江苏省南京市2026-2027学年苏科版九年级上册期中数学模拟练习卷一

江苏省南京市九年级上2026-2027学年期中数学模拟练习卷一 考试范围：1-3章；考试时间：120分钟；命题人：xxx 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一．选择题（共6小题） 1．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝5 B．（x+3）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝13 2．若方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．m＝±2 B．m≠±2 C．m＝﹣2 D．m＝2 3．已知：如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BE＝BC．若∠CAB＝40°，则∠BAD的大小为（　　） A．45° B．50° C．55° D．65° 5．已知点A（a，y1），B（a+2，y2），在反比例函数的图象上，若y1﹣y2＞0，则a的取值范围为（　　） A．a＜0 B．a＜﹣2 C．﹣2＜a＜0 D．a＜﹣2或a＞0 6．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（　　） A．﹣1≤x≤1 B．x C．0＜x D．x 评卷人 得 分 二．填空题（共10小题） 7．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的另一个根为 _________ ． 8．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E，若CD＝6，BE＝1，则AE＝ _____ ． 9．如图，将⊙O沿着弦AB折叠，点C，D分别在优弧AB和劣弧AB上，若∠C＝65°，则∠D＝________ °． 10．设函数与y＝x+1的图象的交点为（a，b），则的值为 _______ ． 11．如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半径为2的⊙O在射线AC上运动，当⊙O与△ABC的一边相切时，线段CO的长度为 ____________________ ． 12．已知反比例函数，则当1≤x≤3时，的最小值是__________________ ． 13．如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝_______ ． 14．如图，反比例函数y（x＜0），△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB﹣S△BCD＝10，则k＝________ ． 15．已知实数x满足（x2+x）2﹣5（x2+x）﹣6＝0，则代数式x2+x的值为_____ ． 16．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，连接OC，若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为 __________________ ． 评卷人 得 分 三．解答题（共10小题） 17．解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）3x（x﹣2）＝4﹣2x． 18．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m，求实数m的值． 19．如图，四边形ABCD和EFCG均为矩形，AD＝9m，AB＝6m，BG＝DF＝xm，休闲区的储水量为3L/m2． （1）种菜区的面积为________________ m2，休闲区能接的雨水量为_______________ L．（用含有x的代数式表示） （2）若种菜区每平方米需要6L水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 20．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽； 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，AB＝8cm，l＝8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 21．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC． （1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）将△ADC沿边AD翻折后，点E恰好与点O重合，且弧DE的长度为2π，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（结果保留π）． 22．已知⊙O，按下列要求完成尺规作图．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） （1）在图①中，求作一点M，使经过点M的⊙O的两条切线互相垂直； （2）点P的位置如图②所示．求作弦AB，CD，使AB＝CD，且AB⊥CD，垂足为P． 23．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）． （1）则m＝_______ ，n＝_______ ； （2）若y1≤y2时，则x的取值范围是 _______________ ． （3）过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长． 24．对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值等于﹣m，则称m为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式的值等0；当x＝﹣1时，代数式的值等于1，我们就称0和﹣1都是这个代数式的“镜像值”． （1）代数式x2﹣x﹣1的镜像值是_________ ； （2）判断代数式x2﹣3x+3是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； （3）关于x的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数a的值． 25．小华在学完《一元二次方程的根与系数的关系》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣．下面是他收集的素材，请根据素材帮助他完成相应问题： 【素材1】一元三次方程的定义：我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫作一元三次方程，一般形式为ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d为常数，且a≠0）． 【素材2】一元三次方程的解法：若一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的左边在实数范围内可因式分解为a（x﹣p）（x﹣q）（x﹣r）（p，q，r为实数），即原方程化为a（x﹣p）（x﹣q）（x﹣r）＝0，则得方程的根为x1＝p，x2＝qx3＝r． 【素材3】一元二次方程根与系数的关系的探究过程：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1，x2，则方程可化为a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，与原方程比较，可得根与系数的等量关系为，． （1）若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d为常数，且a≠0）的左边可分解为a（x﹣1）（x+2）（x﹣3），则方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根分别为x1＝_____ ，x2＝_______ ，x3_____ ． （2）若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d为常数，且a≠0）的三个根为x1，x2，x3，探究根与系数（a，b，c，d）之间的等量关系为x1+x2+x3＝___________________ ，x1•x2•x3＝___________________ ． （3）利用（2）中的结论解决：若方程2x3+x2﹣7x﹣6＝0的三个根为α，β，γ，则的值为___________________ ． 26．结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积． 解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x． 根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x． 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2． 整理，得x2+7x＝12． 所以S△ABCAC•BC （x+3）（x+4） （x2+7x+12） （12+12） ＝12． 小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n． 可以一般化吗？ （1）若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn． 倒过来思考呢？ （2）若AC•BC＝2mn，求证∠C＝90°． （3）若∠C＝60°，AD＝6，BD＝7，直接写出△ABC的面积． 江苏省南京市九年级上2026-2027学年期中数学模拟练习卷一 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 1．用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（　　） A．（x﹣3）2＝5 B．（x+3）2＝5 C．（x﹣3）2＝13 D．（x+3）2＝13 【解答】解：∵x2﹣6x﹣4＝0， ∴x2﹣6x＝4， ∴x2﹣6x+9＝4+9， ∴（x﹣3）2＝13， 故选：C． 2．若方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是（　　） A．m＝±2 B．m≠±2 C．m＝﹣2 D．m＝2 【解答】解：由题意可得：， 解得：m＝2． 故选：D． 3．已知：如图，在半径为5的⊙O中，AB、CD是互相垂直的两条弦，垂足为P，且AB＝CD＝8，则OP的长为（　　） A．3 B．4 C．3 D．4 【解答】解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OB，OD， 由垂径定理、勾股定理得：OM＝ON3， ∵弦AB、CD互相垂直， ∴∠DPB＝90°， ∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N， ∴∠OMP＝∠ONP＝90° ∴四边形MONP是矩形， ∵OM＝ON， ∴四边形MONP是正方形， ∴OP＝3 故选：C． 4．如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，BE＝BC．若∠CAB＝40°，则∠BAD的大小为（　　） A．45° B．50° C．55° D．65° 【解答】解：∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠CAB＝40°， ∴∠B＝90°﹣∠CAB＝90°﹣40°＝50°， ∵BE＝BC， ∴∠BCE65°， ∴∠BAD＝∠BCE＝65°． 故选：D． 5．已知点A（a，y1），B（a+2，y2），在反比例函数的图象上，若y1﹣y2＞0，则a的取值范围为（　　） A．a＜0 B．a＜﹣2 C．﹣2＜a＜0 D．a＜﹣2或a＞0 【解答】解：∵|k|+1≥1＞0， ∴在各个象限内，y随x的增大而减小， ∵a＜a+2，y1﹣y2＞0， ∴点A（a，y1），B（a+2，y2）在同一象限内， ∴a＜a+2＜0或a+2＞a＞0，即a＜﹣2或a＞0， 故选：D． 6．如图，已知⊙O圆心是数轴原点，半径为1，∠AOB＝45°，点P在数轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设OP＝x，则x的取值范围是（　　） A．﹣1≤x≤1 B．x C．0＜x D．x 【解答】解：∵半径为1的圆，∠AOB＝45°，过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点， ∴当P′C与圆相切时，切点为C， ∴OC⊥P′C， CO＝1，∠P′OC＝45°，OP′， ∴过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，即0＜x， 同理点P在点O左侧时，0＜x， ∴0＜x． 故选：C． 二．填空题（共10小题） 7．如果x＝2是方程x2﹣c＝0的一个根，这个方程的另一个根为 x＝﹣2　 ． 【解答】解：将x＝2代入方程，得：4﹣c＝0， 解得c＝4， ∴方程为x2﹣4＝0， 则x2＝4， ∴x＝2或x＝﹣2， 即这个方程的另一个根为x＝﹣2， 故答案为：x＝﹣2． 8．如图，在⊙O中，直径AB⊥弦CD，垂足为E，若CD＝6，BE＝1，则AE＝ 　9　 ． 【解答】解：连接OC， ∵AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD于点E，CD＝6， ∴CE＝DECD＝3， ∵OC＝OA＝OB，BE＝1， ∴OE＝OB﹣BE＝OA﹣1， ∵CE2+OE2＝OC2， ∴32+（OA﹣1）2＝OA2， 解得OA＝5， ∴OE＝5﹣1＝4， ∴AE＝OA+OE＝5+4＝9， 故答案为：9． 9．如图，将⊙O沿着弦AB折叠，点C，D分别在优弧AB和劣弧AB上，若∠C＝65°，则∠D＝　115　 °． 【解答】解：由题意∠C+∠D＝180°， ∵∠C＝65°， ∴∠D＝115°， 故答案为：115． 10．设函数与y＝x+1的图象的交点为（a，b），则的值为 　﹣1　 ． 【解答】解：∵函数与y＝x+1的图象的交点为（a，b）， ∴b，b＝a+1， ∴ab＝2，a﹣b＝﹣1， ∴1， 故答案为：﹣1． 11．如图，等腰△ABC中，∠ACB＝120°，BC＝AC＝8，半径为2的⊙O在射线AC上运动，当⊙O与△ABC的一边相切时，线段CO的长度为 　4或　 ． 【解答】解：当⊙O与AB相切时，设切点为D， 连接OD， 则∠ADO＝90°， 过C作CE⊥AB于E， ∴∠AEC＝90°， ∵AC＝BC，∠ACB＝120°， ∴∠A＝30°， ∴AO＝2OD＝4， ∴OC＝AC﹣AO＝4， 当⊙O与BC相切时，设切点为E， 连接OE， ∵∠ACB＝120°， ∴∠OCE＝60°， ∵OE＝2． ∴， 综上所述，线段CO的长度为4或， 故答案为：4或． 12．已知反比例函数，则当1≤x≤3时，的最小值是　　 ． 【解答】解：将反比例函数代入中， 可得：， ∵1≤x≤3， 当x增大时，x2也随之增大，则随之减小， 因此，在x＝3时取得最小值，代入计算， 得， 故答案为：． 13．如图，A、B、C、D、E、F是正n边形的六个连续顶点，AE与CF交于点G，若∠EGF＝30°，则n＝　18　 ． 【解答】解：连接CE， 正n边形的中心角的度数为：， 则∠ECF，∠AEC， ∵∠EGF＝30°， ∴∠ECF+∠AEC＝30°， ∴30°， 解得：n＝18， 故答案为：18． 14．如图，反比例函数y（x＜0），△OAB和△BCD均为等腰直角三角形，点D在反比例函数图象上，若S△OAB﹣S△BCD＝10，则k＝　﹣20　 ． 【解答】解：设AO＝a，CD＝b， ∵△OAB和△BCD均为等腰直角三角形， ∴AO＝AB＝a，BOa， CD＝BC＝b，DBb， ∴D（﹣a﹣b，a﹣b）， ∵点D在反比例函数图象上， ∴（﹣a﹣b）（a﹣b）＝k，即b2﹣a2＝k， 又∵S△OAB﹣S△BCD＝10，即， ∴﹣k＝20， ∴k＝﹣20． 15．已知实数x满足（x2+x）2﹣5（x2+x）﹣6＝0，则代数式x2+x的值为　6　 ． 【解答】解：设t＝x2+x，则原方程变形为t2﹣5t﹣6＝0， 因式分解得（t﹣6）（t+1）＝0， 解得t＝6或t＝﹣1， 当t＝﹣1时，得x2+x+1＝0， ∵该方程的判别式Δ＝12﹣4×1×1＝﹣3＜0， ∴该方程无实数根，不符合题意，舍去， 当t＝6时，得x2+x﹣6＝0， 该方程的判别式Δ＝12﹣4×1×（﹣6）＝25＞0，方程有两个不相等的实数根，符合题意， ∴x2+x的值为6． 故答案为：6． 16．如图，AB是⊙O的弦，点C在⊙O内，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，连接OC，若⊙O的半径是4，则OC长的最小值为 　22　 ． 【解答】解：延长BC交圆O于点D，连接DO，AD，过O点作OE⊥AD于点E， ∵∠ABC＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∵AO＝DO， ∴△AOD是等边三角形， ∵OA＝4， ∴AD＝4， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD＝90°， ∵EO⊥AD， ∴AE＝DE， ∴点C在以E为圆心，AE为半径的圆上， 在Rt△DEO中，DO＝4，DE＝2， ∴EO＝2， ∴CO的最小值为22， 故答案为：22． 三．解答题（共10小题） 17．解方程： （1）x2﹣4x﹣3＝0； （2）3x（x﹣2）＝4﹣2x． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣3＝0， x2﹣4x+4＝3+4， （x﹣2）2＝7， 则x﹣2， 所以； （2）3x（x﹣2）＝4﹣2x， 3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0， （x﹣2）（3x+2）＝0， 则x﹣2＝0或3x+2＝0， 所以． 18．已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2（m+1）x+m+1＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根分别为x1，x2，且满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m，求实数m的值． 【解答】解：（1）由条件可知： b2﹣4ac＝[2（m+1）]2﹣4（m﹣1）（m+1） ＝4（m2+2m+1）﹣4m2+4 ＝8m+8≥0，且m﹣1≠0， 解得：m≥﹣1且m≠1， 即m的取值范围是m≥﹣1且m≠1； （2）∵，， ∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝﹣m， ∴（x1﹣1）（x2﹣1）＝x1x2﹣x1﹣x2+1＝﹣m， ， 化简得到： ， ， 4m+2＝﹣m2+m， m2+3m+2＝0， ∴（m+2）（m+1）＝0， 解得：m＝﹣2或m＝﹣1， ∵m≥﹣1且m≠1， ∴m＝﹣1． 19．如图，四边形ABCD和EFCG均为矩形，AD＝9m，AB＝6m，BG＝DF＝xm，休闲区的储水量为3L/m2． （1）种菜区的面积为　（x2﹣15x+54）　 m2，休闲区能接的雨水量为　（﹣3x2+45x）　 L．（用含有x的代数式表示） （2）若种菜区每平方米需要6L水，休闲区接的水恰好够灌溉种菜区，求x的值． 【解答】解：（1）由题知， 因为AD＝9m，AB＝6m，BG＝DF＝xm， 所以种菜区的面积为：（9﹣x）（6﹣x）＝（x2﹣15x+54）m2， 则休闲区的面积可表示为：6×9﹣（x2﹣15x+54）＝（﹣x2+15x）m2． 因为休闲区的储水量为3L/m2， 所以休闲区能接的雨水量为（﹣3x2+45x）L． 故答案为：（x2﹣15x+54），（﹣3x2+45x）； （2）由题知， ﹣3x2+45x＝6（x2﹣15x+54）， 解得x＝3或12． 因为x＜6， 所以x＝3． 20．综合与实践 【主题】制作圆锥形生日帽； 【素材】①一张圆形纸板；②一条装饰彩带． 【实践操作】 步骤1：如图1，将一个底面半径为r的圆锥侧面展开，可得到一个半径为l、圆心角为n°的扇形．制作圆锥形生日帽时，要先确定扇形的圆心角度数，再度量裁剪材料． 步骤2：如图2，把剪好的纸板粘合成圆锥形生日帽． 【实践探索】在制作好的生日帽中，AB＝8cm，l＝8cm，C是PB的中点，现要从点A到点C再到点A之间拉一条装饰彩带，求彩带长度的最小值． 【解答】解：由题知， 令圆锥侧面展开扇形的圆心角度数为n， 则， 解得n＝180°． 如图所示， AC+A′C的值即为彩带长度的最小值． 在Rt△ABC中， AC（cm）， 同理可得，A′C（cm）， 所以彩带长度的最小值为（cm）． 21．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC交于点D，与边AC交于点E，连接AD，且AD平分∠BAC． （1）试判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）将△ADC沿边AD翻折后，点E恰好与点O重合，且弧DE的长度为2π，求⊙O的半径； （3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积（结果保留π）． 【解答】解：（1）BC与⊙O相切，如图1， 理由如下：连接OD， ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠DAC， ∵AO＝DO， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠CAD＝∠ADO， ∴AC∥OD， ∵∠ACD＝90°， ∴OD⊥BC， ∴BC与⊙O相切； （2）连接OE，OD，如图2， ∵△ADC沿边AD翻折后，点E恰好与点O重合， ∴AE＝AO， ∴AE＝OE＝AO， ∴△AEO是等边三角形， ∴∠EAO＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝30°， ∴∠EOD＝60°， ∵弧DE的长度为2π， ∴2π， ∴R＝6； （3）连接DE，如图2 ∵△OAE为等边三角形， ∴∠AOE＝60°， ∴∠ADE＝30°， 又∵∠OAD＝∠BAC＝30°， ∴∠ADE＝∠OAD， ∴ED∥AO， ∴S△AED＝S△EOD， ∴阴影部分的面积＝S扇形ODE6π． 22．已知⊙O，按下列要求完成尺规作图．（要求：保留作图痕迹，并写出必要的文字说明） （1）在图①中，求作一点M，使经过点M的⊙O的两条切线互相垂直； （2）点P的位置如图②所示．求作弦AB，CD，使AB＝CD，且AB⊥CD，垂足为P． 【解答】解：（1）如图①中，点M即为所求； （2）如图，线段AB，CD即为所求． 23．如图，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y2（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，点A的坐标为（﹣2，3），点B的坐标为（6，n）． （1）则m＝　﹣6　 ，n＝　﹣1　 ； （2）若y1≤y2时，则x的取值范围是 　﹣2≤x＜0或x≥6　 ． （3）过点B作BC⊥y轴于C点，连接AC，过点C作CD⊥AB于点D，求线段CD的长． 【解答】解：（1）∵点A（﹣2，3），B（6，n）在反比例函数y2的图象上， ∴m＝﹣2×3＝﹣6， ∴反比例函数的解析式为y2， ∵B（6，n）在反比例函数y2的图象上， ∴6n＝﹣6， ∴n＝﹣1， 故答案为：﹣6，﹣1； （2）由（1）知，n＝﹣1， ∴B（6，﹣1）， ∵A（﹣2，3）， ∴当﹣2≤x＜0或x≥6时，y1≤y2， 故答案为：﹣2≤x＜0或x≥6； （3）∵BC⊥y轴，B（6，﹣1）， ∴BC＝6， ∵A（﹣2，3）， ∴点A到BC的距离h＝3﹣（﹣1）＝4， ∵A（﹣2，3），B（6，﹣1）， ∴AB4， ∵CD⊥AB， ∴S△ABCBC•hAB•CD， ∴CD． 24．对于关于x的代数式ax2+bx+c，若存在实数m，使得当x＝m时，代数式的值等于﹣m，则称m为这个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式x2，当x＝0时，代数式的值等0；当x＝﹣1时，代数式的值等于1，我们就称0和﹣1都是这个代数式的“镜像值”． （1）代数式x2﹣x﹣1的镜像值是　1和﹣1　 ； （2）判断代数式x2﹣3x+3是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； （3）关于x的代数式，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数a的值． 【解答】解：（1）根据“镜像值”定义，当x＝m时，代数式的值等于﹣m， 即m2﹣m﹣1＝﹣m， 化简方程：m2﹣m﹣1+m＝0， 即m2﹣1＝0， 因式分解得（m﹣1）（m+1）＝0， 解得m1＝1，m2＝﹣1， 所以代数式x2﹣x﹣1的镜像值是1和﹣1； 故答案为：1和﹣1． （2）根据定义，令x2﹣3x+3＝﹣x， 整理得x2﹣2x+3＝0． 判别式Δ＝（﹣2）2﹣4×1×3 ＝4﹣12 ＝﹣8＜0， 因为判别式小于0，方程无实数解， 所以代数式x2﹣3x+3没有镜像值； （3）根据定义，令， 整理得， 因为代数式有两个镜像值，所以此一元二次方程有两个不相等的实数根， 故a≠0，且判别式Δ＞0， 计算判别式：， 设方程的两个根为x1，x2， 根据韦达定理，，， 两个镜像值的差为|x1﹣x2|，利用公式， 代入得：， 因为差为整数，且a为正整数，所以为整数．设（k为整数）， 则， 即，， 因为a为正整数， 所以k2﹣4是5的正因数， k2﹣4是1或5， 当k2﹣4＝1时，k2＝5，无整数解； 当k2﹣4＝5时，k2＝9，k＝3（k＝﹣3舍去）， 此时， 验证：当a＝1时，方程为，判别式Δ＝4+5＝9＞0， 根为， 即，， 差为， 是整数，符合条件．所以正整数a的值为1． 25．小华在学完《一元二次方程的根与系数的关系》一节内容后，对一元三次方程根与系数的关系产生了浓厚兴趣．下面是他收集的素材，请根据素材帮助他完成相应问题： 【素材1】一元三次方程的定义：我们把两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是3次的方程叫作一元三次方程，一般形式为ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d为常数，且a≠0）． 【素材2】一元三次方程的解法：若一元三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a≠0）的左边在实数范围内可因式分解为a（x﹣p）（x﹣q）（x﹣r）（p，q，r为实数），即原方程化为a（x﹣p）（x﹣q）（x﹣r）＝0，则得方程的根为x1＝p，x2＝qx3＝r． 【素材3】一元二次方程根与系数的关系的探究过程：设一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个根x1，x2，则方程可化为a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，即ax2﹣a（x1+x2）x+ax1x2＝0，与原方程比较，可得根与系数的等量关系为，． （1）若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d为常数，且a≠0）的左边可分解为a（x﹣1）（x+2）（x﹣3），则方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根分别为x1＝　1　 ，x2＝　﹣2　 ，x3　3　 ． （2）若关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0（a，b，c，d为常数，且a≠0）的三个根为x1，x2，x3，探究根与系数（a，b，c，d）之间的等量关系为x1+x2+x3＝　　 ，x1•x2•x3＝　　 ． （3）利用（2）中的结论解决：若方程2x3+x2﹣7x﹣6＝0的三个根为α，β，γ，则的值为　　 ． 【解答】解：（1）由题知， 原方程可改写为a（x﹣1）（x+2）（x﹣3）＝0， 所以x﹣1＝0或x+2＝0或x﹣3＝0， 所以x1＝1，x2＝﹣2，x3＝3． 故答案为：1，﹣2，3． （2）因为关于x的三次方程ax3+bx2+cx+d＝0的三个根为x1，x2，x3， 所以a（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）＝0， 展开得，ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣ax1x2x3＝0， 所以ax3+bx2+cx+d＝ax3﹣a（x1+x2+x3）x2+a（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣ax1x2x3， 所以﹣a（x1+x2+x3）＝b，﹣ax1x2x3＝d， 则x1+x2+x3，x1•x2•x3． 故答案为：，； （3）由方程2x3+x2﹣7x﹣6＝0得， a＝2，b＝1，c＝﹣7，d＝﹣6， 所以α+β+γ，αβγ3， 所以则． 故答案为：． 26．结果如此巧合! 下面是小颖对一道题目的解答． 题目：如图，Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D，AD＝3，BD＝4，求△ABC的面积． 解：设△ABC的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，CE的长为x． 根据切线长定理，得AE＝AD＝3，BF＝BD＝4，CF＝CE＝x． 根据勾股定理，得（x+3）2+（x+4）2＝（3+4）2． 整理，得x2+7x＝12． 所以S△ABCAC•BC （x+3）（x+4） （x2+7x+12） （12+12） ＝12． 小颖发现12恰好就是3×4，即△ABC的面积等于AD与BD的积．这仅仅是巧合吗？ 请你帮她完成下面的探索． 已知：△ABC的内切圆与AB相切于点D，AD＝m，BD＝n． 可以一般化吗？ （1）若∠C＝90°，求证：△ABC的面积等于mn． 倒过来思考呢？ （2）若AC•BC＝2mn，求证∠C＝90°． （3）若∠C＝60°，AD＝6，BD＝7，直接写出△ABC的面积． 【解答】（1）证明：设CE＝x． 根据切线长定理，得AE＝AD＝m，BF＝BD＝n，CF＝CE＝x． ∴AB＝AD+BD＝m+n，AC＝AE+EC＝m+x，BC＝BF+CF＝n+x， ∵∠C＝90°， ∴在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2， 即（m+x）2+（n+x）2＝（m+n）2． 整理，得x2+（m+n）x＝mn． ∴ ＝mn； （2）证明：由AC•BC＝2mn，得：（x+m）（x+n）＝2mn， 整理，得：x2+（m+n）x＝mn， ∴AC2+BC2＝（x+m）2+（x+n）2 ＝2[x2+（m+n）x]+m2+n2 ＝2mn+m2+n2 ＝（m+n）2 ＝AB2， 根据勾股定理逆定理可得∠C＝90°； （3）解：如图，过点A作AG⊥BC于点G， 设线段CE的长为x， ∵△ABC的内切圆与AB相切于点D，与AC，BC相切于点E，F， ∴AE＝AD＝6，BF＝BD＝7，CF＝CE＝x， ∴AC＝x+6，BC＝x+7，AB＝6+7＝13， 在Rt△ACG中，∠C＝60°， ∴CG＝AC•cos60°（x+6）， AG＝AC•sin60°（x+6）， ∴， ∵AG⊥BC， ∴AG2+BG2＝AB2， ∴， ∴x2+13x＝126， ∴△ABC的面积 ． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/19 10:52:05；用户：18247042488；邮箱：89572204@qq.com；学号：20331983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $