期中复习压轴专题01 选择填空分类训练（10种类型60道）高一数学人教A版必修一

期中复习压轴专题01 选择、填空分类训练 （人教版A版必修一 高一年级，立足高考变式拓展） 范围：第一章—第三章 知识点一 集合元素或子集讨论 1．已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】B 【分析】根据题意分析可知集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26，进而分析的最大值. 【详解】因为，由选项可知的最大值大于3， 若对任意的，，，存在，使得， 则集合的元素除以39的余数均为0或均为13或均为26， 即或或， 若，则， 解得，此时的最大值为51； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 若，则， 解得，此时的最大值为52； 综上所述：的最大值为52 2（多选）．给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 【答案】AD 【分析】首先根据集合的定义确定其元素范围，结合、的约束条件，推导的元素个数最值、的最大元素范围，逐一判断选项. 【详解】∵ 集合 ，且 ， 可得 ，中最大元素为. 对于选项A， 题设明确，根据子集定义，可得 ，故A正确. 设中最小元素为，最大元素为，. ∵ ，即. ∵ ，故的最小元素为. ∵ ，故的最大元素为. 要满足，需保证的最大元素小于的最小元素， 即 ①. 对于选项C：若，则，， 满足，且，故C错误. 对于选项B、D：要使最大，可取为连续自然数集合，此时. 代入①得 . 又 ，当时，， 因为，所以， 代入得，且， 满足①式，此时符合所有条件，故可能为，故D正确. 当时，，因为，所以， 代入得，超出的元素范围，不可能成立，故B错误. 【点睛】方法归纳：解决集合新定义问题，需先准确理解新集合的含义，将陌生条件转化为熟悉的集合运算、不等关系，涉及最值问题时优先考虑元素连续的集合构造. 3．已知，，，，若且，则____________． 【答案】或 【分析】已知四个递增数两两之和构成集合,根据大小关系可确定最小两数和为6、最小与第三数和为10、最大两数和为24、第二与最大数和为20,再分第二与第三数和为12或18两种情况,分别联立前三个和的方程,通过整体代入求出的两个可能取值. 【详解】由题意知. 满足,因为. 则必有. 若,联立，两式相加得， 代入得，解得. 若,联立，两式相加得， 代入得,解得. 4．设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 【答案】 6 8 【分析】第一空直接按定义分类讨论即可；第二空需分析出邻点需满足的约束条件，结合不等关系的要求得到邻点列可能的排列，最后构造出符合条件的邻点列. 【详解】（1）设与互为邻点的点为，则且， 若，则，解得，（舍去）或，点为； 若，则，解得或，或，点为； 若，则，解得（舍去）或，，点为， 综上，满足条件的点共有个； （2）根据，以及点集坐标范围可得，记， 则该邻点列各点的依次递减或不变，接下来分析邻点坐标应满足的约束条件， 因为一个整数和它的绝对值的奇偶性相同，所以和 一样也是偶数，即为偶数，所以和的奇偶性相同， 即邻点列中的点保持横纵坐标之和的奇偶性不变，已知，其横纵坐标之和为奇数， 点集中满足为奇数的点共有个，依次为， 对应的值依次为（依次递减），满足要求的邻点列只能从这个点中选择 且按值递减的顺序排列，假设个点均可以存在，即有邻点列 ，可验证相邻点确实均为邻点，所以的最大值为. 5．【2020浙江高考】设集合，，，中至少有两个元素，且满足： ①对于任意，若，都有 ②对于任意，若，则； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则有7个元素 B．若S有4个元素，则有6个元素 C．若S有3个元素，则有5个元素 D．若S有3个元素，则有4个元素 【答案】A 【分析】分别给出具体的集合S和集合T，利用排除法排除错误选项，然后证明剩余选项的正确性即可. 【详解】首先利用排除法：若取，则， 此时，包含4个元素，排除选项 C； 若取，则，此时，包含5个元素，排除选项D； 若取，则， 此时，包含7个元素，排除选项B； 下面来说明选项A的正确性： 设集合，且，， 则，且，则， 同理，，，，， 若，则，则，故即， 又，故，所以， 故，此时，故，矛盾，舍. 若，则，故即， 又，故，所以， 故，此时. 若， 则，故，故， 即，故， 此时即中有7个元素，故A正确. 故选：A. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 6．【2007陕西高考.理】设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：AiAj=Ak,其中k为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3.满足关系式（xx）A2=A0的x(x∈S)的个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【详解】当x=A0时，（x⊕x）⊕A2=（A0⊕A0）⊕A2=A0⊕A2=A2≠A0; 当x=A1时，（x⊕x）⊕A2=（A1⊕A1）⊕A2=A2⊕A2=A4=A0; 当x=A2时，（x⊕x）⊕A2=（A2⊕A2）⊕A2=A0⊕A2=A2; 当x=A3时，（x⊕x）⊕A2=（A3⊕A3）⊕A2=A2⊕A2=A0; 则满足关系式（x⊕x）⊕A2=A0的x（x∈S）的个数为：2个． 故选:C． 知识点二 不等式解集与相应方程之间的关系 7.已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则 A．－1<a<0 B．0<a<1 C．1<a<3 D．3<a<6 【答案】C 【详解】由，整理可得（1－）－2bx+>0，由于该不等式的解集中的整数恰有3个，则有1－<0，此时>1，而0<b<1+a，故a>1， 由不等式 <0解得 即要使该不等式的解集中的整数恰有3个，那么－3<<－2，由<－2得－b<－2（a－1），则有a<+1，即a<+1<+1，解得a<3，由－3<得3a－3>b>0，解得a>1，则1<a<3． 8（多选）.已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于的不等式的解集也为 B．若，则的最小值是3 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】BC 【分析】根据同号异号可判断A；根据解集可判断出的正负，根据韦达定理可得到它们之间的关系，代入后根据基本不等式可判断B，代入后解不等式可判断C；根据值域为，可得，从而可得的表达式，代入后换元，根据基本不等式可得最值，从而判断D. 【详解】对于A，当同号时，设， 则即，亦即，此时解集相同； 当异号时，， 则即，亦即， 显然一元二次不等式与的解集不同，故A错误； 对于B，若，即的解集为， 则，且是方程的两个根，所以， 所以， 所以， 又，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是，故B正确. 对于C，若，即的解集为， 则，且是方程的两个根， 所以，所以， 则关于的不等式，即， 两边同时除以负数得，即， 其解集为或，故C正确. 因为一元二次函数的值域为，且， 所以，所以， 所以，由知， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，故D错误. 9.已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先将原不等式变形，根据一次因式在零点两侧符号改变，得到二次式必须在该零点处等于，建立关系式，代入后用基本不等式求最小值． 【详解】由，得是增函数， 且当时，，当时，， 由在时恒成立， 得当时，恒成立，当时，恒成立， 所以当时，，化简得， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为． 10.已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为_________． 【答案】 【分析】由二次根式的非负性求的取值范围，然后两边同时平方解不等式，讨论的不同取值得到不等式的解集，根据题意列方程，解得，即可求得结果. 【详解】∵，∴或 ∵，∴， ∵，∴， 即， 当时，恒成立， ∴不等式的解集是不符合题意，舍去. 当时，， ∴不等式的解集是， 即，即， 则，或（舍去）， 则. 当时，不等式的解集是， 即，即， ∴，即，则（舍去）或（舍去） 当时，， 当，，即时， 不等式的解集是，不符合题意，舍去. 当，，即时， ∵， 当且仅当，即时取等号， ∴当时，， 不等式的解集是或，不符合题意，舍去. 综上所述，. 故答案为：. 11．若关于的不等式：的解集为全体实数，则_____. 【答案】4 【分析】根据已知得，问题化为的解集为全体实数，再结合二次函数的性质列不等式求参数范围. 【详解】已知可得，即，且时等号成立， 故时，不等式为成立，即，得， 由的解集为全体实数， 等价于的解集为全体实数， 即的解集为全体实数， 整理得的解集为全体实数， 则，故. 故答案为：4 12．【2012北京理】已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________. 【答案】 【详解】根据可解得x<1,由于题目中第一个条件的限制，导致f(x)在是必须是，当m=0时，不能做到f(x)在时，所以舍掉，因此，f(x)作为二次函数开口只能向下，故m<0,且此时2个根为，为保证条件成立，只需，和大前提m<0取交集结果为； 又由于条件2的限制，， 可分析得出在， 因此-4应该在两个根之间，当时，，解得交集为空，舍． 当m=-1时，两个根同为，舍． 当时，，解得，所以 综上所述，． 【考点定位】本题考查学生函数的综合能力，涉及到二次函数的图像开口，根大小，涉及到指数函数的单调性，还涉及到简易逻辑中的“或”，还考查了分类讨论思想． 知识点三 利用基本不等式求最值 13.已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】将用表示出，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】依题意，，而， 则 ， 当且仅当，时取等号， 由，解得， 所以当时，的最小值为. 故选：C 14（多选）． 已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由已知条件，结合基本不等式计算即可判断AB；根据，结合基本不等式计算即可判断C；根据，基本不等式计算即可判断D. 【详解】A：由，得， 即，得， 解得，当且仅当时等号成立，故A错误； B：由选项A的分析知，故B正确； C：由，得，即， 所以， 得，当且仅当时等号成立，故C正确； D：由，得，即， 所以，得， 当且仅当时等号成立，故D错误. 故选：BC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 15.已知正数a，b，c满足，，则的最小值为___________. 【答案】2 【分析】使用不等式将放缩，使用“1”的代换及基本不等式求得目标最小值. 【详解】由题意知，当且仅当时取等号， 故 ，当且仅当时取等号， 综上，当时，的最小值为2. 故答案为：2 点睛】关键点点睛：本题求最小值关键是第一步用放缩法将放掉，第二步是将中的2代换为，将整式处理为，再用“1”的代换求最小值. 16． 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分离变量将问题转化为对于任意实数恒成立，进而求出的最大值，设及，然后通过基本不等式求得答案. 【详解】由题意可得，对于任意实数恒成立，则只需求的最大值即可，，设，则，再设，则，当且仅当时取得“=”. 所以，即实数a的最小值为. 故选：D. 17（多选）．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 18． 记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为__________. 【答案】4 【分析】由不等式性质可得，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】由题意，， 则， 当且仅当时，全部取得等号，所以，故的最小值为4. 故答案为：4. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据新定义结合不等式性质求得. 知识点四 函数概念及抽象函数的表示 19．存在函数满足：对任意，都有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义，对于任一自变量有唯一的与之对应，对取特殊值，通过举反例排除即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，不合乎要求； 对于B选项，当时，则有，当时，则有，与函数的定义矛盾； 对于C选项，， 令，则，其中，合乎题意； 对于D选项，当时，则，当时，则，与函数的定义矛盾. 故选：C. 20．已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 【答案】D 【分析】先令和代入已知等式可得，进而得到①；再结合已知等式得到②，解方程组①②得到解析式可得. 【详解】令，则， 令，则，则，所以①． 所以，则， 又因为，所以，，所以②． ①－②，得，所以．所以． 故选：D． 21（多选）.已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（    ） A．是“封闭”函数 B．定义在上的函数都是“封闭”函数 C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数 D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数 【答案】BC 【分析】A特殊值判断即可；B根据定义及函数的性质即可判断；C根据定义得到都有，再判断所给定区间里是否有成立即可判断，D选项可判断出其逆否命题的正误，得到D选项的正误. 【详解】对A：当时，，而，A错误； 对B：对于集合，使，即，必有， 所以定义在上的函数都是“封闭”函数，B正确； 对C：对于集合，使，则， 而是“封闭”函数，则，即都有， 对于集合，使，则，， 而，，...，， 所以， 即，故，一定是“封闭”函数，C正确； 对D，因为是“封闭”函数， 所以，当时都有， 由，， 得， 则； 同理，由，， 得， 则. 综上所述，，且， 则，所以一定是“封闭”函数，D错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：对于C，根据给定的条件得到都有，有恒成立，利用递推关系及新定义判断正误. 22（多选）．已知函数的定义域为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】取特殊值0和1，建立等式，得出或的相应结论，再前面结论取特殊值得到BC选项的结论，借助前面的结论，先求出的值，令化简得到即可得出结论. 【详解】令，，则 令，则 则，， ∴或 令，则 若，则，矛盾， ∴，则，∴A选项错误； 令，则，∴B选项正确； 令，则，则，即，C选项正确； 由A、C选项中结论，令，则，则 令，则， 即，D选项错误. 故选：BC. 【点睛】方法点睛：本题是已知抽象函数的关系式求相应结论，这类题目可以从特殊值入手，建立一定的等式，解得特殊值所对的函数值，在令部分变量为特殊值，从而得出相应结论. 23．函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为_____________或_____________． 【答案】 【分析】令可得出，令，可求出的值，代入等式可求得函数的解析式. 【详解】令可得， 再令，可得， 解得或， 若，可得，可得， 若，可得，可得. 经检验，、均满足题意. 故答案为：；. 24．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数________． 【答案】 【分析】运用赋值法可求解. 【详解】由①， 在①中，令可得②， 在②中，令，则③， 由②可得，④， 由①可得，⑤， 由②可得，⑥， 则由③④⑤⑥可得，，即， 因，则. 故答案为： 知识点五 函数单调性奇偶性综合应用 25．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件构造函数，依次判断函数的单调性和奇偶性，将待解不等式转化为，再利用，将其化成，即可利用单调性和奇偶性解决. 【详解】由可得，即， 设，则有，因，则在上单调递增， 又是定义在上的偶函数，，故为上的偶函数. 由可得， 而，即， 由函数的单调性和奇偶性，可得，解得. 故选：A. 26．设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，可得是R上的增函数，利用函数的奇偶性和单调性得到，令，利用基本不等式求出的最小值，得解. 【详解】因为，， 所以在上单调递增，且恒成立，又是定义在R上的奇函数， 所以是R上的增函数， 不等式，对任意的恒成立， 即， ，又， ，令， ， ， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用函数的奇偶性和单调性得到，利用基本不等式求出最值. 27（多选）．已知是定义在上的函数，若，则（   ） A．当函数均为奇函数时，为奇函数 B．当函数均为增函数时，为增函数 C．当函数均有最小值时，有最小值 D．当函数均有最大值时，有最大值 【答案】BC 【分析】取，，计算可判断A；根据函数单调性定义可判断B；根据函数最小值定义可判断C，取，取，计算可判断D. 【详解】对于A，设，，则， 即.此时为偶函数，故A错误. 对于B，若，都有，则，为增函数； 若，都有，则，为增函数； 若，假设时，时， 则在上的最大值，在上的最小值， 且必有，此时为增函数.故B正确. 对于C，由，可设. 若最小值为，最小值为，记， ，有，， 则，且使得， 即有最小值，故C正确. 对于D，取，取， 则，此时为上的增函数，无最大值，故D错误. 28（多选）.已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 【答案】ABD 【分析】对抽象函数采用赋值法，令、，结合题意可得，对A：令、，代入计算即可得；对B、C、D：令，可得，即可得函数及函数函数的性质，代入，即可得. 【详解】令、，则有， 又，故，即， 令、，则有， 即，由，可得， 又，故，故A正确； 令，则有， 即，故函数是奇函数， 有，即， 即函数是减函数， 令，有， 故B正确、C错误、D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：本题关键在于利用赋值法解决抽象函数问题，借助赋值法，得到，再重新赋值，得到，再得到. 29.已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为____． 【答案】 【分析】通过构造分析单调性，将原不等式转化为关于的不等式组求解. 【详解】构造函数（）. 对任意且，不妨设，由，得. 将，代入上式，化简得. 因，故，即在上单调递减. 由，得. 由于不等式有意义，所以， 不等式变形为（其中），即. 因单调递减，故. 解得或；解得. 取交集得或. 故答案为：. 30．设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则__________. 【答案】2021 【分析】利用赋值法求解，令，则，再令，结合题意中条件求得，可求得，进而可得结果. 【详解】令，则， 令，则，解得或. 而，则，故，因此. 则， 即. 因此或， 当时，，在上单调递减，不满足题意，舍去； 当时，满足题意. 则. 故答案为： 【点睛】方法点睛：求解抽象函数解析式问题的方法： （1）若根据已知可推知函数模型时，可利用待定系数法求解； （2）若无法推知函数模型，一般结合赋值法，通过解方程（组）法求解．其中，方程或者是已知的，或者是利用已知的抽象函数性质列出的，或者是利用已知方程变换出来的． 知识点六 函数的值域（最值）及最值应用 31．已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】首先化简函数，根据，，列不等式求实数的取值范围. 【详解】，则有，， 由，， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛： 本题关键点是化简函数解析式后，得到，，由函数定义域和值域，结合二次函数的性质，列不等式即可求解. 32．已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可知， 由可得， 即， 因为，则，故， 因为，则， 所以， ， 因为，函数、在上单调递减， 故函数在上单调递减，当时，， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 33（多选）．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是（    ） A．若为的跟随区间，则 B．函数不存在跟随区间 C．若函数存在跟随区间，则 D．二次函数存在“3倍跟随区间” 【答案】CD 【分析】根据“跟随区间”的定义对选项逐一分析，根据函数的单调性、值域等知识确定正确答案. 【详解】对于A选项，若为的跟随区间， 因为在区间为增函数，故其值域为， 根据题意有，解得或，因为故.故A错误． 对于B选项，由题，因为函数在区间与上均为增函数， 若存在跟随区间则有，即为的两根． 即的根.故.故B错误． 对于C选项，若函数存在跟随区间， 因为为减函数， 故由跟随区间的定义可知， 即， 因为，所以． 易得． 所以， 令代入化简可得， 同理也满足， 即在区间上有两不相等的实数根． 故，解得，故C正确． 对于D选项，若存在“3倍跟随区间”，则可设定义域为，值域为. 当时，易得在区间上单调递增， 此时易得为方程的两根， 求解得或.故定义域，则值域为．D正确． 故选：CD 【点睛】关于新定义函数类型问题的求解，主要的解题思路是理解新定义，并将新定义的知识转化为学过的知识来进行求解，如本题中新定义的“跟随区间”，根据它的定义，可转化为函数的定义域和值域问题来进行求解. 34.已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________ 【答案】 【详解】，分类讨论： ①当时，， 函数的最大值，舍去； ②当时，，此时命题成立； ③当时，， 则：或，解得：或 综上可得，实数的取值范围是． 35.记，分别表示函数在上的最大值和最小值．则______． 【答案】2 【分析】根据题意，由，设为变量，可通过分类讨论求出，再求出当时的最小值；或由在时的最大值只可能在或或处取得，结合图象可得原式的最小值． 【详解】由，设为变量， ， 令，当时，，当时，，当时，， 最大值只可能在或或处取得， 所以的最大值为， 所以， 当时，原式的最小值为2． 或者由在时的最大值只可能在或 或处取得，令，当时，，当时，， 当时，，结合图象可得原式的最小值为2． 故答案为：2. 36．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件分段求解析式及对应函数值集合，再利用数形结合即得. 【详解】因，又当时，， 当，，时，， 则， ， 当，，时，， 则， ， 作出函数的大致图象， 对任意，都有， 设的最大值为， 则，且 所以，解得 所以m的最大值为. 故选：A. 知识点七 数形结合 37．已知函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行分类讨论，结合直线、抛物线的知识求得的取值范围. 【详解】， ，过定点， 开口向上，对称轴， 当时，在递减，在递增，最小值为， 根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立. 当时，，， 所以存在，使成立， 当时，在上递增，在递增， 即在上递增，所以不存在符合题意的. 当时，在上递增，在上递减，在上递增， 根据直线和抛物线的知识可知：存在，使成立. 综上所述，的取值范围是. 故选：D 【点睛】对于含有参数的分段函数的分析，关键在于对参数进行分类讨论，本题中，涉及直线、抛物线，参数与直线的单调性、抛物线的对称轴（单调性）有关，由此可确定分类的标准，从而使分类做到“不重不漏” 38．已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先考虑，，求出，再考虑，此时，根据对称轴分三种情况，结合函数单调性和最值得到不等式，求出的取值范围. 【详解】若，即， 此时，满足要求； 若，则， 此时， 故恒成立， 其中，故； 若且，即， 此时 ，对称轴为， 若，此时在上单调递增， 故只需，即，解得，故； 若，此时在上单调递减， 在上单调递增， 故，令，解得， 与取交集得， 若，此时在上单调递减， 故只需，即，解得， 与取交集得； 综上，实数的取值范围为. 故选：B 39（多选）.已知函数，下列说法正确的有（   ） A．存在实数a，使得成立 B．若为奇函数，则 C．若在上单调递增，则 D．若方程有两个不等实根，则 【答案】BCD 【分析】根据方程的判别式可判断A选项；由奇偶性可判断B选项；利用分段函数的单调性可判断C选项；结合单调性和最值可判断D选项. 【详解】对于A：，即，其判别式， 所以该方程无解，即不存在实数a，使得成立，故A错误； 对于B：若为奇函数，则， 当时， ，则， ，其对都成立，解得； 当时同理可得； 当时，也符合题意，故，B正确； 对于C：函数在单调递增； 当时，，单调递增，又，即处连续， 所以在单调递增，符合题意； 当时，，即在单调递减，单调递增，又处连续 因此，函数在单调递增，所以， ，得，则； 当时，，又处连续， 因为，所以在单调递增， 因此，函数在单调递增，符合题意， 综上可知，若在上单调递增，则，故C正确. 对于D：由单调性可知，当时在单调递增， 则方程有一个实根； 当时， 在单调递减，在单调递增， 则，所以方程有两个不等实根； 综上可知，方程有两个不等实根，则. 故选：BCD 40（多选）.已知函数，若有个零点，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由指数函数和二次函数得到函数的单调区间，求出函数的极值并作出函数的大致图象，从而得到的取值范围.A选项，作关于对称的函数，观察图象可知的大小关系，从而得到，判断A选项；B选项，由对称性可知的值，根据的取值范围，求出的取值范围，从而求得，判断B选项；C选项，取特殊值，分别求出，从而判断C选项；D选项，由二次方程的韦达定理得到，由，表示出，代入即可求得，然后构造函数，利用函数的单调性求出范围，判断D选项. 【详解】当时，单调递减； 当时，对称轴，且开口向下. ∴函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ∴，， 函数大致图象如下： 令，即个零点，即 ∴， A选项，作关于对称的函数，如图： 由图可知，∴，A选项正确； B选项，由对称性可知，∵，∴， ∴，B选项正确； C选项，当时，， ，则，， 此时， ∵，∴，C选项错误； D选项，， ∵是方程的两根，∴， 又∵，即， ∴， 令，显然在上单调递增， ∴，D选项正确. 故选：ABD. 41.设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____. 【答案】. 【分析】分别考查函数和函数图像的性质，考查临界条件确定k的取值范围即可. 【详解】当时，即 又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.    当时，函数与的图象有个交点； 当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得. 综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为. 【点睛】本题考点为参数的取值范围，侧重函数方程的多个实根，难度较大.不能正确画出函数图象的交点而致误，根据函数的周期性平移图象，找出两个函数图象相切或相交的临界交点个数，从而确定参数的取值范围. 42.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 【答案】或或 【分析】结合函数的图像和值域，函数图象，再分类讨论解的个数，验证边界情况即可求解. 【详解】当时，由基本不等式， 当且仅当时，即时，等号成立， 且在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增，且其值域为， 综上可大概画出图像，且有1个解：；有2个解：； 有3个解：；有2个解：； 若恰有4个零点， 即与的解的总个数为4个， 因为值域为，所以可知， 情况一：有1个解，即，且有3个解，则， 即，解之可得， 情况二：有2个解，即或，且有2个解，则， 满足题意，综上可知或. 故答案为 ：或或. 知识点八 恒成立、有解问题 43.已知函数，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分类讨论，去掉绝对值，结合一元二次不等式的求解即可得解. 【详解】当，时，， 当时，，此时， 所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是对分类讨论，结合因式分解方法有针对性求解时的的解集，从而可求解. 44.设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由和当时可以逐次推出，，上的解析式，根据每个区间上的函数最小值的规律，应求时，函数值等于时的自变量的值，得到满足的的范围，即得t的取值范围. 【详解】当时，，；因，即x每增大4，对应的纵坐标都变原来的2倍. 当时，，故，则， ； 当时，，故，则， ； 当时，，故，则，. 如图，依题意令，解得或，由图知当时，恒成立，即须使，故得： ． 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查与递推倍减函数的恒成立问题. 对于递推倍减函数的恒成立问题，解题关键在于根据恒成立条件，分别求得在对应区间上的函数解析式，结合函数图象的理解，求得参变量的范围. 45（多选）.二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（    ） A． B． C．则实数的取值范围是 D．，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【分析】对于A：直接代入即可得结果；对于B：代入结合基本不等式分析判断；对于C：可得，结合判别式运算求解；对于D：可得，根据对勾函数性质分析求解即可. 【详解】因为. 对于选项A：因为， 所以，故A错误； 对于选项B：因为，， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，故B正确； 由题意可得：， 对于选项C：因为，可得， 即， 则，解得， 所以实数的取值范围是，故C正确； 对于选项D：因为，且，可得， 即， 因为在内单调递增，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点； （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件； （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 46（多选）.已知函数，恒成立，则的取值可以为（    ） A． B．2 C．5 D．8 【答案】BC 【分析】求出和，得到，将不等式恒成立问题转化为求解一元二次不等式即可. 【详解】的定义域为， 因为 ， 所以， 所以， 所以，即， 所以恒成立， 即恒成立，解得. 故选：BC. 【点睛】关键点点睛： 本题的关键点是利用函数解析式，得到在定义域内恒成立. 47.已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 【答案】 【分析】先根据参数分类求出函数在上的最大值，再由在上单调递增，求出其最大值，结合题意，可得，分别求解不等式即得参数的范围. 【详解】对于，其对称轴为直线，因， 则当时，即时，； 当时，即时，. 对于在上单调递增，故. 因对任意的，总存在，使成立，即. 则当时，由解得，故得； 当时，由解得，故得. 综上可得实数a的取值范围为. 48．若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 【答案】 【分析】先设，根据不等式的形式，为了消可以取，得到，验证时，是否可以取到，进而判断该最小值是否可取即可得到答案. 【详解】设，原题转化为求的最小值， 原不等式可化为对任意的，， 不妨代入，得，得， 当时，原不等式可化为， 即， 观察可知，当时，对一定成立，当且仅当取等号， 此时，，说明时，均可取到，满足题意， 故的最小值为. 故答案为： 知识点九 函数的实际应用 49.某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 【答案】C 【分析】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为，得出函数的解析式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数的最大值，即可求解． 【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元）， 由题意可得， 即， 当时，函数的对称轴为，则； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值， 因为，所以生产辆时该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元， 综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元． 故选：C． 50．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】分类讨论重合部分的形状，然后利用面积公式将y关于x 的函数表示出来即可. 【详解】于D，， ,, 且 故当时，重合部分为三角形， 三角形的高， 面积，函数图像为开口向上的二次函数，故排除A选项； 当时，重合部分为直角梯形， 上底长为， 下底长为，高为4， 故， 函数图像为一条直线，故排除D选项； 当时，重合部分可以看作两个直角梯形， 左边直角梯形的上底长为， 高为 两个梯形下底长均为， 右边直角梯形上底长为， 高为， 故， 图像为开口下的二次函数，且对称轴为，故排除B选项； 故选：C 51（多选）.某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 52（多选）．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（    ） A．取得最大值时每月产量为台 B．边际利润函数的表达式为 C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 【答案】BCD 【分析】求出函数、的解析式，可判断B选项；利用二次函数的基本性质可判断A选项；求出利润函数与边际利润函数的最大值，可判断C选项；利用边际利润函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A选项，， 二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， 因为，所以，取得最大值时每月产量为台或台，A错； 对于B选项， ，B对； 对于C选项，， 因为函数为减函数，则，C对； 对于D选项，因为函数为减函数， 说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少，D对. 故选：BCD. 53.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 【答案】 【分析】先分别求出正方形，长方形，四个空角的面积，再由题意计算出总成本小于28000列不等式解出即可. 【详解】设正方形的边长为，则正方形的面积为， 四个相同的矩形即阴影部分的面积为， 四个空角的面积为， 设总造价为元，则， 即，即，解得， 故正方形周长的最大值为. 故答案为：. 54．定义区间(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的长度为d＝b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1，2)[3，5]的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=[x]•{x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集区间的长度，则当时x∈[-2009，2009]，d＝____． 【答案】2011 【分析】化简函数f(x)=[x]x-[x]2，对不等式f(x)≥g(x)分类讨论，求出解集而得. 【详解】f(x)=[x]•{x}=[x]•(x-[x])=[x]x-[x]2，g(x)=x-1， f(x)≥g(x)⇒[x]x-[x]2>x-1，即([x]-1)x≥[x]2-1， 当x∈[0，1)时，[x]=0，上式可化为x≤1，∴x∈[0，1)； 当x∈[1，2)时，[x]=1，上式可化为0≥0，∴x∈[1，2)； 当x∈[2，2009]时，[x]-1>0，上式可化为x≥[x]+1，而x<[x]+1，∴x∈∅； 当x∈[-2019，0)时，[x]<0，上式可化为x≤[x]+1恒成立，∴x∈[-2009，0）； ∴f(x)≥g(x)在-2009≤x≤2009时的解集为[-2009，2)，故d＝2011. 故答案为：2011 【点睛】解决问题的关键是读懂取整函数[x]的意义及符号{x}=x-[x]的意义. 知识点十 新定义题 55.对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 【答案】D 【分析】可以举反例证明选项A、B、C的命题均为假命题，对D，根据“最低点”的定义分析得或，再分类讨论即可. 【详解】对于A项，取，，取，， 则，；而无最低点，故A错误； 对于B项，取，，取，， 则无最小值，；而有最低点，故B错误； 对于C项，取，，取，， 则无最小值，； 因为的函数值可趋向于负无穷大，所以无最低点，则亦无最低点，故C错误； 对于D项，因为有最低点，不妨设为的最低点，且，且， 所以或， 若，则且对任意的，总有，即； 若，同理可知； 所以若有最低点，则或有最小值，故D正确. 故选：D. 56.设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据函数新定义及特殊函数判断①②③，由函数解析式得，即是周期为1的周期函数，利用周期性并讨论、且判断④. 【详解】①，对于，定义域为R， 存在，对于任意，都有， 但在上不单调递增，错误． ②，是＂严格增函数＂，存在，对任意，都有， 因为，所以，故， 即存在实数，使得对任意，都有， 所以是＂严格增函数＂，正确． ③，，定义域为，当时，对任意的，都有， 即，所以函数，＂严格增函数＂，正确． ④，对于函数，， 所以是周期为1的周期函数，， 若，则，不符合题意． 因为的周期为1，故不妨设， 设，则， 而，此时，矛盾； 所以函数不是＂严格增函数＂，正确． 故选：C 57（多选）.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则下列说法正确的是（   ） A．函数图象的对称中心是 B．类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 C．已知方程有实根，则 D．已知函数，设定义域为R的函数关于中心对称，若，且与的图象共有20个交点，记为，则的值为40 【答案】ACD 【分析】A选项，得到，故为奇函数，得到图象的对称中心是，A正确；B选项，类比上述推论，充要条件是函数为偶函数，B错误；C选项，设，，的解中不包含，参变分离可得，由于，故，从而得到的取值范围，C正确；D选项，变形换元得到为奇函数，故关于中心对称，故20个交点也关于中心对称，分组求和得到D正确. 【详解】A选项， ， 令，定义域为R， 且，所以为奇函数， 故图象的对称中心是，A正确； B选项，类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，B错误； C选项，设，， 其中，故的解中不包含， 参变分离可得，由于，故， 所以，C正确； D选项，，， 令，定义域为， 则，故为奇函数， 故关于中心对称， 函数关于中心对称，故与的图象的20个交点也关于中心对称， 设关于对称的两个交点分别为，， 则，故， 则，D正确. 故选：ACD 58（多选）.若函数满足：对任意，恒有，则称函数为“类余弦型”函数.已知函数为“类余弦型”，若，且对任意非零实数，.则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．函数为偶函数 D．若有理数，满足，则 【答案】ACD 【分析】对于A，根据条件，令，即可求解；对于B，令，结合选项A中结果，即可求解；对于C，令，得到，即可求解；对于D，令，证明出，即可说明对任意、且，有，然后设，，、是非负整数，、为正整数，利用偶函数和前面的结论，即可求解. 【详解】对于选项A，令，得到， 又因为对任意非零实数，，所以，故选项A正确， 对于选项B，令，得，由选项A知， 又，，得到，所以选项B错误， 对于选项C，令，得到，又，得到，所以C正确， 对于选项D，因为时，，则，所以， 令，即对任意的正整数有， 则， 所以，对于任意正整数，成立， 对任意的、且，则有成立， 、为有理数，所以可设，，其中、为非负整数，、为正整数，则，， 令，，，则、为正整数， ，，所以，，即， 由选项C知，函数为偶函数，，，，故选项D正确， 故选：ACD. 59.若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为_____________；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是_________________. 【答案】 且， 【分析】根据的单调性，结合2次方膨胀区间的定义即可列方程求解空1，根据二次函数的单调性，分类讨论，结合4次方膨胀区间的定义，由二次方程根的分布即可求解空2. 【详解】设函数的2次方膨胀区间为， 由于函数为上的单调递增函数， 所以且，由于，解得， 故的2次方膨胀区间为， 由于为开口向上的二次函数，且对称轴为， 设存在4次方膨胀区为， 若，则为上的单调递减函数， 所以且， 相减可得，这与矛盾，故不符合题意舍去， 若，则为上的单调递增函数， 所以且， 因此是方程的两个不相等非负实数根， 令，则有两个不相等非负实数根， 记， 所以，解得且， 故答案为：，且， 【点睛】思路点睛：主要是利用函数满足的两个条件①和②，利用条件①，根据函数的单调性即可求解函数的值域，根据条件②列出满足的方程，结合二次方程根的分布，即可找到求解途径. 60.黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：，定义在实数集上的函数满足，且函数的图象关于直线对称，，当时，，则___________. 【答案】/ 【分析】由推出为偶函数与周期的函数，据此求的值即可. 【详解】因为函数的图象关于直线对称，所以， 由得，所以， 所以为偶函数， 由得，代入得， 所以，所以， 所以，所以是以4为周期的函数， 由得，所以，即， 由得，所以，即，所以，所以， ， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题难点在于对条件的灵活应用，一是对进行赋值，赋值一定要合适，根据需要进行合理的赋值才能达到想要的结果；二是对与关系的转化，要找的性质进行赋值后消去得到只有的关系式从而得到的性质. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题01 选择、填空分类训练 （人教版A版必修一 高一年级，立足高考变式拓展） 范围：第一章—第三章 知识点一 集合元素或子集讨论 1．已知集合．设集合满足，且对任意的，存在，使得，则的最大值为（   ） A．51 B．52 C．53 D．54 2（多选）．给定非空数集，设集合，，为中元素的个数．设集合，．若，则；若，则．下列结论正确的是（    ） A． B．的值可能为 C．的最大元素不大于 D．的值可能为 3．已知，，，，若且，则____________． 4．设点集，若中的点满足，则称与互为邻点. 点集中与点互为邻点的点的个数为__________. 在中定义邻点列，其中与互为邻点，且，若，则的最大值为__________. 5．【2020浙江高考】设集合，，，中至少有两个元素，且满足： ①对于任意，若，都有 ②对于任意，若，则； 下列命题正确的是（    ） A．若S有4个元素，则有7个元素 B．若S有4个元素，则有6个元素 C．若S有3个元素，则有5个元素 D．若S有3个元素，则有4个元素 6．【2007陕西高考.理】设集合S={A0，A1，A2，A3}，在S上定义运算为：AiAj=Ak,其中k为i+j被4除的余数，i,j=0,1,2,3.满足关系式（xx）A2=A0的x(x∈S)的个数为 A．4 B．3 C．2 D．1 知识点二 不等式解集与相应方程之间的关系 7.已知0<b<1+a，若关于x的不等式（x－b）2>（ax）2的解集中的整数恰有3个，则 A．－1<a<0 B．0<a<1 C．1<a<3 D．3<a<6 8（多选）.已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的有（   ） A．若，则关于的不等式的解集也为 B．若，则的最小值是3 C．若，则关于的不等式的解集为或 D．若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 9.已知，，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 10.已知关于的不等式的解集是，其中，则的值为_________． 11．若关于的不等式：的解集为全体实数，则_____. 12．【2012北京理】已知，若同时满足条件：①或；②.则m的取值范围是________________. 知识点三 利用基本不等式求最值 13.已知，且，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 14（多选）． 已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 15.已知正数a，b，c满足，，则的最小值为___________. 16． 若对任意实数，不等式恒成立，则实数a的最小值为（    ） A． B． C． D． 17（多选）．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 18． 记表示数集中最大的数，设为正数，，，则的最小值为__________. 知识点四 函数概念及抽象函数的表示 19．存在函数满足：对任意，都有（    ） A． B． C． D． 20．已知定义在上的函数满足，，则等于（    ） A．33 B．32 C．31 D．30 21（多选）.已知定义在上的函数，对于给定集合，若，当时都有，则称是“封闭”函数.则下列命题正确的是（    ） A．是“封闭”函数 B．定义在上的函数都是“封闭”函数 C．若是“封闭”函数，则一定是“封闭”函数 D．若是“封闭”函数，则不一定是“封闭”函数 22（多选）．已知函数的定义域为，若，则（    ） A． B． C． D． 23．函数满足：对任意、，都有，则所有满足条件的函数的解析式为_____________或_____________． 24．设定义域为R的函数满足：，都有且（a为常数），则函数________． 知识点五 函数单调性奇偶性综合应用 25．已知是定义在上的偶函数，若任意且时，恒成立，且，则满足的实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 26．设函数是定义在R上的奇函数，当时，.若不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27（多选）．已知是定义在上的函数，若，则（   ） A．当函数均为奇函数时，为奇函数 B．当函数均为增函数时，为增函数 C．当函数均有最小值时，有最小值 D．当函数均有最大值时，有最大值 28（多选）.已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B． C．函数是偶函数 D．函数是减函数 29.已知函数定义在上，且对任意的，都有，则不等式的解集为____． 30．设是定义在上的单调增函数，且满足，若对于任意非零实数都有，则__________. 知识点六 函数的值域（最值）及最值应用 31．已知函数， ，若函数的值域为，则实数的取值范围是______． 32．已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 33（多选）．一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为的“倍跟随区间”；特别地，若函数的定义域为，值域也为，则称为的“跟随区间”．下列结论正确的是（    ） 34.已知，函数在区间上的最大值是5，则a的取值范围是__________ 35.记，分别表示函数在上的最大值和最小值．则______． 36．函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 知识点七 数形结合 37．已知函数，若存在，使成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 38．已知函数若对于任意的，都有，那么实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 39（多选）.已知函数，下列说法正确的有（   ） A．存在实数a，使得成立 B．若为奇函数，则 C．若在上单调递增，则 D．若方程有两个不等实根，则 40（多选）.已知函数，若有个零点，则下列结论正确的是（       ） A． B． C． D． 41.设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____. 42.已知函数，若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为________． 知识点八 恒成立、有解问题 43.已知函数，若当时，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 44.设函数的定义域为R，且，当时，，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 45（多选）.二元函数”是指含有两个自变量的函数，通常表示为.已知关于实数的二元函数，则（    ） A． B． C．则实数的取值范围是 D．，则实数的取值范围是 46（多选）.已知函数，恒成立，则的取值可以为（    ） A． B．2 C．5 D．8 47.已知函数，.若对任意的，总存在，使成立，则实数a的取值范围为______. 48．若，对，均有恒成立，则的最小值为_______ 知识点九 函数的实际应用 49.某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 50．如图，在中，于D，，矩形的顶点E与A点重合，，将矩形沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形与重合部分的面积为y，则y关于x 的函数图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   51（多选）.某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 52（多选）．边际函数是经济学中一个基本概念，在国防、医学、环保和经济管理等许多领域都有十分广泛的应用，函数的边际函数定义为．某公司每月最多生产75台报警系统装置，生产台的收入函数（单位：元），其成本函数（单位：元），利润是收入与成本之差，设利润函数为，则以下说法正确的是（    ） A．取得最大值时每月产量为台 B．边际利润函数的表达式为 C．利润函数与边际利润函数不具有相同的最大值 D．边际利润函数说明随着产量的增加，每台利润与前一台利润差额在减少 53.如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个周长均为28m的相同的矩形和构成的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）铺上鹅卵石，造价元；在四个空角（图中四个三角形）铺上草坪，造价为元.若要使总造价不高于元，则正方形周长的最大值为___________m. 54．定义区间(a，b)，[a，b]，(a，b]，[a，b]的长度为d＝b-a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如：(1，2)[3，5]的长度d=(2-1)+(5-3)=3，设f(x)=[x]•{x}，g(x)=x-1，其中[x]表示不超过x的最大整数，{x}=x-[x]，若用d表示不等式f(x)≥g(x)解集区间的长度，则当时x∈[-2009，2009]，d＝____． 知识点十 新定义题 55.对于函数，，设.对于点集，若存在，使得任取，总有，则称为“最低点”.对于函数和，以下说法中正确的是（    ） A．若和都有最小值，则有最低点； B．若有最低点，则和都有最小值； C．若或有最小值，则有最低点； D．若有最低点，则或有最小值. 56.设函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意，都有，则称为＂严格增函数＂，对于＂严格增函数＂，有以下四个结论： ①＂－严格增函数＂一定在上严格增； ②＂－严格增函数＂一定是＂－严格增函数＂（其中，且） ③函数是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） ④函数不是＂严格增函数＂（其中表示不大于的最大整数） 其中，正确的结论个数有（    ）． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 57（多选）.我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．则下列说法正确的是（   ） A．函数图象的对称中心是 B．类比上述推论，函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数 C．已知方程有实根，则 D．已知函数，设定义域为R的函数关于中心对称，若，且与的图象共有20个交点，记为，则的值为40 58（多选）.若函数满足：对任意，恒有，则称函数为“类余弦型”函数.已知函数为“类余弦型”，若，且对任意非零实数，.则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则 C．函数为偶函数 D．若有理数，满足，则 59.若闭区间满足：①函数在上单调；②函数在上的值域为，，则称区间为函数的次方膨胀区间. 函数的2次方膨胀区间为_____________；若函数存在4次方膨胀区间，则的取值范围是_________________. 60.黎曼函数是一个特殊的函数，由德因数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛的应用.黎曼函数定义在上，其解析式如下：，定义在实数集上的函数满足，且函数的图象关于直线对称，，当时，，则___________. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $