专题05 曲线与方程（期中复习讲义）高二数学上学期人教B版

专题05 曲线与方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 点和曲线的位置关系 考点二 由方程求曲线的图形 考点三 由方程研究曲线的性质 考点四 判断曲线的交点个数 考点五 求平面曲线的轨迹方程 考点六 立体几何中的轨迹问题 05 重难题型突破 题型一 求圆的轨迹方程 题型二 求椭圆的轨迹方程 题型三 求双曲线的轨迹方程 题型四 求抛物线的轨迹方程 题型五 定义法求轨迹方程 题型六 直接法求轨迹方程 题型七 相关点法求轨迹方程 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 选择题多为基础判断考查点与曲线位置关系曲线交点个数 填空题常设置简单轨迹求解立体几何中的轨迹判断 解答题重点考查轨迹方程的求解方法包含定义法直接法相关点法 命题侧重数形结合思想容易结合圆椭圆抛物线定义综合设问 难点集中在轨迹中变量范围的取舍立体几何中空间动点的平面化转化 识记 牢记曲线与方程的概念掌握点在曲线上的代数判定规则熟记求轨迹方程的四种基础方法定义法直接法相关点法代入法掌握圆椭圆双曲线抛物线的定义式 理解 理解曲线和方程的对应关系明白纯粹性与完备性的含义理解各类轨迹方法适用的条件能区分不同题型选用对应方法理解立体几何轨迹问题的转化思路将空间动点转化到平面内分析 应用 能判断点与曲线位置关系能根据方程识别曲线图形与基础性质能求解曲线交点个数处理含参数交点问题能根据题干条件选用合适方法求轨迹方程并主动标注或的取值范围能解决立体几何背景下的动点轨迹判断与轨迹方程问题 1．求动点M轨迹方程的一般步骤： ①设___动点M_______的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； ②写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用___M的坐标________表示出来； ③_____化简并检验_________所得方程是否为M的轨迹方程. 2．设曲线C的方程为：，一般有如下规律： ①如果以代替y，方程保持不变，那么曲线关于___x轴_____对称； ②如果以代替x，方程保持不变，那么曲线关于___ y轴_____对称； ③如果同时以代替x，以代替y，方程保持不变，那么曲线关于___原点____对称． 例：曲线C的方程为：，则曲线C关于____原点_____对称. 考点一 点和曲线的位置关系 ⚠️概念辨析 核心知识 若点在曲线上则满足 方法技巧 直接将点坐标代入曲线方程等式成立则点在曲线上不成立则不在 用于检验轨迹方程结果快速排除错误选项 1．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知曲线的方程为，则下列各点中，在曲线上的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要判断点是否在曲线上，只需检验点的坐标是否满足曲线的方程，即是否为方程的解，若是，则点在曲线上；若不是，则点不在曲线上. 【详解】将四个选项中点的坐标分别代入曲线的方程的左边代数式， 对于A，，不是曲线的方程的解，即点不在曲线C上； 对于B，，是曲线的方程的解，即点在曲线C上； 对于C，，不是曲线的方程的解，即点不在曲线C上； 对于D，，不是曲线的方程的解，即点不在曲线C上. 故选：B. 2．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）下列所给点中，在方程表示的曲线上的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将各点坐标代入曲线方程检验即可得答案. 【详解】因为曲线方程， 对于选项A：代入，有，即点不在曲线上，故A错误； 对于选项B：代入，有，即点不在曲线上，故B错误； 对于选项C：代入，有，即点在曲线上，故C正确； 对于选项D：代入，有，即点不在曲线上，故D错误； 故选：C. 3．已知点在曲线上，则实数（    ） A． B．或2 C．或3 D．或 【答案】C 【分析】将点坐标代入曲线方程求解即可. 【详解】因为点在曲线上， 所以， 即，解得或． 故选：C 4．已知曲线C的方程是：，，，，为直角坐标平面上的四点，其中在曲线C上的点为______． 【答案】， 【分析】代入点的坐标，满足方程则点在曲线上，若方程不成立则不在曲线上. 【详解】将代入中，，故在曲线C上； 将代入中，无意义，故不在曲线C上； 将代入中，，故在曲线C上； 将代入中，，故不在曲线C上. 故答案为：， 考点二 由方程求曲线的图形 ⚠️概念辨析 核心知识 曲线方程对应平面内所有满足等式的点的集合 方法技巧 先求定义域再分析对称性特殊点取值趋势描点画出草图 含绝对值分段类方程优先分段讨论 5．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用曲线方程化简，取确定圆在第一象限的部分，再根据绝对值呈现出的对称性作图，由图计算面积即可. 【详解】曲线可化为， 当时，解析式为， 易知曲线关于轴，轴，原点对称， 由题意作出图形： 则此曲线所围成的图形由一个边长为的正方形与四个半径为的半圆组成， 所以曲线围成的图形的面积为. 6．（2026·重庆·模拟预测）（多选）若，则方程表示的图形可能为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 【答案】CD 【分析】根据的范围分类讨论，注意结合抛物线的定义判断． 【详解】表示动点到定点的距离，记为. 根据点到直线的距离公式，表示动点到定直线，记为. 因此. 当定点不在定直线上，即，也就是，根据抛物线的定义，轨迹是抛物线. 当定点在定直线上，即，此时满足条件的点的轨迹是过且垂直于的直线. 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）方程表示的曲线是（    ） A．轴上方的半圆 B．轴下方的半圆 C．轴左侧的半圆 D．轴右侧的半圆 【答案】B 【分析】将方程两边平方可知是圆，再结合的取值范围即可判断． 【详解】， 表示的是以为圆心，为半径的圆， 又 ， 故方程表示的曲线是轴下方的半圆， 故选：B． 8．方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 【答案】C 【分析】先确定的取值范围，再由与可得答案. 【详解】由方程， 得:或且满足， 即或且满足， 所以方程表示半个圆和一条线段， 故选：C 考点三 由方程研究曲线的性质 ⚠️概念辨析 核心知识 从方程挖掘曲线的范围对称性顶点渐近特征 方法技巧 用不等式求取值范围 用代判断y轴对称代判断x轴对称 代入特殊值得到关键点 9．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（     ） A．曲线所围成图形的周长是 B．直线与曲线一定有两个交点 C．点在曲线上，的最小值是 D．曲线：，则存在条直线与曲线,同时相切 【答案】ACD 【分析】分象限去绝对值、再配方，把还原成四段相接的半圆弧.选项 A 用弧长公式求解，选项B 抓直线系所过定点并检验相切，选项C 把分式看成定点与动点连线的斜率，选项D 作出曲线的图像，按照象限分析. 【详解】当时，，圆心为，与轴分别交于，直线刚好过圆心，则在第一象限的图像为半圆. 同理可知曲线：的图像由四个半圆组成. 选项A，曲线所围成图形的周长为. 选项B，直线方程化简为，恒过定点. 当直线过点，且与第一象限的半圆相切时，与整个图像仅有一个交点，B错误. 选项C，点在曲线上，理解为过点 的直线斜率. 由图像可知，当直线与相切时，取得最小值. 设直线方程为，则，化简解得（1舍去）. 选项D，由图像可知，曲线：也分为四部分. 考虑第一象限，，当时，曲线的切线与曲线有两个交点，不存在公切线. 由曲线关于直线对称可知，当时，曲线的切线与曲线有两个交点，不存在公切线. 当时，曲线与曲线有公切线. 同理可知，曲线与曲线在每个象限仅有一个公切点，共有4条公切线. 10．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知曲线：，点在曲线上，下列结论中正确的个数为（     ） ①曲线围成的图形的面积为；②的最小值为； ③的最大值为；④曲线有且仅有4条对称轴． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据曲线：画出图象，结合几何意义，数形结合判断各选项对错即可. 【详解】由题可得，当 ， 所以其图形如下所示， 对于①，曲线围成的图形的面积为，故①正确. 对于②，表示点与点的连线的斜率， 由图可知当与直线相切时取得最小值， 设切线为，则 解得或（舍去）. 所以的最小值为,故②正确. 对于③，其图形如下所示， 点到直线的距离为， 结合图象可知，到直线的距离的最大值为. 于是的最大值为，故③错误. 对于④，由图像可知，曲线有且仅有4条对称轴， 分别为轴，轴，直线，直线，故④正确. 11．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”，则（    ） A．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C．阴影部分的面积为； D．白色“水滴”图形的面积是． 【答案】ABD 【分析】令，求得，可判定A正确；根据圆的方程，得到点到坐标轴的距离为或，结合三角函数的性质，可判定B正确；令，求得，得到白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成，结合圆，扇形和三角形的面积公式，可判定C错误，D正确. 【详解】由方程， 可得集合是圆心为，半径为的圆上所有点的集合，其中， 其圆心的轨迹为单位圆的上半部分，即， 对于A，令，整理得，即， 解得或，即， 所以“水滴”图形与轴的交点，分别为， 所以白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，所以A正确； 对于B，由，可得， 所以点， 所以点到坐标轴的距离为或， 因为， 所以， 所以在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于，所以B正确； 令，整理得，即， 解得或，即， 因为表示圆心为，半径为的圆， 则，且，则在轴上以及轴上方， 所以白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为的半圆， 阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为的半圆， 根据对称性知：白色“水滴”在第一象限的边界是以为圆心，半径为的圆弧， 设，则，即所对的圆心角为， 同理可得：所在圆的半径为，所对的圆心角为， 阴影部分在第四象限的外边界是以为圆心，半径为的圆弧， 设，可得，所对的圆心角为， 同理可得：所在圆的半径为，所对的圆心角为， 所以白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形和一个半圆组成， 所以它的面积为， 其中轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为， 第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作一个直角三角形和一个扇形的面积的和， 且等于， 所以阴影部分的面积为，所以 C错误，D正确. 12．（26-27高二上·北京·期中）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是______ ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 【答案】① ② ④ 【分析】根据题设将原点代入曲线方程后可求 ，故可判断①的正误，结合曲线方程可判断②的正误，利用特例法可判断③的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断④的正误. 【详解】设曲线C上任意一点 ，由题意得， 对于①：因曲线过原点，所以 ，且，所以，故①正确； 对于②：将代入方程得 ，故②正确； 对于③：设 是曲线在第一象限的点， 则有 ，所以， 取，则，故此时， 所以曲线在第一象限内点的纵坐标的最大值大于，故③错误； 对于④：由，所以 ，即， 当时，；当时，因 ，即， 所以成立； 所以当在上时，成立，故④正确. 考点四 判断曲线的交点个数 ⚠️概念辨析 核心知识 联立两条曲线的方程方程组实数解的组数等于交点个数 方法技巧 联立方程消元得到一元方程利用判别式判断解个数 注意检验解对应的坐标是否满足原方程定义域排除增根 13．（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）已知圆与曲线，则（    ） A．，恒有公共点 B．当时，，恰有2个公共点 C．当时，，在时的公共点有3个 D．当时，直线与有3个公共点的充要条件是直线与圆相交 【答案】ABD 【分析】由 得 ，代入圆，把公共点个数转化为关于的方程根的个数．注意圆 上的点满足，所以只需讨论的情况． 【详解】由得，代入圆： ，化简得：. 当时，由得，将点代入，成立，因此点为公共点，恒成立，选项A正确. 下面讨论时的公共点．令 则时公共点个数等于方程的正根个数． 对于B选项，当时，， 若 ，则 ．若 ，令，则 ， 则， 因为二次函数 的最小值为 所以 恒成立．故在上单调递增．又 所以方程在内有且仅有一个正根．再加上公共点，共有个公共点，故B选项正确． 对于C选项，当时， 此时 令，则 的两个根为 因此在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又 且 所以在时只有一个正根，公共点不是个，故C选项错误． 对于D选项，当时，曲线为 直线与有个公共点，等价于方程 有个不同实根． 设 则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 又 因此方程 有个不同实根的充要条件是 另一方面，直线与圆 相交的充要条件是圆心到直线的距离小于半径， 即 等价于，所以D选项正确. 14．（2026·福建福州·三模）（多选）在平面直角坐标系中，到两条坐标轴的距离之和与到点的距离相等的点的轨迹是，则（    ） A．点在上 B．存在斜率为1的直线与恰有3个公共点 C．当且仅当，圆与恰有4个公共点 D．存在定点，过且互相垂直的任意两条直线都与相交，所有交点中必有两个与等距 【答案】ABD 【分析】依题意写出上任意一点的坐标满足的等式即可得到方程，对于A，代入点坐标即可；对于B，画出的图像，根据图像判断出存在满足条件的直线，该直线与在第二象限的曲线相切；对于C，找到反例即可；对于D，先分析出与等距的两个交点可能的分布，再结合几何分析得到与等距的两个交点之间的约束关系，观察约束关系恒成立时点坐标应满足的条件. 【详解】设上任意一点的坐标为，依题意有， 两边同时平方得，整理得的方程为， 代入得满足方程，A正确； 对的方程进一步分析，可知时等式不成立， 当即在第一、三象限时，方程可化为， 当即在第二、四象限时，方程可化为， 它们都可以通过反比例函数和平移得到，可画出图像如下， 设斜率为的直线方程为，当它与第二象限部分的曲线相切时， 它与恰有3个公共点，此时有整理得， 令，得（此时切点为） 或（舍去，此时直线不经过第二象限）， 所以直线与恰有3个公共点，B正确； 可知圆在直线和之间移动， 直线与在第二象限部分的交点为，当圆经过 即时，圆与相交，有4个公共点，现使圆心向右移动， 若当且仅当，圆与恰有4个公共点， 则意味着在处圆与第二象限部分的关系发生了突变，即从相交转为相切， 此时圆应与第一象限部分也相切，从而保证恰有4个公共点，如上图所示， 但是圆心继续向右移动时，圆与第二象限部分分离的同时与第一象限部分相交， 此时也有4个公共点，直到圆经过即时才变为个公共点，之后则是2个公共点， 因此这一范围没有包括所有4个公共点的情况，C错误； 若与等距的两个交点在同一个象限也即在同一段曲线上，显然难以保持与等距， 考虑与等距的两个交点分别在不同的象限，若两个交点分别在二、四象限， 根据反比例函数平移的结果可知，在第四象限的曲线的一部分与在第二象限的曲线 关于对称（也可以通过判断），若取， 显然过点的直线与的两个交点同保持等距，但当直线垂直于轴时， 它与没有交点，不符合条件，两个交点分别在一、三象限也一样， 接下来考虑与等距的两个交点在相邻的象限的情况，比如分别在三、四象限， 设两个点分别为，设， 因为且，由三角形全等可知①， ②，由②可得， 设，则，代入①中得， 设，则即， 当时该等式恒成立，此时，即为满足要求的点. 15．（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）若曲线与曲线仅有4个公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析曲线的性质作出图像，再利用直线与圆的位置关系结合已知条件讨论求解． 【详解】曲线等价于，表示位于一、二象限的半圆，圆心为，半径， 曲线表示边长为的正方形，图像如下图所示， 当时，圆心到曲线的距离为2，即曲线与相切，有两个公共点； 当时，曲线的3个顶点在上，即曲线与有三个公共点； 当时，曲线与有4个公共点， 当时，曲线与无公共点； 曲线与曲线仅有4个公共点， ，故B正确． 故选：B． 16．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知曲线，直线的斜率为，且过点，则（    ） A．当时，与只有1个公共点 B．当时，与有3个公共点 C．椭圆与有6个公共点 D．当抛物线与有5个公共点时， 【答案】ACD 【分析】根据题意，得到或，得出曲线表示的轨迹为轴和一个以原点为圆心，半径为2的圆，结合选项，结合直线与圆的位置关系，以及曲线与曲线的位置关系的判定方法，联立方程组，逐项计算，即可求解； 【详解】由方程，可得，所以或， 则曲线表示的轨迹为轴和一个以原点为圆心，半径为2的圆，如图所示， 又由直线的斜率为，且过点， 可得直线的方程为，即， 对于A，当直线与圆相离时，则圆心到直线的距离大于半径， 即，解得，所以或， 所以当时，直线与圆没有公共点， 又由直线与轴只有一个公共点， 所以时，直线与曲线只有一个公共点，所以A正确； 对于B，当时，直线的方程为， 则直线与轴的交点为，点恰好在圆上， 所以时，直线的方程为，即， 联立方程组，整理得，解得或， 当时，可得；当时，可得， 即直线与圆的交点为， 此时直线与曲线只有两个公共点，所以B不正确； 对于C，由椭圆的方程，令，可得，解得， 所以椭圆与轴有两个交点，即为和， 联立方程组，解得，对应4个交点， 综上可得，椭圆与曲线共有6个公共点，所以C正确； 对于D，由抛物线与轴的交点为，即抛物线与轴有一个交点， 当时，显然与圆没有公共点，不符合题意，所以， 联立方程组，整理得， 令，方程即为， 要使得抛物线与有5个公共点，则满足方程有2个正根，设为， 则满足，解得，所以D正确. 故选：ACD. 考点五 求平面曲线的轨迹方程 ⚠️概念辨析 核心知识 轨迹方程本质是动点横纵坐标满足的等式必须兼顾纯粹性完备性 方法技巧 按建系设点列式代换化简检验六步走 根据条件匹配定义法直接法相关点法 17．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知平面上两个定点、，动点P满足，则动点P的轨迹方程为______ 【答案】 【详解】由题意可得，， 所以动点P满足， 所以点的轨迹为线段， 所以动点P的轨迹方程为. 18．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹与圆交于，两点，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，把，用两点间距离公式表示成的式子，代入条件化简即可得解； （2），是圆与轨迹圆的公共点，圆方程相减，消去项，直接得到公共弦 所在直线的方程，再结合垂径定理求弦长. 【详解】（1）设，因， 所以， 化简得. 即动点的轨迹方程. （2）由（1）知动点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆. 由， 两式相减得到. 即直线的方程为. 因为点到直线的距离， 所以. 19．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】设中点坐标，利用中点公式将圆上动点的坐标用中点坐标表示出来，再代入圆的方程，化简即得轨迹方程． 【详解】设在圆上运动，则：①, 设的中点，由中点坐标公式：， 解得， 将代入①：得 化简得： 即： 因此线段中点的轨迹方程为：． 20．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】根据向量关系写出点 的坐标，再依次求出点 、直线 及直线 的方程，从而得到点 的参数坐标，消去参数即可得到轨迹方程． 【详解】取 的一种情形 因为 ，且 ，所以 点 ， 在 轴上的投影分别为 又点 在直线 上的投影为 ，而直线 的方程为 ，所以 直线 经过 ，，故其方程为 直线 的方程为 因此直线 与 的交点为 设 ，则 消去参数 ，得 因为 ，所以 ． 反之，对于满足 的任意 ，取 ，均可得到相应的点 ． 故点 的轨迹方程为 考点六 立体几何中的轨迹问题 ⚠️概念辨析 核心知识 空间动点满足的几何约束转化到截面或底面平面内分析 方法技巧 寻找动点不变的距离角度等量关系 对照圆锥曲线圆的定义判断轨迹类型 画出截面图将空间问题平面化 21．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为3，侧棱长为，为平面内一动点，且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是__________． 【答案】 【分析】判断出点的轨迹，结合球的有关性质计算，求得面积即可. 【详解】已知，所以，进而点在以为直径的球面上. 因为在平面内，因此满足条件的点围成的区域是该球面被平面截得的圆形区域， 面积即为截面圆的面积. 正四棱柱底面是边长为的正方形，因此底面对角线， 球的半径，球心为的中点. 在正四棱柱中，，因此四点共面，即平面， 故到平面的距离. 因为平面，且平面，故平面平面，交线为. 在中，， 到的距离就是到平面的距离. 是中点，直线上中点到平面的距离为两端点距离的平均值，. 所以，因此区域面积为. 22．（2026·广东中山·三模）设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（   ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】C 【详解】如图： 不妨设在平面内投影为，则， 设直线与平面的距离为， 则在平面内，以为轴，为轴建立平面直角坐标系，设 则到的距离为，到的距离为， 所以到直线的距离为， 所以，即，故轨迹为双曲线． 23．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知在矩形ABCD中，，如图，将沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是_________． 【答案】/ 【详解】过点作于点，交于点， 则点在平面上的射影落在线段上. 在中，，，则， 由等面积法得. 翻折的过程中，动点满足， 则动点的轨迹是以点为圆心，为半径的一段圆弧. 易得，，，所以， 则，如图（2），在圆中，，， 所以点的轨迹是，且，则，， 从而点的轨迹长度为. 24．（24-25高二下·江西抚州·阶段检测）已知在棱长为4的正方体中，点是底面内的动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】由正切函数的定义可得，建立平面直角坐标系可得点的轨迹，又点关于的对称点为，连接与圆交于点，与交于点时，最小. 【详解】如图（一）： 因为，所以， 因为，所以， 如图（二）： 建立平面直角坐标系，则，，，设， 所以， 整理可得，，， 则圆心，半径为， 点关于的对称点为， 所以. 故答案为：. 题型一 求圆的轨迹方程 典例1 （26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设动点， 由动点与两个定点，的距离之比为，即， 所以，即， 整理得，即， 所以动点的轨迹方程为． 💡破题要诀 核心知识 圆的定义动点到定点距离为定值标准方程 方法技巧 找到定点与定距离直接套用圆定义写出方程 化简后注意剔除不符合条件的点 迁移应用 1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)最大值为4，最小值为3 (3)存在，当时，，当时， 【分析】（1）用直接法求曲线的轨迹方程. （2）先求出动点的轨迹方程，得到的轨迹是圆，然后由圆的性质即可求出的最值. （3）先由切线长公式求出，将其代入，由点的任意性及恒成立问题即可求出. 【详解】（1）设，由，得，即， 曲线的方程为，即曲线是以为圆心，2为半径的圆. （2）如图所示； 设，由题意知，即，则点的轨迹是以为直径的圆， 中点为，，所以圆半径为，点的轨迹方程为：， ，且. 的最大值为，的最小值为. （3）如图所示； 设，则，即， 是到圆的切线，由切线长公式得，， 设， . 设，则， 即对满足的所有恒成立， 则有，解得或， 所以当时，，当时，. 2．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 【答案】 【分析】先求得圆的圆心和半径，结合垂径定理确定弦中点满足的几何关系，求出点的轨迹方程，再联立方程确定轨迹对应的圆弧端点，算出圆弧的圆心角，最后利用弧长公式求得轨迹的长度. 【详解】将圆的方程化为标准形式：， 得圆心，半径， 设弦中点， 由垂径定理可知：，又点在直线上， 故，即， ，，于是， ， ， 因为点是圆内的弦中点， 所以的轨迹是圆在圆：内部的一段圆弧， 两式相减：， 代入，得， 即两圆交点为，， 在圆中，圆心为原点，半径， 向量，， 设， ， ，， 由弧长公式， . 题型二 求椭圆的轨迹方程 典例1 （26-27高二上·全国·课前预习）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 【答案】 【详解】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 设，则， 因为，所以，所以. 💡破题要诀 核心知识 椭圆定义动点到两定点距离之和为常数 方法技巧 识别距离和为定值条件用定义法直接写方程 优先求出不要盲目展开复杂式子 迁移应用 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 【答案】 【详解】根据椭圆的定义可知，到两定点距离之和为常数，且常数大于两定点间距离的点的轨迹是椭圆， 因为，， 所以焦距，解得， 因为，故P点轨迹为焦点在x轴上的椭圆， 所以，解得， 因此，解得， 动点的轨迹方程是. 2．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 【答案】 【分析】利用圆心距与半径之差的关系式可判断出圆和圆为内含关系，根据圆与圆的位置关系可得出，根据椭圆的定义可确定动点的轨迹是椭圆，根据焦点和长轴求出标准方程即可. 【详解】由题意，圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为， 因为，所以圆和圆为内含关系. 设动圆的圆心，半径为，则，即， 所以圆心的轨迹是焦点为，，长轴长为的椭圆，即，则， 故其轨迹方程为. 故答案为：. 题型三 求双曲线的轨迹方程 典例1 （25-26高二上·陕西西安·阶段检测）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】设点，根据斜率之积是列出关系式即可. 【详解】设点，则直线，的斜率分别为， 因它们的斜率之积是，则，化简得， 则动点M的轨迹方程为. 故答案为： 💡破题要诀 核心知识 双曲线定义动点到两定点距离差的绝对值为常数 方法技巧 注意绝对值去掉绝对值时区分左右两支 留意条件是否缺少绝对值轨迹仅为双曲线一支 迁移应用 1．已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】结合题意得到为等腰三角形，从而，进而得到的轨迹是一条双曲线，求出，，从而得到轨迹方程. 【详解】 由于， 则， 又因为， 所以， 则， 为等腰三角形，且， 因此， 由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的右支， 且，， 所以点的轨迹方程为． 2．（2025·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为______；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为_____. 【答案】 （且） （且） 【分析】根据等腰三角形的定义及两点间距离公式可得所以，由圆的定义可知点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且），即可求解答题空1；根据线段垂直平分线定义可知.分点Q在线段的延长线上和点Q在线段的延长线上两类讨论，数形结合分析可得，结合双曲线的定义即可求解动点Q的轨迹方程，即可求解答题空2. 【详解】因为等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，另一个端点为P， 所以， 故点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且）， 故点P的轨迹方程为（且）. 因为线段的垂直平分线与直线交于点Q，所以. 又，，所以点A在圆外，线段的垂直平分线与直线的交点Q在线段的延长线或反向延长线上. 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，； 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，， 综上，，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10. 又，所以点Q的轨迹是以点和为焦点的双曲线，其中，， 所以，，，所以双曲线方程为. 当点P为时，线段的垂直平分线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点为， 故动点Q的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且）；（且）. 题型四 求抛物线的轨迹方程 典例1 （25-26高三·全国·一轮复习）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 【答案】， 【分析】设，，由此能求出动点的轨迹方程． 【详解】设，则， 整理，得，． 动点的轨迹方程是，． 故答案为：，． 💡破题要诀 核心知识 抛物线定义动点到定点与定直线距离相等 方法技巧 寻找定点焦点定直线准线 直接利用距离相等列式化简 迁移应用 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 【答案】 【分析】先根据已知条件将动点到定点与定直线的距离关系进行转化，再依据抛物线定义确定其轨迹方程． 【详解】由已知可得动点满足到定点的距离等于到定直线的距离， 由抛物线定义知动点的轨迹方程为焦点在x轴上的抛物线，且焦点为，则，.因此轨迹方程为：． 故答案为：. 2．在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为________. 【答案】 【分析】设，求得以线段为直径的圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件可得所求轨迹方程． 【详解】设，可得以线段为直径的圆的圆心为， 半径为， 由以线段为直径的圆与轴相切， 可得，整理得． 故答案为：． 题型五 定义法求轨迹方程 典例1 （24-25高三上·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______. 【答案】或 【分析】设出点的坐标，利用已知列出方程化简即得. 【详解】设点，依题意，，即，整理得， 所以的轨迹方程是或. 故答案为：或 💡破题要诀 核心知识 利用圆椭圆双曲线抛物线几何定义直接写出方程 方法技巧 第一步挖掘题干几何等量关系匹配圆锥曲线定义 确定参数最后标注变量范围 迁移应用 1．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 【答案】 【详解】因为由正弦定理可得， 即，满足椭圆定义， 则，，可得， 所以点C的轨迹方程为． 题型六 直接法求轨迹方程 典例1 （24-25高二上·吉林长春·阶段检测）已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为______． 【答案】 【分析】设动点，斜率用坐标表示，由斜率之积为可得出之间的关系式，进而得的轨迹方程. 【详解】设动点的坐标为，又，， 所以的斜率，的斜率， 由题意可得， 化简，得点的轨迹方程为. 故答案为： 💡破题要诀 核心知识 动点满足几何等式直接翻译为坐标关系式 方法技巧 设动点将几何条件转化含等式 移项平方化简检验增根写出定义域 迁移应用 1．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 2．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意结合斜率公式运算求解即可. 【详解】设， 则，整理可得， 所以点的轨迹方程是. 故选：B. 题型七 相关点法求轨迹方程 典例1 （25-26高二上·江苏镇江·期末）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在圆上任取点，依题意得到变换之后的点，满足，反求得到，回代入圆的方程即得所求. 【详解】在圆上任取一点，将该点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，得到点， 则，则，因是圆上的点，故， 即，故所得曲线的方程是. 故选：A. 💡破题要诀 核心知识 动点随已知曲线上点运动 方法技巧 建立与的关系式反解 代入已知曲线方程替换得到方程 迁移应用 1．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，结合题意得到，再代入曲线中化简后可得. 【详解】设，则， 因为，所以，所以. 故选：A. 2．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）（1）平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程． （2）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程． （3）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1．求点的轨迹方程； （4）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，动点满足．求动点的轨迹方程； 【答案】（1）（2）（3）（4）． 【分析】（1）设点，根据题意建立等式化简求解作答； （2）设出和点的坐标，利用中点坐标公式把点的坐标用点的坐标和常数表示，再由在定圆上，把的坐标代入圆的方程整理后即可得到答案； （3）设出点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知，列出方程化简作答； （4）设出点的坐标，根据建立等式化简求解作答. 【详解】（1）设点，所以，到直线：的距离为， 由题意得，即， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为； （2）设，， 因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以， 所以． 即点的轨迹方程为，也即； （3）设，． ，，， ，整理得，即． 故点的轨迹方程为． （4）设，点，则由， 得，化简可得， 故动点的轨迹的方程为． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 【答案】A 【分析】根据曲线方程中的对称性设出点的坐标，代入方程检验判断（1）（2）；由方程解出，再根据函数的有界性与单调性判断（3）（4）即可》 【详解】若点在曲线：上，将点代入曲线：成立， 所以曲线关于原点中心对称，故（1）正确； 再将点代入曲线：不能恒成立，所以曲线不关于直线对称，故（2）错误； 由条件可得，易得，即的取值范围不是，故（3）错误； 又因，当时，取得最小值， 所以时，的最小值为，故（4）正确. 2．（25-26高二上·广东汕头·期中）平面内两定点和，动点，满足，动点的轨迹为曲线，下列命题错误的有几个（    ） ①存在，使曲线过坐标原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③若三点不共线，则周长最小值为； ④曲线上与不共线的任意一点关于原点对称的点为，则四边形的面积不大于. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据题意得到曲线方程为，代入原点坐标判断①；根据方程研究对称性判断②；利用基本不等式判断③；转化为两个三角形的面积，结合三角形面积公式和正弦函数的有界性判断④. 【详解】平面内和，动点满足，故 ， ①：代入，可得，正确； ②：对曲线上任意点，关于y轴对称点为，关于轴对称点为， 将代入上式得； 将代入上式得； 所以曲线既关于轴对称，也关于轴对称，不正确; ③：若、、三点不共线，则 ，且， 当且仅当时等号成立，又， 所以周长的最小值为，正确； ④：曲线上与、不共线的任意一点关于原点对称的点为， 又图象既关于轴对称，又关于轴对称，且，知： 四边形的面积为， 当且仅当时等号成立，此时， 所以四边形的面积不大于，正确. 故选：B. 3．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知，则的圆心的轨迹方程为__________. 【答案】 【分析】将圆的方程化成标准方程，求出圆心的坐标，利用同角三角函数关系式构建圆心横纵坐标间的关系，即可得到圆心的轨迹方程. 【详解】圆的方程可化为， 设圆心的坐标为，则满足， 由，得，且， 所以，圆心的轨迹方程为. 故答案为：. 4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）（多选）数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则（   ）    A．曲线C与直线有3个公共点 B．曲线C上任意两点距离最大值为4 C．的最大值为 D．曲线C所围成图形面积为 【答案】BC 【分析】联立曲线C与直线的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线C与轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线C在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项. 【详解】曲线C的方程可化为， 当，时，曲线C的方程可化为， 在曲线C上任取一点，则该点关于轴的对称点为， 因为，即点也在曲线C上， 所以，曲线C关于轴对称，同理可知，曲线C关于轴、原点对称， 对于A选项，由，得， 所以，即，可得或（舍去）， 故，所以曲线C与直线只有个公共点，A错； 对于B选项，在曲线C的方程中，令，可得，解得或， 所以，曲线C交轴于点、、， 结合图形可知，曲线C上任意两点距离最大值为，B对； 对于C选项，当取最大值，结合图形及对称性不妨，， 此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上， 设，，其中， 由可得，所以， 所以 ，其中， 因为，所以， 因为，则，故， 故当时， 取到最大值为，C对； 对于D选项，设圆的圆心为，该圆的半径为， 因为，故是边长为2的等边三角形， 所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为， 所以曲线C所围成图形面积为，D错.    故选：BC. 5．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的有__________. ①曲线关于点对称； ②曲线所围成的图形面积小于3； ③点的纵坐标的取值范围为； ④线段长度的最小值为1. 【答案】③④ 【分析】根据对称性、面积、图象等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，当时，， 当时，，，无解. 当时，， 解得或，所以曲线过点， 这两点不关于对称，所以①错误. ③，对于，由于，所以，，， 当时，，， 所以无解. 当时，， 解得，所以点的纵坐标的取值范围为，③正确. ②，由③可得，故曲线即为， 整理得， 当时，， 故关于的方程有一正一负两个解， 设， 则 ， ， 而，故， 故在轴的右侧有曲线在直线的上方，在的下方， 而曲线关于轴对称， 故在轴的左侧有曲线在直线的上方，在的下方， 而直线、直线、直线、直线围成的平面区域即为四边形围成的平面区域，其面积为， 故曲线所围成的图形面积大于3，故②错误. ④，设，其中， ， 由于，所以， 所以，所以， 所以线段长度的最小值为1，此时，所以④正确. 故答案为：③④ 6．（25-26高二上·广东广州·期中）（多选）已知曲线E：（x，y不同时为0），则（    ） A．曲线E围成图形的面积为 B．曲线E的长度为 C．曲线E上的点到原点的最小距离为 D．曲线E上任意两点间最大距离为 【答案】ABD 【分析】通过分类讨论去掉绝对值后，可画出曲线的图形，由图可得答案. 【详解】当时，曲线，即； 当时，曲线； 当时，曲线； 当时，曲线； 画出曲线的图形，如图所示. 对于A，曲线围成的面积可分割为一个边长为的正方形和四个半径为的半圆， 故其面积为，故A正确； 对于B，曲线由四个半径为的半圆组成，故周长为，故B正确； 对于C，由图可得曲线上点到原点距离最小值为2，故C错误； 对于D，如图所示，曲线上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为，故D正确. 故选：ABD. 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）如图所示，双曲线与抛物线围成封闭曲线，若对于轴上一定点，上恰有对不同的点关于点对称，则实数的值可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为，，则，则其关于点的对称点为在曲线上，可得，将代入得，其中，由题意可知方程在时只有一解即可，利用二次函数的基本性质求解即可. 【详解】显然，过点与轴平行的直线与封闭曲线的两个交点关于点对称，且这两个点在同一曲线上． 联立可得， 当对称的两个点分属两段曲线时，设其中一个点为，， 则， 则其关于点的对称点为，所以这个点在曲线上， 则，所以， 当时，，点在轴上，不合乎题意， 当时，，此时点、关于轴对称，不合题意， 所以，且当时，有两个与之对应， 所以只需方程在时只有一解即可， 因为函数在上单调递减， 当时，，故， 故选：CD. 8．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是_____. 【答案】 【分析】设点，根据两点斜率公式直接列式即可求解. 【详解】设点，则，整理得，显然. 所以点的轨迹方程为. 故答案为： 9．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用两圆内切或外切，与直线相切建立等式，化简可得方程. 【详解】设，当动圆与圆内切时，有，化简得； 当动圆与圆外切时，有，化简得. 故选：C 10．（25-26高二上·江苏常州·期中）（多选）1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．设定点，，已知曲线为卡西尼卵形线，下列选项判断正确的是（ ） A．原点在曲线的内部； B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； C．曲线上的点的横坐标的取值范围是； D．曲线上存在点，使得 【答案】BCD 【分析】原点的坐标代入的方程，即可判断A；利用对称的概念代入验证可判断B；化简的方程，利用求得横坐标范围，可判断C；由题意，代入曲线方程，利用方程是否有解判断D. 【详解】原点的坐标代入的方程，有， 所以原点在曲线上，故A错误； 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于原点对称， 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于轴对称， 代入的方程，得，方程成立， 故曲线关于轴对称， 综上，曲线关于原点，轴，轴均对称，故B正确； 由，两边平方得， ∴，即， ∴，即， ∴， 所以，得， 化简得，即，解得， ∴曲线上的点的横坐标的取值范围是，故C正确； 若曲线上存在点，使得，即， ∵， ∴， 又，则， 即，即，解得， ∴曲线上存在点，使得，故D正确， 故选：BCD. 综合进阶练（限时：15分钟） 11．（25-26高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知曲线C：，下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D．曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AC 【分析】对于A，运用点关于轴的对称点是满足方程，则曲线的图象关于轴对称；对于B，通过放缩法得曲线C：，进而由曲线C包含圆可判断B；对于C，根据已知条件可得即可；对于D，计算边界点来界定整点个数. 【详解】对于A，设为曲线C上任意一点，它关于x轴的对称点是， 将代入曲线C的方程得， 化简得与原方程相同， 故也在曲线C上，则轴是曲线C的一条对称轴，故A正确； 对于B，因为， 所以，即， 所以曲线C包含圆， 所以曲线C构成的封闭图形面积大于的面积，故B错误. 对于C，由，可得. 当，时，等号成立，∴， 即曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2，故C正确； 对于D，令，解得或，即曲线C经过（0，0），（0，1），，此时曲线C的内部无整点， 由选项的结论可知曲线上任一点到坐标原点的距离都不超过2，∴， 令，得，而，此时曲线的内部有3个整点； 令，得，无解， 令，得，即曲线C经过（2，0），不含边界无整点， 令，得，无解， 因此曲线C的内部有3个整点，故D错误. 故选：AC. 12．（25-26高二上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，到定点的距离之积为的点的轨迹就是伯努利双纽线，的方程为，其形状类似于符号，若点是轨迹上一点，给出下列四个结论： ①曲线关于原点中心对称： ②恒成立； ③当时，取得最大值或最小值； ④曲线上任一点到原点的距离不超过． 其中所有正确结论的序号是___________． 【答案】①②④ 【分析】根据曲线的方程，结合对称性的判定方法，联立方程组，以及不等式和三角形面积，逐项判定，即可求解. 【详解】在曲线上任取一点，关于原点的对称点为， 代入曲线的方程，得， 所以，可知在曲线上， 所以曲线关于原点中心对称，故①正确； 因为点是轨迹上一点，所以， 因为，所以，即，所以，故②正确； 因为，所以， 又，所以，即， 所以，当时等号成立， 此时，即时，取得最大值或最小值；故③错误， 因为，所以， 所以，所以曲线上任一点到原点的距离不超过，故④正确； 故答案为：①②④. 13．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中不正确的是（ ） A．若是曲线上一点，且在第一象限，则 B．当时，的最大值是（为坐标原点） C．曲线C的方程是： D．面积的最大值是. 【答案】A 【分析】根据题设有，结合已知及题图，令判断A，应用向量数量积的运算律、余弦定理求的范围判断B，将曲线方程两侧平方化简整理判断C，根据C结论得，再由三角形面积公式判断D. 【详解】由题意，曲线的方程为， A，令，则，即，解得，此时，不满足，故错误， B，由时，因为， 所以 ， 即①， 在中，由余弦定理得②， 所以， 由，，所以， 所以，即的最大值为，故正确， C，将双纽线的方程两边平方，得， 所以，则， 所以，故正确； D，由，可得， 令，则， 因为该方程有实数根，故，解得，故， ，故正确. 故选：A 14．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（   ） ①曲线围成的图形的面积为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最大值为； ④曲线有且仅有4条对称轴 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】先分的范围得出曲线的方程，再应用图象数形结合分别判断各个选项. 【详解】因为曲线， 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为； 当且时，曲线的方程可化为. 曲线的图象如图所示：    由图可知，曲线围成的图形的面积为四个半圆的面积与边长为的正方形面积的和， 从而曲线围成的图形的面积为，故①正确； 表示点与点的连线的斜率， 由图可知当（且）与直线相切时取得最小值， 设切线为 ，则，解得或（舍去）， 所以的最小值为，故②正确； 点到直线的距离， 结合图象可知点到直线的距离的最大值为，故③错误； 由曲线的图像可知，曲线围成的图形有4条对称轴， 分别是轴、轴、第一、三象限角平分线以及第二、四象限角平分线，故④正确； 故选：B 15．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知曲线. (1)求曲线围成的平面图形的面积； (2)若是曲线上的两个动点，求的最大值； (3)是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由如下： 当时，研究直线与曲线在第一象限的公共点. 联立，得（*）. 因为， 所以方程（*）只有一个正根，则直线与曲线在第一象限只有一个公共点. 同理，直线与曲线在第三象限也只有一个公共点. 因此，当时，直线与曲线只有两个公共点. 当时， 一方面，直线与曲线在第二象限的部分至多两个公共点. 另一方面，由，得（*）. 因为， 所以方程（*）无正根，即直线与曲线在第一象限无公共点. 同理，直线与曲线在第三象限无公共点. 所以当时，直线与曲线至多两个公共点. 所以时，直线与曲线至多两个公共点. 由对称性可知，时，直线与曲线也至多两个公共点. 综上，不存在直线与曲线至少有三个不同的公共点. 【分析】（1）根据对称性，由三角形面积及扇形面积公式计算即可求解； （2）分都在第一象限（或坐标轴正半轴），不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时，不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时，三种情况求解即可； （3）根据对称性，分，两种情况，讨论求解即可. 【详解】（1）曲线既关于两坐标轴成轴对称，又关于原点成中心对称. 当时，曲线方程为. 记圆心为，与轴分别交于两点， 则，过点作， 则， 所以， 所以. 所以， 所以，同理. 由对称性可知，曲线围成的平面图形的面积 . （2）记曲线在第一象限的圆心为，第二象限的圆心为， 第三象限的圆心为､第四象限的圆心为. 情况1：不妨都在第一象限（或坐标轴正半轴），. 情况2：不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第二象限（或轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时等号成立），此时最大值为6. 情况不妨在第一象限（或坐标轴正半轴），在第三象限（或坐标轴负半轴）时， （当且仅当四点共线时 等号成立），此时最大值为. 综上，根据对称性可知最大值为. （3）略 16．（25-26高二上·江苏苏州·期中）（多选）曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线所围成的面积为 C．的最大值为 D．记曲线上任意一点，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】分类讨论可得四个象限中曲线的方程，由此可得曲线的图象；根据图象对称性可知AB正误；根据曲线内切于圆可知C正确；将转化为曲线上的点到直线的距离的倍，结合图形可求得D正确. 【详解】当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即； 可作出曲线的图象如下图所示（含坐标原点）， 对于A，由图象可知：曲线关于轴，直线，对称，A错误； 对于B，在第一象限中，曲线围成的图象面积为， 曲线所围成的图形面积为，B正确； 对于C，曲线内切于圆，且切点在上，如下图所示， 则的最大值即为圆的直径，，C正确； 对于D，， 的几何意义为曲线上的点到直线的距离的倍； 曲线上的点到直线的距离的最小值为， 的最小值为，D正确. 故选：BCD. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 曲线与方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 点和曲线的位置关系 考点二 由方程求曲线的图形 考点三 由方程研究曲线的性质 考点四 判断曲线的交点个数 考点五 求平面曲线的轨迹方程 考点六 立体几何中的轨迹问题 05 重难题型突破 题型一 求圆的轨迹方程 题型二 求椭圆的轨迹方程 题型三 求双曲线的轨迹方程 题型四 求抛物线的轨迹方程 题型五 定义法求轨迹方程 题型六 直接法求轨迹方程 题型七 相关点法求轨迹方程 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 选择题多为基础判断考查点与曲线位置关系曲线交点个数 填空题常设置简单轨迹求解立体几何中的轨迹判断 解答题重点考查轨迹方程的求解方法包含定义法直接法相关点法 命题侧重数形结合思想容易结合圆椭圆抛物线定义综合设问 难点集中在轨迹中变量范围的取舍立体几何中空间动点的平面化转化 识记 牢记曲线与方程的概念掌握点在曲线上的代数判定规则熟记求轨迹方程的四种基础方法定义法直接法相关点法代入法掌握圆椭圆双曲线抛物线的定义式 理解 理解曲线和方程的对应关系明白纯粹性与完备性的含义理解各类轨迹方法适用的条件能区分不同题型选用对应方法理解立体几何轨迹问题的转化思路将空间动点转化到平面内分析 应用 能判断点与曲线位置关系能根据方程识别曲线图形与基础性质能求解曲线交点个数处理含参数交点问题能根据题干条件选用合适方法求轨迹方程并主动标注或的取值范围能解决立体几何背景下的动点轨迹判断与轨迹方程问题 1．求动点M轨迹方程的一般步骤： ①设___动点M_______的坐标为（如果没有平面直角坐标系，需先建立）； ②写出M要满足的几何条件，并将该几何条件用___M的坐标________表示出来； ③_____化简并检验_________所得方程是否为M的轨迹方程. 2．设曲线C的方程为：，一般有如下规律： ①如果以代替y，方程保持不变，那么曲线关于___x轴_____对称； ②如果以代替x，方程保持不变，那么曲线关于___ y轴_____对称； ③如果同时以代替x，以代替y，方程保持不变，那么曲线关于___原点____对称． 例：曲线C的方程为：，则曲线C关于____原点_____对称. 考点一 点和曲线的位置关系 ⚠️概念辨析 核心知识 若点在曲线上则满足 方法技巧 直接将点坐标代入曲线方程等式成立则点在曲线上不成立则不在 用于检验轨迹方程结果快速排除错误选项 1．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）已知曲线的方程为，则下列各点中，在曲线上的点是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）下列所给点中，在方程表示的曲线上的是（ ） A． B． C． D． 3．已知点在曲线上，则实数（    ） A． B．或2 C．或3 D．或 4．已知曲线C的方程是：，，，，为直角坐标平面上的四点，其中在曲线C上的点为______． 考点二 由方程求曲线的图形 ⚠️概念辨析 核心知识 曲线方程对应平面内所有满足等式的点的集合 方法技巧 先求定义域再分析对称性特殊点取值趋势描点画出草图 含绝对值分段类方程优先分段讨论 5．（26-27高三上·江苏苏州·开学考试）由曲线围成的图形的面积为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·模拟预测）（多选）若，则方程表示的图形可能为（     ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 7．（24-25高二上·内蒙古赤峰·期中）方程表示的曲线是（    ） A．轴上方的半圆 B．轴下方的半圆 C．轴左侧的半圆 D．轴右侧的半圆 8．方程 表示的图形为（   ） A．一条直线和一个圆 B．一条线段和一个圆 C．一条线段和半个圆 D．两条线段 考点三 由方程研究曲线的性质 ⚠️概念辨析 核心知识 从方程挖掘曲线的范围对称性顶点渐近特征 方法技巧 用不等式求取值范围 用代判断y轴对称代判断x轴对称 代入特殊值得到关键点 9．（26-27高二上·吉林长春·阶段检测）（多选）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证和思维方法等之中，揭示了数学知识的规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列结论正确的是（     ） A．曲线所围成图形的周长是 B．直线与曲线一定有两个交点 C．点在曲线上，的最小值是 D．曲线：，则存在条直线与曲线,同时相切 10．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）已知曲线：，点在曲线上，下列结论中正确的个数为（     ） ①曲线围成的图形的面积为；②的最小值为； ③的最大值为；④曲线有且仅有4条对称轴． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 11．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知集合．由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”，则（    ） A．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为； B．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3； C．阴影部分的面积为； D．白色“水滴”图形的面积是． 12．（26-27高二上·北京·期中）设计一条美丽的丝带，其造型可以看作图中的曲线的一部分.已知曲线过坐标原点，且曲线上的点满足：横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为.给出下列四个结论正确的是______ ① ②点在上 ③曲线在第一象限的点的纵坐标的最大值为 ④当点在上时， 考点四 判断曲线的交点个数 ⚠️概念辨析 核心知识 联立两条曲线的方程方程组实数解的组数等于交点个数 方法技巧 联立方程消元得到一元方程利用判别式判断解个数 注意检验解对应的坐标是否满足原方程定义域排除增根 13．（2026·江西宜春·模拟预测）（多选）已知圆与曲线，则（    ） A．，恒有公共点 B．当时，，恰有2个公共点 C．当时，，在时的公共点有3个 D．当时，直线与有3个公共点的充要条件是直线与圆相交 14．（2026·福建福州·三模）（多选）在平面直角坐标系中，到两条坐标轴的距离之和与到点的距离相等的点的轨迹是，则（    ） A．点在上 B．存在斜率为1的直线与恰有3个公共点 C．当且仅当，圆与恰有4个公共点 D．存在定点，过且互相垂直的任意两条直线都与相交，所有交点中必有两个与等距 15．（25-26高三上·吉林四平·阶段检测）若曲线与曲线仅有4个公共点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）（多选）已知曲线，直线的斜率为，且过点，则（    ） A．当时，与只有1个公共点 B．当时，与有3个公共点 C．椭圆与有6个公共点 D．当抛物线与有5个公共点时， 考点五 求平面曲线的轨迹方程 ⚠️概念辨析 核心知识 轨迹方程本质是动点横纵坐标满足的等式必须兼顾纯粹性完备性 方法技巧 按建系设点列式代换化简检验六步走 根据条件匹配定义法直接法相关点法 17．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知平面上两个定点、，动点P满足，则动点P的轨迹方程为______ 18．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆，点，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹与圆交于，两点，求. 19．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知圆：，又点在圆上运动，点，则线段中点的轨迹方程为______. 20．（25-26高二下·安徽宿州·期末）已知在平面直角坐标系中，点，，点，在轴上的投影分别为，，点在直线上的投影为，直线与交于点．则点的轨迹方程为________． 考点六 立体几何中的轨迹问题 ⚠️概念辨析 核心知识 空间动点满足的几何约束转化到截面或底面平面内分析 方法技巧 寻找动点不变的距离角度等量关系 对照圆锥曲线圆的定义判断轨迹类型 画出截面图将空间问题平面化 21．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）在正四棱柱中，底面边长为3，侧棱长为，为平面内一动点，且满足，则所有满足条件的点所围成平面区域的面积是__________． 22．（2026·广东中山·三模）设，为异面直线，为平面，已知，，，动点.若到直线，的距离相等，则的轨迹为（   ） A．直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线 23．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知在矩形ABCD中，，如图，将沿着BE向上进行翻折，使得点A与点S重合，若点S在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内部（包含边界），则动点S的轨迹长度是_________． 24．（24-25高二下·江西抚州·阶段检测）已知在棱长为4的正方体中，点是底面内的动点，点为棱上的动点，且，则的最小值为________． 题型一 求圆的轨迹方程 典例1 （26-27高二上·河北邢台·阶段检测）已知动点与两个定点，的距离之比为，则动点的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 核心知识 圆的定义动点到定点距离为定值标准方程 方法技巧 找到定点与定距离直接套用圆定义写出方程 化简后注意剔除不符合条件的点 迁移应用 1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，，，点满足，设点所构成的曲线为. (1)求曲线的轨迹方程； (2)过作直线与曲线交于，两点，中点为，求的最值； (3)已知点为圆上任意一点，过点向曲线作切线，切点为，试探究：平面内是否存在定点，使得为定值？若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由. 2．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 题型二 求椭圆的轨迹方程 典例1 （26-27高二上·全国·课前预习）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为____________. 💡破题要诀 核心知识 椭圆定义动点到两定点距离之和为常数 方法技巧 识别距离和为定值条件用定义法直接写方程 优先求出不要盲目展开复杂式子 迁移应用 1．（25-26高二下·上海闵行·期中）平面直角坐标系上已知两点、，若一动点满足，那么动点的轨迹方程是________. 2．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测）已知动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆的圆心的轨迹方程是______. 题型三 求双曲线的轨迹方程 典例1 （25-26高二上·陕西西安·阶段检测）设点A，B的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积是，则动点M的轨迹方程为________． 💡破题要诀 核心知识 双曲线定义动点到两定点距离差的绝对值为常数 方法技巧 注意绝对值去掉绝对值时区分左右两支 留意条件是否缺少绝对值轨迹仅为双曲线一支 迁移应用 1．已知圆的圆心为，直线过点，且与轴不重合，直线交圆于两点，点在点与点之间．过点作直线的平行线，交直线于点，则点的轨迹方程为______． 2．（2025·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为______；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为_____. 题型四 求抛物线的轨迹方程 典例1 （25-26高三·全国·一轮复习）已知A，B两点的坐标分别是，，直线，相交于点M，且，则点M的轨迹方程为________． 💡破题要诀 核心知识 抛物线定义动点到定点与定直线距离相等 方法技巧 寻找定点焦点定直线准线 直接利用距离相等列式化简 迁移应用 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点的距离比到定直线的距离大1的动点的轨迹方程是______． 2．在平面直角坐标系中，已知点为动点，以线段为直径的圆与轴相切．动点的轨迹的方程为________. 题型五 定义法求轨迹方程 典例1 （24-25高三上·北京房山·期末）已知平面直角坐标系中，动点到的距离比到轴的距离大2，则的轨迹方程是______. 💡破题要诀 核心知识 利用圆椭圆双曲线抛物线几何定义直接写出方程 方法技巧 第一步挖掘题干几何等量关系匹配圆锥曲线定义 确定参数最后标注变量范围 迁移应用 1．（24-25高二上·广西玉林·期中）一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 2．（26-27高三·全国·一轮复习）已知△ABC的顶点A，B的坐标分别为，，C为动点，且满足，则点C的轨迹方程为________． 题型六 直接法求轨迹方程 典例1 （24-25高二上·吉林长春·阶段检测）已知点和点，是动点，且直线与的斜率之积等于，则动点的轨迹方程为______． 💡破题要诀 核心知识 动点满足几何等式直接翻译为坐标关系式 方法技巧 设动点将几何条件转化含等式 移项平方化简检验增根写出定义域 迁移应用 1．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广西柳州·期中）设点，为动点，已知直线与直线的斜率之积为定值，点的轨迹方程是（   ） A． B． C． D． 题型七 相关点法求轨迹方程 典例1 （25-26高二上·江苏镇江·期末）将圆上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，所得曲线的方程是（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 核心知识 动点随已知曲线上点运动 方法技巧 建立与的关系式反解 代入已知曲线方程替换得到方程 迁移应用 1．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）已知曲线，从上任意一点向轴作垂线为垂足，则的中点所在曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）（1）平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程． （2）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程． （3）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1．求点的轨迹方程； （4）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，动点满足．求动点的轨迹方程； 基础固本练（限时：15分钟） 1．（25-26高二下·上海黄浦·期中）若曲线：，则下列描述中正确的是（   ） （1）曲线关于原点中心对称 （2）曲线关于直线对称 （3）x的取值范围为 （4）图像在第一象限的最低点纵坐标为 A．（1）（4） B．（3）（4） C．（2）（4） D．（2）（3） 2．（25-26高二上·广东汕头·期中）平面内两定点和，动点，满足，动点的轨迹为曲线，下列命题错误的有几个（    ） ①存在，使曲线过坐标原点； ②曲线关于轴对称，但不关于轴对称； ③若三点不共线，则周长最小值为； ④曲线上与不共线的任意一点关于原点对称的点为，则四边形的面积不大于. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26高二上·河北邯郸·期中）已知，则的圆心的轨迹方程为__________. 4．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）（多选）数学中有许多形状优美的曲线，曲线C：就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线C上任意一动点，则（   ）    A．曲线C与直线有3个公共点 B．曲线C上任意两点距离最大值为4 C．的最大值为 D．曲线C所围成图形面积为 5．（25-26高三上·北京顺义·期中）已知曲线，点为曲线上任意一点，则下列说法正确的有__________. ①曲线关于点对称； ②曲线所围成的图形面积小于3； ③点的纵坐标的取值范围为； ④线段长度的最小值为1. 6．（25-26高二上·广东广州·期中）（多选）已知曲线E：（x，y不同时为0），则（    ） A．曲线E围成图形的面积为 B．曲线E的长度为 C．曲线E上的点到原点的最小距离为 D．曲线E上任意两点间最大距离为 7．（25-26高二上·浙江杭州·期中）（多选）如图所示，双曲线与抛物线围成封闭曲线，若对于轴上一定点，上恰有对不同的点关于点对称，则实数的值可能是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东青岛·期中）已知，，直线，相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的商是2，则点的轨迹方程是_____. 9．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 10．（25-26高二上·江苏常州·期中）（多选）1675年，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现：在同一平面内，到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卡西尼卵形线．设定点，，已知曲线为卡西尼卵形线，下列选项判断正确的是（ ） A．原点在曲线的内部； B．曲线既是中心对称图形，又是轴对称图形； C．曲线上的点的横坐标的取值范围是； D．曲线上存在点，使得 综合进阶练（限时：15分钟） 11．（25-26高二上·福建龙岩·期中）（多选）已知曲线C：，下列结论正确的是（   ） A．曲线C关于x轴对称 B．曲线C构成的封闭图形面积小于的面积 C．曲线C上任一点到坐标原点O的距离都不超过2 D．曲线C的内部（不含边界）有4个整点（横、纵坐标均为整数的点） 12．（25-26高二上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，到定点的距离之积为的点的轨迹就是伯努利双纽线，的方程为，其形状类似于符号，若点是轨迹上一点，给出下列四个结论： ①曲线关于原点中心对称： ②恒成立； ③当时，取得最大值或最小值； ④曲线上任一点到原点的距离不超过． 其中所有正确结论的序号是___________． 13．（25-26高三上·内蒙古赤峰·期中）如图所示的曲线C被称为伯努利双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其几何性质可以描述为：平面上的动点到两定点的距离满足：，则以下结论中不正确的是（ ） A．若是曲线上一点，且在第一象限，则 B．当时，的最大值是（为坐标原点） C．曲线C的方程是： D．面积的最大值是. 14．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知曲线，点在曲线上，则下列结论中，正确的个数为（   ） ①曲线围成的图形的面积为； ②的最小值为； ③点到直线的距离的最大值为； ④曲线有且仅有4条对称轴 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 15．（25-26高二上·江苏南通·期中）已知曲线. (1)求曲线围成的平面图形的面积； (2)若是曲线上的两个动点，求的最大值； (3)是否存在直线与曲线至少有三个不同的公共点？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 16．（25-26高二上·江苏苏州·期中）（多选）曲线，是曲线上任意两点，则下列说法正确的是（    ） A．曲线的图象有且仅有条对称轴 B．曲线所围成的面积为 C．的最大值为 D．记曲线上任意一点，则的最小值为 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $