期中重难点检测卷（培优卷）-2026-2027学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

九年级上学期期中重难点检测卷（培优卷） 【考试范围：一元二次方程、反比例函数、圆】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24九年级上·江苏·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，第一天为2亿元，根据增长率为得出第二天为亿元，第三天为，根据第三天为5亿元，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】解：设平均每天票房的增长率为， 根据题意得：． 故选：B． 3．（2023九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质，先由已知反比例函数的象限位置得到k的取值范围，再判断所求反比例函数比例系数的正负，即可确定其图象所在象限． 【详解】解：∵函数的图象位于第二､四象限， ∴， 解得， ∴， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数的图象位于第一､三象限． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求扇形面积，求其他不规则图形的面积，利用菱形的性质求线段长，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据菱形的性质，利用同底等高的两个三角形面积相等将阴影部分的面积转化为扇形面积． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 5．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根与判别式，熟练掌握一元二次方程根的定义、判别式与根的关系以及二次函数的性质是解题的关键．依次对每个说法进行分析判断，根据一元二次方程的相关性质，如判别式、方程的根的定义等进行推理． 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实根， ∴，即，对于方程，判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实根，故①正确． ②∵是方程的根，∴，即， ∴，故②正确． ③取反例：设，则方程为，取，有，，相等，但，故③错误． ④∵是方程的根，∴，即，∴或，不一定总有，故④错误． 综上，①②正确，选A． 6．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（    ） A．10 B．8 C．9 D． 【答案】A 【分析】设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a，于是可表示出C（t，t-a），D（t+a，t-a），再利用等腰直角三角形的性质可得OA=t，AD=a；由OA2-AD2=20可得t2-a2=10，最后根据反比例函数图像的性质即可解答． 【详解】解：设设正方形的边长为a，A（t，t），则OB=AB=t，AC=CD=a， ∴C（t，t-a），D（t+a，t-a） ∵等腰直角三角OAB和正方形ACDE ∴OA=t，AD=a ∵OA2-AD2=20 ∴（t）2-（a）2=20，即t2-a2=10 ∵点D在反比例函数的图像上， ∴k=（t+a）（t-a）=t2-a2=10． 故选A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合问题、正方形的性质、反比例函数的性质等知识点，求正确设出未知数、根据题意表示出所需的量和等式是解答本题的关键． 7．（2023九年级上·江苏镇江·期中）如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　）    A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】设，则的中点为，，即可求得，即可判断①；表示出的坐标，即可表示出，求得，即可判断②；计算出，，即可求得，即可判断③；先证是的中点，然后根据直角三角形斜边直线的性质和平行线的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，从而得到，即可判断④． 【详解】解：动点在反比例函数的图象上， 设， 的中点为，， 的图象经过点， ，故①正确； 过点作轴交函数的图象于点， 的纵坐标， 把代入得，， ， ， ，故②正确； 如图，过点作轴于．         ，，，， 过点作轴交函数的图象于点，交轴点， ， 直线的解析式为，直线的解析式为， 由，解得， ，， ， ， ， ，故③正确； ，，，，， 是的中点， ， ， 轴， ， ， 若，则， ， ．故④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，反比例函数系数的几何意义，待定系数法求一次函数的解析式，直角三角形斜边上中线的性质，平行线的性质，解题的关键是利用参数解决问题，学会构建一次函数确定交点坐标． 8．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的两条弦，、，的弧度为，的弧度为，则的半径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上取一点E，使得，过点E作交延长线于F，在优弧上取一点G，连接，可证明，则可证明，据此求出的长，进而求出的长，过点O作于H，则，可求出，据此利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在上取一点E，使得，过点E作交延长线于F，在优弧上取一点G，连接， ∵的弧度为，的弧度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点O作于H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的半径长为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了弧，弦和圆心角之间的关系，垂径定理，圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用根的判别式判断根的情况，结合根的定义变形验证每个说法即可． 【详解】解：对于一元二次方程，根的判别式， ① 若，则，代入得，因此方程一定有两个不相等的实数根，①正确； ② 若，则，因为，可得即，因此，所以，方程没有实数根，②正确； ③ 若且是方程的根，代入方程得，提取公因式得，因为，所以，即，③正确； ④ 若是原方程的根，代入得，两边同除以（，）得，整理得，因此是方程的一个根，④正确． 综上，①②③④都正确，共4个正确说法． 10．（2023九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点C的运动轨迹，可以推出点P的运动轨迹.然后根据当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，推出OP⊥PD，然后根据勾股定理和等积法分别求出PE和OE，进而确定点P的坐标，然后代入直线y=kx－3k（k＞0）即可求出k的值． 【详解】解：如图，连接OP，作过点P作PE⊥x轴于点E， ∵点P和点A关于点C对称，点C的运动轨迹是以点B为圆心，半径为1的圆， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，以AO为半径的圆． ∵当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，直线y=kx－3k（k＞0）过定点D(3,0)， ∴OP⊥PD， ∴∠OPD=90°， 在Rt△OPD中，OP=OA=2，OD=3， 由勾股定理得：PD== 由等积法，可得：OD•PE=OP•PD， 即：3×PE=2×， 解得：PE= 在Rt△OPE中，OE== ∴点P的坐标为(，) 把点P的坐标代入y=kx－3k，得:， 解得:k=． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了双动点模型：主动点运动轨迹是圆，从动点运动轨迹也是圆，圆与直线的位置关系，勾股定理，等积法．熟记相关模型，利用数形结合思想是解决此类问题的关键． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（2026九年级上 江苏徐州·期中）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 【答案】 或 【分析】根据新定义运算得到关于的分式方程，去分母转化为一元二次方程求解，检验后得到的值，进行解答，即可． 【详解】解：由题意得， 方程两边同乘最简公分母，得：， 整理得：， 因式分解得：， 解得，， 经检验，当和时，且，均为原方程的解． 12．（26-27九年级上·江苏南京·阶段测试）若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】由正比例函数和反比例函数的中心对称性得，因此所求式子的值等于，再根据推导的范围，进而得到的取值范围． 【详解】解：∵ 正比例函数和反比例函数都关于原点对称， ∴ 交点关于原点对称，得，即； ∴ ，只需计算的取值范围； 联立和，得，整理得，因此，且，保证两个交点存在； 联立和，得，因此，； 由条件，得，两边平方得； ∵ ，，两边同乘，不等号方向不变，得： ， 整理得， 因式分解得， 解得或， 结合分两种情况讨论： ①当时，，均为正数，取倒数后不等号反向，得，两边乘得，即； ②当时，，得，两边乘得，即； 综上，的取值范围是或． 13．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，的边在轴上，若过点的反比例函数，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足为、，根据平行四边形的性质结合已知条件可得，根据反比例函数的的几何意义可得，进而可得，设点，则 ，进而根据面积关系列出方程，解方程求得的值，即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足为、， 是的中点， ， 四边形是平行四边形，， ， 点、在反比例函数的图象上， ， ， ， 设点，则 ， 即，，，， ， 解得． 14．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的内心与外心、三角形内心性质、三角形外心性质、勾股定理，切线长定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 如图：过点P作于D、于E、于F，根据三角形的内心性质得到，易得、、得到四边形是正方形，根据勾股定理求出得到，求出得到，进而得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：过点P作于D、于E、于F， ∵点P是内切圆的圆心， ∴，、、， ∴四边形是正方形， ∵中，，，， ∴， 设，，， 则，解得：， ∴， ∵点O为的外心， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为M）交于E、F两点，若则_________． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，勾股定理等知识，应用好垂径定理及其推论是解题的关键； 设，则得，，；连接，过点M作于N；由垂径定理得，从而；由M是的中点，则得，在中，由勾股定理求得，在中由勾股定理得，在中，由勾股定理得：，由此建立方程求得k的值，即可求得结论． 【详解】解：∵， ∴设，则， ∴，； 如图，连接，过点M作于N； ∴，； ∵为的一条弦，且， ∴， ∴； 由题意知，M是的中点，且为的直径， ∴， 由垂径定理推论知：； 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：10． 16．（2024九年级上 江苏无锡·阶段测试）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作． （1）________； （2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是________． 【答案】 或 【分析】本题考查的是反比例函数的图象和性质、平面直角坐标系中整点的定义，掌握待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤、灵活运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出． （2）先由题意得出点坐标，再加上，从而得出直线表达式，再确定，根据在和进行分类讨论，写出区域内所有整数点，列举出满足条件的整数点，进而综合两种情况得到答案． 【详解】解：（1）将代入中， 解得：， 故答案为：． （2）， 当时，， ，且, 设直线表达式为， 代入和坐标可得， 解得：， 直线表达式为， ∴直线过点，， 时，与无交点，不合题意，   、、在上， 均不在区域， 当时，， 当在时，若恰好经点过时，点在直线上， 此时内有一个整点，即， 将代入中， 解得：， 中至少有个整点， ． 当在时，若恰好经过点时， 此时内有两个整点，即，， 将代入中， 解得：，即， 中至少有个整点， , 综上：的取值范围是或， 故答案为：或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2) (3)， (4) 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）将该方程整理得，再利用配方法解该方程即可； （3）将该方程整理得，再利用因式分解法解该方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； （4）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断：一元二次方程________（填“是”或“否”）为“C方程”． (2)已知关于x的一元二次方程． ①当b、c满足什么关系时，该方程是“C方程”； ②若方程是“C方程”，求代数式的最小值． 【答案】(1)否 (2)①；②最小值为 【分析】（1）求出方程的根，结合新定义，进行判断即可； （2）①根据新定义把代入方程，进行求解即可；②结合①中的结论，利用配方法求出最小值即可. 【详解】（1）解：， ， 解得， ∵，方程的根为和， ∴一元二次方程不是“C方程”． （2）解：①∵该方程是“C方程”， 即为方程的解， ， ， ∴， ； ②， ， ， 时，代数式有最小值，最小值为． 19．（26-27九年级上·江苏南京·阶段测试）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】(1)，， (2)A (3)49 (4)3 【分析】（1）利用多项式因式分解与系数对应关系，将三次方程写为的形式，展开后与原方程同次项系数对比，即可解答； （2）由（1）得到，，即可判断A，D选项；由于，，由于，的取值不确定，无法判断符号，即可判断B，C选项； （3）先根据（1）的结论求出，，再利用完全平方公式变形求解即可； （4）由和，推导出，，将a，c看作一元二次方程的两个实根，利用判别式建立关于b的不等式，求解b的最小值． 【详解】（1）解：∵一元三次方程的三个实数根为，，， ∴， 展开，得， 对比方程可得， ，，， ∵， ∴，，． （2）解：∵，，为方程的三个实数根， ∴由（1）可得，， ∴A选项正确，D选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故B选项错误． ，的取值不确定，无法判断符号，故C选项错误． （3）解：∵的三个根分别为，，， ∴，， ∵， ∴． （4）解：∵，， ∴，， ∴a，c是方程的两个实数根， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正数的最小值为3． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒 (1)如图1，________秒后，面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为________（直接写出结果，不需说理） 【答案】(1)1 (2) (3)①或；② 【分析】1）由题意可知、，则，，然后根据的面积为列方程求解即可； （2）如图1所示：连接．依据勾股定理可求得的长，然后依据切线长定理可知，从而可求得的长，由圆的半径相等可知，然后在中依据勾股定理列方程求解即可； （3）①若与相切，知，由利用勾股定理列方程求解可得；当正好与四边形的边相切时，由圆的性质可知，然后依据勾股定理列方程求解即可； ②先求得与四边形有两个公共点时t的值，然后可确定出t的取值范围． 【详解】（1）解：由题意知，、，则，， 由可得， 解得：或（舍去）， 即1秒后，面积等于； （2）解：如图1所示：连接． ∵在矩形中，，， ∴，， ∵， ∴与相切， ∵分别与、相切， ∴， ∵与相切， ∴， 在中，依据勾股定理可知， ∴， ∵， ∴，， 在中，依据勾股定理可知：， 解得：； （3）解：①分以下三种情况讨论： （Ⅰ）由题意可知圆Q与、不相切； （Ⅱ）如图2所示：若与相切时， 设切点为E，则，，则，，， 在中，由勾股定理可知：， 得方程：， 解得（舍去）或； （Ⅲ）当正好与四边形的边相切时，如图3所示． 由题意可知：，，， 在中，由勾股定理可知：， 即， 解得：，（舍去）． 综上所述，当或时，与四边形的一边相切． ②分以下两种情况讨论： （Ⅰ）当时，如图4所示： 与四边形有两个公共点； （Ⅱ）如图5所示： 当圆Q经过点D时，与四边形有两个公共点，则， 根据勾股定理得，，， 得方程， 解得：（舍）或， ∴当时，与四边形有三个公共点． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了三角形的面积公式、切线长定理、勾股定理、圆的性质，依据题意列出关于t的方程是解题的关键． 21．（23-24九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”． (1)写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标________________________； (2)点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； (3)如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．      【答案】(1) (2) (3)2或 【分析】（1）利用“倒数点”的概念，可得，，即可解答； （2）设点，故可求得点的坐标，即可得到点Q满足的函数表达式； （3）分类讨论，即：①点在上时；②点在上时，利用矩形的性质，分别求出点的坐标，再分别求出的面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， 在第一象限， ， 同理可得， 故平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标为， 故答案为：； （2）解：设点， 根据题意可得点， 观察可得， 故点在反比例函数上，且， 点P的“倒数点”Q满足的函数表达式为； （3）解：设且， 根据题意可得， 观察可得， 结合（2）可得点在反比例函数上， 故点不能在和上， ①当点在上时， 四边形是矩形， ， 点B与点A的纵坐标相同，可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， ； ②当点在上时， 四边形是矩形， ， 可得的横坐标为4，可得， 解得， 经检验，是原方程的解， 此时， ， 综上所述，的面积为2或． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上的坐标特征，新定义的阅读能力，三角形面积的求法，坐标与图形、矩形的性质，分式方程的应用，理解题意是解题的关键． 22．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为， (2)存在满足条件的，坐标为 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）先求出点m的值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （2）设，在中，由勾股定理得，得到，求出p的值，即可解答． （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 过作轴，交于点， 设， 直线的解析式为， 当时， ， 解得， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （2）解：存在，理由如下： 设， ，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， ， 两边同乘，整理得： ， 解得：，． 对应点，舍去． 当时，，即． 存在满足条件的，坐标为． （3）解：， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此时点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ； 点坐标为或或或． 23．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如：线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆；不共线三点A、B、C的最小覆盖圆就是的外接圆． 【操作探究】现有三个边长为的正方形． ①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________； ②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________； ③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径． 【延伸运用】某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图3所示），现拟建一个广播信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功率最小（距离越小，所需功率越小），请在图中画出中转站所建位置． 【答案】（1）①；②；③ （2）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线的交点）， ∵，， ∴为钝角三角形，此时不是最小覆盖圆， 对于而言，， 故为锐角三角形， ∴其最小覆盖圆为的外接圆，设圆心为点O，直线与交于点M，连接， ∵, ∴， 同理，为锐角三角形，但是此时点F在外接圆外部，不符合题意， ∴点G在内，从而是四边形的最小覆盖圆，因此中转站建在的外接圆圆心处． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，三角形外接圆的性质作图，关键要懂得何为最小覆盖圆．知道若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆． （1）运用勾股定理即可求解外接圆半径或直径； （2）本题关键要确定最小覆盖圆的半径，然后才能作答．中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）．根据是锐角三角形，可知其最小覆盖圆为的外接圆，所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求． 【详解】解：（1）①以矩形对角线的中点为圆心，对角线长的一半为半径的圆为最小覆盖圆， 则， 故答案为：． ②以三个小正方形的共顶点为圆心，小正方形的对角线为半径的圆为最小覆盖圆， 则，∴， 故答案为：． ③将2个小正方形一边重合，另1个小正方形的两个顶点分别位于前2个小正方形上边的中点处，连接，延长交上方小正方形上边于点A，设，则，在和中，由勾股定理得： ，解得 ∴， ∴最小覆盖圆的直径为． （2）略 24．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，点在上且，点是劣弧上的一动点（不与、重合），连接与相交于点，延长交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若半径为2，当运动点恰使时，求的长． 【答案】(1) 证明：是直径 又 是等腰直角三角形 由圆周角定理，且（同弧所对圆周角）． 在和中： ． (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，三角形全等的判定，证明即可； （2）设，则，解得即可． 本题考查了圆周角定理，三角形全等的判定和性质，勾股定理，解方程，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）， 又半径为2， ， 在等腰直角中， ， ， 在中， 设，则， ，（负值舍去） ． 25．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 【答案】(1) (2) 证明：由（1）得：， ； (3)彩带长度的最小值为． 【分析】（1）圆锥的底面周长等于扇形的弧长，求出，再根据半径经过的中点，得到，即可求出与OB的夹角； （2）根据（1）即可证明结论； （3）先求出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，得到，再连接，利用勾股定理得到长，即可求出彩带长度的最小值． 【详解】（1）由题意可知，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ， ， ，， ， 经过的中点， ， ， 与OB的夹角为， 故答案为：，； （2）略 （3），， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，如下图， ， ， 连接，即为彩带长度的最小值， ，， 由勾股定理得：， 彩带长度的最小值为． 【点睛】本题考查了圆锥的性质，弧长公式，同弧或等弧所对的圆心角相等，勾股定理等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期期中重难点检测卷（培优卷） 【考试范围：一元二次方程、反比例函数、圆】 注意事项： 本试卷满分120分，考试时间100分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．（23-24九年级上·江苏·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）电影《雄兵出击》以朝鲜战争爆发为背景，讲述了中国志愿军官兵在炮火硝烟中入朝作战的历程，展现了中国人民志愿军的爱国主义精神和革命英雄主义精神，一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约2亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，第三天票房为5亿元，方程可以列为（    ） A． B． C． D． 3．（2023九年级上·江苏盐城·期中）已知关于的函数的图象位于第二、四象限，则反比例函数的图象位于（     ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 4．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）对于一元二次方程，下列说法： ①若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ②若是一元二次方程的根，则； ③如果存在实数m、n（），使得，则； ④若c是方程的一个根，则一定有成立． 其中正确的有（） A．①② B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 6．（23-24九年级上·江苏扬州·阶段检测）如图，点A在直线y＝x上，AB⊥x轴于点B，点C在线段AB上，以AC为边做正方形ACDE，点D恰好在反比例函数的图像上，连接AD，若，则k的值为（    ） A．10 B．8 C．9 D． 7．（2023九年级上·江苏镇江·期中）如图，在反比例函数的图象上有动点，连接，的图象经过的中点，过点作轴交函数的图象于点，过点作轴交函数的图象于点，交轴点，连接，，，与交于点． 下列结论：①；②；③；④若，则．其中正确的是（　　）    A．①③④ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 8．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的两条弦，、，的弧度为，的弧度为，则的半径长为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程，下列说法：①若，则方程一定有两个不相等的实数根；②若，则方程没有实数根；③若且是方程的一个根，则；④若是方程的一个根，则是方程的一个根．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2023九年级上·江苏无锡·期中）如图，点A的坐标是（−2，0），点C是以OA为直径的⊙B上的一动点，点A关于点C的对称点为点P．当点C在⊙B上运动时，所有这样的点P组成的图形与直线y=kx－3k（k＞0）有且只有一个公共点，则k的值为（    ）． A． B． C． D． 二、填空题：（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11．（2026九年级上 江苏徐州·期中）对于非零的两个实数、，规定．若，则的值为____________． 12．（26-27九年级上·江苏南京·阶段测试）若正比例函数的图像与反比例函数的图像交于点，且与一次函数的图像交于点，若，则的取值范围是___________． 13．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，的边在轴上，若过点的反比例函数，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 14．（24-25九年级上·福建莆田·期中）如图，中，，点O为的外心，，，是的内切圆．则的长为______． 15．（24-25九年级上·江苏宿迁·期中）如图，是的直径，的弦在直线的上方，且，以为直径向下作半圆（圆心为M）交于E、F两点，若则_________． 16．（2024九年级上 江苏无锡·阶段测试）规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点，双曲线经过点，直线与y轴相交于点，与双曲线相交于点，线段、及、两点之间的曲线所围成的区域记作． （1）________； （2）若区域（不包括边界）内的整点的个数大于等于，则的取值范围是________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.） 17．（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）定义：如果关于x的一元二次方程有一个根是c，那么我们称这个方程为“C方程”． (1)判断：一元二次方程________（填“是”或“否”）为“C方程”． (2)已知关于x的一元二次方程． ①当b、c满足什么关系时，该方程是“C方程”； ②若方程是“C方程”，求代数式的最小值． 19．（26-27九年级上·江苏南京·阶段测试）在课上，我们已经学习过一元二次方程、一元三次方程根与系数的关系． (1)已知，，为一元三次方程的三个实数根，则___________，___________，___________． (2)问题解决．已知，，为方程的三个实数根，则对于下列结论一定正确的是（     ） A．     B．     C．     D． (3)若的三个根分别为，，，则的值是___________． (4)拓展提升．已知实数满足，且，求正数的最小值． 20．（25-26九年级上·江苏扬州·阶段检测）在矩形中，，，点P从点A出发沿边以的速度向点B移动，同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C移动，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒 (1)如图1，________秒后，面积等于？ (2)在运动过程中，若以P为圆心、为半径的与相切（如图1），求t值； (3)若以Q为圆心，为半径作． ①如图2，以Q为圆心，为半径作．在运动过程中，是否存在这样的t值，使正好与四边形的一边（或边所在的直线）相切？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由； ②如图3，若与四边形的边有三个公共点，则t的取值范围为________（直接写出结果，不需说理） 21．（23-24九年级上·江苏常州·期中）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意点，我们把点称为点A的“倒数点”． (1)写出平面直角坐标系中第一象限内“倒数点”是本身的点的坐标________________________； (2)点P是反比例函数（x＞0）图象上的一点，求出点P的“倒数点”Q满足的函数表达式； (3)如图，矩形的顶点C为，顶点E在y轴上，函数的图象与交于点A．若点B是点A的“倒数点”，且点B在矩形的一边上，求的面积．      22．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段检测）我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如：线段的最小覆盖圆是以线段为直径的圆；不共线三点A、B、C的最小覆盖圆就是的外接圆． 【操作探究】现有三个边长为的正方形． ①小芳按图1方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________； ②小玲按图2方式摆放，则最小覆盖圆的直径为________； ③小慧发现另一种摆放方式，其最小覆盖圆的直径比他俩都小，请你也设计一种比小芳和小玲都小的摆放方式，并求出最小覆盖圆的直径． 【延伸运用】某地有四个村庄E，F，G，H（其位置如图3所示），现拟建一个广播信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到广播信号，且使中转站所需发射广播功率最小（距离越小，所需功率越小），请在图中画出中转站所建位置． 24．（25-26九年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的直径，点在上且，点是劣弧上的一动点（不与、重合），连接与相交于点，延长交的延长线于点D． (1)求证：； (2)若半径为2，当运动点恰使时，求的长． 25．（23-24九年级上·江苏南通·阶段检测）综合与实践 问题情境：如图，将一个圆锥的侧面展开后可得到一个圆心角为，半径为l的扇形，圆锥底面是一个半径为r的圆．母线在展开图上对应的半径经过的中点． (1)特例研究：当，时， ，展开图上，与OB的夹角为 ． (2)问题提出：求证：． (3)问题解决：如图2，一种纸质圆锥形生日帽，底面直径为，母线长也为，为了美观，想在底面圆上一点A和与之相对的母线PB中点C之间拉一条细彩带进行装饰，求彩带长度的最小值．（提示：尝试画出圆锥侧面展开图） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $