小值,最小值为0. (ii)令u=log2x,u∈R,则y=f(x)即为y=(u+1)2, 易知u=log2x在(0,+∞)上单调递增, y=(u+1)2在(-∞,-1)上单调递减,令log2x<-1,解得0<x< , 所以f(x)的单调递减区间为 . (2)令t=log2x,x∈[1,16],则t∈[0,4], f(x)= -mlog2x2+1可化为g(t)=t2-2mt+1,t∈[0,4]. 由对任意x1,x2∈[1,16],|f(x1)-f(x2)|≤8恒成立,得f(x)max-f(x)min≤8在x∈[1,16]上恒成立.记函数g(t)在[0,4]上 的最大值为M,最小值为N,则M-N≤8在t∈[0,4]上恒成立. 第1讲　描述运动的基本概念 g(t)=t2-2mt+1=(t-m)2+1-m2,其图象开口向上,对称轴为直线t=m,且恒过点(0,1). ①当m≤0时,g(t)在[0,4]上单调递增, 可得M=g(4)=42-8m+1=17-8m,N=g(0)=1, 由M-N≤8,得16-8m≤8,解得m≥1,不符合题意; ②当0<m<4时,函数g(t)在[0,m)上单调递减,在(m,4]上单调递增, 则N=g(m)=1-m2,M=max{g(0),g(4)}=max{1,17-8m}=  当0<m≤2时,由M-N≤8,可得17-8m-1+m2≤8,解得4-2 ≤m≤4+2 ,此时4-2 ≤m≤2; 当2<m<4时,由M-N≤8,可得1-1+m2≤8,解得-2 ≤m≤2 ,此时2<m≤2 ; ③当m≥4时,g(t)在[0,4]上单调递减,则M=g(0)=1,N=g(4)=17-8m, 由M-N≤8,可得1-17+8m≤8,解得m≤3,不符合题意. 综上,m的取值范围为[4-2 ,2 ]. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026广东六校联合学业质检](1)设函数y=log2(2x+2-x)在[-1,1]上的最大值为P,最小值为Q,求P-Q 的值; (2)对于两个定义域相同的函数f(x)和g(x),若存在实数m,n,使h(x)=mf(x)+ng(x),则称函数h(x)是由基函数 f(x)和g(x)生成的.试利用基函数f(x)=log2(4x+1)和g(x)= x+1生成一个函数h(x),满足h(x)为偶函数,且h(0) =-1. ①求函数h(x)的解析式; ②已知n≥3,n∈N*,x0=-1,xn=r>0,对于(-1,r)上的任意值x1,x2,…,xn-1(x1<x2<…<xn-1),记M= |h(xi)-h(xi-1)|,当M的 最大值为log2 时,求r的值.(注: xi=x1+x2+…+xn) 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)令函数φ(x)=log2(2x+2-x),x∈[-1,1],则φ(-x)=log2(2-x+2x)=φ(x),故函数φ(x)是[-1,1]上的偶函数,令u (x)=2x+2-x,∀x1,x2∈[0,1],x1<x2,则u(x1)-u(x2)= + - - =( - )(1- ), 由0≤x1<x2≤1,得 < , <1,则 - <0,1- >0,故u(x1)<u(x2), 因此函数u(x)在[0,1]上单调递增,而函数y=log2x是增函数,所以函数φ(x)在[0,1]上单调递增, 故Q=φ(x)min=φ(0)=1,P=φ(x)max=φ(-1)=φ(1)=log2 , 所以P-Q=log2 -1=log2 . (2)①设h(x)=mlog2(4x+1)+n , 由h(x)为偶函数,得h(-x)=h(x)恒成立, 则mlog2(4-x+1)- x+n=mlog2(4x+1)+ x+n,即mlog2 =nx恒成立, 第1讲　描述运动的基本概念 整理得mlog24-x=nx,即nx=-2mx恒成立,又x不恒为0,所以n=-2m, 由h(0)=-1,得m+n=-1,所以m=1,n=-2,所以h(x)=log2(4x+1)-x-2. ②由①知h(x)=log2 -2=log2(2x+2-x)-2,x∈(-1,r),r>0, (方法技巧:利用对数恒等式x=log22x,将函数解析式变形为与题(1)有关的形式,利用题(1)中的有关结论 解题) 由(1)得函数h(x)在(-1,0]上单调递减,在[0,r)上单调递增, 设xk≤0≤xk+1(xk≠xk+1),k=0,1,2,3,…,n-1, 则0>h(x0)>h(x1)>…>h(xk)≥h(0),h(0)≤h(xk+1)<h(xk+2)<…<h(xn),  |h(xi)-h(xi-1)|=h(x0)-h(x1)+h(x1)-h(x2)+…+h(xk-1)-h(xk)+|h(xk+1)-h(xk)|+h(xk+2)-h(xk+1)+h(xk+3)-h(xk+2)+…+h(xn)- 第1讲　描述运动的基本概念 h(xn-1) =h(x0)-h(xk)+|h(xk+1)-h(xk)|+h(xn)-h(xk+1)=h(-1)+h(r)-h(xk)-h(xk+1)+|h(xk+1)-h(xk)|, 当h(xk)≤h(xk+1)时,M= |h(xi)-h(xi-1)|=h(-1)+h(r)-2h(xk), 当h(xk)>h(xk+1)时,M= |h(xi)-h(xi-1)|=h(-1)+h(r)-2h(xk+1), 则当且仅当xk=0或xk+1=0时,Mmax=h(-1)+h(r)-2h(0)=log2 -2+log2(2r+2-r)-2+2=log2 =log2 , 因此 = ,即2r+2-r= ,结合(1)得u(x)在(0,+∞)上单调递增,又u(r)=u(2), 所以r的值为2. 思维提升　问题的解决除了必备的知识外,还需要考虑前后问题间的联系,对变量准确地进行逻辑划 分,化简绝对值表达式,反映学生对所学知识的组织运用能力. 第1讲　描述运动的基本概念 $