专题04 圆及其方程（期中复习讲义）高二数学上学期人教B版

专题04 圆及其方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 求圆的标准方程及一般方程 考点二 二次曲线表示的方程与圆的关系 考点三 点和圆的位置关系 考点四 定点到圆上的点最值问题 考点五 圆过定点问题 考点六 直线和圆的位置关系求参数 考点七 求圆的弦长，弧长，面积等 考点八 求圆的轨迹方程 考点九 求过圆上一点/圆外的点的切线方程 考点十 与切线长有关的计算 考点十一 求切点弦方程 考点十二 直线和圆位置关系的实际应用 考点十三 圆与圆的位置关系求参数 考点十四 相交圆的公共弦方程 考点十五 求圆的公切线方程 05 重难题型突破 题型一 圆方程中的最值问题 题型二 直线与圆相交的最短弦长问题 题型三 直线和圆中几种常见代数式的最值问题 题型四 圆上的点到直线距离的个数问题 题型五 切点弦方程及其应用 题型六 圆与圆的位置关系中的隐圆问题 题型七 平面向量与圆的综合 题型八 直线与圆中的韦达定理应用 题型九 直线与圆中的定点定值问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中试卷选择填空小题高频出现解答大题常独立设问或者和直线方程综合考查 基础小题考查圆标准方程一般方程转化点与圆位置关系直线与圆位置判断切线基础计算 中档题考查弦长计算圆过定点公共弦方程切线长求解圆上点到定点最值 命题以坐标与方程运算为核心将圆的几何性质转化为代数方程求解 重点考查圆心半径的求解圆心到直线距离公式判别式与几何法两种思路含参数分类讨论 压轴设问多为圆中代数式最值隐圆问题向量与圆综合定点定值探究 识记 记住圆标准方程与一般方程形式掌握一般方程表示圆的条件熟记点与圆直线与圆圆与圆位置关系判定条件弦长公式切线方程切线长公式公共弦方程相关结论 理解 理解圆方程两种形式的几何含义理解圆心距与半径的数量关系对应各类位置关系理解弦长切线长的几何推导原理分清代数法联立方程和几何法（圆心距离）两种解题思路的适用场景 应用 能根据条件求圆的标准方程和一般方程会判断点直线圆之间的位置关系熟练计算弦长弧长面积切线方程切线长可以求解圆轨迹方程圆过定点公共弦公切线问题独立处理圆中最值隐圆向量综合韦达定理联立等重难题型 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到__定点____的距离等于__定长____的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是 __圆心____和__半径___，如图所示.    (3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是____________.当时，方程为，表示以__原点O____为圆心，半径为的圆. 2．平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在圆外，即在__圆外______； （2）在圆上，即在__圆上______； （3）在圆内，即在__圆内______． 3．圆的一般方程 圆的一般方程是______（______0），圆心为_ 圆 不表示任何图形 _____，半径为______． 注意：（1）对于方程， ①当时，方程表示_圆_____； ②当时，方程表示一个点______； ③当时，方程_不表示任何图形_____． （2）圆的一般方程有如下特点： ①与项的系数相同且不为零； ②不含xy项； ③，叫做圆的方程的判别式． （3）无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，其中都含有三个需要确定的常数a、b、r或D、E、F，因此，必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程． 4．直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __两个___ __一个___ ___零个__ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 __ ___ _____ _____ 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ _____ _____ __ ___ 5．圆与圆的位置关系 已知两圆，，则圆心距___________．则两圆，有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 _________ _________ ___ ______ _________ ____ _____ 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 考点一 求圆的标准方程及一般方程 ⚠️概念辨析 核心知识 圆标准方程圆心半径 圆一般方程 配方可得 方法技巧 已知圆心半径直接写标准方程 已知三点用一般方程代入三点坐标列三元一次方程组求D EF 求圆优先优先标准方程方便直接读出圆心半径 1．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，． (1)求边上中线所在的直线方程； (2)求过，，三点的圆的方程． 2．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 3．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 考点二 二次曲线表示的方程与圆的关系 ⚠️概念辨析 核心知识 二元二次方程表示圆的条件 ①②③ 方法技巧 先保证二次项系数相等且不为0无xy交叉项 再验证判别式等于0是点圆小于0无轨迹 5．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 6．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·天津和平·阶段检测）方程所表示的圆的最大面积为________. 8．（26-27高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点三 点和圆的位置关系 ⚠️概念辨析 核心知识 圆点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 方法技巧 直接把点坐标代入圆方程左边和半径平方比较大小 一般方程也可以代入左边与比较 9．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点四 定点到圆上的点最值问题 ⚠️概念辨析 核心知识 定点圆心半径 在圆外：最大值最小值 在圆内：最大值最小值 在圆上：最大值最小值 方法技巧 先求出圆心和半径计算定点到圆心距离 最值在两点连线与圆交点取得 13．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆：，点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是________________________ 14．（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）圆C：上的点到坐标原点O的最小距离为（   ） A． B． C． D． 15．（26-27高二上·广东梅州·阶段检测）直线与直线交于点，是实数，则的最大值为___________． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点五 圆过定点问题 ⚠️概念辨析 核心知识 带参数的圆方程整理成参数乘以式子加不含参数式子等于0 令所有不含参数的多项式同时等于0联立求定点 17．（25-26高二上·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 18．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 19．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 20．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 考点六 直线和圆的位置关系求参数 ⚠️概念辨析 核心知识 圆心到直线距离圆半径 相离相切相交 方法技巧 几何法优先：求圆心到直线距离列不等式求参数范围 代数法：联立直线圆方程利用一元二次方程判别式判断 注意检验二次项不为0 21．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（     ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 23．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知直线，圆，点，则（） A．若M在圆C上，则直线l与圆C相交 B．若M在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若M在圆C外，则直线l与圆C相交 D．若M在直线l上，则直线l与圆C相离 24．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 考点七 求圆的弦长弧长面积等 ⚠️概念辨析 核心知识 弦长公式为圆心到直线距离 弧长为圆心角弧度 扇形面积 方法技巧 弦长优先几何法垂径定理半弦长半径圆心距构成直角三角形 联立方程可用弦长公式 25．（26-27高二上·上海普陀·阶段检测）若，圆的一条对称轴为直线，则圆的面积是_________. 26．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆被直线所截得的弧长之比为，则实数m的值是（   ） A． B．1 C．3 D．4 28．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）已知圆C过点，圆心在y轴正半轴上，且与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点的直线l交圆C于A，B两点，且的长度为，求直线l的方程． 考点八 求圆的轨迹方程 ⚠️概念辨析 核心知识 轨迹方程求法：直接法定义法代入转移法 圆定义：到定点距离等于定长（大于0）的点集合 方法技巧 直接法：设动点坐标翻译几何条件化简 定义法：判断动点满足圆定义直接写出圆心半径 代入法：利用相关点坐标关系用动点表示已知点代入已知圆方程 29．（26-27高三上·上海奉贤·阶段检测）平面直角坐标系中，点 ，若对于直线 上的任一点 ，都有 ，则实数 的取值范围是_____. 30．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 31．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）在直角坐标系中，、，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)过坐标原点的动直线与轨迹交于点、，点. ①若，求弦的长； ②对于任意直线，存在常数，满足，求的值. 32．（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（     ） A．9 B．10 C． D．12 考点九 求过圆上一点/圆外的点的切线方程 ⚠️概念辨析 核心知识 圆圆上一点 切线方程 过圆外一点可作两条切线 方法技巧 圆上一点直接套切线结论 过圆外一点：设点斜式利用圆心到直线距离等于半径求斜率 斜率不存在的直线要单独检验 33．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 34．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 35．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆：． (1)求的取值范围． (2)已知直线：与圆交于，两点，且．求过点的圆切线方程． 36．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求的值； (2)若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 考点十 与切线长有关的计算 ⚠️概念辨析 核心知识 圆外一点圆心半径 切线长 方法技巧 切线长半径点到圆心连线构成直角三角形 利用勾股定理直接计算切线长 37．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 38．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 39．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为_________. 40．（26-27高三上·安徽·开学考试）过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 考点十一 求切点弦方程 ⚠️概念辨析 核心知识 过圆外一点引两条切线两切点连线称为切点弦 圆切点弦方程 方法技巧 直接套用切点弦公式形式和圆上点切线方程一致 也可以求出两个切点坐标再两点式写直线 41．（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 42．（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 43．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 44．（25-26高三上·安徽·期末）已知圆：（圆心为点），动点在直线：上，过点向圆作两条切线，切点分别为，；直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为______． 考点十二 直线和圆位置关系的实际应用 ⚠️概念辨析 核心知识 将实际问题转化为平面直角坐标系建立圆与直线模型 方法技巧 建立坐标系确定圆心半径与直线方程 利用距离位置关系判断是否相交相切 45．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 46．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由． 47．（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 48．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 考点十三 圆与圆的位置关系求参数 ⚠️概念辨析 核心知识 两圆圆心圆心距半径 外离外切相交 内切内含 方法技巧 算出两圆心坐标与半径计算圆心距 根据位置关系列出不等式求解参数 注意半径大于0隐藏条件 49．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 50．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 51．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知圆与圆外切，则a的值为______． 52．（26-27高二上·江西·阶段检测）设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 考点十四 相交圆的公共弦方程 ⚠️概念辨析 核心知识 两圆一般方程 公共弦方程： 方法技巧 两圆方程直接相减消去二次项得到一次方程即为公共弦 仅当两圆相交时该方程代表公共弦直线 53．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）已知圆，圆. (1)证明：圆与圆相交； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 54．（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）（多选）圆和圆的交点为，，则有（     ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 55．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 56．（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 考点十五 求圆的公切线方程 ⚠️概念辨析 核心知识 两圆公切线分为外公切线内公切线 圆心到切线距离等于半径 方法技巧 设切线方程利用圆心到直线距离等于半径列方程求解 注意斜率不存在情况单独讨论 外公切线两圆心在直线同侧内公切线在异侧 57．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 58．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 59．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 60．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 题型一 圆方程中的最值问题 典例1 （26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆为圆上相异两点，且，则的最大值为_________. 💡破题要诀 核心知识 圆上点的横纵坐标范围距离型最值利用几何意义转化 代表动点到距离 方法技巧 几何法优先借助圆心半径画图 代数法：参数方程设转化三角函数求最值 迁移应用 1．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 2．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 题型二 直线与圆相交的最短弦长问题 典例1 （26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 💡破题要诀 核心知识 过圆内定点的弦当定点与圆心连线垂直弦时弦长最短 最长弦为过圆心的直径 方法技巧 判断定点在圆内 计算圆心到定点距离最短弦长 迁移应用 1．（26-27高二上·湖南常德·阶段检测）已知点圆：． (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 题型三 直线和圆中几种常见代数式的最值问题 典例1 （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 💡破题要诀 核心知识 表示动点与定点连线斜率 可利用三角换元 表示距离平方 方法技巧 识别代数式几何含义转化为距离斜率截距问题 利用圆几何性质求最值 迁移应用 1．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 2．（25-26高二上·福建泉州·期末）（多选）已知点，动点与点的距离是它与点的距离的，则（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹方程为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 题型四 圆上的点到直线距离的个数问题 典例1 （26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 核心知识 圆心到直线距离半径分析与的大小关系判断圆上满足距离等于定值的点个数 方法技巧 算出圆心到已知直线距离 平行移动直线看与圆交点个数 画图辅助分析分类讨论 迁移应用 1．（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 题型五 切点弦方程及其应用 典例1 （25-26高二上·江西·阶段检测）过直线上任意一点向圆作两条切线，切点为，线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 迁移应用 1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆（圆心为点），动点在直线上，过点向圆作两条切线，切点分别为，，则直线恒过定点__________；若直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为__________． 2．（26-27高二上·江西·阶段检测）（多选）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 题型六 圆与圆的位置关系中的隐圆问题 典例1 （26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 💡破题要诀 核心知识 隐圆：题干不直接给出圆方程通过几何条件推导存在定圆 常见条件：到定点距离定值定角对定弦 方法技巧 翻译题干几何条件挖掘隐藏的定点定长确定隐圆圆心半径 再利用圆与圆位置关系求解 迁移应用 1．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为，则这样的直线共有___________条． 2．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆：和两点，（），若圆上存在点，使得，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型七 平面向量与圆的综合 典例1 （26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，，是平面向量，其中是单位向量，，且，向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 💡破题要诀 核心知识 向量数量积向量模长向量垂直平行条件结合圆几何性质 方法技巧 向量坐标化转化为坐标运算 利用向量几何意义转化距离垂直关系 结合圆半径圆心求解范围最值 迁移应用 1．（2026·天津河西·二模）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 2．（25-26高一下·北京·期中）已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 题型八 直线与圆中的韦达定理应用 典例1 （26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆过点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)是否存在斜率为2的直线与圆交于，两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 💡破题要诀 核心知识 直线联立圆得到一元二次方程韦达定理 为相交前提 方法技巧 联立方程先写判别式保证相交 用韦达定理表达弦中点弦长坐标关系 用于参数求解和范围判断 迁移应用 1．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆C：，点D在圆C上运动，且点T满足（O为原点），记点T的轨迹为E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线上存在一点P，过P作曲线E的两条切线，切点分别为G、H，若，求实数k的取值范围； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 2．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 题型九 直线与圆中的定点定值问题 典例1 （26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 💡破题要诀 核心知识 含参数直线与圆相交某些量不随参数改变而变化 方法技巧 分离参数法证明式子与参数无关 取特殊参数找到定点定值再一般性证明 联立方程结合韦达定理化简验证 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线经过点，直线：. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线相切，求直线的方程； (3)若直线与曲线相交于，两点，且线段的中点为，与相交于点，证明：为定值. 2．（26-27高二上·安徽·期中）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：，则圆关于直线：对称的圆的方程（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·江苏·期中）圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 5．（25-26高二上·山东济宁·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 二、多选题 6．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：，点是直线：上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．圆上恰有一个点到直线的距离为 D．与交于点，则的最大值为 7．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 8．（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 三、填空题 9．（25-26高二下·上海·期中）设，且过点作圆的切线有两条，则的取值范围是__________. 10．（25-26高二上·江苏扬州·期中）若直线（）与圆：相交于，两点，且，则实数为______. 四、解答题 11．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，. (1)求边上高所在直线方程； (2)求的外接圆方程. 12．（25-26高二上·北京密云·期中）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过原点，直线的方程为，直线. (1)求圆的标准方程； (2)若与圆相切，求的值； (3)若直线与圆相交于,两点，直接写出的取值范围 13．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知圆经过点，，且_______． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 14．（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 15．（26-27高二上·河南·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（26-27高二上·江西·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若已知存在线段AB是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值是 D．当时， 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线，圆，则下列结论正确的是（   ） A．直线和圆总有公共点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．若圆与圆有且只有一条公切线，则实数 D．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 5．（25-26高二下·云南玉溪·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，，其“欧拉线”为，圆：，则（ ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D．存在，使圆上有三个点到的距离都为1 三、填空题 6．（25-26高二上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，，，若，均为正整数，且圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，则______． 7．（25-26高二下·云南大理·期中）在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 四、解答题 8．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知动点P在直线上，动点Q在圆上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求的最小值及的最大值； (3)证明直线过定点． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆及其方程 01 期中考情透视 02 复习目标锚定 03 知识体系构建 04 核心考点精讲 考点一 求圆的标准方程及一般方程 考点二 二次曲线表示的方程与圆的关系 考点三 点和圆的位置关系 考点四 定点到圆上的点最值问题 考点五 圆过定点问题 考点六 直线和圆的位置关系求参数 考点七 求圆的弦长，弧长，面积等 考点八 求圆的轨迹方程 考点九 求过圆上一点/圆外的点的切线方程 考点十 与切线长有关的计算 考点十一 求切点弦方程 考点十二 直线和圆位置关系的实际应用 考点十三 圆与圆的位置关系求参数 考点十四 相交圆的公共弦方程 考点十五 求圆的公切线方程 05 重难题型突破 题型一 圆方程中的最值问题 题型二 直线与圆相交的最短弦长问题 题型三 直线和圆中几种常见代数式的最值问题 题型四 圆上的点到直线距离的个数问题 题型五 切点弦方程及其应用 题型六 圆与圆的位置关系中的隐圆问题 题型七 平面向量与圆的综合 题型八 直线与圆中的韦达定理应用 题型九 直线与圆中的定点定值问题 06 限时分层演练 基础固本练 / 综合进阶练 期中试卷选择填空小题高频出现解答大题常独立设问或者和直线方程综合考查 基础小题考查圆标准方程一般方程转化点与圆位置关系直线与圆位置判断切线基础计算 中档题考查弦长计算圆过定点公共弦方程切线长求解圆上点到定点最值 命题以坐标与方程运算为核心将圆的几何性质转化为代数方程求解 重点考查圆心半径的求解圆心到直线距离公式判别式与几何法两种思路含参数分类讨论 压轴设问多为圆中代数式最值隐圆问题向量与圆综合定点定值探究 识记 记住圆标准方程与一般方程形式掌握一般方程表示圆的条件熟记点与圆直线与圆圆与圆位置关系判定条件弦长公式切线方程切线长公式公共弦方程相关结论 理解 理解圆方程两种形式的几何含义理解圆心距与半径的数量关系对应各类位置关系理解弦长切线长的几何推导原理分清代数法联立方程和几何法（圆心距离）两种解题思路的适用场景 应用 能根据条件求圆的标准方程和一般方程会判断点直线圆之间的位置关系熟练计算弦长弧长面积切线方程切线长可以求解圆轨迹方程圆过定点公共弦公切线问题独立处理圆中最值隐圆向量综合韦达定理联立等重难题型 1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面上到__定点____的距离等于__定长____的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径. (2)确定圆的基本要素是 __圆心____和__半径___，如图所示.    (3)圆的标准方程：圆心为，半径长为的圆的标准方程是____________.当时，方程为，表示以__原点O____为圆心，半径为的圆. 2．平面上的一点与圆之间存在着下列关系： （1）在圆外，即在__圆外______； （2）在圆上，即在__圆上______； （3）在圆内，即在__圆内______． 3．圆的一般方程 圆的一般方程是______（______0），圆心为_ 圆 不表示任何图形 _____，半径为______． 注意：（1）对于方程， ①当时，方程表示_圆_____； ②当时，方程表示一个点______； ③当时，方程_不表示任何图形_____． （2）圆的一般方程有如下特点： ①与项的系数相同且不为零； ②不含xy项； ③，叫做圆的方程的判别式． （3）无论是圆的标准方程还是圆的一般方程，其中都含有三个需要确定的常数a、b、r或D、E、F，因此，必须具备三个独立条件，才能确定一个圆的方程． 4．直线与圆的位置关系及判断 位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 __两个___ __一个___ ___零个__ 判定方法 几何法：设圆心到直线的距离 __ ___ _____ _____ 代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ _____ _____ __ ___ 5．圆与圆的位置关系 已知两圆，，则圆心距___________．则两圆，有以下位置关系： 位置关系 外离 内含 相交 内切 外切 圆心距与半径的关系 _________ _________ ___ ______ _________ ____ _____ 图示 公切线条数 4 0 2 1 3 考点一 求圆的标准方程及一般方程 ⚠️概念辨析 核心知识 圆标准方程圆心半径 圆一般方程 配方可得 方法技巧 已知圆心半径直接写标准方程 已知三点用一般方程代入三点坐标列三元一次方程组求D EF 求圆优先优先标准方程方便直接读出圆心半径 1．（26-27高二上·江苏常州·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，． (1)求边上中线所在的直线方程； (2)求过，，三点的圆的方程． 【答案】(1) (2)（或一般式） 【分析】（1）先求出中点的坐标，再利用点斜式方程即可求解； （2）设出圆的一般方程，代入已知点，解方程组求出系数即可求解． 【详解】（1）由于，，则中点的坐标为， 又边上的中线过点，故其斜率为， 因此边上中线的方程为，即． （2）设圆的一般方程为， 代入点得①， 代入点得②， 代入点得③， 联立①②③解得， 因此圆的一般方程为，标准方程为． 2．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）求满足下列条件的曲线的标准方程： (1)过三点、、的圆； (2)圆经过点，，且圆心在直线上 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设出圆的一般方程，根据题意列方程组求出参数，然后化为标准方程即可； （2）先求线段的垂直平分线方程，再求圆心坐标及半径，由此可得结论. 【详解】（1）设圆的方程为， 由题可得，解得， 所以圆的一般方程为， 化为标准方程得. （2）由点，在圆上，，中点坐标为， 则直线的垂直平分线的直线方程为，即， 则圆心为直线与垂直平分线的交点， 联立方程组，解得， 所以圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 3．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 4．（25-26高二上·宁夏固原·期末）已知点，； (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【详解】（1）因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. （2）由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 考点二 二次曲线表示的方程与圆的关系 ⚠️概念辨析 核心知识 二元二次方程表示圆的条件 ①②③ 方法技巧 先保证二次项系数相等且不为0无xy交叉项 再验证判别式等于0是点圆小于0无轨迹 5．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）若方程表示圆，则实数的取值范围是______. 【答案】 【分析】将方程化为圆的标准方程，从而可得实数的取值范围. 【详解】将方程配方，得， 因为方程表示圆，所以，得. 因此实数的取值范围是. 6．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若二元二次方程表示圆，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件求解. 【详解】因为二元二次方程表示圆， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 7．（26-27高二上·天津和平·阶段检测）方程所表示的圆的最大面积为________. 【答案】 【详解】方程表示圆，化为圆的标准方程得， 圆的半径，由 ， 当时，半径的最大值. 所以圆的最大面积为. 8．（26-27高二上·河南·阶段检测）在平面直角坐标系内，已知圆心在原点、半径为r的圆可以完全覆盖曲线所构成的几何图形，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，曲线C表示原点； 当时，曲线C的方程为，此时曲线C表示以点为圆心，为半径的圆在第一象限的部分； 同理，可在平面直角坐标系内作出曲线C的完整图形（如图），又曲线C上的点到原点距离的最大值为， 所以． 考点三 点和圆的位置关系 ⚠️概念辨析 核心知识 圆点 点在圆外 点在圆上 点在圆内 方法技巧 直接把点坐标代入圆方程左边和半径平方比较大小 一般方程也可以代入左边与比较 9．（26-27高二上·天津河西·阶段检测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元二次方程表示圆的条件，以及点与圆的位置关系，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为点在圆的外部， 则满足，解得 所以实数的取值范围是. 10．（25-26高二上·江苏常州·期末）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由二元二次方程表示圆可得的范围，再结合点在圆的外部，即可得解. 【详解】将圆化成标准方程，可得， 由，解得. 因为点在圆的外部， 所以，解得. 综上可得. 11．（25-26高二上·陕西西安·期末）若点在圆外，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用方程表示圆和点在圆外建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】因为点在圆C外，所以，解得， 所以a的取值范围为． 故选：B. 12．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 考点四 定点到圆上的点最值问题 ⚠️概念辨析 核心知识 定点圆心半径 在圆外：最大值最小值 在圆内：最大值最小值 在圆上：最大值最小值 方法技巧 先求出圆心和半径计算定点到圆心距离 最值在两点连线与圆交点取得 13．（26-27高二上·广西南宁·阶段检测）已知圆：，点，若圆上存在点满足，则实数的取值范围是________________________ 【答案】 【详解】圆：，圆心为，半径为， 点，若圆上存在点满足， 等价于到圆上点的最小距离不超过3， 到圆上点的最小距离为，因此只需满足， 即，得，即，解得. 14．（26-27高二上·湖南邵阳·阶段检测）圆C：上的点到坐标原点O的最小距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的一般方程化为标准方程，计算原点到圆心的距离，求解到坐标原点O的最小距离. 【详解】圆C：，即， 圆心为，半径为， ， ，所以点在圆内， 圆C上的点到坐标原点O的最小距离为. 15．（26-27高二上·广东梅州·阶段检测）直线与直线交于点，是实数，则的最大值为___________． 【答案】18 【分析】先由两直线方程确定两直线的位置关系以及所过定点，从而进一步确定交点的轨迹方程，确定所求表达式的几何意义后，再由与圆有关的最值问题处理方式即可求解． 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率， 可得，两直线垂直； 当时，直线的方程为，直线的方程为，两直线仍垂直． 因此对任意实数，都有 ． 直线，当时，，则恒过定点； 直线，当时，，则恒过定点． 因为，交点为，所以． 代入坐标，可得， 即， 即点的轨迹是以为圆心，半径的圆． 而表示点到定点的距离的平方． 圆心到点的距离为， 圆上点到的最大距离为， 因此距离的平方最大值为． 16．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据圆外一点到圆上的距离的最小值等于这个点到圆心的距离减去半径可得. 【详解】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． 考点五 圆过定点问题 ⚠️概念辨析 核心知识 带参数的圆方程整理成参数乘以式子加不含参数式子等于0 令所有不含参数的多项式同时等于0联立求定点 17．（25-26高二上·安徽淮北·期末）已知函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点. (1)求经过、、三点的圆的方程； (2)圆是否经过某定点（其坐标与无关）?请说明理由. 【答案】(1)或 (2)是，理由： 由（1）知圆的方程为或， 令，解得或， 故圆过定点和. 【分析】（1）设圆的方程为，在该圆的方程中，令，可知方程与方程是同一个方程，可得出、的值，然后令，得到方程，此方程有一个根为，可求出的值，即可得出圆的方程； （2）在圆的方程中，令，可求出圆所过定点的坐标. 【详解】（1）由题意知，解得或， 设所求圆的方程为， 由题意知函数的图象与两坐标轴的三个交点即为圆与坐标轴的交点. 在圆的方程中，令，得，这与是同一个方程，故，. 令，得，此方程有一个根为，代入此方程得，解得， 综上可知，圆的方程为或 （2）略 18．（25-26高二上·江苏苏州·期中）在平面直角坐标系中，已知点与，点为线段上的动点，点为线段上的动点， (1)求过点三点圆的标准方程. (2)若，试问过点三点的圆是否存在定点？若存在，请求出定点.若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，和. 【分析】（1）根据已知得到圆心在直线上，设圆心，利用半径列方程求参数，即可得； （2）设，得，根据三点共圆，应用待定系数法求得圆的方程为，进而求圆所过的定点. 【详解】（1）已知点，则的中点坐标为， 由三点共圆，且，所以圆心在直线上， 设圆心，所以，解得， 所以圆的标准方程为； （2）因为，设，所以，则， 设圆的一般方程为，圆过点， 令可得的两个根为0和，所以， 所以方程为，再代入，解得， 所以方程为， 所以， 所以，解得或. 所以过点三点的圆存在定点和. 19．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）对任意实数，动圆恒过两个定点，请写出一个定点坐标______． 【答案】或 【分析】我们可以将动圆方程整理为关于的方程，然后根据对任意方程恒成立的条件来求解定点. 【详解】将原方程整理为： 因为对于任意，该方程恒成立，所以的系数和常数项都必须为，即： 由第一个方程，代入第二个方程得： 将代入，得. 所以，定点坐标为或. 故答案为：或 20．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若抛物线与坐标轴分别交于三个不同的点，则的外接圆恒过的定点坐标为______. 【答案】 【分析】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，.令，则由韦达定理得，，线段的中点为.由圆的性质可设外接圆的圆心为.由可得，代入化简可得，，可得圆的方程为得，解方程组令即可求解； 法二：抛物线交轴于点，，交轴于点，，，，则为的两个解，由韦达定理得.由相交弦定理可得，解得.即可求解定点坐标； 法三：设外接圆方程为.令， 得，.令，则有一根为，结合，可得，故外接圆方程为，即，解方程组即可. 【详解】法一：设抛物线交轴于点，，交轴于点，. 令，则由韦达定理得，，所以线段的中点为. 由圆的性质可知外接圆的圆心在直线上，故设外接圆的圆心为. 由可得，解得. 因为，所以，则，所以半径的平方为， 所以圆的方程为，整理可得， 类比直线过定点的求法，方程的值不随的变化而变化. 令，解得. 因此，的外接圆恒过的定点坐标为. 法二：如图所示，抛物线交轴于点，交轴于点. 设，，，，，， 则为的两个解，则由韦达定理得. 由相交弦定理可知过三点的圆也过点，且有，即，即，可得，解得. 则就是的外接圆过的定点坐标. 法三：设外接圆方程为. 令，则与为同一方程，，. 令，则有一根为，且，，， ∴外接圆方程为，即， 令，解得，所以的外接圆恒过的定点坐标为. 故答案为：. 考点六 直线和圆的位置关系求参数 ⚠️概念辨析 核心知识 圆心到直线距离圆半径 相离相切相交 方法技巧 几何法优先：求圆心到直线距离列不等式求参数范围 代数法：联立直线圆方程利用一元二次方程判别式判断 注意检验二次项不为0 21．（26-27高二上·江苏盐城·阶段检测）过点的直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到曲线为圆心为，半径为2的下半圆，求出特殊位置时直线的斜率，数形结合得到答案 【详解】，两边平方得， 故曲线为圆心为，半径为2的下半圆， 如图所示， 当过点时，斜率为，当过点时，斜率为， 直线的斜率不存在时，此时直线与曲线有1个交点，不合要求， 设直线为， 若直线与相切，则，解得或0， 由图可知，直线与曲线有且仅有两个不同的交点， 则的斜率的取值范围是 22．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）（多选）已知直线：与圆：，点，则下列说法正确的是（     ） A．若点在圆上，则直线与圆相切 B．若点在圆内，则直线与圆相离 C．若点在圆外，则直线与圆相离 D．若点在直线上，则直线与圆相切 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离公式和点的位置判断即可得出答案. 【详解】由题可得圆的半径为，圆心坐标为， 对于A，若点在圆上，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故A正确； 对于B，若点在圆内，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相离，故B正确； 对于C，若点在圆外，则， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相交，故C错误； 对于D，若点在直线上，则，即， 根据点到直线距离公式可得，故直线与圆相切，故D正确； 23．（26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知直线，圆，点，则（） A．若M在圆C上，则直线l与圆C相交 B．若M在圆C内，则直线l与圆C相离 C．若M在圆C外，则直线l与圆C相交 D．若M在直线l上，则直线l与圆C相离 【答案】BC 【分析】先推导出圆心到直线距离，再根据点在圆上、圆内、圆外或在直线上，比较d与半径1的大小，判断直线与圆位置关系. 【详解】圆，圆心，半径，圆心到直线的距离为，点，记，于是. 选项A，若在圆上：，此时直线与圆相切，不是相交，A错误； 选项B，若在圆内：，圆心距大于半径，直线与圆相离，B正确； 选项C，若在圆外：，圆心距小于半径，直线与圆相交，C正确； 选项D，若在直线上：，直线与圆相切，不是相离，D错误. 24．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）直线绕原点逆时针旋转后所得直线与圆的位置关系是（ ） A．相交且相交弦长为 B．相交且相交弦长为 C．相切 D．相离 【答案】B 【分析】利用两角和的正切公式计算斜率，再由直线与圆的关系即可求解. 【详解】设直线的倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转后所得直线的倾斜角为，则，， 所以， 所以，即， 圆的圆心为，半径为， 所以圆心到直线的距离为：， 所以圆与直线相交， 相交弦长为：. 考点七 求圆的弦长弧长面积等 ⚠️概念辨析 核心知识 弦长公式为圆心到直线距离 弧长为圆心角弧度 扇形面积 方法技巧 弦长优先几何法垂径定理半弦长半径圆心距构成直角三角形 联立方程可用弦长公式 25．（26-27高二上·上海普陀·阶段检测）若，圆的一条对称轴为直线，则圆的面积是_________. 【答案】 【详解】圆的圆心为， 因为圆的一条对称轴为直线， 所以， 所以半径， 所以圆的面积为. 26．（2026·辽宁抚顺·一模）已知直线与圆相交于不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得圆心到直线的距离，且即可，计算得解. 【详解】如图，过圆心向直线作垂线，垂足为， 当时，则，又圆的半径，可得， 又直线过定点，且点在圆上， 若要使得，则圆心到直线的距离，且即可； 所以，且，解得且， 所以实数的取值范围为.    27．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆被直线所截得的弧长之比为，则实数m的值是（   ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据所给方程，求出圆心C和半径r，由条件分析可得圆心C到直线l的距离，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】将圆C化为标准方程可得，由得，， 则圆心，半径， 因为圆C被直线l所截得的弧长之比为， 则弧长对应的圆心角之比为，即劣弧所对的圆心角为，优弧所对的圆心角为， 如图所示，设直线l与圆交于A、B两点，则， 在中，，则圆心C到直线l的距离， 又圆心到直线l的距离， 所以，解得. 28．（25-26高二上·安徽安庆·阶段检测）已知圆C过点，圆心在y轴正半轴上，且与直线相切． (1)求圆C的标准方程； (2)已知过点的直线l交圆C于A，B两点，且的长度为，求直线l的方程． 【答案】(1) (2)或． 【分析】（1）设圆心为，利用两点距离、点到直线距离公式列方程求，进而得圆心和半径，可得圆C的标准方程. （2）问题转化为已知弦长，求弦所在直线方程问题求解.注意要讨论弦所在的直线的斜率是否存在. 【详解】（1）设圆心为，依题意 ， 所以解得（满足） ． 故圆的标准方程为． （2）由的长度为，则， ①若l斜率不存在，则，代入圆C得 解得或， 满足． ②若l斜率存在，设斜率为k，则直线，即， 由圆心C到直线l的距离为， 即，所以 所以． 综上，所求直线方程为或． 考点八 求圆的轨迹方程 ⚠️概念辨析 核心知识 轨迹方程求法：直接法定义法代入转移法 圆定义：到定点距离等于定长（大于0）的点集合 方法技巧 直接法：设动点坐标翻译几何条件化简 定义法：判断动点满足圆定义直接写出圆心半径 代入法：利用相关点坐标关系用动点表示已知点代入已知圆方程 29．（26-27高三上·上海奉贤·阶段检测）平面直角坐标系中，点 ，若对于直线 上的任一点 ，都有 ，则实数 的取值范围是_____. 【答案】 【分析】根据条件转化为直线不经过圆的内部，利用圆心到直线的距离建立不等式求解. 【详解】设， 由， 可得， 即， 由题意知，直线 上的任一点不在圆内部， 所以圆心到直线的距离， 解得或. 30．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知过点的直线与圆交于，两点，弦的中点为，则点的轨迹长度为___________． 【答案】 【分析】先求得圆的圆心和半径，结合垂径定理确定弦中点满足的几何关系，求出点的轨迹方程，再联立方程确定轨迹对应的圆弧端点，算出圆弧的圆心角，最后利用弧长公式求得轨迹的长度. 【详解】将圆的方程化为标准形式：， 得圆心，半径， 设弦中点， 由垂径定理可知：，又点在直线上， 故，即， ，，于是， ， ， 因为点是圆内的弦中点， 所以的轨迹是圆在圆：内部的一段圆弧， 两式相减：， 代入，得， 即两圆交点为，， 在圆中，圆心为原点，半径， 向量，， 设， ， ，， 由弧长公式， . 31．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）在直角坐标系中，、，动点满足. (1)求动点的轨迹方程； (2)过坐标原点的动直线与轨迹交于点、，点. ①若，求弦的长； ②对于任意直线，存在常数，满足，求的值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据已知条件，结合两点间距离公式，化简整理即可求出圆的方程； （2）①解法一：设直线的方程，联立圆的方程，表示出韦达定理，利用弦长公式即可求出弦长； 解法二：求出圆与轴的交点坐标，根据相交弦定理可求出的值，再根据即可得出答案； ②根据已知条件，结合两点间距离公式即可建立等量关系求出的值. 【详解】（1）由可得，则， 化简整理得，即圆的方程为； （2）①解法一：在圆的方程中令，可得或， 所以圆交轴于点、，此时，故直线不与轴重合， 设直线的方程为，设点、， 联立方程组得，化简整理得， 则， 由韦达定理可得，， 因为，所以， 又，，则， 所以，解得， 又，所以，解得，则， 所以，， 由弦长公式； 解法二：在圆的方程中令，可得或， 所以圆交轴于点、，则，， 由相交弦定理可得，解得， 所以. ②由，则，即， 又点在圆上，则， 所以，代入上式可得， 化简整理得， 又知对任意动直线均满足，所以，消去可得， 整理得，解得或， 当时，点与原点重合，舍去，所以. 32．（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知在平面直角坐标系 中， ，动点 满足 ，则 的最小值为（     ） A．9 B．10 C． D．12 【答案】B 【分析】根据点的轨迹性质求出对应轨迹方程，根据圆上点到圆心的距离即可求解. 【详解】因为，， 而，所以， 整理得，即点在以为圆心，半径的圆上， 而，所以， 而点在圆的内部，所以， 故的最小值为 考点九 求过圆上一点/圆外的点的切线方程 ⚠️概念辨析 核心知识 圆圆上一点 切线方程 过圆外一点可作两条切线 方法技巧 圆上一点直接套切线结论 过圆外一点：设点斜式利用圆心到直线距离等于半径求斜率 斜率不存在的直线要单独检验 33．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 34．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·开学考试）过圆上一点的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为圆心为，所以， 而切线与垂直，则切线斜率为， 可得所求切线方程为，即. 35．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆：． (1)求的取值范围． (2)已知直线：与圆交于，两点，且．求过点的圆切线方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将圆化为标准方程，根据半径恒为正列不等式求的取值范围； （2）根据弦长公式，建立方程，求出参数；再分斜率不存在和存在两种情况，设出切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求切线． 【详解】（1）由题意得，则，得，所以的取值范围为． （2）设圆的半径为，由题意得圆心到直线的距离 因为，解得，所以，解得． 因此圆. 当所求切线的斜率不存在时，该切线的方程为； 当所求切线的斜率存在时，设该切线的方程为，即． 由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即, 得， 所以所求的切线方程为，即． 综上，过点的圆的切线方程为或． 36．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知O为原点，直线与圆交于P、Q两点． (1)若，求的值； (2)若，直线过且与圆C相切，求的直线方程． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）先由圆的方程求出的范围，再由直线与圆相交的弦长公式求解即可； （2）设直线的方程为，求出圆心到直线的距离，根据，求解即可. 【详解】（1）因为圆， 所以，解得， 且圆心，半径， 又因为圆心到直线的距离， 由弦长公式可得， 所以，解得，满足， 所以. （2）当时，则圆心，半径， 设直线的方程为， 由圆心到直线的距离， 又因为直线与圆C相切， 所以， 即， 解得或， 所以直线的方程为或. 考点十 与切线长有关的计算 ⚠️概念辨析 核心知识 圆外一点圆心半径 切线长 方法技巧 切线长半径点到圆心连线构成直角三角形 利用勾股定理直接计算切线长 37．（26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆经过点和，且圆的面积被轴平分． (1)求圆的方程； (2)若点在直线上，过点作的切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）由题意得要求的最小值，只需求的最小值，利用点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）因为圆的面积被轴平分，所以圆心在轴上．    设，圆．    将点和代入，得，    解得， 所以圆的方程为． （2）由题意，得， 所以要求的最小值，只需求的最小值．    因为点在直线上，所以的最小值等于点到直线的距离， 即．    故， 即的最小值为． 38．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知直线和圆．若是直线上的动点，过作圆的一条切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将圆的方程化为标准方程，确定其圆心和半径，再根据两点距离公式，得，再根据圆的切线性质可得，结合二次函数性质即可求得其最小值. 【详解】由圆，得， 故圆心，半径， 又已知直线，点在直线上，设点， 则， 由圆的切线性质可得，，    当且仅当时，取得最小值，最小值为. 39．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为_________. 【答案】 【分析】根据为直角三角形，进而根据求解的最小值即可求得的最小值. 【详解】圆：，圆心，半径， 是切线，为切点，由切线性质：，为直角三角形， 由勾股定理：，其中， 所以 要最小，即最小，故当时，， 所以，的最小值为. 40．（26-27高三上·安徽·开学考试）过直线上一点作圆的切线，切点分别为，，则的最小值为________． 【答案】/0.6 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质及二倍角的余弦公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径，点到直线的距离， 连接，由切圆于点，得，， 则， 所以的最小值为. 考点十一 求切点弦方程 ⚠️概念辨析 核心知识 过圆外一点引两条切线两切点连线称为切点弦 圆切点弦方程 方法技巧 直接套用切点弦公式形式和圆上点切线方程一致 也可以求出两个切点坐标再两点式写直线 41．（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    42．（2026·福建漳州·三模）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 43．（2026·山东枣庄·三模）过点作圆的切线，切点分别为，，则直线的方程为____________. 【答案】 【分析】根据切线的性质易判断，，，四点共圆，且圆心为中点，半径为，进而可以求出新的圆的方程，直线即为公共弦所在的直线，方程即为两个圆方程的差，代入计算即可. 【详解】由题意知，圆心为，半径，点在圆外面， 由切线的性质定理可知，，，即， 所以点，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆，且圆心为中点，半径， 设圆心为，根据中点坐标公式，则为，半径， 所以圆的方程为， 因此直线即为圆与圆公共弦所在的直线，方程为两个圆方程的差， 即，化简得， 所以直线的方程为. 44．（25-26高三上·安徽·期末）已知圆：（圆心为点），动点在直线：上，过点向圆作两条切线，切点分别为，；直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】 【分析】设，得出直线方程，通过分析得出直线过定点, 点在以为直径的圆上，点到直线的距离等于点到直线的距离 减去圆的半径. 【详解】依题意，将圆化为标准式：， ，，设， 则直线为： 直线恒过点 ，点在以为直径的圆上， ，，：， 点到直线的距离为， 点到直线的距离． 考点十二 直线和圆位置关系的实际应用 ⚠️概念辨析 核心知识 将实际问题转化为平面直角坐标系建立圆与直线模型 方法技巧 建立坐标系确定圆心半径与直线方程 利用距离位置关系判断是否相交相切 45．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）如图，港口在港口的正东海里处，在北偏东方向有条直线航道，航道和正东方向之间有一片以为圆心，半径为海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中海里，，，现一艘科考船以海里/小时的速度从出发沿方向行驶，经过个小时后，一艘快艇以海里/小时的速度准备从港口A出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇. (1)若快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，求的长； (2)若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由； (3)在无触礁危险的情况下，若快艇再等小时出发，求的最小值. 【答案】(1)； (2)快艇有触礁的危险 (3) 【分析】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立平面直角坐标系，由已知条件求出点坐标，用表示出，在中，由余弦定理建立等量关系即可求出，进而求出的长； （2）先求出直线的方程，求出圆心到直线的距离，判断与半径的大小即可判断快艇是否有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，由相切建立，即可求出直线的方程，再求出方程，联立方程组即可求出点坐标，最后计算两船的时间差即可求出的最小值. 【详解】（1）以为坐标原点，正东方向为轴，正北方向为轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，又，，所以点为， 又快艇立即出发经过小时后两船恰好在处相遇，则， 在中，由余弦定理可得， 则，化简整理得， 又，所以，因此； （2）由，则，又， 则，， 所以点为，则直线的斜率， 所以直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，因此快艇有触礁的危险； （3）设快艇所走的直线与圆相切，且与科考船相遇于点，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，化简得，解得或， 又当时，对应交点在下方，不合题意，所以，因此直线的方程为， 由（2）知，，则，即，所以直线的方程为， 联立，的方程得，解得，则点为， 所以， 则科考船走直线用时为小时，快艇走直线用时为小时， 又科考船提前2小时出发，所以快艇等待时间的最小值为小时，即. 46．（26-27高二上·海南海口·阶段检测）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛为圆心，半径为的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西处，轮船航向为北偏西，若轮船沿直线航行，轮船是否会有触礁风险？说明理由． 【答案】没有，理由如下： 以小岛中心为原点，正东方向为轴的正方向，正北方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 由题意可知，轮船航线所在直线过点， 轮船航线所在直线的倾斜角为，斜率为， 所以，轮船航线所在直线方程为，即． 原点到轮船航线所在直线的距离为， 所以，轮船没有触礁风险． 【详解】略 47．（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【答案】C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 48．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在人工智能实验室中，一个追踪机器人从点出发，发现一个目标机器人在点处正欲逃跑.追踪机器人最大速度是目标机器人最大速度的2倍.假设两个机器人均按直线方向以最大速度移动.    (1)若追踪机器人在点处成功拦截目标机器人，求点的轨迹方程； (2)问：无论目标机器人沿何方向逃跑，追踪机器人是否总能在安全区（的区域）内成功拦截?并说明理由. 【答案】(1) (2) 点的轨迹圆的圆心为，半径， 因为圆心到的距离， 所以点的轨迹圆与相交， 则相遇点会出现在安全区外， 故追踪机器人不会总能在安全区内成功拦截. 【分析】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人，根据追踪机器人与目标机器人速度之比为列出方程即可得解； （2）判断点的轨迹圆与直线的位置关系即可得出结论. 【详解】（1）设追踪机器人在点处拦截目标机器人， 因为追踪机器人与目标机器人速度之比为， 所以相遇时， 所以， 即两机器人相遇点的轨迹方程为； （2）略 考点十三 圆与圆的位置关系求参数 ⚠️概念辨析 核心知识 两圆圆心圆心距半径 外离外切相交 内切内含 方法技巧 算出两圆心坐标与半径计算圆心距 根据位置关系列出不等式求解参数 注意半径大于0隐藏条件 49．（26-27高二上·上海松江·阶段检测）已知圆与圆外离，则实数t的取值范围为______ 【答案】 【详解】由，得， 所以圆的圆心为，半径为； 由，得， 所以，， 且圆的圆心为，半径为； 因为两圆外离，所以， ， 所以，解得. 所以实数t的取值范围为. 50．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）若圆：与圆：有且仅有条公切线，则_____；的最大值为_______. 【答案】 16 25 【分析】使用两圆外切的几何条件计算，令，使用的几何意义求解. 【详解】由题意知两圆外切，则圆心距等于，即，故， 则点是圆上的点，圆心是原点，半径为， 设，则， 的几何意义为过点的直线在轴的截距的倍， 当直线与圆相切时，截距的绝对值取最值， 此时，解得或， 则的最大值是，故的最大值为. 51．（26-27高二上·上海浦东新·阶段检测）已知圆与圆外切，则a的值为______． 【答案】9 【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为； 两圆的圆心距， 而两圆外切，故，解得. 52．（26-27高二上·江西·阶段检测）设为正数，若圆与圆存在三条公切线，则______． 【答案】 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若两圆存在三条公切线，则两圆外切，则， 即，且，解得. 考点十四 相交圆的公共弦方程 ⚠️概念辨析 核心知识 两圆一般方程 公共弦方程： 方法技巧 两圆方程直接相减消去二次项得到一次方程即为公共弦 仅当两圆相交时该方程代表公共弦直线 53．（26-27高二上·江苏徐州·阶段检测）已知圆，圆. (1)证明：圆与圆相交； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1)因为圆，即， 圆心，半径， 圆，即，圆心，半径， 且，，， 所以，即，所以圆与圆相交. (2) 【分析】（1）将两圆方程配方化为标准式以求出各自的圆心和半径，再通过计算证明圆心距大于两半径之差且小于两半径之和，即可证得两圆相交。    （2）先利用圆系方程设出过两圆交点的圆的方程并用参数表示出其圆心坐标，再将圆心坐标代入已知直线方程解出参数值，即可得到所求圆的方程. 【详解】（1）略 （2）两圆作差得， 即公共弦方程为， 设所求圆的方程为， 即， 可知圆心坐标为，因为圆心在直线上， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. 54．（26-27高二上·山东菏泽·阶段检测）（多选）圆和圆的交点为，，则有（     ） A．公共弦所在直线方程为 B．线段中垂线方程为 C．公共弦的长为 D．为圆上一动点，则到直线距离的最大值为 【答案】BD 【分析】A选项，两圆相减得到公共弦所在直线方程；B选项，由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程，从而得到中垂线方程；C选项，求出圆心到直线的距离，根据垂径定理可得的长；D选项，到直线的距离加上半径即为所求. 【详解】A选项，与相减， 化简得，故公共弦所在直线方程为，A错误； B选项，的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 由对称性可知线段中垂线方程即所在直线方程， 即，化简得，B正确； C选项，圆心到直线的距离为， 故公共弦的长为，C错误； D选项，为圆上一动点，则到直线距离的最大值为到直线的距离加上半径， 即，D正确. 55．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆 ，圆 . (1)求两圆公共弦所在直线方程; (2)求两圆的公共弦长. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）两圆方程相减得到公共弦直线： ， 整理得： ，两边除以得：. （2）对配方得：，则圆心，半径， 圆心到公共弦距离 设弦长为，弦长公式， 故. 56．（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系，利用两点间距离公式，进而求得四边形的面积. 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积. 考点十五 求圆的公切线方程 ⚠️概念辨析 核心知识 两圆公切线分为外公切线内公切线 圆心到切线距离等于半径 方法技巧 设切线方程利用圆心到直线距离等于半径列方程求解 注意斜率不存在情况单独讨论 外公切线两圆心在直线同侧内公切线在异侧 57．（26-27高二上·山东青岛·阶段检测）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两圆方程得圆心和半径，判断两圆外离，求公切线时，利用圆心到直线的距离等于半径这一条件，逐一检验选项：分别计算两圆心到各直线的距离，若都等于半径，则该直线为公切线. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 两圆半径相等，圆心距所以两圆外离，有公切线； A选项：，圆心到该直线距离，不是切线，A选项错误； C选项：，圆心到该直线距离，也不是切线，C选项错误； B选项：，圆心到直线距离，不是切线，B选项错误； D选项：，圆心到直线距离，圆心到直线距离， 两者都等于半径，所以是两圆的一条公切线，D选项正确. 58．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）（多选）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 59．（25-26高三下·天津南开·阶段检测）设直线，圆，若直线与都相切，则方程为__________． 【答案】 【分析】利用直线与圆相切，得到和，联立方程即可求解出结果． 【详解】因为的圆心为，半径为， 的圆心为，半径为， 又直线与均相切， 所以①，②，由①②得到，即有， 两边平方得，即， 又，所以，即， 代入①式得到，解得， 所以方程为． 60．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆与圆相内切，则与的公切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两圆内切求出圆的半径，分析可知公切线与直线垂直，据此可设公切线的方程为，即，利用直线与圆相切可得出关于的方程组，求出的值，即可得出所求公切线的方程. 【详解】圆的圆心为，半径为， 圆的标准方程为，则，可得， 其圆心为，半径为， 因为，即圆心在圆外，故圆内切于圆， 故， 易知公切线与直线垂直，且，故公切线的斜率为， 设公切线的方程为，即， 所以，解得，所以两圆公切线方程为. 故选：D. 题型一 圆方程中的最值问题 典例1 （26-27高二上·山东青岛·阶段检测）已知圆为圆上相异两点，且，则的最大值为_________. 【答案】 【分析】根据，得到A，B的关系，进而得到的关系，代入目标式以后，利用三角换元求最值. 【详解】因为，则， 又A，B为圆O上相异两点，则A，B关于原点O对称， 所以，，所以， 由圆得半径，圆心为， 设，所以， 当时，取最大值为， 即的最大值为. 💡破题要诀 核心知识 圆上点的横纵坐标范围距离型最值利用几何意义转化 代表动点到距离 方法技巧 几何法优先借助圆心半径画图 代数法：参数方程设转化三角函数求最值 迁移应用 1．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 2．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 题型二 直线与圆相交的最短弦长问题 典例1 （26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知直线过点，则被圆截得的弦长最小值为_________． 【答案】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点在圆内，明确过圆内一点的最短弦为与该点和圆心连线垂直的弦，结合两点间距离公式与弦长公式求解即可. 【详解】由圆的方程可知，圆心，半径. ∵ ，∴ 点在圆内部. ∵ 过圆内一点的弦中，当直线与点和圆心的连线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时弦长最小， ∴ 此时圆心到直线的最大距离， ∴ 最短弦长为. 💡破题要诀 核心知识 过圆内定点的弦当定点与圆心连线垂直弦时弦长最短 最长弦为过圆心的直径 方法技巧 判断定点在圆内 计算圆心到定点距离最短弦长 迁移应用 1．（26-27高二上·湖南常德·阶段检测）已知点圆：． (1)设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程； (2)设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程． 【答案】(1) 或 (2) 最短长度为，此时的方程为 【分析】（1）由弦长可得直线到圆心距离，结合点到直线距离公式可得答案； （2）要使弦长最短，则圆心到直线距离最长，据此可确定直线斜率，可得答案. 【详解】（1）当时，点坐标为，圆圆心为，半径为. 已知弦长为，由弦长、半径、弦心距的关系得直线到圆心距离为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，符合题意； 当直线斜率存在时，设斜率为，直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 两边平方得，解得，代入得直线方程为. 综上，直线的方程为或； （2）由弦长，直线到圆心距离，圆半径三者关系知： 为使弦长最短，应使最大.注意到， 当且仅当时取等号.则弦长最短时，. 则直线方程为：. 2．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知圆，过点作直线与圆相交于点、．当最小时，的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图形，分析可知当时，即当为的中点时，圆心到直线的距离取最大值，利用勾股定理求出的值，再结合三角形的面积公式求解即可. 【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为，如下图所示： 由平面内两点间的距离公式可得， 设点到直线的距离为，则，当且仅当时，即当为的中点时，等号成立， 故的最大值为，此时取最小值，且最小值为， 此时的面积为. 题型三 直线和圆中几种常见代数式的最值问题 典例1 （26-27高二上·湖南长沙·阶段检测）（多选）已知圆：，是圆上任意一点，则下列说法正确的是（     ） A．圆的圆心为，半径为 B．的最大值为 C．（）的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】对于A，由圆的标准方程即可求解；对于B，设，代入圆的方程中，得关于的一元二次方程，根据方程有实数解，判别式大于等于0，可列出关于的不等式，即可求解；对于C，利用斜率的几何意义，将所求式子范围转化为两点的斜率的范围，利用直线与圆有交点，则圆心到直线的距离，即可列出关于斜率的不等式，即可求解；对于D，根据几何意义，将所求式子转化为向量与向量的夹角的余弦值的两倍，求出圆的过原点的两条切线方程，得到与向量的夹角的范围，进而求得式子的取值范围. 【详解】对于A，因为圆的方程为， 所以圆心为，半径为，故A正确； 对于B，设，则， 将其代入圆的方程中得：， 即， 因为有实数解，所以判别式， 即， 化简得：， 解得：， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，（）的几何意义是圆上点与原点连线的斜率， 设，则直线方程为，即， 直线与圆有公共点，因此圆心到直线的距离， 即，所以，解得或， 因此（）的取值范围是，故C错误. 对于D，式子的几何意义是： 向量与向量的夹角的余弦值的两倍， 过原点作圆的切线，设方程为， 圆心到切线的距离，解得， 所以两条切线方程为和，且两切线的倾斜角分别为， 射线介于这两条切线之间， 所以与向量的夹角，则， 所以，故D正确. 💡破题要诀 核心知识 表示动点与定点连线斜率 可利用三角换元 表示距离平方 方法技巧 识别代数式几何含义转化为距离斜率截距问题 利用圆几何性质求最值 迁移应用 1．（26-27高二上·江西宜春·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的取值范围为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】利用圆的一般方程得出圆心和半径，然后结合所求表达式的几何意义，根据直线与圆的位置关系逐项分析求出最值或范围即可. 【详解】由得， 所以方程表示圆心是，半径为的圆， 选项A，设，即， 因为点在圆上，所以可知直线与圆有交点， 所以圆心到直线的距离，即， 所以，即的最大值为，故A正确； 选项B，由表示圆上的点到点的距离的平方， 又，所以点在圆外， 由圆心到点的距离为， 所以圆上的点到点的最小距离为，如图所示： ， 所以的最小值为；故B错误； 选项C，由可知， 该表达式表示圆上的点到直线的距离的倍， 由圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的范围为即， ， 所以的取值范围为，故C正确； 选项D，表示圆上的点与点连线的直线的斜率， 由，所以点在圆外， 设该直线的斜率为， 则该直线的方程为：即， 由题意可知当直线与圆相切时，有最值， ， 所以当直线与圆相切时有， 化简得：，解得：， 即的最大值为，故D错误. 2．（25-26高二上·福建泉州·期末）（多选）已知点，动点与点的距离是它与点的距离的，则（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹方程为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】选项AB，由求解判断；选项C令，由圆心到直线的距离小于等于半径求解判断；选项D令，由圆心到直线的距离小于等于半径求解判断. 【详解】由，得，化简得，故A正确，B错误； 令，即，圆心到直线的距离为，解得，所以的取值范围为，故C正确； 令，即，圆心到直线的距离为，解得，所以的取值范围为，故D错误； 故选：AC 题型四 圆上的点到直线距离的个数问题 典例1 （26-27高二上·江西南昌·阶段检测）若圆上到直线的距离为3的点仅有2个，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可知圆心到直线的距离满足，求出的取值范围即可. 【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离， 依题意可得，即，解得. 💡破题要诀 核心知识 圆心到直线距离半径分析与的大小关系判断圆上满足距离等于定值的点个数 方法技巧 算出圆心到已知直线距离 平行移动直线看与圆交点个数 画图辅助分析分类讨论 迁移应用 1．（26-27高二上·重庆渝中·阶段检测）已知圆的圆心为，且截轴所得弦长为，若圆上恰好有 4 个不同的点到直线的距离为 2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用垂径定理求出圆的半径，再由条件推出圆心到直线的距离即可. 【详解】圆心到轴的距离为2， 又圆截轴所得弦长为， 由垂径定理得， 即圆的半径，又∵圆上 恰好有4个不同的点到直线的距离为2， ∴圆心到直线的距离， 即，解得. 2．（26-27高二上·江苏南通·阶段检测）若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】求出圆心到直线的距离，若圆上恰有3个点到直线的距离为1，说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交，列式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离为， 若圆上恰有3个点到直线的距离为1， 说明两条平行于直线，且到该直线距离为1的直线中，一条与圆相切，另一条与圆相交， . 题型五 切点弦方程及其应用 典例1 （25-26高二上·江西·阶段检测）过直线上任意一点向圆作两条切线，切点为，线段的中点为，则点到直线的距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，可得为直径的圆的方程，与已知圆的方程相减可得的方程，进而联立直线方程解方程组可得中点P的坐标，由点P到直线的距离公式和不等式的性质可得． 【详解】∵点为直线上的任意一点，∴可设， 则以为直径的圆的方程为， 化简可得， 与已知圆的方程相减可得的方程为， 由直线的方程为， 联立两直线方程可解得，， 故线段的中点， ∴点到直线的距离， ∵，∴， ∴，∴， ∴，即. 故选：C 迁移应用 1．（26-27高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆（圆心为点），动点在直线上，过点向圆作两条切线，切点分别为，，则直线恒过定点__________；若直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为__________． 【答案】 【分析】先将圆化为标准方程，从而得到圆心的坐标和半径为，设，从而得到切点弦的直线方程，即可得到直线恒过定点的坐标，再根据圆的性质得到点在以为直径的圆上，进而根据点到直线的距离的最小值等于圆心到直线的距离减去圆的半径． 【详解】由圆，则其标准方程为， 则圆心为，半径为， 由动点在直线上，则设， 则切点弦的直线方程为， 整理得， 则，解得，，即直线恒过定点， 又直线和相交于点，即，则点在以为直径的圆上， 所以圆的圆心坐标为，圆的半径为， 所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最小值为． 2．（26-27高二上·江西·阶段检测）（多选）已知圆：，直线：，为上的动点，过点作圆切线，，切点为，，下列结论正确的是（    ） A．若，则直线方程为 B．若，则 C．当四边形面积最小时， D．当四边形面积最小时，直线方程为 【答案】ACD 【分析】利用圆的切点弦（极线）方程表示直线，再结合切线长和点到直线距离，分别判断各选项． 【详解】对于A，圆的方程化为，故圆心为，半径为． 设，由在直线上，得． 由圆的切点弦方程，直线满足， 即． 当时，由得， 所以的方程为，选项A正确； 对于B，此时． 在直角三角形中，，且． 又平分等腰三角形的顶角， 所以，不等于，选项B错误； 对于C，由于，，且， 四边形的面积为． 又，所以四边形面积最小时，取最小值， 即为圆心到直线的垂足． ， 故，选项C正确； 对于D，圆心到直线的垂足为． 代入切点弦方程，得， 即，选项D正确． 题型六 圆与圆的位置关系中的隐圆问题 典例1 （26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）已知圆，为圆的一条弦，且，若圆上存在点，使得直线，与圆相切，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】计算弦的弦心距，推导到的距离，结合两圆位置关系求的取值范围. 【详解】 圆，圆心为，半径为1， ，取的中点，， 弦心距， ，与圆相切，所以，， ，， 所以，， 所以点轨迹是以为圆心，2为半径的圆， 要使圆上存在满足条件的点，即圆与点的轨迹圆有公共点， ， ， 解得. 💡破题要诀 核心知识 隐圆：题干不直接给出圆方程通过几何条件推导存在定圆 常见条件：到定点距离定值定角对定弦 方法技巧 翻译题干几何条件挖掘隐藏的定点定长确定隐圆圆心半径 再利用圆与圆位置关系求解 迁移应用 1．（26-27高二上·江苏淮安·阶段检测）已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离分别为，则这样的直线共有___________条． 【答案】3 【分析】由已知得直线与以为圆心，1为半径的圆相切，且直线与以为圆心，2为半径的圆相切，即直线是圆与圆的公切线，由圆心距离，得两圆相外切，从而求出满足条件的直线有3条． 【详解】点到直线的距离为1， 则直线是以为圆心，1为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 点到直线的距离为2， 则直线是以为圆心，2为半径的圆的切线， 即直线与圆相切， 直线是圆与圆的公切线， 圆心距离， 两圆相外切， 满足条件的直线有3条． 2．（26-27高二上·山西太原·阶段检测）已知圆：和两点，（），若圆上存在点，使得，则的最大值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】解法一：由知，可得点在以原点为圆心，为半径的圆上，进而得到圆和圆有公共点（相交或相切），结合圆和圆的位置关系求解即可；解法二：设，,由化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】解法一：由知， 则点在以为直径的圆上，即以原点为圆心，为半径的圆上． 又点在圆上，所以圆和圆有公共点（相交或相切）， 由圆：，得其圆心，半径为1， 则两圆圆心距，需满足，解得， 则的最大值为6. 解法二：设，, 则， 则 ，其中，即， 因为，所以， 又，则，即的最大值为6. 题型七 平面向量与圆的综合 典例1 （26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，，是平面向量，其中是单位向量，，且，向量满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，，分析可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆，不妨设，，可知，结合圆的性质分析求解即可. 【详解】设，，，， 因为，即， 可得，即， 又因为，，则， 可知点的轨迹是以为圆心，半径的圆.    又因为，且，不妨设， 则， 设，则，，可得， 可得，即， 所以的取值范围为. 💡破题要诀 核心知识 向量数量积向量模长向量垂直平行条件结合圆几何性质 方法技巧 向量坐标化转化为坐标运算 利用向量几何意义转化距离垂直关系 结合圆半径圆心求解范围最值 迁移应用 1．（2026·天津河西·二模）已知菱形的边长为2，，设点P为平面内一动点，满足，则_______；的取值范围为_______. 【答案】 【分析】建系，确定动点的轨迹方程，再结合向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】 菱形边长为2，，设对角线交点为原点，对角线在轴上， 得各点坐标： ， 设动点，则 ， 化简可得的轨迹：​，即在以原点为圆心，半径为的圆上， 则 则 由点是圆上的点，以原点为圆心，半径， 所以， 即， 所以 即的取值范围为. 2．（25-26高一下·北京·期中）已知直线与曲线交于两点，平面上的动点满足，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知直线，整理为，则直线恒过定点； 已知曲线，整理为，对称中心恰好为. 由于直线过双曲线中心，所以交点关于对称，即是中点. 根据向量中点性质，可知， 代入条件，得，即， 即动点的轨迹是以为圆心，半径的圆及其内部. 则原点到圆心的距离为：， 从而. 题型八 直线与圆中的韦达定理应用 典例1 （26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知圆过点和点，圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)是否存在斜率为2的直线与圆交于，两点，且以为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的方程为或 【分析】（1）设圆的标准方程为，由题设建立方程组求解即可； （2）设直线，，联立直线与圆的方程，由题意可得，进而结合韦达定理求解即可. 【详解】（1）设圆的标准方程为， 由题意得，，解得，，， 则圆的标准方程为. （2）假设存在斜率为2的直线，设， 联立方程组，消去得； 因为直线与圆有两个交点， 所以，解得， 由韦达定理得， 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以， 则， 解得或，均满足， 故存在这样的直线，方程为或. 💡破题要诀 核心知识 直线联立圆得到一元二次方程韦达定理 为相交前提 方法技巧 联立方程先写判别式保证相交 用韦达定理表达弦中点弦长坐标关系 用于参数求解和范围判断 迁移应用 1．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆C：，点D在圆C上运动，且点T满足（O为原点），记点T的轨迹为E. (1)求曲线E的方程； (2)若直线上存在一点P，过P作曲线E的两条切线，切点分别为G、H，若，求实数k的取值范围； (3)过点且不与x轴重合的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分?若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在点，使得x轴平分. 【分析】（1）利用相关点法求曲线方程； （2）根据条件转化为直线上存在一点P，使，转化为点为圆心，为半径的圆与直线有交点，即可列式求解； （3）首先设垂直于轴时，满足条件，当不与轴垂直时，设直线方程与圆的方程联立，利用韦达定理表示，即可求定点的坐标. 【详解】（1）设，，则 因为，所以，， 所以，整理为， 所以曲线的方程为； （2）由条件可知，若存在点，使， 所以四边形是正方形，则， 则以点为圆心，为半径的圆与直线有交点， 所以，解得：， 所以的取值范围是； （3）当直线轴时，两点关于轴对称，则轴正半轴上任意点，使得轴平分； 当直线不与轴垂直时，设，直线为，与曲线联立， 得， ， 设，， ，， 由题可知，，代入，， 化简得，即， 代入韦达定理， 整理为，得， 综上可知，轴上存在点，使得x轴平分. 2．（26-27高二上·黑龙江大庆·阶段检测）已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径列不等式求解的取值范围. （2）联立直线与圆的方程，结合韦达定理和向量数量积的坐标运算求出，再计算弦长. 【详解】（1）由题意，直线过点且斜率为，故直线的方程为，即， 圆的圆心为，半径，由于直线与圆交于两个不同点，因此圆心到直线的距离为： ， 令，两边平方得：， 展开整理得，即，解得. （2）设，，将代入圆的方程：， 整理得，由韦达定理得：， 由向量数量积的坐标运算得： ， 又因为，所以 ，化简得， 两边同乘得，解得，验证，符合题意， 将代入直线方程得，代入圆心坐标，等式成立，说明圆心在直线上， 因此为圆的直径，故. 题型九 直线与圆中的定点定值问题 典例1 （26-27高二上·安徽宣城·阶段检测）在直角坐标系中，设点，，点满足，记点的轨迹为曲线．过点的直线与曲线交于，两点． (1)求的方程； (2)若的面积为，且，求直线的斜率； (3)点，证明：直线和的斜率之和为定值． 【答案】(1) (2)2或． (3)由题意知，直线的斜率存在，设其方程为，，．    将与联立，可得， 即． 由判别式，得，解得． 则，．    设直线和的斜率分别为，．则 所以直线和的斜率之和为定值． 【分析】（1）设点，利用直接法求轨迹方程即可； （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆，由三角形的面积公式及平方关系可得，取的中点，由半角公式可得，由锐角三角函数可得，即点到直线的距离为，设直线方程为，利用点到直线的距离公式列式求解即可； （3）设直线方程为，，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理及直线的斜率公式计算直线和的斜率之和即可证明. 【详解】（1）设点．由，得， 即．    化简得，即的方程为． （2）由（1）可知是以原点为圆心，2为半径的圆． ，解得． 因为，所以．    取的中点，则，． 所以，即点到直线的距离为．    此时直线的斜率显然存在，设：． 由，得，解得或． 即直线的斜率为2或. （3）略 💡破题要诀 核心知识 含参数直线与圆相交某些量不随参数改变而变化 方法技巧 分离参数法证明式子与参数无关 取特殊参数找到定点定值再一般性证明 联立方程结合韦达定理化简验证 迁移应用 1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线经过点，直线：. (1)求曲线的方程； (2)若直线与曲线相切，求直线的方程； (3)若直线与曲线相交于，两点，且线段的中点为，与相交于点，证明：为定值. 【答案】(1) (2)或 (3)当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则：，且，，联立方程组， 整理得， ，, ，所以， 又由，解得，， 所以， 因为，，均在直线上，且， ， 所以. 【分析】（1）设，利用，化简即可求得的轨迹方程； （2）若直线与曲线相切，则分两种情况求解：当直线斜率不存在时，直线的方程：，此时，满足题意； 当直线斜率存在时，用点斜式假设，利用圆心到直线的距离等于半径求解； （3）当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，所以斜率存在，设直线的斜率为，则：，，，与曲线联立方程组，运用韦达定理表示出点坐标，联立直线的方程求出坐标，由于，，均在直线上，所以，最后证明为定值. 【详解】（1）设，因为点，且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）由（1）知：，圆心为，半径为， 因为直线与曲线相切，可得， 当直线斜率不存在时，直线的方程：，此时，满足题意； 当直线斜率存在时，设直线的方程：，即， 则，解得，此时：即； 综上可得，直线的方程为或. （3）略 2．（26-27高二上·安徽·期中）已知圆的圆心为坐标原点，且经过点，圆与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，与轴负半轴交于点. (1)求圆的标准方程； (2)是圆上一点且不在坐标轴上，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值； (3)若直线的斜率存在，且与圆交于，两点（异于点），直线与直线的斜率之积为，求证：直线过定点. 【答案】(1) (2)证明：由（1）可知，，设，则， 由题意知，直线的方程为. 令，得，所以. 由，得直线的方程为. 令，得，所以. 所以 ，所以为定值. (3)证明：设直线的方程为，，，已知，联立 得，，即.所以，.所以.所以.所以. 整理得，所以或. 当时，直线的方程为，恒过点，不符合题意； 当时，直线的方程为，恒过点，符合题意. 所以直线过定点. 【分析】（1）先求出圆的半径，再根据圆的标准方程直接写出答案； （2）设，先求出两点的坐标，再求出直线和的方程，得到的坐标，对进行变形求解即可； （3）设直线的方程为，，，联立 根据韦达定理得出，，再由 建立方程，得到的关系，证明直线过定点即可. 【详解】（1）由已知得圆的半径 . 所以圆的标准方程为. （2）略 （3）略 基础固本练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：，则圆关于直线：对称的圆的方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】圆：的圆心为，半径. 设关于直线：的对称点为. 由 ，所以. 所以圆关于直线：对称的圆的方程为. 2．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 3．（26-27高二上·江苏·期中）圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 4．（25-26高二上·湖北·期中）设点为圆上的动点，，则的最小值为（　　） A． B．5 C． D．4 【答案】C 【分析】在轴上找一点，此时，证明，同理在轴上找一点，证明，将所求变为，代入整理，当D、P、C三点共线时，有最小值，即可得答案. 【详解】，可在轴上找一点， 此时，， ， 所以， 同理因为，可在轴上找一点，使得， ， 所以， 由此知 . 故选：C. 5．（25-26高二上·山东济宁·期中）设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则下列说法正确的是（    ） A．点的轨迹是一条线段 B．的最大值为2 C．的最大值为4 D．点到直线的距离的最大值为 【答案】C 【分析】根据直线经过定点，结合两直线垂直，即可根据直角三角形的性质求解A，根据基本不等式即可求解BC，又面积公式即可求解D. 【详解】由直线，令，得，可得过定点， 动直线， 令，可得，即恒过定点， 由， 所以两条直线始终互相垂直，是两条直线的交点，所以， 所以点在以为直径的圆上，A错； , 由于，又， 所以， 所以，故，当且仅当取等号， 故B错，C对； 设到直线的距离为，由于， 故，当取等号，故最大值为，故D错， 故选：C 二、多选题 6．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知圆：，点是直线：上的动点，过点作圆的切线，，切点分别为，，下列说法正确的是（    ） A．切线长的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．圆上恰有一个点到直线的距离为 D．与交于点，则的最大值为 【答案】ABD 【详解】可知圆的圆心为，半径为，如图所示， 对于选项A，可知为直角三角形，所以， 点到直线：的距离为，即的最小值为，所以的最小值为1，所以选项A正确； 对于选项B，四边形面积为，可知， 所以四边形面积的最小值为，所以选项B正确； 对于选项C，圆上一点到直线的最小距离为，所以圆上恰有两个点到直线的距离为，所以选项C错误； 对于选项D，可知，所以， ， 当取得最小值1时，取得最小值，此时取得最大值，所以选项D正确. 7．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出曲线C的方程，利用两点之间线段最短以及点到直线的距离公式对各个选项逐个计算即可求解. 【详解】设点的坐标为，根据题意，，即， 所以， 整理得，即， 因此，曲线是以为圆心，为半径的圆，故A正确； 圆心到直线的距离为：， 则曲线上的点到直线的最小距离为，故B正确； 圆心到直线的距离为：， 若曲线上恰有三点到直线的距离为，则， 所以，即，解得或，因此，的取值不唯一，故C错误； 曲线的方程，， 因此， 因为，，所以， 因此，故D正确. 8．（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 【答案】AD 【分析】将直线方程变形求解定点判断A；先求出圆心到直线的距离，然后求解范围，利用直线与圆的位置关系求解距离范围判断B；利用圆心到直线的距离判断C；设，由圆的性质得，即 ，根据判别式法求得参数范围即可判断D. 【详解】对于A，直线：，即 ， 由解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，当时，， 所以， 则圆上一动点到直线距离的最大值小于，故B错误； 对于C，当时，， 圆心到直线的距离为， 因为， 所以圆上恰有个点到直线的距离都等于，所以C错误； 对于D，设， 因为过点所作的圆的两条切线相互垂直， 所以由圆的性质可知两切点与两点形成正方形，且边长为， 则， 平方化简得， 根据点的存在性可知方程有解， 所以， 整理得，解得， 即，所以D正确. 三、填空题 9．（25-26高二下·上海·期中）设，且过点作圆的切线有两条，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】过点作圆的切线有两条， 则点在圆外， 所以，解得， 因为，所以. 10．（25-26高二上·江苏扬州·期中）若直线（）与圆：相交于，两点，且，则实数为______. 【答案】 【分析】根据垂径定理可知，再结合点到直线距离公式可得，又因为，于是解得. 【详解】由题可知为等边三角形， 设到的距离为，圆的半径为， 则，再结合点到直线距离公式可得. 所以，又因为，所以解得 四、解答题 11．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知的三个顶点坐标分别为，，. (1)求边上高所在直线方程； (2)求的外接圆方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用边上高与垂直得到直线斜率，再由边上高过，由点斜式得到边上高所在直线方程；（2）的外接圆方程过原点，故可设为，再利用待定系数法求解即可. 【详解】（1）边上高与垂直，因为 所以边上高的斜率为，又因为边上高过， 所以边上高所在直线方程为. （2）因为的外接圆方程过， 所以可设圆方程为，因为圆过，， 所以，由于三角形一定存在外接圆， 所以外接圆方程为. 12．（25-26高二上·北京密云·期中）平面直角坐标系中，已知圆的圆心是，且经过原点，直线的方程为，直线. (1)求圆的标准方程； (2)若与圆相切，求的值； (3)若直线与圆相交于,两点，直接写出的取值范围 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）已知圆心，根据圆经过点求半径，即可得圆的标准方程. （2）利用几何法，根据圆心到直线的距离等于圆的半径可求的值. （3）根据直线与圆相交，所得弦长的最大值为直径，可直接得出答案. 【详解】（1）因为圆心为，可设圆的标准方程为. 因为圆经过原点，所以. 所以圆的标准方程为：. （2）因为与圆相切， 所以 ， 所以或. （3）直线表示过定点，且斜率为的直线， 因为，所以点在圆的外边. 若直线与圆相交于,两点，则； 又直线过圆心，即时，为圆的直径，取得最大值，为. 综上，. 13．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知圆经过点，，且_______． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) 选①： （解法一）:设圆的标准方程为． 因为圆经过点，，三个点， 所以，消去得，解得， 再将代入解得， 圆的标准方程为． （解法二）:设圆的一般方程为． 由题意可得，， 消去得，解得，再代入方程解得. 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． 选②： （解法一）：由，，得，中点为， 线段的垂直平分线为，即． 又圆心在直线上， 联立，解得，即圆心． 圆的半径， 圆的标准方程为． （解法二）：因为圆心在直线上， 所以设圆心，且，在圆上， ，， 整理得，解得. 所以圆心． 圆的标准方程为． (2) 【分析】（1）选① ：解法一：设圆的标准方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程；解法二：设圆的一般方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程.选②：解法一：先求得线段垂直平分线的方程，通过联立方程组求得圆心的坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的标准方程；解法二：根据圆心在直线上，设圆心，再由可得，从而可得圆的标准方程； （2）由（1）知圆的标准方程，解法一：利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得；解法二：通过联立方程组的方法，求得两点的坐标，进而求得. 【详解】（1）略 （2）（解法一）：由（1）知圆的标准方程为， 所以圆心到直线的距离. 因为圆的半径，所以弦长． （解法二）：联立直线方程与圆的方程得， 消去，化简整理得，解得或， 当时，代入得； 当时，代入得. 所以交点，由两点间距离公式得． 14．（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心， 则到直线的距离， 所以圆的半径， 则， 解得. （2）因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上， 又因为，， 所以, 所以直线的方程为， 即为①， 因为圆与圆相切于点， 所以为圆上的点，又圆过点， 所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为， 所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ， 所以圆圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 15．（26-27高二上·河南·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合，，将转化为关于的函数，即可求最小值. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. （2）圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. （3）因为圆位于第四象限内，所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，，由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则 ， 当时，取得最小值，为. 综合进阶练（限时：15分钟） 一、单选题 1．（26-27高二上·江西·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设点坐标，然后表示出和，建立方程后得到点的轨迹方程，由两个圆存在公共点，得到圆与圆的位置关系，从而得到圆心距和半径的关系，求出的取值范围. 【详解】设，则，. 因为，所以，即. 所以点的轨迹是以为圆心，以1为半径的圆. 又因为点在圆上，所以圆与圆有公共点，所以. 即，解得. 二、多选题 2．（25-26高一上·四川绵阳·期中）若已知存在线段AB是的弦，其中，，点D为上任意一点，则以下结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值是 D．当时， 【答案】ABC 【分析】对于A，当三点共线时，取最大值即可判断，对于B，根据数量积的定义即可判断，对于C，建立平面直角坐标系，设，，计算即可判断，对于D，当时，即，得点在上的位置有两个位置，进而判断. 【详解】对于A，由点为上任意一点，当三点共线时，取最大值，即，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，建立平面直角坐标系，设，， 所以，， 所以， 当时，即时，的最小值是，故C正确； 对于D，当时，即，所以点在上的位置有两个位置，如图所示，所以不止一个答案，故D错误； 故选：ABC. 3．（25-26高三上·河北沧州·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了《圆锥曲线论》，此书中有许多关于平面轨迹的问题，例如：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点和，且该平面内的点P满足，记点P的轨迹为圆C，则下列结论正确的是（    ） A．圆C的方程为 B．的最大值为 C．M为直线上一动点，则的最小值为 D．若O为坐标原点，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据两点间距离公式，结合两点间线段最短、三角代换法、平面向量数量积的坐标表示公式逐一判断即可. 【详解】设点，因为， 所以，整理得， 所以圆C的方程为，故A错误． 因为，所以． 因为， 所以，故B正确． 设A关于直线的对称点为， 则解得 因为，所以， 所以当，C，M三点共线时，有最小值． 因为， 所以，故C正确． 设，， 因为，， 所以， 所以当时，有最大值，最大值为，故D正确． 故选：BCD 4．（25-26高二上·重庆沙坪坝·期中）已知直线，圆，则下列结论正确的是（   ） A．直线和圆总有公共点 B．直线被圆截得的最短弦长为 C．若圆与圆有且只有一条公切线，则实数 D．当时，圆上恰有两个点到直线的距离等于1 【答案】ABD 【分析】将直线方程变形，求出直线经过的定点，然后利用定点在圆的内部可判断A；根据过定点的直线与圆相交时最小弦长计算方法计算可判断B；利用圆心距与两圆半径之间的关系计算可判断C；结合直线与圆的位置关系，利用点到直线的距离公式进行计算可判断D. 【详解】对于A，直线的方程为， 变形可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 因为，所以定点在圆内部， 则直线和圆总有公共点，故A正确； 对于B，因为直线过定点，且点在圆内， 则经过，两点的直线与直线垂直时，直线被圆截得的弦长最小， 此时圆心到直线的距离为， 所以最小弦长为，故B正确； 对于C，圆的方程，即， 其圆心为，半径为，需满足， 若圆与圆有且只有一条公切线，则两圆内切， 则有，解得，故C错误； 对于D，圆，其圆心为，半径为， 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离为，依题意需满足. 因为，，，满足， 故圆上恰有两个点到直线的距离等于1.故D正确. 故选：ABD. 5．（25-26高二下·云南玉溪·期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年提出：三角形的外心，重心，垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.若的三个顶点坐标分别为，，，其“欧拉线”为，圆：，则（ ） A．过作圆的切线，切点为，则的最小值为 B．若直线被圆截得的弦长为2，则 C．若圆上有且只有两个点到的距离都为1，则 D．存在，使圆上有三个点到的距离都为1 【答案】ABC 【分析】A项，利用勾股定理写出的表达式，即可求出的最小值； B项，求出直线的解析式，得出圆的位置，即可得出结论； C项，根据圆上有且只有两个点到的距离都为1，得出圆心到直线的距离小于直径，结合距离公式即可得出结论； D项，由几何知识即可得出结论. 【详解】由题意，的三个顶点坐标分别为，，， 在圆中，，半径，. A项，过作圆的切线，切点为，如图所示， 所以，在中，由勾股定理得， 所以当时，取最小值，，故A正确； B项，重心坐标，即， 所在直线：，即. 又线段的中点，所以的垂直平分线为：， 同理可得，的垂直平分线为：， 联立，解得：，所以外心 因为的“欧拉线”为，所以过和， 故直线：，即， 又直线被圆截得的弦长为2，恰好为圆的直径，所以直线过圆心， 所以，即，B正确； C项，因为圆上有且只有两个点到的距离都为1， 所以圆心到直线：即的距离小于直径. 即，解得：，故C正确； D项，结合几何知识得，圆上不可能有三个点到直线的距离均为半径1，故D错误. 三、填空题 6．（25-26高二上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，已知圆，，，若，均为正整数，且圆上任意一点到点的距离与到点的距离之比为定值，则______． 【答案】10 【分析】设圆上任意一点，从而，对比圆的方程，结合，即可求解. 【详解】由题意设圆上任意一点，则， 所以， 整理后． 展开圆的方程：， 所以， 从而， 又知且，均为正整数，则，所以， 代入，得． 故答案为：10． 7．（25-26高二下·云南大理·期中）在直角三角形中，，，，点为其内切圆上一点，则的取值范围为_________． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用解析法求解. 【详解】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，，， 设三角形内切圆半径为，则， 即，解得，所以圆心为， 故圆的方程为，设， 则 四、解答题 8．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知动点P在直线上，动点Q在圆上，过点P作圆C的两条切线，切点分别为． (1)判断直线l与圆C的位置关系； (2)求的最小值及的最大值； (3)证明直线过定点． 【答案】(1)直线与圆相离， (2),的最大值为 (3)证明：设，则以为直径的圆的方程为， 即， 与已知圆的方程相减可得直线的方程为， 即，由， 解得，即直线过定点， 【分析】（1）根据点到直线的距离与半径的关系即可求解； （2）由切线长定理结合正弦函数的单调性确定的最大值； （3）根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线方程求解定点. 【详解】（1）圆的圆心，半径，连接， 点到直线的距离， 直线与圆相离， （2）点在圆上，则， 由切线长定理知，，而， 又是锐角，正弦函数在上单调递增，则的最大值为， 当且仅当时取等号，因此的最大值为. （3）略 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $