专题02 空间向量在立体几何中的应用（期中复习讲义）高二数学上学期人教B版

专题02 空间向量在立体几何中的应用 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 求直线的方向向量与平面的法向量 考点二 求异面直线的夹角 考点三 求线面角 考点四 求平面与平面的夹角或二面角 考点五 求点到直线的距离 考点六 求点/直线/平面到平面的距离 考点七 求异面直线的距离 05 重难题型突破 题型一 由异面直线的距离求其他量 题型二 由线面角求其他量 题型三 由二面角求其他量 题型四 由点到平面的距离求其他量 题型五 线面角二面角的存在性 题型六 点到直线/平面的距离的存在性 题型七 求距离的最值与范围 题型八 求线面角/二面角的最值与范围 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中试卷多以解答大题为核心搭配少量选择填空小题 基础小题考查方向向量与法向量求解各类公式识记辨析 解答大题必考异面直线夹角线面角二面角计算同时考查点线点面等空间距离计算 命题以建立空间直角坐标系为核心将立体几何几何关系转化为向量坐标代数运算 重点考查坐标运算准确度空间角范围判断法向量夹角与二面角的区分 压轴设问常设置含参求值存在性探究角度或距离的最值范围问题 识记 记住直线方向向量平面法向量定义熟记异面直线角线面角二面角完整向量计算公式与角度取值区间熟记点到直线点到平面线面面面异面直线距离向量计算公式 理解 理解方向向量平面法向量的几何意义理解各类空间角和向量夹角之间的转化逻辑分清向量夹角和立体几何空间角的区别理解全部空间距离向量公式的推导原理 应用 能快速在几何体中建系写出各点坐标求解方向向量与平面法向量熟练套用向量公式计算各类空间角和空间距离可以利用已知空间角距离反向求解参数线段长度独立解决空间角距离相关的存在性问题以及最值范围问题 1．直线的方向向量 如图，设点，是直线上不重合的任意两点，称为直线的__方向______向量．    显然，与平行的任意非零向量也是直线的方向向量，直线的方向向量__平行______于该直线． 2．平面的法向量 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个___非零向量_____，且表示的有向线段所在的直线与平面__垂直______，则称为平面的一个法向量，此时也称与平面垂直，记作． 3．用空间向量求空间角 （1）两条异面直线所成的角 设异面直线，所成的角为，其方向向量分别为，，则________________． （2）直线和平面所成的角 直线与平面相交于，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则________________． （3）平面与平面的夹角 ①两平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角． ②两平面夹角的计算：设平面，的法向量分别是，，平面与平面的夹角为，则________________． 4．用空间向量求距离 （1）点到直线的距离 设，是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量．在中，由勾股定理，得________．    （2）点到平面的距离 若平面的法向量为，平面内一点为，则平面外一点到平面的距离________，如图所示．    （3）线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 考点一 求直线的方向向量与平面的法向量 ⚠️概念辨析 核心知识 直线方向向量：平行于该直线的任意非零向量 平面法向量：垂直于平面的非零向量 若平面内两不共线向量则 方法技巧 直线方向向量：取直线上两点 平面法向量：设代入平面内两个向量列数量积为0的方程组令其中一个未知数取简单非零整数解方程组得到一组法向量 法向量不唯一同方向或反方向向量均可使用 1．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个单位方向向量是______ 2．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知向量，且平面平面，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）以下命题错误的为（     ） A．直线的方向向量，直线的方向向量，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．平面经过点、、，向量是平面的一个法向量，则 4．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 考点二 求异面直线的夹角 ⚠️概念辨析 核心知识 异面直线夹角范围 设两条异面直线方向向量 方法技巧 写出两条异面直线方向向量坐标 代入数量积公式计算向量夹角余弦 必须取绝对值得到异面直线夹角的余弦值 结果可以用反三角函数或者特殊角表示 5．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 6．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． (1)求点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 7．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 8．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 考点三 求线面角 ⚠️概念辨析 核心知识 线面角：直线与平面中投影的夹角范围 直线方向向量平面法向量 线面角与互余或其补角互余 方法技巧 求出直线方向向量与平面法向量 套用公式算出正弦值 高频易错点：不要错用余弦计算线面角 9．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）如图，四棱锥中，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 10．（26-27高二上·浙江·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱上的一点（与不重合），若平面与平面的交线为，则直线与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 11．（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，为的中点，且，，. (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 12．（26-27高三·新疆内蒙古·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面平面，是等边三角形． (1)若平面平面，证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； 考点四 求平面与平面的夹角或二面角 ⚠️概念辨析 核心知识 二面角范围 两平面夹角范围 两平面法向量 二面角大小等于法向量夹角或者法向量夹角的补角 两平面夹角直接取余弦绝对值 方法技巧 求出两个平面的法向量 计算法向量夹角余弦 观察几何体直观图判断二面角是锐角还是钝角 13．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：平面.； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 14．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）直三棱柱中，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 15．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）已知正方形的边长为2，沿将折起至位置（如图），为的重心，点在边上，且． (1)证明：平面； (2)若，求平面ABC与平面GBC所成角的余弦值． 16．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）如图，三棱锥中，，，为的中点．点满足，则平面与面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 考点五 求点到直线的距离 ⚠️概念辨析 设，是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量．在中，由勾股定理，得________． 17．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）空间直线l经过点，且直线l的方向向量为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高二上·贵州·阶段检测）已知点，，，则点到直线的距离为______． 19．（26-27高二上·宁夏吴忠·阶段检测）已知空间中的点，且，则点到的距离为______ 20．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 考点六 求点/直线/平面到平面的距离 ⚠️概念辨析 核心知识 点到平面距离：平面内取一点平面法向量 直线平行平面时线面距离=直线上任一点到平面距离 两平面互相平行时面面距离=一个平面内任意一点到另一平面距离 方法技巧 所有线面面面距离全部转化为点到平面距离求解 必须先证明线面平行或面面平行再代入公式计算 21．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在长方体中，，E是边上的点，F是边上的点，． (1)求证: 平面； (2)求到平面的距离． 22．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 23．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，正四棱柱中，，，点，分别是，的中点． (1)求直线与直线所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 24．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点D到平面ABC的距离为______． 考点七 求异面直线的距离 ⚠️概念辨析 核心知识 两条异面直线方向向量 两直线上各取一点连接向量 公垂向量满足 异面直线距离 方法技巧 联立方程求出公垂向量 计算在公垂向量上投影的绝对值即为异面直线距离 25．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 26．（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 27．（26-27高三·全国·一轮复习）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 题型一 由异面直线的距离求其他量 典例1 （25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 💡破题要诀 核心知识 异面直线距离投影公式向量垂直坐标条件 方法技巧 设参数建立空间直角坐标系写出所有相关向量 代入异面直线距离公式列方程求解参数 将参数代回再求解线段长度空间角等其他量 迁移应用 1．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 2．（24-25高二上·吉林白山·阶段检测）（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 题型二 由线面角求其他量 典例1 （26-27高二上·北京石景山·阶段检测）如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 💡破题要诀 核心知识 线面角 方法技巧 根据题目给出的线面角写出三角函数等式 解方程求出参数取值 再继续计算线段长度或者证明线线线面位置关系 迁移应用 1．（26-27高二上·浙江·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面 ， ，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，五面体为平面截某正三棱柱的余下部分，其中为等边三角形，平面，动点满足． (1)当时，证明：平面； (2)当时，若与平面所成角的正弦值为，求的值． 题型三 由二面角求其他量 典例1 （26-27高二上·天津静海·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)是棱上一点， （i）证明：平面平面； （ii）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 💡破题要诀 核心知识 二面角 方法技巧 写出两个平面法向量坐标 结合二面角大小建立余弦等式 看图判断二面角为锐角或钝角确定符号求解参数 参数求出后继续计算线段或者空间角度 迁移应用 1．（26-27高二上·山西晋城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 2．（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，平面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．若存在，求的值，若不存在，说明理由． 题型四 点到平面的距离求其他量 典例1 （26-27高二上·山东淄博·阶段检测）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)是否存在点到平面的距离为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 💡破题要诀 核心知识 点面距离公式 方法技巧 使用已知点面距离列出方程求解参数 得到参数后再计算异面直线角线面角线段长 注意分母不能等于0 迁移应用 1．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）如图，平行六面体的所有棱长均为2、，，平面平面，点满足．． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值： (3)是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 2．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，且，，． (1)证明：； (2)点是线段上的点，且点到平面的距离为，求的值． 题型五 线面角二面角的存在性 典例1 （26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． (1)若，证明：平面； (2)是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由； (3)以为直径作球，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值． 💡破题要诀 核心知识 空间向量坐标运算一元二次方程解的判定 线面角范围二面角范围 方法技巧 假设参数存在写出对应角度的三角函数表达式 建立方程利用判别式判断方程是否存在符合角度范围的解 有解则存在无解则不存在 注意参数要符合几何体本身取值约束 迁移应用 1．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为2，，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内． (1)求证：； (2)棱（含端点）上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为，若存在，指出点位置，若不存在，说明理由． 2．（25-26高一下·河北衡水·期末）如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 题型六 点到直线/平面的距离的存在性 典例1 （2026·黑龙江大庆·一模）已知正三棱柱所有棱长都为，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，满足点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 💡破题要诀 方法技巧 引入参数写出距离关于参数的表达式 令距离等于题目给定数值构建方程 分析方程在参数允许范围内是否存在实数解 检验解满足几何体实际约束 迁移应用 1．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）如图，是边长为的正方形，平面，，且． (1)求直线与平面所成角的正弦值． (2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 2．（2025高三上·福建厦门·专题练习）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 题型七 求距离的最值与范围 典例1 ．（26-27高三上·湖北·阶段检测）边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________． 💡破题要诀 核心知识 距离公式转化为关于参数的函数二次函数值域距离 方法技巧 写出距离关于参数的函数表达式 化简函数表达式距离恒大于等于0 结合参数定义域求函数值域得到距离最值与范围 可辅助使用几何法验证结果 迁移应用 1．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，若在正方体内部且满足，则到直线的距离最小值为 （     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段中点，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是________ 题型八 求线面角/二面角的最值与范围 典例1 （26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面PAC，面面，． (1)证明：面PAC； (2)若，求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)如图，若，平面平面，Q为l上一动点．平面ABQ与平面CDQ夹角的大小为，求的最小值． 💡破题要诀 核心知识 线面角 二面角 三角函数单调性与值域 方法技巧 将角度对应的三角函数整理为参数的函数 分析函数单调性求出三角函数取值范围 再反推角度的最值与取值范围 严格注意角度本身的区间限制 迁移应用 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦的最大值． 基础固本练（限时：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）（多选）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 2．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知，则平面的一个法向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，且，点为的中点. (1)求点到平面的距离. (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 5．（26-27高二上·辽宁·期中）正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为______． 6．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 7．（25-26高三上·江苏泰州·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 8．（26-27高二上·河南·期中）已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 9．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 10．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 综合进阶练（限时：15分钟） 11．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)若，设直线与平面所成的角为，求的最大值． 12．（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 13．（25-26高一下·河北保定·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 14．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面. (1)求证：； (2)已知点为线段上的动点（不与重合）， ①当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的余弦值； ②当平面与平面的夹角最小时，试确定点的位置. 15．（25-26高二下·江苏连云港·期中）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，.将沿翻折至，其中为动点. (1)若为的中点，求证： 平面； (2)若平面平面，求点到平面的距离； (3)二面角的余弦值是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由. 16．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，， 点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值，并求点到平面的距离． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 空间向量在立体几何中的应用 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 求直线的方向向量与平面的法向量 考点二 求异面直线的夹角 考点三 求线面角 考点四 求平面与平面的夹角或二面角 考点五 求点到直线的距离 考点六 求点/直线/平面到平面的距离 考点七 求异面直线的距离 05 重难题型突破 题型一 由异面直线的距离求其他量 题型二 由线面角求其他量 题型三 由二面角求其他量 题型四 由点到平面的距离求其他量 题型五 线面角二面角的存在性 题型六 点到直线/平面的距离的存在性 题型七 求距离的最值与范围 题型八 求线面角/二面角的最值与范围 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中试卷多以解答大题为核心搭配少量选择填空小题 基础小题考查方向向量与法向量求解各类公式识记辨析 解答大题必考异面直线夹角线面角二面角计算同时考查点线点面等空间距离计算 命题以建立空间直角坐标系为核心将立体几何几何关系转化为向量坐标代数运算 重点考查坐标运算准确度空间角范围判断法向量夹角与二面角的区分 压轴设问常设置含参求值存在性探究角度或距离的最值范围问题 识记 记住直线方向向量平面法向量定义熟记异面直线角线面角二面角完整向量计算公式与角度取值区间熟记点到直线点到平面线面面面异面直线距离向量计算公式 理解 理解方向向量平面法向量的几何意义理解各类空间角和向量夹角之间的转化逻辑分清向量夹角和立体几何空间角的区别理解全部空间距离向量公式的推导原理 应用 能快速在几何体中建系写出各点坐标求解方向向量与平面法向量熟练套用向量公式计算各类空间角和空间距离可以利用已知空间角距离反向求解参数线段长度独立解决空间角距离相关的存在性问题以及最值范围问题 1．直线的方向向量 如图，设点，是直线上不重合的任意两点，称为直线的__方向______向量．    显然，与平行的任意非零向量也是直线的方向向量，直线的方向向量__平行______于该直线． 2．平面的法向量 如果是空间中的一个平面，是空间中的一个___非零向量_____，且表示的有向线段所在的直线与平面__垂直______，则称为平面的一个法向量，此时也称与平面垂直，记作． 3．用空间向量求空间角 （1）两条异面直线所成的角 设异面直线，所成的角为，其方向向量分别为，，则________________． （2）直线和平面所成的角 直线与平面相交于，设直线与平面所成的角为，直线的方向向量为，平面的法向量为，则________________． （3）平面与平面的夹角 ①两平面的夹角：平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于的二面角称为平面与平面的夹角． ②两平面夹角的计算：设平面，的法向量分别是，，平面与平面的夹角为，则________________． 4．用空间向量求距离 （1）点到直线的距离 设，是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量．在中，由勾股定理，得________．    （2）点到平面的距离 若平面的法向量为，平面内一点为，则平面外一点到平面的距离________，如图所示．    （3）线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离 考点一 求直线的方向向量与平面的法向量 ⚠️概念辨析 核心知识 直线方向向量：平行于该直线的任意非零向量 平面法向量：垂直于平面的非零向量 若平面内两不共线向量则 方法技巧 直线方向向量：取直线上两点 平面法向量：设代入平面内两个向量列数量积为0的方程组令其中一个未知数取简单非零整数解方程组得到一组法向量 法向量不唯一同方向或反方向向量均可使用 1．（26-27高二上·广东佛山·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个单位方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，也可以是） 【详解】因为，所以直线的一个单位方向向量是：, 答案也可以是 2．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）已知向量，且平面平面，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设平面与平面的法向量分别为，，求出，再结合逐一判断即可. 【详解】 ，设平面与平面的法向量分别为，. ，令 ，， . 由平面平面， . 当时，，A错误. 当时，，B错误. 当时，，C错误. 当时，，D正确. 3．（26-27高二上·河北邢台·阶段检测）以下命题错误的为（     ） A．直线的方向向量，直线的方向向量，则 B．直线的方向向量，平面的法向量，则 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．平面经过点、、，向量是平面的一个法向量，则 【答案】B 【分析】根据向量平行或垂直的坐标表示判断选项AB；根据向量夹角的计算公式及充分条件、必要条件判断选项C；根据平面的法向量判断选项D. 【详解】对于A，因为，所以直线与直线的方向向量共线，所以，A正确. 对于B，，所以， 所以平面或平面，B错误. 对于C，若，即，所以， 故空间向量、共线反向或夹角为钝角， 所以“”不能推出“与的夹角为钝角”. 若“与的夹角为钝角”，则，所以， 所以“与的夹角为钝角”能推出“”. 故“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件，C正确. 对于D，，. 因为向量是平面的一个法向量， 所以，即，解得，所以，D正确. 4．（26-27高二上·云南玉溪·开学考试）如图，在棱长为2的正方体中，以为原点建立空间直角坐标系，为的中点，为的中点，求： (1)直线和的方向向量的坐标； (2)平面的一个法向量的坐标． 【答案】(1)， (2)（答案不唯一） 【详解】（1）由正方体的棱长为2，则，，， ∴直线的方向向量， 直线的方向向量. （2）设向量是平面的法向量，则 取，得，，则是平面的一个法向量． 考点二 求异面直线的夹角 ⚠️概念辨析 核心知识 异面直线夹角范围 设两条异面直线方向向量 方法技巧 写出两条异面直线方向向量坐标 代入数量积公式计算向量夹角余弦 必须取绝对值得到异面直线夹角的余弦值 结果可以用反三角函数或者特殊角表示 5．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，直三棱柱中，，，则异面直线和所成角的余弦值为________. 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解. 【详解】在直三棱柱中，，. 如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 设，则. 则. 所以. 设异面直线和所成角为， 则， 异面直线和所成角的余弦值为. 6．（26-27高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，在三棱锥中，，点在棱上．在空间直角坐标系中，点，，，． (1)求点的坐标； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设点的坐标为，利用向量共线定理，结合的距离条件列方程求解； （2）求出向量 与 的坐标，利用空间向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】（1）设点的坐标为；，，，. 点在棱上，，即； ，即. ，，，； ，，即， 整理得，解得或.，； ，即点的坐标为. （2）设异面直线与所成角为. 由，，，，得，. . 异面直线与所成角的余弦值为. 7．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，在棱上，且，是的中点． (1)求证：； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明：如图，以为原点，以射线、、分别为x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 所以，， 所以， 所以，故． (2) 【分析】（1）以为坐标原点建立空间直角坐标系，首先求出相应点的坐标，再证明即可； （2）利用向量的夹角公式即可求得异面直线与所成角的余弦值． 【详解】（1）略. （2）因为是的中点，且，，故， 所以，所以， 因为，，且， 所以， 因此异面直线与所成角的余弦值为． 8．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】 由题意知平面，，故以为坐标原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 则各点坐标为，，，. 因此，，则有， ，， 设异面直线与所成角为，其中， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 考点三 求线面角 ⚠️概念辨析 核心知识 线面角：直线与平面中投影的夹角范围 直线方向向量平面法向量 线面角与互余或其补角互余 方法技巧 求出直线方向向量与平面法向量 套用公式算出正弦值 高频易错点：不要错用余弦计算线面角 9．（26-27高二上·山东淄博·阶段检测）如图，四棱锥中，，，，，． (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)设线段的中点为，连接， 因为，所以，，， 因为，，，所以四边形为矩形， 因为，所以在中， 因为，则由勾股定理可知， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； (2) 【分析】（1）设线段的中点为，求证，进而得出平面，再利用面面垂直的判定定理求证； （2）以为原点建系，计算平面的法向量，再利用公式计算. 【详解】（1）略 （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为. 10．（26-27高二上·浙江·阶段检测）在棱长为2的正方体中，为棱上的一点（与不重合），若平面与平面的交线为，则直线与平面所成角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用面面平行的性质得到交线.以D为原点，建立空间直角坐标系，确定相关点的坐标，求出直线的方向向量与平面的一个法向量，利用空间向量的线面角公式求解. 【详解】在正方体中，上底面 下底面. 平面，平面同时与平面、平面相交： 平面 平面，平面 平面. 由面面平行的性质定理，可得. 以为原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系. 因为正方体的棱长为2，则，，，， 所以，即为直线的方向向量. 取平面内两个相交向量：，. 设平面的一个法向量为，则， 解得，令，得平面的一个法向量为. 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以直线与平面所成角为． 11．（26-27高三上·福建泉州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，为的中点，且，，. (1)求三棱锥的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用等体积法转换三棱锥的顶点：，求出点B到平面的距离，代入三棱锥体积公式可求体积. （2）建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，再根据线面角的向量公式求解. 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以平面平面  ①， 又，为的中点，所以  ②， 平面   ③，平面平面   ④， 由①、②、③、④可得：平面. 又，， 又因为 . （2） 如图所示：建立空间直角坐标系，则：，，，. 所以，，， 设平面的法向量为， 由，得， 令，得，. 故平面的一个法向量为， 又， 设直线与平面所成角， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 12．（26-27高三·新疆内蒙古·一轮复习）如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，平面平面，是等边三角形． (1)若平面平面，证明：； (2)求直线和平面所成角的正弦值； 【答案】(1)因为四边形为菱形，所以. 因为平面，平面， 所以平面.又平面， 且平面平面，由线面平行的性质定理知. (2) 【分析】（1）通过平面，结合线面平行的性质定理即可求证； （2）建系，求得直线的方向向量的和平面的法向量，结合线面角公式即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，交线为，为等边三角形， 所以点在平面上的投影为的中点，且到平面的距离为. 以为原点，所在直线为轴，在平面内过且垂直于的直线为轴，过且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，. 于是，，. 设平面的法向量为， 由，，得，. 取，得, 得平面的一个法向量. 设直线和平面所成的角为， 则. 考点四 求平面与平面的夹角或二面角 ⚠️概念辨析 核心知识 二面角范围 两平面夹角范围 两平面法向量 二面角大小等于法向量夹角或者法向量夹角的补角 两平面夹角直接取余弦绝对值 方法技巧 求出两个平面的法向量 计算法向量夹角余弦 观察几何体直观图判断二面角是锐角还是钝角 13．（26-27高三上·天津和平·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，是的中点，作交于点． (1)求证：平面.； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明：连接交于点， 因为四边形为正方形，所以为的中点， 又因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. (2) (3) 【分析】（1）连接交于点，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，先证得平面，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）由（1）知：平面，得到为三棱锥的高，结合，结合锥体的体积公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）解：以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，， 可得，所以，所以，即， 又因为，且，平面，所以平面， 所以平面的一个法向量为， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，则，即， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面的夹角的余弦值. （3）解：由（2）知：平面，平面， 所以，且为三棱锥的高， 因为四边形为正方形，可得， 又因为平面，且平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在直角中，可得，则， 所以， 所以，， 在直角中，由，可得， 在中，可得，所以， 则， 又由， 所以. 14．（26-27高三上·吉林长春·阶段检测）直三棱柱中，为等腰直角三角形，，． (1)求证：； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1) 由题意，如图建系，则， 则， 所以， 所以，即； (2) 【详解】（1）略 （2）取平面内向量， 设平面的法向量为， 则， 令，得，则， 取平面内向量， 设平面的法向量为， 则， 令，得，则， 所以， 由图可知平面与平面所成二面角为锐二面角， 故平面与平面所成二面角的余弦值为. 15．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）已知正方形的边长为2，沿将折起至位置（如图），为的重心，点在边上，且． (1)证明：平面； (2)若，求平面ABC与平面GBC所成角的余弦值． 【答案】(1)连接延长交于点，连接，， 因为是的重心，所以， 因为，所以，所以， 因为平面，平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求面面角即可. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以， 在中，为的中点，所以为等腰三角形， 可得， 延长交于点，则为的中点，且， 所以，所以， 因为，，所以 两两垂直， 建系如图所示：可得，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 则 令得， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 所以， 所以平面ABC与平面GBC所成角的余弦值为． 16．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）如图，三棱锥中，，，为的中点．点满足，则平面与面所成角的正弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先以为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.接着求出与的坐标，最后求出平面和平面的法向量即可. 【详解】设， 因为，且，可知是以为直角顶点的等腰直角三角形， 故可以以为原点，为轴正方向，为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，因为是的中点，所以. 设，， 由可得，解得，即. 已知，且， 设，则， 解得，即. 因为，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以； 因为设平面的法向量为，则， 令，则，所以. 设平面和平面所成角为，且为锐角， 则， 可得，所以平面和平面所成角的正弦值为. 考点五 求点到直线的距离 ⚠️概念辨析 设，是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量．在中，由勾股定理，得________． 17．（26-27高二上·重庆合川·阶段检测）空间直线l经过点，且直线l的方向向量为，则点到直线l的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据题意可得，，直线l的方向向量为， 所以点P到直线l的距离为． 18．（26-27高二上·贵州·阶段检测）已知点，，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【分析】构造直线的方向向量与点到的连线向量，利用向量投影结合勾股定理求解点到直线的距离. 【详解】由已知得，，， 则， 因为，所以， 所以点到直线的距离为 19．（26-27高二上·宁夏吴忠·阶段检测）已知空间中的点，且，则点到的距离为______ 【答案】 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和，，则. 向量在上的投影长度. 根据勾股定理，点到直线的距离. 20．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用四点共面的充要条件求出，进而得到点坐标，最后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴建立空间坐标系， 所以，，，， 则，故， 因为点在平面内，所以四点共面. 由空间向量共面定理可知，解得，所以， 直线的方向向量为，，， 所以点到直线的距离. 考点六 求点/直线/平面到平面的距离 ⚠️概念辨析 核心知识 点到平面距离：平面内取一点平面法向量 直线平行平面时线面距离=直线上任一点到平面距离 两平面互相平行时面面距离=一个平面内任意一点到另一平面距离 方法技巧 所有线面面面距离全部转化为点到平面距离求解 必须先证明线面平行或面面平行再代入公式计算 21．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）如图，在长方体中，，E是边上的点，F是边上的点，． (1)求证: 平面； (2)求到平面的距离． 【答案】(1)以为原点，为正方向，建立如图所示空间直角坐标系. . 所以 因为 所以为平面CEF的法向量，所以平面. (2) 【分析】（1）利用平面法向量证明平面即可；（2）先写出平面的方程，再利用点到平面的距离公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）因为，所以平面方程为， 即， 所以到平面的距离为 22．（26-27高二上·河南·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，底面是边长为2的正方形，，点在上，且，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点与向量坐标，利用方程组求出平面的法向量，再由向量关系确定点坐标得到坐标，用点到平面的向量距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，AB，AD，AP所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系， 则，所以. 设，平面PBD的法向量为，则所以 令，则，所以是平面的一个法向量. 又，所以，解得， 即，则， 所以点到平面PBD的距离为. 23．（26-27高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，正四棱柱中，，，点，分别是，的中点． (1)求直线与直线所成角的正弦值； (2)求点到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，即可根据向量的夹角求解， （2）求解平面法向量，进而根据点面距离的向量法公式即可求解. 【详解】（1）正四棱柱中，平面，且， 分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 则，，，，，． 因为点是的中点，所以，所以． ． 所以． 直线与直线所成角的正弦值为． （2）由（1）知，，，，． 设平面的法向量， 则，所以． 令，则，，所以平面的一个法向量． 因为，所以． 所以点到平面的距离为． 24．（26-27高二上·四川成都·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则点D到平面ABC的距离为______． 【答案】/ 【分析】根据点到平面的距离公式计算即可. 【详解】由题可知，，， 设平面的法向量为， 则，所以，可取， 根据点到平面的距离公式. 考点七 求异面直线的距离 ⚠️概念辨析 核心知识 两条异面直线方向向量 两直线上各取一点连接向量 公垂向量满足 异面直线距离 方法技巧 联立方程求出公垂向量 计算在公垂向量上投影的绝对值即为异面直线距离 25．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 【答案】/ 【分析】先求异面直线与公垂线的方向向量，再求在上投影的绝对值即可. 【详解】因为，， 设异面直线与公垂线的方向向量 ， 则 ，令，可得 . 又，所以在上投影的绝对值为：. 即异面直线与之间的距离是. 26．（2026·天津北辰·二模）如图，在直三棱柱中，，，，点E，F分别为线段和的中点. (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求直线与直线间的距离. 【答案】(1)证明：（方法一）连接，如图所示： 因为，且四边形为矩形， 所以， 又因为，所以， 因为平面，平面， 所以平面； （方法二）因为，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴， 建立如图所示空间直角坐标系： 可得，，，， ，，，， 平面的一个法向量为， ，， ∵平面. ∴平面. (2) (3). 【分析】（1）（方法一）连接，由中位线的定义可得，由线面平行的判定定理即可得证；（方法二）以为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴，利用空间向量法证明即可； （2）利用空间向量法求解即可； （3）利用空间向量法，转化为求点E到直线的距离. 【详解】（1）略 （2）由（1）的方法二可知： ，，. 设平面的一个法向量为， 则， 取，可得，， 所以， 设直线与平面所成角为， 可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）的方法二可知： ，，， ，∴. 则直线与直线间的距离转化为点E到直线的距离， . 所以直线与直线间的距离为. 27．（26-27高三·全国·一轮复习）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求两异面直线的方向向量和公垂线方向向量，再利用向量法计算异面直线的距离． 【详解】解：如图，以为原点，，，分别为，，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有   可取， 所以异面直线和的距离为． 故选：A． 28．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 题型一 由异面直线的距离求其他量 典例1 （25-26高二下·四川南充·期中）《九章算术》中，将底面为长方形，且一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．在阳马中，若平面，且，异面直线与所成角的余弦值为，则AD的长度为______． 【答案】4 【分析】建立空间直角坐标系，利用异面直线向量公式列方程求解即可. 【详解】由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系如图，    设，因为， 所以， ， 设异面直线与所成角为， 则， 解得，即. 💡破题要诀 核心知识 异面直线距离投影公式向量垂直坐标条件 方法技巧 设参数建立空间直角坐标系写出所有相关向量 代入异面直线距离公式列方程求解参数 将参数代回再求解线段长度空间角等其他量 迁移应用 1．（2026·广西崇左·一模）如图，在四棱锥中，底面，，，，E，F，G分别为，，的中点. (1)证明：平面平面. (2)若异面直线与所成角的余弦值为，求四棱锥的体积. 【答案】(1)因为E，F分别为，的中点，所以. 又平面，平面，所以平面. 因为 ，，且E为的中点，所以， 则四边形为平行四边形， 则.又平面，平面，所以 平面. 因为平面，平面， ，所以平面 平面. (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理得到平面和 平面，再利用面面平行的判定定理即可证明； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出相关向量，从而得到锥体的高，最后利用锥体的体积公式即可得到答案. 【详解】（1）略 （2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示. 设 （ ），则，，，， 则，. 因为异面直线与所成角的余弦值为， 所以， 解得， 故四棱锥的体积为. 2．（24-25高二上·吉林白山·阶段检测）（多选）如图，设动点在棱长为的正方体的对角线上，，当为锐角时，可以取（    ） A． B．0 C． D． 【答案】BD 【分析】如图建立空间直角坐标系，表示出，利用可得范围，即可得答案. 【详解】如图建立空间直角坐标系， 则. 由图，，又， 则，即， 则.因为锐角， 则 或， 又由题可知，则. 故选：BD 题型二 由线面角求其他量 典例1 （26-27高二上·北京石景山·阶段检测）如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． (1)求证：； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)由为正三角形，为的中点，得， 由平面平面，平面平面，且平面， 得平面，又平面，所以. (2)存在点，使得直线与平面所成的角为，且. 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理得证. （2）以为原点建立空间直角坐标系，利用线面角的向量法列式求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，在菱形中，，则为正三角形， 由是的中点，得，直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 假设在线段上存在点，使得直线与平面所成的角为45°， 设，由，则， 可得，显然平面的法向量， 因此，解得， 所以存在满足条件的点，使得直线与平面所成的角为且. 💡破题要诀 核心知识 线面角 方法技巧 根据题目给出的线面角写出三角函数等式 解方程求出参数取值 再继续计算线段长度或者证明线线线面位置关系 迁移应用 1．（26-27高二上·浙江·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面 ， ，点为的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)取的中点，连接， 因为F，M均为中点， 故为中位线，即， 又， 故， 所以四边形为平行四边形， 故， 又平面， 所以平面． (2) 【分析】（1）取的中点，连接，根据中位线的性质证明四边形为平行四边形，得到线线平行，进而证得线面平行； （2）先建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用向量法即可确定的值． 【详解】（1）略 （2）在平面中，过作，以所在直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知，． ， 设平面法向量为，则， 解得，令，则，故． 设，则， 所以， 解得（舍去）， 故． 2．（26-27高三上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，五面体为平面截某正三棱柱的余下部分，其中为等边三角形，平面，动点满足． (1)当时，证明：平面； (2)当时，若与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)取的中点O，连接，，有， 因为平面， 平面，所以， 又， 为平面内两条相交直线，所以平面， 当时，M为的中点，又O为的中点，则是梯形的中位线， 所以，且，又，且， 所以，且，故四边形为平行四边形， 所以，又平面， 所以平面； (2) 【分析】（1）取的中点O，连接，，利用线线垂直可得平面，当时，利用梯形的中位线可证四边形为平行四边形，可证结论； （2）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得的方程，求解即可. 【详解】（1）略. （2）由题意，不妨设，则，， 以O为坐标原点，，，分别为x，y，z轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系， 有，，，，，， 由，解得， 所以，，， 设平面的法向量，与平面所成角为， 则，所以，取为方程组的一组解， 即， 所以，解得． 题型三 由二面角求其他量 典例1 （26-27高二上·天津静海·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，为棱的中点． (1)求平面与平面夹角的余弦值； (2)是棱上一点， （i）证明：平面平面； （ii）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】(1) (2)（i）证明：由，，可得， 而，则， 又，可得，则，而， 所以，则，即， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，因此平面平面． （ii）或 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用面面角的空间向量公式求解即可； （2）（i）利用空间向量证明，由平面可得，进而得到平面，再根据面面垂直的判定定理求证即可； （ii）利用面面角的空间向量公式建立方程求解即可. 【详解】（1）以为原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 易得平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面与平面夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （2）（i）略 （ii）设，，而，，， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以，令，得， 又平面的法向量为， 所以， 化简整理得：，解得或，即或． 💡破题要诀 核心知识 二面角 方法技巧 写出两个平面法向量坐标 结合二面角大小建立余弦等式 看图判断二面角为锐角或钝角确定符号求解参数 参数求出后继续计算线段或者空间角度 迁移应用 1．（26-27高二上·山西晋城·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，，． (1)求证：平面平面； (2)若点N为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值； (3)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置． 【答案】(1)证明：底面，底面， ， 又，且，，平面， 平面， 又平面， ∴平面平面． (2)． (3)点N为上靠近点C的三等分点． 【分析】（1）由线面垂直的性质定理可得，结合及线面垂直的判定定理可得平面，即可得证； （2）以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可； （3）结合（2）设（），分别求出平面与平面的法向量，，利用，求出的值，即可得点的位置. 【详解】（1）略； （2）由（1）知平面，平面，故， ∵，， 又底面，底面， 所以， 故以A为原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 设，则，， ，， ，， 则，，， 所以, N为中点，故． 向量， 设平面的法向量， 由，即， 令，得． 设直线与平面所成的角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）知，，， 设（），， 则，， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， 设平面的一个法向量为，， 则， 令，则， ∵平面与平面夹角的余弦值为， ， 整理得：， 解得或（舍去）， 因此，点N为上靠近点的三等分点． 2．（26-27高二上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）如图，平面． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)在线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为．若存在，求的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)，平面，平面，平面， ，平面，平面，平面， 又，平面，平面平面， 平面，平面. (2) (3)或 【分析】（1）通过线面平行证面面平行，再利用面面平行的性质即可， （2）以分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再代入公式即可； （3）求出平面的法向量，再求出的长，进而可以求出的值. 【详解】（1）略 （2）平面， 如图，以分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则， 令，得，故平面的法向量为， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. （3）存在，理由如下： 设，则， 设平面的法向量为，则， 令，得，故平面的法向量为， ，即，解得或， 或. 题型四 点到平面的距离求其他量 典例1 （26-27高二上·山东淄博·阶段检测）如图，直线垂直于梯形所在的平面，，为线段上一点，，，四边形为矩形． (1)若是的中点，求证：平面； (2)求平面与平面所成角的余弦值； (3)是否存在点到平面的距离为？若存在，求的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接交于点，连接， 因为四边形为矩形，所以点为中点， 在中，是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面． (2) (3)存在， 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，再利用线面平行的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求平面与平面的法向量，利用空间向量法即可求得平面与平面所成角的余弦值； （3）设，利用点到平面的距离公式求出的值，进而即可求得的长． 【详解】（1）略 （2）由于平面，， 以为原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，，， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，，所以， 所以， 因此平面与平面所成角的余弦值为. （3）设， 因为，所以， 点到平面的距离为， 解得，故， 所以， 所以存在点到平面的距离为，且此时的长为． 💡破题要诀 核心知识 点面距离公式 方法技巧 使用已知点面距离列出方程求解参数 得到参数后再计算异面直线角线面角线段长 注意分母不能等于0 迁移应用 1．（26-27高二上·广东广州·阶段检测）如图，平行六面体的所有棱长均为2、，，平面平面，点满足．． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成的角的正弦值： (3)是否存在点在线段上，使得点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接交于，连接，，              因为，，所以与相似，所以， 即，又，所以， 又平面，平面，所以平面； (2) (3) 【分析】（1）连接交于，借助相似性质可得，结合可得，再利用线面平行判定定理即可得； （2）结合题目所给条件，可建立适当空间直角坐标系，再求出直线的方向向量与平面的法向量，最后利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）设，再利用空间中点到平面距离公式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）取中点，连接，因为平面平面，且， 平面平面，平面， 所以平面，由于，所以， 又，，由余弦定理得， 所以，所以，则， 如图以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 由得，则， 设平面的一个法向量为， 则，可取， 所以， 所以直线与平面所成的角的正弦值为； （3）设，因为，， 所以， 所以， 则点到平面的距离， 整理得，解得或（舍去）， 所以时使得点到平面的距离为. 2．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，在多面体中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，且，，． (1)证明：； (2)点是线段上的点，且点到平面的距离为，求的值． 【答案】(1)，，， ，得， ∵平面平面，且平面平面，平面， 平面，而平面， ． (2) 【分析】（1）根据勾股定理可证得，再由面面垂直的性质定理及线面垂直的性质定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的空间向量公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面，且． 以B为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设， 则， 设平面的一个法向量为，则， 取，得． 设点M到平面的距离为d， 则，解得或（舍）． ． 题型五 线面角二面角的存在性 典例1 （26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设点是棱上的一点． (1)若，证明：平面； (2)是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点；若不存在，请说明理由； (3)以为直径作球，若球被平面截得的截面圆的面积为，求的最小值． 【答案】(1)（解法1）：折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，， 则，，， 因为，所以，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 可得， 又因为平面，所以平面． （解法2）：如图所示，连接交于点，连接， 因为，，所以， 由题意可知，，所以，所以， 又因为平面，平面，所以平面． (2)存在，为棱中点 (3) 【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系求坐标，计算平面法向量，证明垂直于法向量，可得线面平行；解法2：利用线段比例，证明，由线面平行判定定理证明. （2）求与平面法向量，利用公式计算即可. （3）首先求得球的半径，再求点到平面的距离，由勾股定理可得，即得截面圆的面积的最小值. 【详解】（1）略. （2）存在点使得直线与平面所成角的正弦值为． 折叠前，因为，， 所以，所以，， 折叠后，，仍然成立， 又因为二面角为直二面角，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， 由已知条件可知，，，，， 设，，则， ，，， 设平面的法向量为， 则令，得，，所以， 设直线与平面所成角为， 所以， 解得，此时点为棱的中点． 即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为． （3）由（2）知，则球的半径， 又球心，，，， 设平面的法向量为， 则令，得，，所以， 所以点到平面的距离， 则截面圆的半径，当且仅当时取得最小值， 所以． 💡破题要诀 核心知识 空间向量坐标运算一元二次方程解的判定 线面角范围二面角范围 方法技巧 假设参数存在写出对应角度的三角函数表达式 建立方程利用判别式判断方程是否存在符合角度范围的解 有解则存在无解则不存在 注意参数要符合几何体本身取值约束 迁移应用 1．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）已知：斜三棱柱中，，与面所成角正切值为2，，，，点为棱的中点，且点向平面所作投影在内． (1)求证：； (2)棱（含端点）上是否存在一点，使二面角的平面角的余弦值为，若存在，指出点位置，若不存在，说明理由． 【答案】(1)取线段的中点，连接、， 在斜三棱柱中，且，则四边形为平行四边形， 所以且， 因为、分别为、的中点，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为，则，因为，则， 因为，为的中点，则， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以. (2)存在，F点满足. 【分析】（1）取线段的中点，连接、，证明出平面，利用线面垂直的性质可证得结论成立； （2）过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，可知直线与平面所成的角为，根据已知条件求出、的长，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法可得出关于的等式，解出的值，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，平面， 过点在平面内作，垂足为点， 因为平面，平面，则， 又因为，，、平面，则平面， 所以直线与平面所成的角为， 所以，则， 因为，可得，， 因为，， 所以，则， 因为为的中点，所以， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 而，则， 即点，同理可得点、， 设，其中， 则，且， 设平面的法向量为， 则，取，则，， 所以平面的一个法向量为， 易知平面的一个法向量为， 因为二面角的平面角的余弦值为， 则，整理可得， 因为，解得，即. 2．（25-26高一下·河北衡水·期末）如图1，在等腰梯形中，，，将沿边翻折，使点翻折到点，连接，得到三棱锥，如图2，其中. (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积； (3)试问在侧棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)如图1，在梯形中，取边的中点，连接. 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，所以， 因为，且，所以， 所以， 因为平面平面PAC，且， 所以平面 (2) (3)侧棱上不存在点，使得二面角的余弦值为. 【分析】（1）先在等腰梯形中构造平行四边形，借助直角三角形斜边中线逆定理证得 ；翻折前后边长不变，结合的长度条件，用勾股定理逆定理证得 ；再依据线面垂直判定定理，证得平面； （2）先根据面面垂直的性质定理确定三棱锥的高线，算出高线长度与底面面积，再利用棱锥体积（底面积乘以高除以3）的公式求解体积即可； （3）先根据几何法作垂线构造二面角的平面角，引入参数表示动点对应的线段长度，结合相似三角形表示出平面角两条直角边长；再由已知二面角余弦值算出正切值，列方程求解参数，最后结合侧棱长度约束参数取值范围，判断点是否存在. 【详解】（1）略 （2）如图2，取棱的中点，连接， 由（1）可知平面，且平面，则平面平面， 因为，且为线段的中点，所以， 因为平面平面，平面，所以平面， 则为三棱锥的高， 因为，所以，则 故三棱锥的体积. （3）假设存在满足条件的点. 如图2，作，垂足为，作，垂足为. 由（2）可知平面平面，又，且平面平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面，，所以平面. 因为平面，所以， 则为二面角的平面角. 由翻折知，，且， 在中，由余弦定理： ， 又，故， 设，在中： ， 因为，且， 所以，， 所以，则，故， 由题意可得， 所以， 因为平面，且平面，所以， 所以，则，解得，故. 因为侧棱线段总长，， 所以点落在的延长线上，线段上不存在满足条件的点， 所以假设不成立，即不存在点，使得二面角的余弦值为. 题型六 点到直线/平面的距离的存在性 典例1 （2026·黑龙江大庆·一模）已知正三棱柱所有棱长都为，点为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求平面和平面夹角的余弦值； (3)在棱上是否存在点，满足点到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：如图，连接，交与点，连接. 因为四边形为正方形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. (2) (3)存在，.理由如下： 因为，所以，. 设，，则 ， 因为点到平面的距离为， 所以 ，解得或（舍去）. 所以，即， 所以在棱上存在点，满足点到平面的距离为，此时. 【分析】（1）构造线线平行，利用线面平行的判定定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求两平面所成角的余弦值. （3）利用空间向量，根据点到平面的距离确定点位置. 【详解】（1）略 （2）因为三棱柱是各棱长均为2的正三棱柱， 取中点，则两两垂直. 故可以为原点，所在射线分别为轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，，， 因为为中点，所以. 所以，，，. 设平面的法向量为， 则，令，则，所以. 设平面的法向量为， 则，令，则，，所以. 所以， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）略 💡破题要诀 方法技巧 引入参数写出距离关于参数的表达式 令距离等于题目给定数值构建方程 分析方程在参数允许范围内是否存在实数解 检验解满足几何体实际约束 迁移应用 1．（26-27高三上·北京海淀·阶段检测）如图，是边长为的正方形，平面，，且． (1)求直线与平面所成角的正弦值． (2)线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）以为原点，为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量和，再由线面角的向量法，即可求解； （2）由题意可设，根据条件，利用点面距的向量法，建立等量关系，即可求出的值，进而得到点的坐标，从而可求. 【详解】（1）由题意可设为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， 所以，， 设平面的一个法向量为，则有， 令，则，则， 设直线与平面的夹角为，则 ， 故直线与平面所成角的正弦值为. （2）由（1）知，平面的一个法向量为，且， 设是线段上一点，由，可设， 则， 又点到平面的距离， 解得（舍）或，故存在满足条件的点， 则，故线段长. 2．（2025高三上·福建厦门·专题练习）如图，等边三角形ABC的边长为，，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值； （2）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【详解】（1）由已知，连接，因为为线段的中点，所以； 因为平面平面，又平面平面，又面， 所以平面；取边的中点记为，则； 以点为原点，以为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 记平面的法向量为， 所以， 不妨取，得， 所以为平面的一个法向量； 记直线与平面的所成角为， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为 （2）设，其中， ，， ， ， ， 记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得， 即；     则点到平面的距离 ， 整理得：即， 解得或（舍去）， 所以，当点位于线段的靠近点的三等分点时，点到平面的距离为． 题型七 求距离的最值与范围 典例1 ．（26-27高三上·湖北·阶段检测）边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________． 【答案】 【分析】过作于，以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴，垂直于平面的方向为轴，求出、、的坐标，可求得、的值，根据，可得为线段的中点，求出其坐标，由空间中点到线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得, 过作于，则在翻折过程中， 过作于，作交的其延长线于, 过作交的延长线于，作于， 在中，，， 所以，所以， 因为，，， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，，，故四边形为矩形， 所以， 以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴， 过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，因为，， 所以二面角的平面角为， 则、、， 又因为，且， ， 所以， 所以为线段的中点，所以， 所以， 取的一个方向向量， 因此点到直线的距离. 又因为，所以， 所以. 💡破题要诀 核心知识 距离公式转化为关于参数的函数二次函数值域距离 方法技巧 写出距离关于参数的函数表达式 化简函数表达式距离恒大于等于0 结合参数定义域求函数值域得到距离最值与范围 可辅助使用几何法验证结果 迁移应用 1．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，正方体的棱长为4，若在正方体内部且满足，则到直线的距离最小值为 （     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系,利用空间向量及配方法求解即可. 【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系： 则, 所以，，, 所以， 所以， 又因为在正方体内部， 所以， 又因为，, 所以 设到直线的距离为， 则 ， 所以当时，取最小值，为， 所以到直线的距离最小值为. 2．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段中点，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是________ 【答案】 【分析】建立以为轴的空间直角坐标系，利用中点坐标公式与空间点到轴的距离公式， 得到距离关于二面角的表达式，结合余弦函数单调性即可得到取值范围. 【详解】作交于点并延长交于点，连接，则， 所以即为二面角的平面角 ，即. 在中，， 因为，即，所以， 则.作交于点，连接， 所以，又正方形面积为， 所以， 又，所以. 以为坐标原点，分别以所在方向为轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设，则， 所以，则到直线的距离即为到轴的距离， 即， 所以，因为，所以，所以， 即点到直线的距离的范围是. 题型八 求线面角/二面角的最值与范围 典例1 （26-27高二上·四川成都·阶段检测）已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，其中，二面角的大小为，平面平面PAC，面面，． (1)证明：面PAC； (2)若，求直线PB与平面PCD所成角的大小； (3)如图，若，平面平面，Q为l上一动点．平面ABQ与平面CDQ夹角的大小为，求的最小值． 【答案】(1)因为平面平面PAC，平面平面， ，且平面PAO，则平面PDB， 又因为平面PDB，所以， 在正方形ABCD中，，， 平面PAC，平面PAC，则平面PAC； (2)或 (3) 【分析】（1）借助面面垂直性质定理可得平面PDB，再利用线面垂直性质定理与判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系后，设，再求出平面BPC法向量，结合二面角为，计算即可得点坐标，再求出平面DPC法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得； （3）建立适当空间直角坐标系后，分别求出平面、平面法向量，结合二面角为，利用空间向量夹角公式计算可得，再求出平面、平面法向量，利用空间向量夹角公式结合基本不等式计算即可得解. 【详解】（1）略 （2）以AB为x轴，以AD为y轴，过点A的平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系， 如图，则，，，， 设，则，， 因为，所以①， 因为，所以②， 因为平面PAC，所以平面PAC法向量， 设平面BPC法向量，，， 则，则， 不妨取，则．所以, 因为二面角为， 所以③， 由①②③解得，，，或，，， 即或 ①当时，，，， 设平面DPC法向量，有， 则，不妨取，则，，所以， 则， 设PB与平面PCD所成角为，， 又因为，所以； ②当时，，，， 设平面DPC法向量，有， 则，不妨取，则，，所以， 则， 设PB与平面PCD所成角为，， 又因为，所以； 综上，PB与平面PCD所成角为或； （3）因为面，面，所以， 又因为，，，面， 所以面，又面，所以， 以为正交基建立空间直角坐标系， 因为，平面PAD，平面PAD，所以平面， 又因为平面PBC，且平面平面，所以，， 设，，，，，， 则，， 设平面法向量，有， 则，不妨取，则，所以， 因为平面PAC，所以平面法向量， 因为二面角为60°，所以， 即，解得，即， 设，，， 设平面ABQ法向量，有， 则，不妨取，则，所以， ，， 设平面CDQ法向量，有， 则，不妨取，则，所以， 则， 设，，， 则 ， 由，当且仅当时，等号成立， 故，即最小值为． 💡破题要诀 核心知识 线面角 二面角 三角函数单调性与值域 方法技巧 将角度对应的三角函数整理为参数的函数 分析函数单调性求出三角函数取值范围 再反推角度的最值与取值范围 严格注意角度本身的区间限制 迁移应用 1．（25-26高二下·河南许昌·期末）在正方体中，点为线段的中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题通过建立空间直角坐标系，利用线面角的向量计算公式，将的最小值问题转化为求的最大值问题，结合二次函数的最值性质求解. 【详解】 如图：设正方体棱长为2，以D为坐标原点，、、,所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，可得各点坐标: ，因点在线段上，设，其中， ，设平面的法向量为，则 ，令，解得，即， 又，， 则， 由同角三角函数关系得，要使最小，需使最大， 当时，，此时取得最大值， 代入得：. 2．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦的最大值． 【答案】(1)是等边三角形，是中点，则， 又因为平面平面，平面平面 ，平面，所以平面，而平面，所以， 因为，是等边三角形，所以，又，所以， 而，所以，所以，即， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，计算出的长后由勾股定理的逆定理得，再由线面垂直判定定理得证平面，从而可证得线线垂直； （2）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，再求出，由直线与平面所成角正弦值等于与夹角的余弦值的绝对值求得正弦值，然后结合函数性质得最大值. 【详解】（1）略 （2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 设，则， 记直线与平面所成角为，则 ，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏南京·期中）（多选）已知点，，则（   ） A．为 B．线段的中点坐标为 C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为 【答案】ABC 【分析】根据向量模的坐标表示即可判断A；根据中点坐标公式即可判断B；根据空间点到坐标轴距离公式即可判断C，根据向量共线的坐标表示即可判断D。 【详解】对A，由题意得，则，故A正确； 对B，线段的中点坐标为，即，故B正确； 对C，点B到x轴的距离为，故C正确； 对D，因为，且，则与向量不共线，故D错误. 故选：ABC. 2．（26-27高二上·宁夏陕西·期中）在正三棱柱中，已知，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取中点O，中点，连接，建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量求法求解即可． 【详解】取中点O，中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱， 所以由正三棱柱性质可得两两相互垂直，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 设，则，，，， 所以，， 设异面直线与所成角为 则 3．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知，则平面的一个法向量的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面的法向量，则 ， 因为，所以 ， 令，则，所以. 因为向量，，与不共线， 故A，C，D不符合题意； 因为，所以B符合题意. 4．（25-26高二上·山东济南·期中）如图，在四棱锥中，底面，四边形为平行四边形，其中，且，点为的中点. (1)求点到平面的距离. (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理和勾股定理的逆定理可得，由线面垂直的性质可得 ，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解点面距即可； （2）由（1），利用空间向量法求解面面角即可. 【详解】（1）在中，， 由余弦定理，得， 有，所以， 又平面，平面，所以 ， 建立如图空间直角坐标系， ，则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以，故点B到平面的距离为. （2）由（1）得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 故， 即平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 5．（26-27高二上·辽宁·期中）正三棱柱（底面是正三角形的直棱柱）的底面边长为2，侧棱长为，则与侧面的夹角为______． 【答案】 【详解】如图过作于，连接， 因为面，又平面，所以， 又平面，所以平面， 则为直线与平面所成的角， 以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 所以，， 则． 又，所以， 6．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在四棱锥中，侧棱平面，，，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：取中点，连接. 分别为中点，，且. ，且，. 四边形为平行四边形，. 平面平面， 平面. (2) 【分析】（1）取中点，连接.先证，再利用线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）先证得两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）略 （2），，. 又平面，，. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则， 依题意，是平面的一个法向量， ， 设平面的一个法向量为，则. 则取，则， 平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为，则 ， 即平面与平面夹角的余弦值为. 7．（25-26高三上·江苏泰州·期中）如图，在四棱锥中，侧面平面，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，其中，，. (1)求直线与平面所成角的正弦值； (2)线段上是否存在一点，使得平面与平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 令，. ，. 设平面的法向量为， 则， 取，得. 平面的法向量为. 于是. 化简得，又，解得，即. 所以线段上存在点E，使得平面与平面夹角的余弦值为，. 【分析】（1）建立空间直角坐标系利用坐标法求直线与平面所成角的正弦值； （2）设，利用坐标法结合两平面夹角余弦值列方程，解得即可. 【详解】（1）取的中点O，连接. 由为等边三角形，得. 而平面平面，平面平面，平面， 则平面. 由，，得四边形是平行四边形. 于是，而，则，直线两两垂直. 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，. 则，，. 设平面的法向量为， 则，取，得. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. （2）略 8．（26-27高二上·河南·期中）已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 9．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)取中点，连接，如图： ，. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. 又与相交，且平面， 平面. (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）方法一：以中点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，确定点的位置，再利用锥体的体积公式求锥体体积， 方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，确定点的位置，再利用锥体的体积公式求锥体体积， 方法三，利用等体积法求解点到平面的距离，进而确定的位置，后续求解与方法一相同. 【详解】（1）略 （2）（法一）线段上存在点，使点到平面的距离为. 取中点，连接. 由（1）知，平面平面. 又分别为中点，. 平面，.. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. ，，，，,, ，，. 设. 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则， . 设点到平面的距离， ，又. 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法二）平面，而平面，， 取的中点，中点. 又易知，四边形是平行四边形，. 又由（1）知，平面，则平面. 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，如图建系. 则，，，， ，，， ，，. 设， . 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则. 设点到平面的距离， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法三）设点到平面的距离为， ， 利用等积法可得故， 又，则，， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. 10．（25-26高二下·福建漳州·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量后，借助点到平面的距离公式计算即可得； （3）利用空间向量求出线面角的正弦值． 【详解】（1） 连接交于点，连接， 因为是矩形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面； 所以平面； （2）因为平面，是矩形， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，令，得， 所以点到平面的距离； （3）显然是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 综合进阶练（限时：15分钟） 11．（25-26高二下·安徽阜阳·期中）如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点，为上的一点，且，为线段上不包括端点的动点． (1)若为的中点，证明：平面； (2)若，设直线与平面所成的角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）作辅助线，通过线线平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，通过求出平面的法向量，结合夹角公式进行求解. 【详解】（1）设线段的中点为，连接，，如下图所示 ， 在中，为的中点，为的中点,所以， 在矩形中，且， 所以四边形是平行四边形，因此， 因为，为的中点，所以为的中点， 因为为的中点，在中有，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）由题意如图建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则，，，，，， 设，且，,则，， 设平面的法向量为，因为，， 所以，故可取， 因此， 令，则， 所以当，即，时，有最大值． 12．（25-26高二下·云南昆明·期中）如图所示，在三棱锥中，底面是边长为4的正三角形，，，点为的中点． (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在；点为的中点 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理即可证明； （2）建立空间直角坐标系，设出点的位置，直接利用线面角的计算公式计算即可. 【详解】（1）证明： 是正三角形，为的中点，． 又因为，， 所以，，又因为 所以平面，又因为平面，， ，平面，平面， 平面． （2）存在，理由如下： 取的中点，由（1）及已知得，， 点，分别为，的中点， ，，． 又，，，两两垂直． 以为坐标原点，以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， ．设，， ，， ，设平面的法向量为， 则，即，令，则，， ．由已知得，即， 解得或（舍去），故，此时，则是的中点， 存在满足条件的点，点为的中点 13．（25-26高一下·河北保定·期中）已知直三棱柱中，侧面为正方形，AB＝BC＝2，E，F分别为AC，的中点，D为棱上的点，． (1)证明：AB⊥平面； (2)证明：BF⊥DE； (3)当为何值时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大？并求出这个最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 【分析】（1）根据条件，可得，根据线面垂直的判定定理，可证平面，即可得证. （2）如图作出辅助线，根据线面垂直的性质定理，可证，根据三角形全等，可证，根据线面垂直的判断及性质定理，可证平面，结合线面的位置关系，即可得证. （3）如图建系，求得各点坐标和所需向量的坐标，分别求出平面DFE和平面的法向量，根据二面角的向量求法，可得二面角余弦值的表达式，根据二次函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）因为为正方形，所以， 又，且，平面， 所以平面， 因为直三棱柱，所以，所以平面. （2）取BC中点G，连接，如图所示， 因为E、G分别为AC、BC的中点，所以， 则平面， 因为平面，所以， 因为，所以， 则，则，所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，且平面， 所以平面， 因为D为棱上的点，所以平面， 所以. （3）由（1）得两两垂直，以B为原点，为轴正方向建系，如图所示， 设，则， 则， 设平面DEF的法向量，则， 所以，令，则，所以， 因为平面，所以平面的法向量为， 所以， 所以当时，有最大值， 所以当时，平面与平面DFE所成角的余弦值最大，最大值为 14．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面. (1)求证：； (2)已知点为线段上的动点（不与重合）， ①当点为线段的中点时，求直线与平面所成角的余弦值； ②当平面与平面的夹角最小时，试确定点的位置. 【答案】(1) 平面平面，四边形为正方形， ， 如图，以为正交基底建立空间直角坐标系， 则， ， . (2)①；②为的中点 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用数量积为得到线线垂直； （2）①求出平面的一个法向量为，利用数量积公式求出，从而得到直线与平面所成角的正弦值，利用同角关系式求出直线与平面所成角的余弦值.②设，求出平面的一个法向量，利用数量积公式求出，设平面与平面的夹角为，则，要使夹角最小，即最大，需要分母最小，从而得到平面与平面的夹角余弦值最大，即平面与平面的夹角最小，此时为的中点. 【详解】（1）略 （2）①为的中点，， ， ∵平面的一个法向量为， ， ∴直线与平面所成角的正弦值为， ∴直线与平面所成角的余弦值为. ②设， ， 设平面的一个法向量为， ， ，，， ，取，则， ∴平面的一个法向量为， ， 设平面与平面的夹角为， 则， 要使夹角最小，即最大，需要分母最小，当， 即时，平面与平面的夹角余弦值最大， 即平面与平面的夹角最小，此时为的中点. 15．（25-26高二下·江苏连云港·期中）把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中，.将沿翻折至，其中为动点. (1)若为的中点，求证： 平面； (2)若平面平面，求点到平面的距离； (3)二面角的余弦值是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）要证明线面平行，需要证明线线平行，即证明. （2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面的法向量坐标，进而求得结果. （3）根据垂直关系建立空间直角坐标系，列出各个点的坐标，求出平面 的法向量，然后求出二面角的余弦值的表达式，进而求得最小值. 【详解】（1）证明：因为为的中点，所以. 因为平面，而不在平面内，所以平面. （2）在平面内过点作， 又因为平面平面，平面平面平面，所以平面， 以为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图空间直角坐标系． 又， 所以, 所以，设平面的法向量， 得, 又，则点到平面的距离为. （3）以（2）中为坐标原点，以为单位正交基底，建立如图空间直角坐标系， 则，， ，，，， 设平面的法向量， ，得, 设平面的法向量， 则，得. 又，得，因此二面角的余弦值 . 设，则. 所以，得，当时取到， 因此存在最小值，最小值为. 16．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，平面，，，， 点，分别在棱和棱上，且，，为棱的中点． (1)求证：； (2)求二面角的正弦值； (3)求直线与平面所成角的正弦值，并求点到平面的距离． 【答案】(1) 证明：因为在三棱柱中，平面，则三棱柱为直三棱柱，又， 所以以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，. 因为，，所以， 因此. (2) (3)， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，要证线线垂直，只需证明两直线的方向向量数量积为即可； （2）利用空间向量求二面角，先找出两个面的法向量，进而求出两个面法向量夹角的余弦值， 利用同角三角函数的关系求出二面角的正弦值即可； （3）利用线面所成角的正弦值等于直线的方向向量与面的法向量夹角余弦值的绝对值进行求解即可； 利用向量投影公式，求点到面的距离，即求向量在法向量上的投影长度即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知三棱柱为直三棱柱，， 则是平面的一个法向量，，． 设为平面的法向量，则，即， 取，则，，所以. 又因为，所以， 因此，二面角的正弦值为. （3）由（1）可得，又由（2）知为平面的法向量， 则， 所以，直线与平面所成角的正弦值为. 又，所以点到平面的距离. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $