专题01 空间向量及其运算（期中复习讲义）高二数学上学期人教B版

专题01 空间向量及其运算 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 空间向量的概念辨析 考点二 空间向量的线性运算 考点三 空间向量中的三点共线 考点四 空间向量共线求参数的值 考点五 判断四点共面空间向量基底的判断 考点六 由四点共面求参数的值 考点七 求空间向量的数量积 考点八 由数量积求模长夹角 考点九 用基底表示向量 考点十 空间向量线性运算的坐标表示 考点十一 空间向量中的平行垂直的坐标表示 考点十二 空间向量数量积的坐标表示 05 重难题型突破 题型一 共面定理及其推论的应用 题型二 求空间向量数量积的最值与范围 题型三 空间向量基本定理的应用 题型四 空间向量坐标运算的综合应用 题型五 空间向量运算中的新定义问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中多以选择填空小题考查概念辨析与基础运算 中档题考查三点共线四点共面判定与参数求解 综合题常结合基底表示坐标运算数量积求解夹角模长 命题侧重向量运算法则的理解与代数运算能力 注重几何背景与向量代数转化的综合考查 识记 记住空间向量相关基本概念共线向量共面向量定理 掌握空间向量线性运算法则数量积定义与坐标运算公式 理解 理解空间向量基本定理理解基底的含义 理解三点共线四点共面的向量判定条件 理解数量积与向量模长夹角之间的内在联系 应用 能利用向量共线共面定理判定点的位置求解参数 能选择合适基底或建立空间直角坐标系完成向量运算 能运用数量积公式求解向量模长夹角以及相关最值问题 1．空间向量的有关概念 （1）定义：在空间中，把具有__大小_____和___方向____的量叫做空间向量． （2）长度：向量的___大小____叫做向量的长度或_模_____ （3）表示法 ①字母表示法：空间向量用字母表示 ②有向线段表示法：向量的起点是A，终点是B，则向量也可以记作__ ______，其模记为__ _____或________． （4）几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为__0___的向量 单位向量 模为_1___的向量 或 相反向量 与长度_相等______而方向___相反____的向量，称为的相反向量 相等向量 方向__相同_____且模___相等____的向量 或 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 或 2．空间向量的线性运算 （1）空间向量的加法运算 （2）空间向量的减法运算 （3）空间向量的数乘运算 实数与空间向量的乘积是一个_空间向量____，记作_ ___，其中： ①当且时，的模为____，而且的方向：当时，与__相同_____；当时，与__相反____. ②当或=时，=_____. 3．空间向量的数量积 （1）定义______为与的数量积． 特别地，，，． （2）对于两个非零向量，，由得． （3）空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ______， 交换律 分配律 ______ 4．投影向量与投影 如图，将空间任意两个向量，平移到同一个平面内，可得，，．过点作，垂足为点，则为在方向上的投影向量，投影向量的模______称为投影长． 取方向上的单位向量来度量投影向量，类比平面向量，可得，我们称为在方向上的投影． 5．空间向量的共线与共面 （1）共线、共面向量 共线（平行）向量 共面向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_____互相平行或重合_________________，那么这些向量叫做___ 共线向量______或平行向量 平行于____同一个平面___________的向量，叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使_________ 若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使______ （2）直线l的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线l的__方向向量_____． 6．基底 （1）定义：如果三个向量，____不共面_________，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个___基底__________，都叫做___基向量__________． （2）性质：空间任意三个__不共面___________的向量都可以构成空间的一个基底． 7．空间向量的平行、垂直及模和夹角 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 __________________ 模 夹角 考点一 空间向量的概念辨析 ⚠️概念辨析 空间向量是空间中具有大小和方向的量 向量只关注大小与方向与起点位置无关 零向量模长为0方向任意单位向量模长等于1 相等向量大小相等方向相同相反向量大小相等方向相反 ⚠️避坑指南 抓住向量方向与模长两个要素判断正误 注意零向量特殊性质零向量与任意向量平行 区分向量平行与直线平行的不同含义 1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中方向相同的向量是相等向量 2．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·山东聊城·阶段检测）在平行六面体中，与向量相等的向量是（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 考点二 空间向量的线性运算 ⚠️概念辨析 空间向量加减遵循三角形法则平行四边形法则 数乘向量会改变向量长度正负号决定向量方向 线性运算满足交换律结合律分配律 ⚠️易混易错 在几何体中优先将目标向量拆解为已知基底向量 化简向量表达式时按照运算律合并同类向量 画图辅助分析向量加减的几何意义 5．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河南新乡·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 考点三 空间向量中的三点共线 ⚠️概念辨析 若向量则A BC三点共线 A BC三点共线等价于存在实数使 ⚠️易混易错 找到连接三点的两个向量证明两向量存在数乘关系 用向量表达式验证共线结论最后确认存在公共顶点 9．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 10．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 11．（22-23高二·全国·随堂练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 12．（20-21高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    考点四 空间向量共线求参数的值 ⚠️概念辨析 两向量共线一个向量可以写成另一个向量的实数倍 坐标形式下对应坐标成比例 ⚠️易混易错 设出参数建立向量数乘等式 根据向量相等对应分量相等列方程求解参数 检验分母不为0避免漏解增根 13．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 14．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 15．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 16．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 考点五 判断四点共面空间向量基底的判断 ⚠️概念辨析 四点P AB C共面等价于向量共面 不共面的三个非零向量可以作为空间一组基底 ⚠️易混易错 四点共面寻找三个从同一点出发的向量看能否线性表示 基底判断验证三个向量不共面任意一个向量不能写成另外两个的线性组合 17．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在四面体中，，，，，点、分别为、的中点，设，，． (1)将用基底表示，并求其模长； (2)若，，求证：、、、四点共面． 18．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 19．（26-27高二上·福建·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 20．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 考点六 由四点共面求参数的值 ⚠️概念辨析 四点共面的向量表达式满足 ⚠️易混易错 整理向量等式写成四个点位置向量的线性关系式 利用系数之和等于1建立方程求解参数 计算完成后代回原式检验 21．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（     ） A． B． C． D． 22．（26-27高二上·湖北荆州·阶段检测）已知四点共面，对空间任意一点，若，则______. 23．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 24．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 考点七 求空间向量的数量积 ⚠️概念辨析 数量积结果是实数不是向量 分配律成立不满足结合律 ⚠️易混易错 优先使用定义式或者展开多项式进行运算 在几何体中先确定向量夹角再代入公式 注意向量夹角范围 25．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则__________． 26．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 27．（2026高一·全国·专题练习）已知三棱锥的顶点在底面上的射影为的外心．若，，则的值为________． 28．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 考点八 由数量积求模长夹角 ⚠️概念辨析 ⚠️易混易错 求模长先平方转化为数量积计算 求夹角时先算出数量积与两个向量模长 根据余弦值判断向量夹角区分向量夹角与几何体内角 29．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 31．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 32．（25-26高二下·广东·期末）如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 考点九 用基底表示向量 ⚠️概念辨析 空间向量基本定理空间任意向量都可以由一组基底唯一线性表示 基底为三个不共面的向量 ⚠️易混易错 选定一组基底将目标向量沿着几何体棱逐步拆分 利用线性运算法则整理合并写成基底的线性组合形式 33．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求异面直线与所成的角. 34．（26-27高二上·山东日照·阶段检测）如图，在四面体中：，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设，，． ①用向量，，表示； ②求的值． 35．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如图，在四面体中，为的重心，是上一点，，以为空间的一个基底，则______. 36．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点.    (1)用向量，，表示并求线段的长； (2)直线与所成角的余弦值. 考点十 空间向量线性运算的坐标表示 ⚠️概念辨析 ⚠️易混易错 建立空间直角坐标系写出对应点坐标再求向量坐标 向量坐标等于终点坐标减去起点坐标 直接代入坐标公式完成加减数乘运算 37．（25-26高一下·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 38．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 39．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 40．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 考点十一 空间向量中的平行垂直的坐标表示 ⚠️概念辨析 ⚠️易混易错 平行坐标分量对应成比例列式求解 垂直直接代入数量积等于0建立方程 含参数时注意分类讨论零向量情况 41．（26-27高二上·陕西·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列结论正确的有（    ） A．点关于轴对称的点的坐标为 B．若，且，则 C．若，且，则 D．在上的投影向量为 42．（26-27高二上·河南许昌·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，_____. 43．（26-27高二上·山东枣庄·阶段检测）已知向量，，． (1)向量满足，，求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值． 44．（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 考点十二 空间向量数量积的坐标表示 ⚠️概念辨析 ⚠️易混易错 直接代入坐标公式计算数量积 结合模长公式求解向量夹角 多用于几何体中线线垂直证明 45.（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 46．（26-27高二上·天津津南·阶段检测）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 47．（26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 48．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 题型一 共面定理及其推论的应用 典例1 （25-26高二上·河南周口·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且 ，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（    ）    A．4 B．2 C．3 D．不确定 💡破题要诀 【核心知识】 空间四点共面的向量判定定理 空间向量基本定理推论 【方法技巧】 把条件转化为位置向量的线性关系式 验证系数之和是否等于1 结合几何图形判断点是否落在平面内 排除三点共线等特殊情形 迁移应用 1．（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，， .若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 3.（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则，满足的关系式为__________. 题型二 求空间向量数量积的最值与范围 典例1 （北京市北京学校、中国人民大学附属中学通州校区2026-2027学年高二第一学期高二年级十月考自主命题试卷）已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 【核心知识】 数量积坐标表达式二次函数求最值 向量模长与夹角对数量积的影响 【方法技巧】 设参数写出向量坐标写出数量积关于参数的函数表达式 转化为二次函数结合参数取值范围求最值 注意向量几何意义用数形结合辅助判断 迁移应用 1．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 题型三 空间向量基本定理的应用 典例1 （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面经过点，与分别交于点，若，则的值为___________． 💡破题要诀 【核心知识】 空间任意向量可由一组基底唯一表示 基底向量不共面 【方法技巧】 合理选取几何体中三条不共面棱向量作为基底 多次使用向量线性运算拆分目标向量 整理得到基底线性表达式 迁移应用 1．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）（多选）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 2．（多选）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，存在唯一的点，使得与直线的夹角为 C．当时，长度的最小值为 D．当时，与平面所成的角不可能为 题型四 空间向量坐标运算的综合应用 典例1 （26-27高二上·河南商丘·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，则（     ） A．||=4 B．△ABC是直角三角形 C．与平行的单位向量的坐标为（，，） D．{}可以作为空间的一个基底 💡破题要诀 【核心知识】 向量坐标加减数乘数量积平行垂直坐标条件 【方法技巧】 建立合适空间直角坐标系写出各点坐标 把几何条件翻译成向量坐标方程 联立方程求解参数或者证明位置关系 迁移应用 1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）（多选）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南许昌·期中）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 题型五 空间向量运算中的新定义问题 典例1 （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知一组空间向量，，，， ，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． (1)已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． (2)四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 💡破题要诀 【核心知识】 基于向量基础运算自定义新运算规则 【方法技巧】 读懂题干新定义严格套用题目给出运算规则 转化为常规向量坐标运算求解 检验运算结果是否符合题干约束条件 迁移应用 1．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴）正方向上的单位向量，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标.若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示.若，，且. (1)求向量的斜坐标； (2)求； (3)求 2．（25-26高二上·山西太原·期中）（多选）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）（多选）如图，在平行六面体中，设，则（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 4．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 7．（26-27高二上·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 8．（26-27高二上·河北保定·期中）在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高二上·山东·期中）在三棱锥中，与中点分别为，点G为中点．若D在上满足，E在上满足，平面交于点F，且，则λ的值为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·广东湛江·期中）（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 11．（26-27高二上·河南·期中）已知，. (1)求的值； (2)已知，若，求的值. 12．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量（    ） A．当 时， B．当为钝角时，且 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得为空间的一组基底 13．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量的模为 14．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）在空间直角坐标系中，已知，，，且满足，与平面平行，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C．可以用，表示 D．，所成角为钝角 综合进阶练（限时：15分钟） 15．（25-26高二上·河南·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________． 16．（25-26高二上·重庆·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 17．（25-26高二上·四川广元·期中）将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥，是线段的中点，，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是__________. 19．（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（    ） A．若时，直线与直线的夹角余弦值为 B．若时，周长的最小值为 C．若时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点，使得 20．（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点P满足，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为 C．若且，则当取得最小值时， D．若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为 21．（24-25高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及其运算 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 空间向量的概念辨析 考点二 空间向量的线性运算 考点三 空间向量中的三点共线 考点四 空间向量共线求参数的值 考点五 判断四点共面空间向量基底的判断 考点六 由四点共面求参数的值 考点七 求空间向量的数量积 考点八 由数量积求模长夹角 考点九 用基底表示向量 考点十 空间向量线性运算的坐标表示 考点十一 空间向量中的平行垂直的坐标表示 考点十二 空间向量数量积的坐标表示 05 重难题型突破 题型一 共面定理及其推论的应用 题型二 求空间向量数量积的最值与范围 题型三 空间向量基本定理的应用 题型四 空间向量坐标运算的综合应用 题型五 空间向量运算中的新定义问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中多以选择填空小题考查概念辨析与基础运算 中档题考查三点共线四点共面判定与参数求解 综合题常结合基底表示坐标运算数量积求解夹角模长 命题侧重向量运算法则的理解与代数运算能力 注重几何背景与向量代数转化的综合考查 识记 记住空间向量相关基本概念共线向量共面向量定理 掌握空间向量线性运算法则数量积定义与坐标运算公式 理解 理解空间向量基本定理理解基底的含义 理解三点共线四点共面的向量判定条件 理解数量积与向量模长夹角之间的内在联系 应用 能利用向量共线共面定理判定点的位置求解参数 能选择合适基底或建立空间直角坐标系完成向量运算 能运用数量积公式求解向量模长夹角以及相关最值问题 1．空间向量的有关概念 （1）定义：在空间中，把具有__大小_____和___方向____的量叫做空间向量． （2）长度：向量的___大小____叫做向量的长度或_模_____ （3）表示法 ①字母表示法：空间向量用字母表示 ②有向线段表示法：向量的起点是A，终点是B，则向量也可以记作__ ______，其模记为__ _____或________． （4）几类特殊向量 特殊向量 定义 表示法 零向量 长度为__0___的向量 单位向量 模为_1___的向量 或 相反向量 与长度_相等______而方向___相反____的向量，称为的相反向量 相等向量 方向__相同_____且模___相等____的向量 或 共线向量或平行向量 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 或 2．空间向量的线性运算 （1）空间向量的加法运算 （2）空间向量的减法运算 （3）空间向量的数乘运算 实数与空间向量的乘积是一个_空间向量____，记作_ ___，其中： ①当且时，的模为____，而且的方向：当时，与__相同_____；当时，与__相反____. ②当或=时，=_____. 3．空间向量的数量积 （1）定义______为与的数量积． 特别地，，，． （2）对于两个非零向量，，由得． （3）空间向量的数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 ______， 交换律 分配律 ______ 4．投影向量与投影 如图，将空间任意两个向量，平移到同一个平面内，可得，，．过点作，垂足为点，则为在方向上的投影向量，投影向量的模______称为投影长． 取方向上的单位向量来度量投影向量，类比平面向量，可得，我们称为在方向上的投影． 5．空间向量的共线与共面 （1）共线、共面向量 共线（平行）向量 共面向量 定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线_____互相平行或重合_________________，那么这些向量叫做___ 共线向量______或平行向量 平行于____同一个平面___________的向量，叫做共面向量 充要条件 对于空间任意两个向量（），的充要条件是存在实数，使_________ 若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使______ （2）直线l的方向向量 如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得．我们把与向量平行的非零向量称为直线l的__方向向量_____． 6．基底 （1）定义：如果三个向量，____不共面_________，那么所有空间向量组成的集合就是，这个集合可看作由向量生成的，我们把叫做空间的一个___基底__________，都叫做___基向量__________． （2）性质：空间任意三个__不共面___________的向量都可以构成空间的一个基底． 7．空间向量的平行、垂直及模和夹角 名称 满足条件 向量表示形式 坐标表示形式 __________________ 模 夹角 考点一 空间向量的概念辨析 ⚠️概念辨析 空间向量是空间中具有大小和方向的量 向量只关注大小与方向与起点位置无关 零向量模长为0方向任意单位向量模长等于1 相等向量大小相等方向相同相反向量大小相等方向相反 ⚠️避坑指南 抓住向量方向与模长两个要素判断正误 注意零向量特殊性质零向量与任意向量平行 区分向量平行与直线平行的不同含义 1．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）下列关于空间向量的说法正确的是（    ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中方向相同的向量是相等向量 【答案】C 【分析】根据单位向量，零向量，相反向量，共线向量的概念即可判断. 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 空间中方向相同的向量不一定是相等向量，因为长度也不一定相等，故D错误. 2．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）在长方体中，分别为的中点，则与向量相反的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为分别为的中点， 所以且，且， 与相交，与异面， 所以与向量相反的向量为. 3．（26-27高二上·山东聊城·阶段检测）在平行六面体中，与向量相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】与向量相等的向量，需和向量的方向相同，模相等. 如图，因为，所以向量与向量相等， 因为向量与向量的方向不同，所以和向量不相等. 4．（26-27高二上·贵州铜仁·阶段检测）（多选）下列命题为真命题的是（     ） A．空间中任意两个单位向量必相等 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．若空间向量，满足，则 【答案】BC 【详解】对于A，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，所以A错误； 对于B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，所以B正确； 对于C，向量的相等满足传递性，所以C正确； 对于D，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而D中向量与的方向不一定相同，所以D错误． 考点二 空间向量的线性运算 ⚠️概念辨析 空间向量加减遵循三角形法则平行四边形法则 数乘向量会改变向量长度正负号决定向量方向 线性运算满足交换律结合律分配律 ⚠️易混易错 在几何体中优先将目标向量拆解为已知基底向量 化简向量表达式时按照运算律合并同类向量 画图辅助分析向量加减的几何意义 5．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）如图，分别是四面体的棱的中点，且，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为 又因为分别是棱的中点，所以. 6．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解 . 【详解】由已知， . 故选：A 7．（25-26高二上·河南新乡·期末）如图，在三棱台中，，，，，，分别为，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量基本定理结合图形求解即可. 【详解】. 因为，，，， 所以 . 故选：A. 8．（25-26高二上·山东淄博·期中）在斜三棱柱中，M为的中点，N为靠近的三等分点，设 则用 表示 为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三棱柱的特征及空间向量线性运算的几何意义计算即可. 【详解】易知. 故选：C 考点三 空间向量中的三点共线 ⚠️概念辨析 若向量则A BC三点共线 A BC三点共线等价于存在实数使 ⚠️易混易错 找到连接三点的两个向量证明两向量存在数乘关系 用向量表达式验证共线结论最后确认存在公共顶点 9．（25-26高二·全国·暑假作业）已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 【答案】A 【分析】利用向量共线证明三点共线，依次判断即可求解. 【详解】因， 对于A，由，因与共点，故三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 10．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 11．（22-23高二·全国·随堂练习）设是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且A， B， D三点共线，求实数k的值． 【答案】. 【分析】利用空间向量的线性运算，结合共线向量定理，列式计算作答. 【详解】因为，，则有， 又A， B， D三点共线，于是，即，而不共线， 因此，解得， 所以实数k的值是. 12．（20-21高二·全国·课后作业）如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线． 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】略 考点四 空间向量共线求参数的值 ⚠️概念辨析 两向量共线一个向量可以写成另一个向量的实数倍 坐标形式下对应坐标成比例 ⚠️易混易错 设出参数建立向量数乘等式 根据向量相等对应分量相等列方程求解参数 检验分母不为0避免漏解增根 13．（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量共线的坐标表示计算即可. 【详解】由题意可知，即，解得. 14．（25-26高二·全国·暑假作业）设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 15．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 16．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 考点五 判断四点共面空间向量基底的判断 ⚠️概念辨析 四点P AB C共面等价于向量共面 不共面的三个非零向量可以作为空间一组基底 ⚠️易混易错 四点共面寻找三个从同一点出发的向量看能否线性表示 基底判断验证三个向量不共面任意一个向量不能写成另外两个的线性组合 17．（26-27高二上·福建厦门·阶段检测）如图，在四面体中，，，，，点、分别为、的中点，设，，． (1)将用基底表示，并求其模长； (2)若，，求证：、、、四点共面． 【答案】(1)，. (2)证明：由题意知，， 因为，所以， 所以，， ，     不妨设， 即， 因为、、不共面，由空间向量基本定理可得，解得， 即，     根据共面向量定理，、、共面且有公共点，所以、、、四点共面． 【分析】（1） 用基底表示，然后利用数量积的运算律求出模长即可； （2）利用基底表示出向量，，，再由共面向量定理证明即可. 【详解】（1），     则 ， 所以； （2）略 18．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）若是空间的一个单位正交基底，则能与向量构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若向量与共面，则存在实数，，使得， ， 对各选项逐一验证： 对于A：，假设， 比较系数使，方程组有解， ，三向量共面，不能构成基底，故A错误； 对于B：假设， 比较系数使 由得，方程组无解， 不存在实数得等式成立，三个向量不共面，可以构成基底，故B正确； 对于C：假设， 比较系数使，方程组有解， ，向量共面，不能构成基底，故C错误； 对于D：假设， 比较系数使，方程组有解， ，三向量共面，不能构成基底，故D错误. 19．（26-27高二上·福建·期中）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】ABD 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程组，结合方程组的解，逐项判定，即可求解． 【详解】对于A，假设，，共面，则存在不全为0的实数，使得， 因为为空间的一个基底，所以 ，该方程组无解，假设不成立， 所以，，不共面，能构成空间的一个基底； 对于B，假定向量，，共面，则存在不全为0的实数，使得， 该式显然不成立，所以向量，，不共面，能构成空间的一个基底； 对于C，假设，，共面，则存在不全为0的实数，使得，则 ，解得 ， 所以，，共面，不能构成空间的一个基底； 对于D，若，，共面，则存在不全为0的实数，使得，则 ，该方程组无解， 所以，，不共面，能构成空间的一个基底． 20．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 考点六 由四点共面求参数的值 ⚠️概念辨析 四点共面的向量表达式满足 ⚠️易混易错 整理向量等式写成四个点位置向量的线性关系式 利用系数之和等于1建立方程求解参数 计算完成后代回原式检验 21．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若是空间的一个基底，且向量，，不能构成空间的一个基底，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三个向量不能构成基底即它们共面的性质，将表示为和的线性关系，进而通过比较已知基底向量的对应系数列出方程组求解出. 【详解】因为和显然不共线， 因此必然存在实数，使得， 即， 即， 所以有，联立，解得， 代入，即. 22．（26-27高二上·湖北荆州·阶段检测）已知四点共面，对空间任意一点，若，则______. 【答案】 【分析】根据共面定理得到，再化为，即可求解. 【详解】因为四点共面， 所以，使得， 即， 又， 故，所以. 23．（25-26高一下·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 24．（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，利用空间向量基本定理，结合空间线性运算及共面向量定理计算得解. 【详解】在平行六面体中，是的中点， 对于AB，， 而，不共面，因此，A正确，B错误； ，则 ， 于是 ，由为平面内一点， 得共面，由共面向量定理得，因此，C正确，D错误. 故选：AC 考点七 求空间向量的数量积 ⚠️概念辨析 数量积结果是实数不是向量 分配律成立不满足结合律 ⚠️易混易错 优先使用定义式或者展开多项式进行运算 在几何体中先确定向量夹角再代入公式 注意向量夹角范围 25．（26-27高二上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，正四面体的棱长为4，平面，为垂足，，延长交于点，则__________． 【答案】 【分析】由平面可得，再结合空间向量的线性运算、数量积的定义及运算律求解即可. 【详解】由平面，平面，得， 因为底面是边长为的正三角形，则为边上的高， 所以，. 因此 26．（25-26高二下·江苏镇江·期末）正四面体的棱长为，为底面的中心，则______. 【答案】 【详解】因为O为底面的中心，所以， ， ， 27．（2026高一·全国·专题练习）已知三棱锥的顶点在底面上的射影为的外心．若，，则的值为________． 【答案】 【分析】由题可知，，再结合空间斯坦纳定理：，再代入计算即可． 【详解】解：如图， 因为在底面上的射影为的外心，所以， 由空间斯坦纳定理：． 故答案为：． 28．（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又 ， ． 考点八 由数量积求模长夹角 ⚠️概念辨析 ⚠️易混易错 求模长先平方转化为数量积计算 求夹角时先算出数量积与两个向量模长 根据余弦值判断向量夹角区分向量夹角与几何体内角 29．（25-26高二上·四川成都·期末）在正四面体中，点分别是线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的夹角余弦公式计算求解. 【详解】设的棱长为2，分别是的中点， 则，夹角为，所以， 则， 又为边长为2的等边三角形，， 故选:C． 30．（25-26高二上·广西贵港·期末）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为6，，，则的长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算及数量积运算求解． 【详解】由题意可得， 以顶点为端点的三条棱长均为6，, ,得 ， ， 则： . 故选：C 31．（25-26高二上·重庆荣昌·阶段检测）在平行六面体中，长度均为2，两两夹角均为，则对角线的长度为______； 【答案】 【分析】首先利用向量表示，平方后利用数量积运算公式，即可求解. 【详解】， 则， ， 所以. 故答案为： 32．（25-26高二下·广东·期末）如图所示，二面角为，，是棱上的两点，，分别在半平面，内，且，，，，，则的长______. 【答案】 【分析】利用空间向量加法法则将表示为，通过两边平方结合向量数量积的定义及运算律求解. 【详解】因为，，所以，， 又因为二面角为，，，且，， 所以向量与的夹角为，则向量与的夹角为. 由向量加法法则可得， 所以， 即. 考点九 用基底表示向量 ⚠️概念辨析 空间向量基本定理空间任意向量都可以由一组基底唯一线性表示 基底为三个不共面的向量 ⚠️易混易错 选定一组基底将目标向量沿着几何体棱逐步拆分 利用线性运算法则整理合并写成基底的线性组合形式 33．（26-27高二上·云南昭通·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且. (1)用向量表示向量； (2)求； (3)求异面直线与所成的角. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据给定的平行六面体，利用空间的基底表示向量. （2）利用空间向量数量积的运算律列式求出. （3）利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】（1）在平行六面体中， ， . （2）由（1）知，， 则， 而，且， 于是， 所以. （3）由（1）知， 由（2）得， 又， 则 ， 因此， 所以异面直线与所成的角的大小为. 34．（26-27高二上·山东日照·阶段检测）如图，在四面体中：，，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且． (1)求； (2)设，，． ①用向量，，表示； ②求的值． 【答案】(1)-1 (2)①；② 【分析】（1） 利用及空间向量的数量积运算法则进行计算；（2）结合题干中的数量关系，把用、、向量的线性关系表达出来. 【详解】（1）由题意可知：，因为，，，所以 （2）由题可得：因为是的中点，所以， 且，所以，又因为， 所以 . 根据题意即：. 易知， 所以 所以 35．（26-27高二上·山东临沂·阶段检测）如图，在四面体中，为的重心，是上一点，，以为空间的一个基底，则______. 【答案】 【详解】根据向量减法的三角形法则，. 用基底表示： 由得， 所以， 代入， 整理得：.       用基底表示：因为是的重心，重心分中线的比为， 取的中点，则， 所以. 因此. 36．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点G为的中点.    (1)用向量，，表示并求线段的长； (2)直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)；线段的长为； (2). 【详解】（1）由题意知 ， ， 即线段的长为. （2）因为， 所以 ， 又 . 所以， 即直线与所成角的余弦值为. 考点十 空间向量线性运算的坐标表示 ⚠️概念辨析 ⚠️易混易错 建立空间直角坐标系写出对应点坐标再求向量坐标 向量坐标等于终点坐标减去起点坐标 直接代入坐标公式完成加减数乘运算 37．（25-26高一下·河南郑州·期末）在空间直角坐标系中，四点共面，则的值为（   ） A．4 B．1 C．6 D．－6 【答案】C 【详解】由， 得. 因为四点共面，所以存在唯一实数对，使得， 所以，解得. 故的值为. 38．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）在空间直角坐标系中，已知，，，若点在平面ABC内，则__________. 【答案】6 【详解】由题意知，，，， 而，为不共线向量，因此根据共面向量定理，应存在唯一一对实数，， 使得， 则应有，解得，，． 39．（25-26高二下·福建龙岩·期中）在空间四边形中，若向量，点分别为线段的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用，求出的坐标，即可得. 【详解】由可得， 又， 所以， 所以. 40．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知点，，，在平面内，则x值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】利用向量共面的定理求解即可. 【详解】由题意可得， 又因为四点共面， 所以，则， 所以，解得， 所以. 考点十一 空间向量中的平行垂直的坐标表示 ⚠️概念辨析 ⚠️易混易错 平行坐标分量对应成比例列式求解 垂直直接代入数量积等于0建立方程 含参数时注意分类讨论零向量情况 41．（26-27高二上·陕西·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列结论正确的有（    ） A．点关于轴对称的点的坐标为 B．若，且，则 C．若，且，则 D．在上的投影向量为 【答案】BC 【分析】逐一利用空间点关于轴对称点坐标、向量垂直与平行的坐标关系、向量投影向量公式，对四个选项分别计算判断. 【详解】对于A：点关于轴的对称点的坐标特点是横坐标不变， 纵坐标和竖坐标变为相反数， 所以关于轴的对称点的坐标为，A错误； 对于B：，若，则，解得，B正确； 对于C：若，则，解得，C正确； 对于D：，则在上的投影向量为，D错误. 42．（26-27高二上·河南许昌·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，，，，为的中点，为上靠近的三等分点，过点，的平面与交于点，则当时，_____. 【答案】/ 【分析】首先建立空间直角坐标系，根据，利用空间向量位置关系求出点N的坐标，再代入两点间距离公式，即可求解． 【详解】以点A为原点，，为，轴的正方向，过点A作y轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，则． 由于为的中点，可得． 设，由于为上靠近的三等分点， 则 ． 因为，所以，得． 此时，， 所以． 43．（26-27高二上·山东枣庄·阶段检测）已知向量，，． (1)向量满足，，求； (2)当时，若向量与垂直，求实数和的值． 【答案】(1) 或 (2) ， 【分析】（1）利用向量共线及向量模的坐标表示列式求解. （2）利用模的坐标表示求出，再利用向量垂直的坐标表示分类求解. 【详解】（1）由，，设， 又，则，解得， 所以或. （2）由，，得，解得， 依题意，，由向量与垂直， 得， 当时，，则，无解； 当时，，则，解得， 所以. 44．（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由，得，，， 对于A，由，设，则， 解得，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，， 由，解得，C错误； 对于D，， 由与轴垂直，得，即，D正确． 考点十二 空间向量数量积的坐标表示 ⚠️概念辨析 ⚠️易混易错 直接代入坐标公式计算数量积 结合模长公式求解向量夹角 多用于几何体中线线垂直证明 45．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知空间向量，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．与夹角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】根据空间向量的坐标运算，即可判断选项. 【详解】对于A：，因为，所以不平行，故A错误； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：， ，则，故C正确； 对于D：与夹角的余弦值为，故D正确； 故选：BCD. 46．（26-27高二上·天津津南·阶段检测）若向量与的夹角为钝角，则实数的取值范围为___________ 【答案】 【分析】设与的夹角为，由题意可得，根据空间向量数量积的坐标运算可得，解不等式即可求解. 【详解】设与的夹角为，则为钝角， 所以，即， 又因为，， 所以，解得：， 若与共线，则，此方程组无解，所以与不共线， 所以实数的取值范围为. 47．（26-27高二上·辽宁葫芦岛·阶段检测）已知向量，，，若共面，则在上的投影向量的模为______． 【答案】 【详解】利用共面的条件求出，再利用投影向量的定义计算即得. 【分析】因为四点共面，所以存在实数使， 所以， 可得，解得， 所以，，， 所以在上的投影向量为， 所以投影向量的模长为. 48．（26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知点，，，点在线段上运动，当取得最小值时，点的坐标为______，此时点到线段的中点的距离为______． 【答案】 【分析】先根据点M在线段OA上运动设出点M的坐标，再求出与的坐标，进而求得关于参数的表达式，根据二次函数性质求出最小值时参数的值，得到点M的坐标；最后求出线段BC的中点坐标，利用两点间距离公式求出点M到线段BC的中点的距离. 【详解】设点，因为点M在线段OA上运动，所以， 因为点，，， 设，则点， 所以，， 则， 当时， 取得最小值为，此时点M的坐标为． 因为点，， 所以线段BC的中点的坐标为， 所以点M到线段BC的中点的距离为. 题型一 共面定理及其推论的应用 典例1 （25-26高二上·河南周口·阶段检测）如图，在三棱锥中，两两垂直，,在棱上，在棱上，在棱上，且 ，平面平面，点为线段上的一个动点（不包括端点），则（    ）    A．4 B．2 C．3 D．不确定 【答案】B 【分析】根据空间向量共面，可得，即可根据数量积的运算律求解. 【详解】因为点在平面内，所以， 又因为 所以； 又因为点在平面内， 所以， 因为， 所以， 由空间向量基本定理得：， 解得，即， 所以 ， 因为两两垂直， 所以， 所以， 故选:B． 💡破题要诀 【核心知识】 空间四点共面的向量判定定理 空间向量基本定理推论 【方法技巧】 把条件转化为位置向量的线性关系式 验证系数之和是否等于1 结合几何图形判断点是否落在平面内 排除三点共线等特殊情形 迁移应用 1．（25-26高二上·广东·期中）已知三棱锥的体积为5，是边长为4的正三角形，点为的中点，点满足，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法及线性运算及四点共面结论得出点在平面内，再应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】如图，由点为的中点，可得， 所以. 因为，所以点在平面内， 的最小值就是三棱锥的高， 由， 得，得. 故选：C. 2．（25-26高二上·湖北·期中）在三棱锥中，为的重心，，， .若交平面于点，且，则的最小值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的条件，结合基本不等式求解即可. 【详解】因为的重心，所以 ， 又，，， ， 所以 ， 因为点在平面内， 所以，得，且. 所以 当且仅当时等号成立. 故选：D. 3.（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱锥中，为的重心，，，，，若交平面于点，且，则，满足的关系式为__________. 【答案】 【分析】利用空间向量的四点共面定理，得出关系. 【详解】因为 ， 所以， 因为，，， 所以， 因为，，，四点共面， 所以，所以. 故答案为： 题型二 求空间向量数量积的最值与范围 典例1 （北京市北京学校、中国人民大学附属中学通州校区2026-2027学年高二第一学期高二年级十月考自主命题试卷）已知是正方体内切球（球在正方体内且与正方体的六个面都相切）的一条直径，点在正方体体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将正方体内切球半径，根据空间向量的运算化简为，结合题意得的取值范围，即可得答案. 【详解】由题意设正方体中心为，即为正方体内切球球心，则为的中点， 因为正方体的棱长是，故，则内切球半径为， 则 ， 由于点在正方体表面上运动，当位于正方体顶点时取得最大值，位于内切球与正方体的切点处时取最小值， 故，， 则，即的取值范围为. 💡破题要诀 【核心知识】 数量积坐标表达式二次函数求最值 向量模长与夹角对数量积的影响 【方法技巧】 设参数写出向量坐标写出数量积关于参数的函数表达式 转化为二次函数结合参数取值范围求最值 注意向量几何意义用数形结合辅助判断 迁移应用 1．（25-26高二上·辽宁辽阳·期末）在正方体中，，P是棱的中点，E，F是矩形内的任意两点（包括边界），则的最小值是__________. 【答案】 【分析】设正方体的中心为，连接，设，连接，由已知线面关系可证得平面，从而可得，，根据空间向量的数量积计算，从而可得其最小值. 【详解】设正方体的中心为，连接，设，连接，    因为正方体中，所以平面， 因为平面， ， 又平面，所以平面， 因为P是棱的中点，正方体的中心为， 所以，则四边形为平行四边形，则， 故平面，由于平面， 则，， 所以， 因为，，所以， 因为，所以|，所以， 因为E，F是矩形内的任意两点，所以，当且仅当E，F为或的两端点时，等号成立， 则，即的最小值是. 故答案为：. 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 题型三 空间向量基本定理的应用 典例1 （26-27高二上·辽宁本溪·阶段检测）如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面经过点，与分别交于点，若，则的值为___________． 【答案】/ 【分析】设，，利用基底表示，再根据 求出，最后利用空间向量基本定理列方程组求解. 【详解】设， 因为， 所以， ， 因为四点共面，所以 又，所以， 则 根据空间向量基本定理，有，得． 💡破题要诀 【核心知识】 空间任意向量可由一组基底唯一表示 基底向量不共面 【方法技巧】 合理选取几何体中三条不共面棱向量作为基底 多次使用向量线性运算拆分目标向量 整理得到基底线性表达式 迁移应用 1．（24-25高二下·安徽阜阳·开学考试）（多选）已知正方体的棱长为2，点P满足，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则平面 B．若，则点P的轨迹长度为 C．若，则线段长度的最小值为 D．若，则与平面所成角的余弦的最小值为 【答案】ACD 【分析】由空间向量的基本定理结合面面平行可得A正确；由向量的数量积运算可得B错误；由空间向量的基本定理结合已知得到点的轨迹是线段，再由勾股定理可得C正确；由空间向量的基本定理得到点P的轨迹是线段，当为的中点时可得D正确. 【详解】对于A，若，则点P在线段上，易知平面平面，所以平面，故A正确； 对于B，若， 即， 则点P的轨迹是以为半径的四分之一圆弧，又， 所以点P的轨迹长度是，故B错误； 对于C，设和的中点分别为M，N， 若，则点P的轨迹是线段， 当P是的中点时，的长度最小， 因为是等腰三角形，，， 所以长度的最小值为.，故C正确； 对于D，若，则点P的轨迹是线段， 设与平面所成的角为， 在等边三角形中，边长为，当P为的中点时，取得最小值，为， 而点P到平面的距离恒为2，所以 ，从而，故D正确. 故选：ACD. 2．（多选）在棱长为1的正方体中，点满足，，，则以下说法正确的是（    ） A．当时，平面 B．当时，存在唯一的点，使得与直线的夹角为 C．当时，长度的最小值为 D．当时，与平面所成的角不可能为 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，结合向量关系，分别对答案进行空间关系的判断和求值即可. 【详解】A选项：当时， 的轨迹为线段，由正方体的结构特征，可知平面平面，而平面，∴平面，故A正确； B选项：当时，点的轨迹为线段，直线直线，当与重合时，与直线所成角最大，即与直线所成角最大，最大为，故B错误； C选项：当时， 点轨迹为线段，到线段的距离为，长度的最小值为．故C正确； D选项：当时， 点轨迹为线段，过点做垂直平面于点，则在线段上，为直线与平面所成角，若，则，又点到线段上点的最小距离为，不存在，所以与平面所成角不可能为，故D正确． 故选：ACD． 题型四 空间向量坐标运算的综合应用 典例1 （26-27高二上·河南商丘·阶段检测）（多选）在空间直角坐标系中，则（     ） A．||=4 B．△ABC是直角三角形 C．与平行的单位向量的坐标为（，，） D．{}可以作为空间的一个基底 【答案】BD 【详解】对于A，，所以，故A错误； 对于B，，，且，所以，故B正确； 对于C，，与平行的单位向量有两个，分别为和，题干只列出其中一个，故C错误； 对于D，若，由各坐标相等得，，． 由前两式得，从而且； 再由第三式得，所以． 因此，，线性无关，三者可以作为空间的一个基底，故D正确． 💡破题要诀 【核心知识】 向量坐标加减数乘数量积平行垂直坐标条件 【方法技巧】 建立合适空间直角坐标系写出各点坐标 把几何条件翻译成向量坐标方程 联立方程求解参数或者证明位置关系 迁移应用 1．（25-26高二下·河南平顶山·期末）（多选）在正八面体中（正八面体是由个全等的正三角形围成的多面体），四边形为正方形，E，F，G，H分别为，，，的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先根据题意建立空间直角坐标系，再设，到平面的距离为，从而找出所需点的坐标，从而得到所需向量的坐标，进而根据空间向量平行，及垂直的判定逐一判断即可． 【详解】以正八面体的中心为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，    设，到平面的距离为， 则， 则，，，，，， 又E，F，G，H分别为，，，的中点， 则，，，， 对于A，由，，则，故A正确； 对于B，由，，则，故B正确； 对于C，结合选项A、B，由，则，故C正确； 对于D，由，，，得与不垂直，故D错误． 2．（25-26高二下·河南许昌·期中）（多选）在空间直角坐标系中，已知点，，，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．是直线的一个方向向量 C． D．若点是点在平面内的射影，则 【答案】AB 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可判断A；根据共线向量的坐标表示即可判断B；根据向量夹角的坐标表示即可判断C；对D，根据点在平面的投影可得点，由向量模长公式计算可判断D. 【详解】对于A，，，因为， 则，解得，故A正确； 对于B，，，则是直线的一个方向向量，故B正确； 对于C，，则，故C错误； 对于D，易知点在平面内的射影为， 可知，所以，故D错误. 题型五 空间向量运算中的新定义问题 典例1 （26-27高二上·安徽阜阳·阶段检测）已知一组空间向量，，，， ，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． (1)已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． (2)四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 【答案】(1) (2)①因为四面体内接于球，所以， 因为，所以，所以 等式两边同时平方得，所以，即， 所以，且，，，在同一平面内． 如图所示，以为原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点，，所以，， 将其代入中，得， 所以 ， 由“向量”的定义，得，都是向量组，，的“向量”． ② 【分析】（1）根据题干信息求出，再代入题干关系得到不等式，解得的取值范围； （2）①由结合向量的运算可得，且，，，在同一平面内，随之将问题转化为平面向量的问题，再依次分析，，哪个满足“向量”的定义； ②由①可知过球心，平面时，四面体的体积取得最大值. 【详解】（1）因为，，， 所以，，． 又因为是向量组，，的“向量”， 所以，所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． （2）①略 ②由①得，且，，，在同一平面内，所以在过球心的截面上， 又因为，所以， 等式两边同时平方可得， 所以，所以， 同理可得， 等式两边同时平方可得， 所以，所以， 则 当平面时，四面体的体积取得最大值， 此时. 💡破题要诀 【核心知识】 基于向量基础运算自定义新运算规则 【方法技巧】 读懂题干新定义严格套用题目给出运算规则 转化为常规向量坐标运算求解 检验运算结果是否符合题干约束条件 迁移应用 1．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）空间中，两两垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系.如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”.现有一种空间斜坐标系，它的任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”，类比空间直角坐标系，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴，轴，轴）正方向上的单位向量，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标.若向量，则与有序实数组一一对应，称向量的斜坐标为，记作在平行六面体中，，，，建立“空间斜坐标系”如图所示.若，，且. (1)求向量的斜坐标； (2)求； (3)求 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先用基底写出与，作差即得的斜坐标； （2）把斜坐标还原为、的组合，利用三个单位向量两两成展开数量积（交叉项系数为），由垂直条件解出，再用模长公式求； （3）把两向量的斜坐标都写成、、的组合后逐项展开数量积，注意、都等于. 【详解】（1）设、、分别为、、轴正方向的单位向量， 由、得，，， 且. 由知是的中点，. 又， 所以，其斜坐标为. （2）由得，且. 由得， 解得. 所以，. （3） . 2．（25-26高二上·山西太原·期中）（多选）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算： ①是与都垂直的向量； ②三个向量构成右手系（如图1）； ③． 如图2，在长方体中， ，则下列结论正确的是（   ）      A． B． C． D．长方体的体积 【答案】BCD 【分析】根据新定义得出A、B，根据新定义计算等式两边的结果得出C选项，计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断选项D. 【详解】选项A：向量同时与向量垂直， 且向量三个向量构成右手系， ， ，所以， 故A不正确， 选项B：由， ， 所以， 故B选项正确， 选项C：因为 ， 且与同向共线， 又， 且与同向共线， 又因为与同向共线， 所以， 故C选项正确， 选项D：长方体的体积为：， ， 故， 所以D选项正确， 故选：BCD. 基础固本练（限时：15分钟） 1．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）（多选）如图，在平行六面体中，设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由平行六面体的性质，，． ，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确． 2．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）已知向量，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，且， 根据向量平行的充要条件，存在实数，使得， 所以，解得. 3．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图所示，如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，线段上的点满足平面，点在上，且与端点不重合，． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1) 平面平面， 平面，平面平面， 而平面平面， 平面平面． (2) 由（1）知平面平面， 又平面平面，平面平面，. (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理得到平面，再结合面面平行的判定定理求解即可. （2）利用面面平行的性质定理求解即可. （3）结合题意与空间向量的线性运算得到，最后利用空间向量基本定理建立方程，求解参数即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）如图，作出符合题意的图形， ，点是的中点， ，，点是的中点，． ，且三棱锥各棱长均为1， ，． 点在上且与端点不重合，，解得． ，， 又， 而， 由（2）知，， ，使得， 即， 由空间向量基本定理可得，解得. 4．（25-26高二下·江苏·期中）如图，在空间四边形中，，连接，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在空间四边形中，， 则. 5．（25-26高二下·河南平顶山·期中）如图，在正八面体中，四边形为平行四边形，，分别为，的中点，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】为正八面体，四边形为正方形； ； 是的中点，，则， 为的中点，四边形为平行四边形， ， . 6．（25-26高二下·江苏连云港·期中）（多选）已知向量，，则下列结论中正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．不存在实数，使得 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A，，解得，A错误； 对于B，由，得，解得，B正确； 对于C，假设存在实数，使得，则， 由第一个式子得，代入第二个式子得，很显然不满足，C正确； 对于D，，解得， 所以，，所以，D正确． 7．（26-27高二上·北京·期中）如图，在平行六面体中，，，则线段的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量线性运算，可得，利用数量积运算性质即可得出． 【详解】， 又，，，， . 8．（26-27高二上·河北保定·期中）在三棱锥中，．，，若点在棱上，且，是中点，是中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间向量基本定理，结合图形和条件计算即得. 【详解】如图，因是中点，则， 又因是中点，则， 因点在棱上，且， 则， 故. 9．（26-27高二上·山东·期中）在三棱锥中，与中点分别为，点G为中点．若D在上满足，E在上满足，平面交于点F，且，则λ的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用向量的线性运算，结合四点共面，即可得到结果. 【详解】 由题意得，， ∵，，，∴，，， ∴， ∵四点共面， ∴，解得. 10．（25-26高二上·广东湛江·期中）（多选）下面四个结论正确的是（    ） A．若空间向量、满足，则 B．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 C．对于空间向量、，“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件 D．若三个非零空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】对于A，根据向量相等的概念判定即可；对于B，根据空间基底不共面判断即可；对于C，、反向共线时也成立，结合充分条件与必要条件的概念判断即可；对于D，根据空间向量的位置关系判定即可. 【详解】对于A：方向相同、长度相等的两个向量才是相等向量，A明显错误； 对于B：已知是空间的一组基底， 若，不妨设，即，于是得出、、共面， 这与是空间的一组基底矛盾，故假设不成立，则可以作为基底； 则也是空间的一组基底，故B正确； 对于C：当、反向共线时也成立，但与夹角不为钝角； 但与夹角为钝角时一定成立，故C正确： 对于D：由于空间中垂直于同一直线的两直线（及其方向向量）可以不平行，所以D错误． 11．（26-27高二上·河南·期中）已知，. (1)求的值； (2)已知，若，求的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）. （2）， ， 由于，则，解得，符合题意. 故的值为. 12．（25-26高二下·福建宁德·期中）（多选）已知空间向量（    ） A．当 时， B．当为钝角时，且 C．存在实数，使得 D．存在实数，使得为空间的一组基底 【答案】ACD 【分析】选项A，根据向量平行建立关于的方程求解判断；选项B，结合向量夹角为钝角的充要条件，计算的范围，再排除反向共线的情况；选项C，根据空间向量垂直的充要条件，建立关于的方程，判断方程是否有解；选项D，根据共面向量基本定理建立关于的方程，判断是否存在使方程成立. 【详解】选项A，若，则存在实数使得，对应坐标满足：， 解得，，代入验证所有等式成立，因此正确，A正确； 选项B，若为钝角，等价于且不反向平行， ，得； 若，显然，则对应坐标成比例：，由得， 代入验证，不存在使得， 即时夹角仍为钝角，不需要排除，B错误； 选项C，若，， 解得或，存在实数满足条件，C正确； 选项D，能作为空间的一组基，等价于三个向量不共面，根据共面向量基本定理， 若三个向量共面，则存在实数使得， 代入坐标得方程组：， 整理方程(2)(3)得： 消元解得：. 将代入方程(1)：， 因此方程(1)化简为，即：当且仅当时，三个向量共面； 当时，三个向量不共面，可以作为空间的一组基底，D正确. 13．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）已知空间向量，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量的模为 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算，结合空间向量平行、垂直及模的坐标表示求解判断ABC；求出投影向量的模判断D. 【详解】对于A，，而，A错误； 对于B，，则，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，在上的投影向量为，则，D正确. 故选：BD 14．（25-26高二上·福建厦门·期中）（多选）在空间直角坐标系中，已知，，，且满足，与平面平行，则下列说法中正确的是（ ） A． B． C．可以用，表示 D．，所成角为钝角 【答案】BD 【分析】根据向量数量积列出关系式，平面的法向量为，法向量与垂直，列出第二个关系式求解即可. 【详解】由题意可知：，，因为与平面平行， 则，即，两式联立得，所以， A.若，则，即，则，不存在，故不平行，故错误；     B. ，则，故正确；　 C. 假设可以用，表示，则，即，则，无解，故不可以用，表示，故错误； D. 设，所成的角为，则，因为，所以，所成角为钝角，故正确； 故选：BD 综合进阶练（限时：15分钟） 15．（25-26高二上·河南·期中）已知三棱锥的体积为是空间中一点，若，则三棱锥的体积是___________． 【答案】 【分析】根据空间向量基本定理得到，结合四点共面性质得到在平面内存在一点，使得，继而得到，利用三棱锥体积的性质进行求解即可. 【详解】因为，，， ， 所以， 即， 两边同时乘以得， 因为，所以在平面内存在一点，使得成立， 所以，即， . 故答案为：. 16．（25-26高二上·重庆·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 【答案】D 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：D. 17．（25-26高二上·四川广元·期中）将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥，是线段的中点，，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，以为基底向量，结合空间向量运算可得，即可求取值范围. 【详解】设，以为基底向量， 则，， 可得，， 则 ， 因为，则， 可得， 所以的取值范围是. 故选：C. 18．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知正方体的棱长为2，且满足，则的最小值是__________. 【答案】/ 【分析】化简条件结合平面向量基本定理得出平面，可得的最小值是到平面的距离，进而利用等体积法计算到平面的距离即可. 【详解】因， 则，即， 因不共线，则共面，则平面， 则的最小值是到平面的距离， 因正方体棱长为，则等边三角形的边长为， 因，则， 则， 故的最小值.    故答案为：. 19．（25-26高一下·湖南长沙·期中）（多选）在棱长为1的正方体中，，，，下列结论正确的是（    ） A．若时，直线与直线的夹角余弦值为 B．若时，周长的最小值为 C．若时，三棱锥的体积为定值 D．当时，有且仅有一个点，使得 【答案】AC 【分析】根据平行求出直线与直线所成的角，解三角形得解判断A，取特殊点判断B，由点到面的距离为定值判断C，点位于或时满足即可判断D. 【详解】对于A，当时，，如图， 所以点为线段的中点，因为， 所以直线与直线的夹角即为直线与直线的夹角， ， 同理可得，在等腰中，故A正确； 对于B，当时，根据三点共线的充要条件可知，点P在线段上， 当点P是线段的中点时，可知周长为，故B错误； 对于C，当时，点P在线段上， 因为平面，所以点到平面的距离为定值， 所以为定值，故C正确； 对于D，因为，，，取，中点分别为，， 所以点在线段上运动，当点位于或时，，故D错误. 20．（25-26高二上·广东东莞·期中）（多选）在棱长为2的正方体中，点P满足，则下列结论正确的是（    ） A．当时， B．当时，平面截正方体所得的截面的面积为 C．若且，则当取得最小值时， D．若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上，则点P的轨迹的长度为 【答案】ABC 【分析】根据锥体体积公式、正方体截面、线段和的最值、轨迹等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， ，. A选项，当时，， 则在线段上， 根据正方体的性质可知，， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以，则，所以A选项正确. B选项，当时，是的中点，设是的中点， 连接，则， 所以平面截正方体所得的截面为等腰梯形， ， 到的距离为， 所以截面面积为，所以B选项正确. C选项，时，， 设分别是的中点，连接，则在线段上， 由于，所以是的中点，则， 连接， 将四边形与四边形展开成平面图形如下图所示， 连接，交于，由图可知的最小值是， 此时，对应，所以C选项正确. D选项，依题意，， 则在正方形上， ，设，连接，则， 若点P在以的中点O为球心，为半径的球面上， 则，， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，长度，所以D选项错误. 故选：ABC 21．（24-25高二上·北京·期中）给定两个不共线的空间向量与，定义叉乘运算，规定：①为同时与垂直的向量；②三个向量构成右手系（如图1）；③．如图2，在长方体中中，，则下列说法中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项AB；根据新定义计算等号左右两边可判断C；计算长方体的体积结合新定义以及数量积的定义可判断D. 【详解】对于A，同时与垂直， ， 且构成右手系，即成立，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 与共线，且方向相同， 则与共线，且方向相同， 因此，C正确； 对于D,，， 因此，D正确． 故选：B 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $