期中复习压轴专题02 解答题（九种类型54道）高一数学人教A版必修一

期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （人教版A版必修一 高一年级，立足高考变式拓展） 范围：第一章—第三章 知识点一 集合元素或子集讨论 1.【2025北京高考】．已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 2．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 3．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． (1)当时，判断是否为U的子集，说明理由； (2)当时，若A为U的子集，求证：； (3)当时，若A为U的子集，求集合A． 4．设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 5．已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 6．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 知识点二 不等式解集与相应方程、函数之间的关系、恒成立、有解综合 7．已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 8．设. (1)若对于，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围. (3)解关于的不等式. 9．已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 10．已知函数，． (1)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求m的取值范围； (3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 11．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 12．已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 知识点三 一元二次函数值域、最值综合问题 13．已知函数． (1)若，求在的值域； (2)若存在实数，使得在区间单调递减且在上值域为，求的取值范围； (3)若存在实数，使得在区间单调递增且在上值域为，求的取值范围． 14．已知一元二次函数．设方程的两个实数根，． (1)当，时，若的解集为，求的值； (2)若对于任意x，，，且为偶函数，求； (3)当时，，且当时，的最小值为，求的最大值． 15．已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 16.已知二次函数，且关于的不等式的解集是． (1)若关于的不等式在上有且仅有三个整数解，求实数的取值范围； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，且对任意，都有，求实数的最小值． 17.已知二次函数. (1)证明：是方程有两个异号实根的充要条件； (2)若的解集为，对于，总，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 18．已知函数，（）． (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若对任意，存在，使得，求的取值范围． 知识点四 函数奇偶性、单调性、最值的综合应用 19．已知函数是定义在上的奇函数，且， (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性，并证明． (3)设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 20．已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 21．已知定义在上的奇函数，且． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式 (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 22．若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． 23．已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并用定义法证明； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围． 24．设，已知函数. （1）若是奇函数，求的值； （2）当时，证明：； （3）设，若实数满足，证明：. 知识点五 抽象函数的综合应用 25．函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． (1)求并证明函数为奇函数； (2)证明：函数在上单调递增； (3)若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 26．已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 27．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 28.定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 29．定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立. (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)当时，解关于x的不等式. 30．设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 知识点六 绝对值的函数的综合应用 31．设为实数，已知函数. (1)若是上的单调函数，求的取值范围； (2)已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值. 32．俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为2，求的值； (3)函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 33．已知函数. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若，不等式对恒成立，求的最大值； (3)若，存在，，使得在上单调递增且在上的值域为，求的取值范围. 34.定义． (1)用解析式表示，并写出的定义域： (2)证明：； (3)设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 35.已知函数，． (1)若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； (2)若，时，求在上的值域； (3)若，时，设，记的最小值为，求的最小值． 36.已知函数，. (1)若，写出的单调区间（不必证明）； (2)若是偶函数，求a的值； (3)若，，求的最小值. 知识点七 基本不等式综合应用 37．已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 38．已知，，均为正实数． (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值； (3)求证：，并求的最小值． 39．问题：已知，，均为正实数，且，求证： 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，，均为正实数，且，求证：； (3)求的最大值，并求出使得取得最大值时的值. 40．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为__________． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3． 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求的取值范围； (2)已知，且，则的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少？ 41．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 42．某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式可以推广至阶.即:若实数均大于0，那么请利用上述事实解决下列问题: (1)若，求的最大值，并指明取最大值时的值； (2)将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少? (3)试证明，对任意的正整数，不等式成立. 知识点八 函数的实际应用题 43．“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 44．为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.某工业园区污水先排入净化池.然后加入净化剂进行净化处理．根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度（单位：毫克／立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系如下：当时，；当时，.若多次加入净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克／立方米）时，它才能起到有效净化污水的作用. (1)若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达几小时？ (2)若第一次投放2个单位的净化剂，6小时后再投放个单位的净化剂，设从第二次投放起，经小时后污水中净化剂浓度为（毫克／立方米），其中. （i）求的解析式： （ii）要使第二次投放后的4小时内能够持续有效净化，试求的最小值. 45．在2023年杭州亚运会最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．小明想通过数学建模的方式研究运动员的运动时长与其剩余体力的关系.通过查找资料，小明得知：一位60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，稳定阶段平均速度为30km/h，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，（表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为，请帮助小明补充完善数学建模的过程： (1)对于数学建模，我们需要给出合理假设. 假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为的匀速运动；疲劳阶段做的减速运动 假设二：_________________ (2)提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数； 提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ (3)总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议. 46．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于50千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）. 47．某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 48．在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. (1)求的函数解析式，并求报价的最小值； (2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 知识点九 新定义函数问题 49．给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点： (2)设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 50．三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； (3)是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 51．已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数” (1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围 (2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证： (3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由. 52．已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 53.已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”． (1)若函数是“类函数”，求实数的值； (2)若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值； (3)已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由． 54.对于定义域为R的函数以及非空数集S：若对任意，，当时，都有，则称是S关联的. (1)设，写出符合条件的三个开区间，使得是关联的； (2)设，若存在一个闭区间（）使得是关联的，求； (3)证明：是关联的等价于是关联的. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题02 解答题分类训练 （人教版A版必修一 高一年级，立足高考变式拓展） 范围：第一章—第三章 知识点一 集合元素或子集讨论 1.【2025北京高考】．已知集合，从M中选取n个不同的元素组成一个序列：，其中称为该序列的第i项，若该序列的相邻项满足：或，则称该序列为K列． (1)对于第1项为的K列，写出它的第2项． (2)设为K列，且中的项满足：当i为奇数时，：当i为偶数时，.判断，能否同时为中的项，并说明理由； (3)证明：由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【答案】(1)或 (2)不能，理由如下： 假设二者同时出现在中，由于K列取反序后仍是K列，故不妨设在之前. 显然，在K列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性总是相反的， 所以从到必定要向下一项走奇数次. 但又根据题目条件，这两个点的横坐标均在中，所以从到必定要向下一项走偶数次. 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在中. (3)证明： 法1：若中的所有元素构成K列，考虑K列中形如的项， 这样的项共有个，由题知其下一项为，共计16个， 而，因为只能6由2来，3只能由7来， 横、纵坐标不能同时相差4，这样下一项只能有12个点， 即对于16个，有12个与之相对应，矛盾． 综上，由M的全部元素组成的序列都不是K列． 法2：假设全体元素构成一个K列，则. 设， . 则和都包含个元素，且中元素的相邻项必定在中. 如果存在至少两对相邻的项属于，那么属于的项的数目一定多于属于的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如和， 否则将导致属于的项的个数比属于的项的个数多2，此时. 从而这个序列的前项中，第奇数项属于，第偶数项属于； 这个序列的后项中，第奇数项属于，第偶数项属于. 如果不存在相邻的属于的项，那么也可以看作上述表示在或的特殊情况. 这意味着必定存在， 使得. 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反， 故中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐标之和为偶数的点的数量一定分别是和（不一定对应）. 但容易验证，和都包含个横纵坐标之和为奇数的点和个横纵坐标之和为偶数的点， 所以，得. 从而有. 这就得到. 再设， . 则同理有. 这意味着. 从而得到，但显然它们是不同的集合，矛盾. 所以由M的全部元素组成的序列都不是K列． 【分析】（1）根据新定义即可得解； （2）假设与能同时在中，导出矛盾，从而得出与不能同时在中的结论； （3）假设全体元素构成一个K列，通过构造导出矛盾，从而得到要证明的结论. 【详解】（1）根据题目定义可知，或， 若第一项为，显然或不符合题意（不在集合中），所以下一项是或； （2）不能，理由略； （3）略. 2．已知集合，集合B满足． (1)判断，，，中的哪些元素属于B； (2)证明：若，，则； (3)证明：若，则． 【答案】(1)， (2)证明：先证明：若，，则； 设，，为整数， 所以， 由于，都是整数，所以， 当，时，，，所以，所以； (3)证明：因为， 所以， 因为，所以，都是有理数， 所以，都是整数， 所以为整数， 所以， 假如，则，则应为的倍数， 设为整数，若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 若，则不是的倍数； 所以，即. 【分析】（1）根据所给定义判断元素的倒数是否属于即可； （2）先证明若，，则，即可得到，从而得证； （3）依题意可得，从而求出，再说明即可. 【详解】（1）因为，所以； 因为，所以； 因为没有倒数，所以； 因为，所以； 综上可得，. （2）略 （3）略 3．设全集，集合A是U的真子集．设正整数，若集合A满足如下三个性质，则称A为U的子集： ①； ②，若，则； ③，若，则． (1)当时，判断是否为U的子集，说明理由； (2)当时，若A为U的子集，求证：； (3)当时，若A为U的子集，求集合A． 【答案】(1) 当时，，，， 取，则，但，不满足性质②， 所以不是U的子集. (2) 当时，A为U的子集， 则； 假设，设，即 取，则，但，不满足性质②， 所以，； 假设， 取，，且，则， 再取，，则， 再取，，且， 但与性质①矛盾， 所以. (3)集合. 【分析】（1）取，由不满足性质②可得不是U的子集； （2）通过反证法，分别假设，的情况，由不满足子集的性质，可证明出； （3）由（2）得，，，，再分别假设，，，四种情况，由不满足子集的性质，可得出，再根据性质②和性质③，依次凑出8~23每个数值是否满足条件即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）由（2）得，当时，若A为U的子集，，，， 所以当时，， 若A为U的子集，，，； 若，取，，则，， 再取，，则，与矛盾， 则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 若，取，，则，与矛盾，则，； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 取，，则； 取，，则，； 综上所述，集合. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 4．设集合是至少有两个元素的实数集，集合且，称集合为集合的积集． (1)当时，写出集合的积集； (2)若是由4个正实数构成的集合，求其积集中元素个数的最小值； (3)若是由4个有理数构成的集合，积集，求集合中的所有元素之和． 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）根据题意，得到； （2）不妨设，推出中的元素个数大于等于5，再举出实例，得到中元素个数最小值为5； （3）中的元素个数最多的情况是6个互不相同的数，同时中没有两个数互为相反数，的绝对值互不相等，不妨设，由此求出，. 【详解】（1），故， ， 故； （2）是由4个正实数构成的集合， 不妨设， 因为，故中的元素个数大于等于5， 当时，此时， 故中元素个数最小值为5； （3）由条件可知，对于一个4元集合， 中的元素个数最多的情况为，是6个互不相同的数， 同时中没有两个数互为相反数，因此中没有两个数互为相反数， 由此知，的绝对值互不相等，不妨设， 则中最小的与次小的两个数分别为与， 最大与次大的两个数分别为与， 从而必有， 于是， 所以， 当时，，解得， 又为有理数，不合要求，舍去， 当，解得，满足要求， 易得或， 经检验，均满足要求，故， 集合中的所有元素之和为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 5．已知集合中含有三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合具有性质，证明：集合是集合的“期待子集”； (3)证明：集合具有性质的充要条件是集合是集合的“期待子集”. 【答案】(1) 集合不具有性质，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③ （ii）从集合中任取三个元素有一个为，另外两个为奇数时，不妨设，， 则有，即，不满足条件②， 综上所述，可得集合不具有性质. (2)证明如下： 由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即，不合题意， 当时，由，得，即，或（舍）， 因为是偶数，所以集合， 令，解得， 显然， 所以集合是集合的“期待子集”得证. (3)证明如下： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，，，则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数， 所以， 因为， 所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 【分析】（1）分取到的三个元素都是奇数和有偶数2，两种情况比较三个条件，即可判断； （2）首先根据性质，确定集合，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”； （3）首先证明充分性，存在三个互不相同的，使得均属于 证明满足性质的三个条件；再证明必要性，首先设满足条件的，再证明均属于，即可证明. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用“性质”和“期待子集”的定义. 6．已知集合，若集合中存在三个元素，同时满足:①；②；③为偶数，则称集合具有性质.已知集合 ，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的 “期待子集”. (1)若集合，判断集合是否具有性质，并说明理由； (2)若集合 具有性质，证明: 集合是集合的“期待子集”； (3)已知集合是集合的非空子集，证明: “集合是集合的‘期待子集’” 是 “集合具有性质”的充要条件. 【答案】(1)不具有性质 (2)由是偶数，得实数是奇数， 当时，由，得，即， 因为不是偶数，所以不合题意. 当时，由，得，即，或， 因为是偶数，不是偶数，所以不合题意. 所以集合，令， 解得， 显然，所以集合是集合的“期待子集”； (3)先证充分性：当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的， 使得均属于，不妨设，令，，， 则，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则中存在，同时满足①；②；③为偶数， 令，，，则由条件①得， 由条件②得，由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”， 综上所述，对于的非空子集，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合 具有性质. 【分析】（1）根据给定的定义条件，进行判断； （2）由性质P确定集合B，再根据“期待子集”的定义，确定集合是集合的“期待子集”. （3）分别证明充分性和必要性. 【详解】（1）集合不具有性质，理由如下： 若取，为奇数，不满足条件③； 若取，或或， 均有，不满足条件②， 所以不具有性质； （2）略 （3）略 【点睛】方法点睛：与集合的新定义有关的问题的求解策略： （1）通过给出一个新的集合的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的； （2）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析，运算，验证，使得问题得以解决． 知识点二 不等式解集与相应方程、函数之间的关系、恒成立、有解综合 7．已知函数． (1)若不等式的解集为R，求m的取值范围； (2)解关于x的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或. (3). 【分析】（1）对二次项系数进行分类讨论，结合二次函数的判别式即可容易求得结果； （2），对，与分类讨论，可分别求得其解集 （3），通过分离常数与利用基本不等式结合已知即可求得m的取值范围． 【详解】（1）根据题意，当，即时，，不合题意； 当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 即，故时，或. 故 ． （2），即， 即， 当，即时，解集为； 当，即时，， ， 解集为或； 当，即时，， ， 解集为． 综上所述：当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或. （3），即， 恒成立， ， 设则， ， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 当时，， ． 【点睛】本题考查二次函数恒成立问题，以及含参二次函数不等式的求解，其中正确的分类讨论，是解决本题的关键，属综合困难题. 8．设. (1)若对于，恒成立，求实数的取值范围； (2)若对于，恒成立，求实数的取值范围. (3)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) (3) 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为. 【分析】（1）将转化为关于的一次函数，判断的单调性，得到，解不等式即可. （2）由题意将不等式整理，得，结合时，，将原不等式转化为，求出在上的最小值即可. （3）由题意将不等式整理得，然后分类讨论的情况：、、、、，从而可求解. 【详解】（1）设 则是关于的一次函数，且一次项系数为， 所以在上单调递增． 所以等价于，解得， 故实数的取值范围为. （2）要使在上恒成立， 即，， 因为当时，，则有在上恒成立， 当，令，即， 所以在上恒成立，则， 即，故实数的取值范围为. （3）由，化简得，即， 当时，，解得. 当时，对于不等式，解得， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 当时，对于不等式，解得或， 综上所述：当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为； 当时，关于的不等式解为. 【点睛】方法点睛： （1）分离参数法：结合题意，分离参数将问题转化为函数在给定区间上的最值问题，再利用函数的性质求得最值，从而得到参数的取值范围； （2）更换主次元法：结合问题，将问题的变量和参数进行转换，得到关于参数的式子，本题就是得到关于的一次函数，利用函数的单调性将问题转化为函数的最大值小于，即可得到关于的不等式解得范围． （3）利用分类讨论，并结合二次函数的性质及一元二次不等式求解，从而可求解. 9．已知函数. (1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; (2)已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】(1)当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. (2)①，②36 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【详解】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. （2）因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式. 10．已知函数，． (1)若对任意，不等式恒成立，求m的取值范围； (2)若对任意，存在，使得，求m的取值范围； (3)若，对任意，总存在，使得不等式成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将不等式恒成立转化为恒成立，再根据即可求m的取值范围； （2）将题中条件转化为的值域包含于的值域，再根据区间的两端点的函数值可得到的对称轴在区间之间，从而可得到，进而可求得m的取值范围； （3）将不等式成立化简得到不等式成立，再构造函数，从而得到，再构造函数，根据即可求解． 【详解】（1）由题意得恒成立， 得恒成立，即 解得． （2）当，当， 由题意得 ∴得， 此时对称轴为， 故，即得或， 综上可得． （3）由题意得对任意，总存在，使得不等式成立， 令，由题意得， 而， 设，则， 而， 易得，故． 【点睛】关键点点睛：小问（2）的关键是将题中条件转化为的值域包含于的值域，再根据闭区间的端点和函数的对称轴来求解参数的取值范围；小问（3）的关键是构造函数，即将不等式成立问题转化为求解函数的最值问题． 11．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，然后解不等式即可； （2）将恒成立转化为，恒成立，然后利用基本不等式求最值即可； （3）分，，三种情况讨论即可. 【详解】（1）由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ∴，则，所以． 所以的解集为． （2）恒成立，此时 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则． 故的取值范围为． （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，或． 故的范围为． 【点睛】方法点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论： （1）恒成立； （2）恒成立. 12．已知函数 (1)解关于x的不等式； (2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围 (3)已知，当时，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)当时，解集为，当时，解集为； (2)； (3). 【分析】（1）由不等式转化为，分，，讨论求解；（2）将对任意的，恒成立，转化为对任意的，恒成立，当，恒成立，当时，恒成立，利用基本不等式求解； （3）分析可知函数在区间上的值域是函数在区间上的值域的子集，分、、三种情况讨论，求出两个函数的值域，可得出关于实数的不等式组，综合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为函数， 所以，即为，所以，         当时，解得，当时，解得，当时，解得，              综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为 （2）因为对任意的恒成立，所以对任意的，恒成立， 当时，恒成立， 所以对任意的时，恒成立，             令，当且仅当，即时取等号， 所以，所以实数a的取值范围是 （3）当时，，因为，所以函数的值域是， 因为对任意的，总存在，使成立， 所以的值域是的值域的子集，              当时，，则，解得 当时，，则，解得， 当时，，不成立； 综上，实数m的取值范围. 知识点三 一元二次函数值域、最值综合问题 13．已知函数． (1)若，求在的值域； (2)若存在实数，使得在区间单调递减且在上值域为，求的取值范围； (3)若存在实数，使得在区间单调递增且在上值域为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据求出解析式，然后利用二次函数单调性求解值域即可. （2）根据二次函数的单调性得，变形整理得，根据b的范围求解即可. （3）根据二次函数的单调性得，从而可以看作方程的两个根，由韦达定理，，进而，令 利用对勾函数单调性求解范围即可. 【详解】（1）由，可得，则， 因的对称轴为， 在单调递减，而， 故在的值域为. （2）因在区间单调递减，则， 因在上值域为，则， 即， 两式相减得：，因，故， 因，可得， 将代入，可得， 的取值范围为. （3）因为在区间单调递增，所以， 因为在上值域为，所以， 所以，即， 故可把看作方程的两个根， 因为，所以，且， 解得，由韦达定理，， 所以， 令因，则，且， 故， 令，由对勾函数的性质可得，在单调递减，故， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题第（3）问将问题转化为看作方程的两个根，然后利用韦达定理消元代换，再结合换元法，结合对勾函数单调性求解范围即可. 14．已知一元二次函数．设方程的两个实数根，． (1)当，时，若的解集为，求的值； (2)若对于任意x，，，且为偶函数，求； (3)当时，，且当时，的最小值为，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先根据已知条件确定函数表达式，然后根据不等式的解集得到方程的两个根，进而根据韦达定理求解参数值； （2）首先将已知条件代入函数表达式中，根据系数对应相等求解系数与的值，然后根据为偶函数，得，代入求解系数的值，进而求解函数解析式； （3）首先根据已知条件即韦达定理得到系数关系：，然后根据二次函数的表达式，结合二次函数的性质确定的最小值，求解出，最后再根据对勾函数求解的最大值即可. 【详解】（1）已知，，则，所以. 因为的解集为，所以，且，是方程的两个根. 根据韦达定理可得：，解得：；，解得：. 由此可得：. （2）已知， 将，，代入可得： ， 整理得： ， 即：，得：，解得：，. 所以. 又为偶函数，所以， 将代入可得： ， 整理得： ， 即：，得：. 综上可得：. （3）因为为方程的两个实数根， 所以，，又，， 由， 得：，即. 因为，故此时二次函数的对称轴直线到直线与到直线的距离均为. 则二次函数的对称轴直线为. 由于，，故. 因此当时，的最小值为. 即 ， 令，根据对勾函数易知函数在上单调递增， 因此当时函数取得最小值，最小值为. 故当时取得最大值，最大值为 故的最大值为. 15．已知是二次函数，且满足． (1)求函数的解析式； (2)设函数，求在区间上的最小值的表达式． (3)在（2）的条件下，对任意的，存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）求出的对称轴为，然后进行分类讨论求解； （3）将问题转化为，求出，然后得到不等式，对进行分类讨论求解． 【详解】（1）设， 又 即， ， 解得， 即， （2）由题意得，， 则二次函数的对称轴为， 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 若时，，当时，的最小值为； 所以； （3）在（2）的条件下，对任意的，存在， 使得成立， 即， 作如下图形： 故是单调递减函数， ，当时，， 当时，， ， ， ， 因为 所以时取最大值， 所以不等式， 解得：或； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求解二次函数的解析式，分段函数的解析式及最值问题、不等式中恒成立问题，利用分类讨论的思想及转化思想求解是关键． 16.已知二次函数，且关于的不等式的解集是． (1)若关于的不等式在上有且仅有三个整数解，求实数的取值范围； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围； (3)设，且对任意，都有，求实数的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求得，并确定，将不等式在上有且仅有三个整数解，转换成恒有三个整数解，借助即可求解； （2）利用不等式的解集，推出方程的两个根，利用根与系数的关系可得a，b的值，从而可得的解析式，将不等式恒成立转化为在上恒成立，当时，不等式恒成立，则，当时，利用参变量分离法可得恒成立，求出和，即可求解k的取值范围； （3）利用基本不等式求出的最大值和最小值，即可求解m的最小值． 【详解】（1）不等式的解集是， 所以与之对应的二次方程的两个根为，4， 由根与系数关系得，，所以， 则不等式即为， 由于不等式在上有且仅有三个整数解， 所以， 不等式等价于在上有且仅有三个整数解， 即 画出函数的图象，    由的解集为，恰有3个整数解 和的解集为，恰有1个整数解1； 所以， 即. （2）由（1）若不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 当时，不等式恒成立，则； 当时，不等式可化为恒成立， 即， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以， 因为在上单调递增，所以， 所以，即实数k的取值范围是． （3）因为，， 当时，，当且仅当，即时等号成立；此时, 当时，，当且仅当，即时等号成立，此时, 综上可知，， 对任意，，都有， 则， 所以实数m的最小值为． 17.已知二次函数. (1)证明：是方程有两个异号实根的充要条件； (2)若的解集为，对于，总，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意，不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1) 必要性：由于是常数且有一正实根和一负实根， 设两根为，则且， 充分性：由推出，从而有两个不相等的实数根， 设为，则，由知：，即两根异号， 所以（a，b，c是常数且）有一正一负两实根， 综上，是方程有两个异号实根的充要条件； (2)； (3). 【分析】（1）从充分、必要性两方面证明，结合一元二次方程根的分布及韦达定理、判别式判断推出关系，即可证； （2）令，问题化为，上，分类讨论并结合二次函数的性质列不等式求参数范围； （3）根据已知有恒成立，进而有，则，应用换元法并应用基本不等式求最值. 【详解】（1）略 （2）由的解集为，则，得，故， 令，，且，， 要使，总，使得成立， 所以，只需，而的对称轴为， ①当，即时，只需，即， ②当，即时，只需，即，不符合条件， ③当，即时，只需，即，不符合条件， 综上，； （3）若对任意，不等式恒成立， 整理得恒成立，显然， 所以，则， 所以， 令，因为，所以， 若时，此时， 若时，， 当且仅当时，即时，上式取得等号， 综上：的最大值为. 18．已知函数，（）． (1)当时，求不等式的解集； (2)若对任意，不等式恒成立，求的取值范围； (3)若对任意，存在，使得，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）将代入不等式，解该一元二次不等式即可； （2）转化为一元二次不等式恒成立问题，利用即可解得参数的范围； （3）对任意，存在，使得，转化为的值域包含于的值域.同时对值域的求解，需要根据二次函数对称轴与闭区间的相对位置进行讨论，最终解不等式组求解. 【详解】（1）当时，由得， 即，解得或． 所以不等式的解集为或． （2）由得， 即不等式的解集是． 所以，解得． 所以的取值范围是． （3）当时，． 又． ①当，即时， 对任意，． 所以，此时不等式组无解， ②当，即时， 对任意，． 所以解得， ③当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解， ④当，即时， 对任意，． 所以此时不等式组无解． 综上，实数的取值范围是． 【点睛】关键点点睛，本题中“对任意，存在，使得”这一条件转化为函数值域的包含关系是解决问题的关键，而其中二次函数在闭区间上的值域问题，又需要针对对称轴与区间的相对位置进行讨论. 知识点四 函数奇偶性、单调性、最值的综合应用 19．已知函数是定义在上的奇函数，且， (1)求a，b的值； (2)判断在上的单调性，并证明． (3)设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)； (2) 在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，所以， 故在上单调递增. (3) 【分析】（1）由定义在上的奇函数满足，结合列方程即，可求出实数的值； （2）用定义法证明即可； （3）将问题转化为，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故. （2）略 （3）由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 即存在使得成立， 令， ①当，即时，的根为符合题意； ②当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③当且时，； ④当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 即，解得， ⑤当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 20．已知函数是定义域上的奇函数，且. (1)判断并证明函数在定义域上的单调性； (2)令函数，若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1) 由函数为奇函数，且，可得， 则，解得，可得，定义域， 且，所以是奇函数，满足题意. 函数在、上单调递减，在、上单调递增， 证明如下：任取，且， 则， 因为，且，所以， 所以，所以，即， 所以函数在上单调递减； 任取， 则， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数在上单调递增； 由对称性，在上单调递增，在上单调递减. (2). 【分析】（1）由题设、列方程求参数值，并验证是否满足题设，再应用函数单调性定义及奇函数的对称性判断证明函数的单调性； （2）令，结合对勾函数、二次函数的性质求在上的最值，再将问题化为求参数范围. 【详解】（1）略 （2）由题意，函数，令，可得， 由（1）知函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 因为函数的对称轴方程为， 所以函数在上单调递增， 当时，取得最小值，； 当时，取得最大值，. 所以， 对任意的都有恒成立， 所以，即，解得， 又因为，所以，所以实数的取值范围是. 21．已知定义在上的奇函数，且． (1)求的值，判断在上的单调性，并用定义证明； (2)解关于实数的不等式 (3)若对，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，，在上单调递增，证明如下： ，任取，且， 故， 因为，且，所以，， 又，，所以， 故，所以在上单调递增； (2) (3)或或. 【分析】（1）根据奇偶性得到方程，求出，由得到，并用定义法得到在上单调递增； （2）由函数奇偶性和单调性，结合定义域得到不等式组，求出不等式的解集； （3）令，只需，求出，分类讨论得到，从而得到不等式，求出答案. 【详解】（1），，在上单调递增，证明略； （2）为定义在上的奇函数， ， 又在上单调递增，故，解得， 故不等式的解集为； （3）令， 对，恒成立， 故只需， 其中在上单调递增，故， 若，则，满足； 若，在上单调递减， 故，故，解得或（舍去）； 若，在上单调递增， 故，故，解得或（舍去）； 综上，的取值范围是或或. 22．若函数的定义域为，都有，则称函数为中心对称函数，其中为函数的对称中心． (1)已知定义R上的函数的图象关于点中心对称，且当时，，求，的值； (2)探究函数是否为中心对称函数．若是，请求出对称中心并用定义证明；若否，请说明理由． (3)运用第（2）问的结论，求的值，其中． 【答案】(1)，. (2)是中心对称函数，且对称中心为 (3) 【分析】（1）根据对称性，利用赋值法即可求出，的值； （2）由定义列，化简后令系数为0，求解m、n,，根据是否有解做出结论； （3）利用函数对称性的性质化简后利用基本不等式求解. 【详解】（1）由在R上的函数的图象关于点中心对称，得， 则，，， 当时，，， ， ，. （2）若为中心对称图形，则在定义域内有恒成立. ， 根据中心对称定义有， 整理得：， 为了使等式对所有 成立，系数必须分别等于零： ，解得： 是中心对称图形，且对称中心是. （3）由（2）知，；， 经检验，时，一致；时，一致， 所以. 23．已知函数. (1)若，判断在上的单调性，并用定义法证明； (2)若存在，使得成立，求实数的取值范围； (3)若对任意的，任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在单调递增，证明如下： 当时，， 任取、，且， 则，，，， 所以，，所以，函数在单调递增. (2) (3) 【分析】（1）当时，写出函数的解析式，利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）由参变量分离法可得，求出函数在上的最大值，即可求得实数的取值范围； （3）由已知可得出，令，可得出，再令，根据，可求得实数的取值范围. 【详解】（1）函数在单调递增，证明略； （2）由题，因为，则， 所以，，即， 由（1）知，函数在单调递增， 所以，当时，函数取最大值，即， 所以，，则， 因此，实数的取值范围是. （3）对任意的，任意的，恒成立， 即， 令， 因为时，， 则， 所以，对任意的恒成立， 令，则，解得， 所以，实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法： （1）取值：设、是所给区间上的任意两个值，且； （2）作差变形：即作差，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形； （3）定号：确定差的符号； （4）下结论：判断，根据定义得出结论. 即取值作差变形定号下结论. 24．设，已知函数. （1）若是奇函数，求的值； （2）当时，证明：； （3）设，若实数满足，证明：. 【答案】（1）； （2）因为，， . 所以，. （3）设，则， 当时，； 当时，； ，， 所以. 由得，即. ①当时，，，所以； ②当时，由（2）知， ，等号不能同时成立. 综上可知. 【分析】（1）由于函数的定义域为，进而结合奇函数即可得； （2）采用作差比较大小，整理化简得； （3）令，，进而得，再结合题意即可得，再分和两种情况讨论，其中当时，结合（2）的结论得，等号不能同时成立. 【详解】解：（1）由题意，对任意，都有， 即，亦即，因此； （2）略 （3）略 【点睛】本题第二问解题的关键在于作差法比较大小，第三问在于换元法求得函数的值域，进而结合题意得，再结合第二问的结论分类讨论求解.考查换元思想和运算求解能力，是难题. 知识点五 抽象函数的综合应用 25．函数满足：对任意实数，，有成立，函数，，，且当时，． (1)求并证明函数为奇函数； (2)证明：函数在上单调递增； (3)若关于的不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)，证明如下： 因为， 令，则，得； 令，则，得； ，令， 依题意得，即， 所以是奇函数. (2)由得，即， ，，，则，则， 可得， 即，所以函数在上单调递增. (3) 【分析】（1）赋值求得，根据奇函数的定义证明函数为奇函数； （2）由题意可得，根据单调性的定义分析证明； （3）根据题意结合函数性质可得，利用参变分离可得，利用基本不等式分析求解即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）因为，，且函数为奇函数， 则，可知是偶函数， 且， 因为，可得， 因为是偶函数，且，可得， 又因为函数在上单调递增，可得， 因为，则，可知， 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立； 综上所述：， 可得，解得，且， 所以的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用函数的奇偶性与单调性得到，从而分类讨论即可得解. 26．已知函数对任意实数恒有，当时，，且. (1)判断的奇偶性并证明； (2)求在区间上的最大值； (3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)奇函数，证明如下： 取，则，所以， 取，则， 所以对任意恒成立， 所以为奇函数． (2)； (3) . 【分析】（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明； （2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解； （3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解. 【详解】（1）略 （2）任取且，则， 所以，所以， 又为奇函数，所以，所以． 故为上的减函数． 所以在上的最大值为， 因为， 所以， 故在上的最大值为6． （3）因为在上是减函数，所以， 因为，对所有，恒成立． 所以，对所有恒成立， 即，对所有恒成立， 令，则， 即，解得：或． 所以实数的取值范围为． 27．已知定义在上的函数在区间上单调递减，且．，． (1)证明：； (2)判断函数的奇偶性，并给予证明； (3)当时，求不等式的解集． 【答案】(1) 令，则有， 由，得，即，所以． 令，，则，即， 因为，所以，所以； (2)函数为偶函数， 由（1）知，，令．则， 所以，所以， 所以函数为偶函数 (3). 【分析】（1）令，得到，令，得，结合已知得，即可证； （2）取，观察等式与奇偶性的自变量互为相反数，即可证； （3）用赋值法，将转化为，从而把不等式转化为关于的一元二次不等式，利用的单调性和奇偶性可可解不等式． 【详解】（1）略 （2）略 （3）令，则， 所以，所以． 因为，所以， 所以，即，即， 又，，所以． 当时，在区间上单调递减， 由（2）知函数为偶函数，所以在上单调递增， 所以，所以，解得． 所以当时，不等式的解集为. 28.定义在上的函数满足，且当时，，求证： (1)是奇函数； (2)在上是增函数； (3)，其中 【答案】(1) 由函数的定义域为，关于原点对称， 因为函数满足， 令，可得，所以， 令，可得，即， 所以函数是的奇函数. (2) 设，则， 因为， 所以，所以， 当时，，所以， 即，所以函数在上是增函数. (3) 由， 所以 ， 因为时，，且函数在上的奇函数， 所以当时，，， 又因为，所以， 所以，故. 【分析】（1）根据题意，令，求得，令，得到，进而得到，即可得证； （2）设，则，根据，得到，结合题意，求得，即可证； （3）化简得到，得到原式，结合（1），得到，得到，即可得证. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 29．定义在R上的函数满足：对于，，成立；当时，恒成立. (1)求的值； (2)判断并证明的单调性； (3)当时，解关于x的不等式. 【答案】(1) (2) 在上单调递减，证明如下： 由已知，对于有成立，， 令，则， 所以，对有，故是奇函数， 任取且，则，由已知有， 又，得 所以在上是减函数； (3) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【分析】（1）令可得； （2）令结合已知等量关系，根据函数的奇偶性定义即可确定的奇偶性；任取且，结合已知条件，根据函数的单调性即可确定的单调性； （3）由题设，将不等式转化为，根据的单调性和奇偶性可得，再讨论的大小关系，即可求解集. 【详解】（1）令，则, 可得； （2）略 （3）因为， 所以， 即， 因为在上是减函数， 所以， 即，又， 所以， 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为； 当时，即时，原不等式的解集为. 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【点睛】方法点睛：函数不等式的解法通常是利用函数单调性，脱去抽象符合“”,转化为一般不等式求解，所以解这类问题一般要先研究函数的有关性质，如单调性、奇偶性等，此类问题经常与导数结合，需要重新构造函数求导，然后利用函数单调性解决. 30．设定义在上的函数满足：①对，，都有；②时，；③不存在，使得. (1)求证：为奇函数； (2)求证：在上单调递增； (3)设函数，，不等式对恒成立，试求的值域. 【答案】(1)证明： 的定义域为，关于原点对称， 令，得，解得或， 又不存在，使得， ∴， 令，得， ∴， ∴为奇函数. (2)证明: 时，， ∴，当且仅当，等号成立， 又不存在，使得， ∴， ∴时，， 又为奇函数， ∴时，， ∴对，， 任取，则，， 而， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴，， ∴在上单调递增. (3). 【分析】（1）赋值法求得，然后再令可证得奇函数； （2）由已知先证得，再证得时，，然后任取，则，，再根据已知条件变形可证得单调性； （3）由已知求出，然后已知不等式根据已知等式变形化简后由函数的单调性进行转化，转化为二次不等式恒成立，从而求得的范围，最后再由二次函数性质得值域． 【详解】（1）略； （2）略； （3）， ∴， ， ∵不等式对恒成立， ∴对恒成立， 又在上单调递增， ∴对恒成立，即对恒成立， 当时，对恒成立， 当时，对恒成立，解得， 综上，， 而函数在上单调递减， ∴的值域为. 【点睛】方法点睛：本题考查抽象函数的奇偶性、单调性，抽象函数的不等式恒成立问题并考查求二次函数的值域．解决抽象函数的基本方法是赋值值，根据函数的奇偶性、单调性的定义进行赋值，从已知式中得出与的关系，得出的正负，赋值时有时需要求出具体的函数值，如本题求，在对第（3）问题中不等式进行变形时还需要求得，解题的关键就是已知抽象函数的性质：，利用它对进行变形． 知识点六 绝对值的函数的综合应用 31．设为实数，已知函数. (1)若是上的单调函数，求的取值范围； (2)已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值. 【答案】(1)； (2)①；②14. 【分析】（1）由题意结合二次函数的性质可得在上只能单调递减，从而可求出的取值范围； （2）①先分别求出函数在每一段上的最小值，从而可求出函数的最小值；②先由题意可得，从而由与的范围结合题意得，进而得，再结合基本不等式可求解. 【详解】（1）因为是上的单调函数， 所以在上是单调函数， 所以在上是单调递减函数， 所以在上单调递减，所以，解得. 所以满足题意的的取值范围为. （2）当时，， ①时，；时，， 因为， 所以的最小值为； ②由题，且，所以， 又时，，， 所以对任意，不存在，使得，不符合题意， 所以， 所以， 因为对任意，都存在，使得成立， 所以，故， 所以，当且仅当 即时取等号， 所以的最小值为14. 【点睛】关键点点睛：第（2）问解题的关键是将问题转化为两集合的包含关系，从而得. 32．俄国数学家切比雪夫（1821—1894）是研究直线逼近函数的理论先驱.对定义在非空集合上的函数，以及函数，切比雪夫将函数的最大值称为的“偏差”. (1)函数，求的“偏差”； (2)函数，若的“偏差”为2，求的值； (3)函数，当的“偏差”取最小值时，求的值，并求出“偏差”的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3)，“偏差”的最小值为. 【分析】（1）写出的解析式，结合，求出值域，可得偏差为； （2），，利用和的函数性质，通过分类讨论，由“偏差”值求得的值； （3）结合所给条件，可得函数与的“偏差”为，结合绝对值不等式，求出即可. 【详解】（1） 因为，所以， 则，. 所以函数与的“偏差”为. （2）令， ∵，∴是单调减函数，∴， 由题意，，，且. 当，即时，，解得或，均不符合； 当，即时，，或， 解得或（舍）， 所以. （3）， 因为，所以， 由，则， 令，即，解得， . 故当且仅当时，有. 故当的值为时，函数与的“偏差”取最小值. 33．已知函数. (1)若，求函数的单调递增区间； (2)若，不等式对恒成立，求的最大值； (3)若，存在，，使得在上单调递增且在上的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2)5 (3) 【分析】（1）由分段函数和二次函数的性质直接判断可得； （2）变形不等式后分的取值范围讨论可得； （3）结合二次函数的性质分和两种情况，转化为区间上存在两个不等实根问题，列不等式组求解可得. 【详解】（1）当时， 其中开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 开口向上，对称轴为，故在上单调递减， 所以的单调递增区间为. （2）由题知，， 即， ， ， 对任意恒成立. 若，则. 若，则，所以， 因为，所以，所以， 当时，，所以， 当时，， 故只需对任意恒成立，即， 所以，解得. 若，则，所以，因为，则， 所以， 只需，所以， 综上，，故的最大值为5. （3）因为，当，时，， 故，对称轴为. 当，即时，在单调递增，故在上单调递增， 所以 令，即， 所以，是方程在上的两个不等实根， 则解得. 当，即时，在单调递减，单调递增， 所以 所以，是方程在上的两个不等实根， 则 解得. 综上，. 34.定义． (1)用解析式表示，并写出的定义域： (2)证明：； (3)设．若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)，定义域为； (2) 情况一：当时， 等式右边； 情况二：当时，， 等式右边. 综上，等式成立. (3). 【分析】（1）按的大小分类，得到的解析式； （2）按的大小分类证明； （3）令，，由第（2）小问知：，然后把题意转化为都大于等于2，对任意 恒成立，可得答案. 【详解】（1）设 ，. 令得：， ， ，解得 或 ， 由于 是开口向上的二次函数（二次项系数为正）， 当 或 时，，故 ； 当 时，，故 . 因此，，定义域为 . （2）略 （3）依题意知：在上的值域是在上的值域的子集， 由于 在 上单调递增，值域为 . 因此，只需满足对任意 ，有 . ， ， ， 令，， ， 由（2）知：， 要使对任意 恒成立， 又对任意 恒成立， 所以只需对任意 恒成立， 易知：当时，不成立； 当时，， 故. 35.已知函数，． (1)若关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围； (2)若，时，求在上的值域； (3)若，时，设，记的最小值为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据二次函数在上恒成立，可得二次函数开口向上，且，进而求出参数的取值范围； （2）按，两种情况分别求解函数的值域，进而将两段值域取并集即可求解. （3）按，，三种情况分类讨论，分别求解函数在及时的最小值.进而求得，最后再根据的解析式求解的最小值. 【详解】（1）要使x的不等式在上恒成立，只需二次函数开口向上，且满足， 由此可得：，解得. 所以实数的取值范围是. （2）已知，时，. 当时，，由于函数开口向上且关于对称， 易知当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为； 由此可得：函数在上的值域为. 当时，，由于函数开口向上且关于轴对称， 易知当时，取得最小值，最小值为； 当时，取得最大值，最大值为. 由此可得：函数在上的值域为. 综上可得：函数在上的值域为. （3）已知，，则， 若，当时，， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 因此在上的值域为. 综上可得：当时，的最小值为，即. 若，当时，， 由于在上单调递增，所以在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 又，故. 综上可得：当，的最小值为，即. 若，当时，， 由于在上单调递减，在上单调递增， 因此在处取得最小值，最小值为； 当时，， 由于在上单调递减，所以在上单调递减， 因此在处取得最小值，最小值为； 又，故. 综上可得：当，的最小值为，即. 综上所述可得：， 当时，的最小值为 当时，的最小值为 当时，的最小值为. 综上可得的最小值为. 36.已知函数，. (1)若，写出的单调区间（不必证明）； (2)若是偶函数，求a的值； (3)若，，求的最小值. 【答案】(1)单调递减区间为，，单调递增区间为，； (2)a的值为0； (3). 【分析】（1）根据已知写出的分段函数性质，结合二次函数性质确定单调区间； （2）利用偶函数性质列方程求参数即可； （3）由时不等式恒成立，只需考虑的情况，应用分类讨论，结合二次函数性质研究不等式恒成立求值. 【详解】（1）由题意，当时函数，且函数的定义域为， 所以， 从而其单调递减区间为，；单调递增区间为，. （2）因为是偶函数，所以， 由于，则， 从而，两边平方得， 从而，此式对任意恒成立，得，故a的值为0. （3）首先，时不等式恒成立，接下来考虑的情况： ①当时，，因为，所以，； ②当时，，， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 所以，当且仅当，时，等号成立； 法一：③当时，问题等价于当时，恒成立；当时，恒成立. 令，命题等价于， 而最大值只可能在，，三处取得，只需， 即，可得， 若，则；若，则； ④当时，，， 易知函数在上单调递增，故当时，取到最大值， 所以，所以； 综上，当，时，的最小值为. 法二：③当时，由对任意恒成立，取可得成立， 则，若，则， 若，则，所以当，有. 综上，当，时，的最小值为. 【点睛】关键点点睛：第三问，应用分类讨论及二次函数的性质研究不等式恒成立，注意放缩思想的应用. 知识点七 基本不等式综合应用 37．已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 【答案】(1) 证明：因为，所以，，， 所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以， 所以. (2)2或3 (3) 【分析】（1）由关系，结合基本不等式证明，再证明结论， （2）不等式可变形为，结合（1）求的最小值，由此可得的值， （3）不等式可变形为，利用基本不等式求的最小值，由此可得. 【详解】（1）略 （2）可变形为 ， 由（1）知的最小值为4，所以. 又，且，所以或3. （3）类似（2），不等式恒成立， 即恒成立， 而 ， 当且仅当， 即时等号成立， 所以，即， 即. 所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立. 38．已知，，均为正实数． (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值； (3)求证：，并求的最小值． 【答案】(1)6 (2)4 (3) 要证：，即证， 因为 ， 当且仅当时取等号， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号； 因为，所以， 所以， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 【分析】（1）结合基本不等式与一元二次不等式解法计算即可得； （2）将原式变形后结合基本不等式“1”的活用计算即可得； （3）要证，即证，借助作差法及完全平方公式计算可得，即可得证；借助即可得的最小值. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 所以， 所以，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为6； （2）因为，所以且，， 所以， 当且仅当且，即，时取等号， 所以的最小值为4； （3）略 39．问题：已知，，均为正实数，且，求证： 证明：，当且仅当时，等号成立.学习上述解法并解决下列问题： (1)已知，，均为正实数，且，求的最小值； (2)已知，，，均为正实数，且，求证：； (3)求的最大值，并求出使得取得最大值时的值. 【答案】(1)9 (2)证明： 因为、、、均为正实数，且， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即证. (3)T的最大值为，此时 【分析】（1）将与相乘，展开后利用基本不等式可求解； （2）将与相乘，展开后利用基本不等式可求解； （3）分析可得，分别令，，结合（2）中结论可得，再结合基本不等式可得及取等条件得，即可求解. 【详解】（1）由、、均为正实数，且， 所以 ， 当且仅当，，，即当时等号成立， 所以的最小值为. （2）略； （3）因为， 则，解得， 令，，则，即， 由(2)可知，，，所以， 当且仅当时等号成立，即， 当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 即的最大值为，此时. 40．关于实数大小关系的基本事实是解决等式或不等式问题的逻辑基础．两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化基本不等式就是其中之一，通过运算（代数变形）可以解决很多关于基本不等式的问题．例如此题：已知为正实数，且，则的最小值为__________． 其解法如下：，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为3． 根据上述材料解决以下问题． (1)已知为正实数，且，求的取值范围； (2)已知，且，则的最小值是多少？ (3)某同学在解决题目“已知为正实数，为非负实数，且，则的最小值是多少？”时，给出如下解法：令，则化为． 原式 当且仅当，即，即，时，等号成立． 利用上述解题思路和数学逻辑思维，解决如下问题：已知，则的最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）将化为，再应用基本不等式即可证结论； （2）将化为，再应用基本不等式求最小值； （3）将化为，再应用换元法及基本不等式求最大值. 【详解】（1）由题设， 当且仅当，等号成立. 故的取值范围为. （2）， 当且仅当，即，时，等号成立， 则的最小值是 （3）， 令，原式，令， 原式， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以的最大值为 41．高一的珍珍阅读课外书籍时，发现笛卡尔积是代数和图论中一个很重要的课题.对于非空数集A，B，定义且，将称为“A与B的笛卡尔积” (1)若，，求和； (2)试证明：“”是“”的充要条件； (3)若集合是有限集，将集合的元素个数记为.已知，且存在实数满足对任意恒成立.求的取值范围，并指明当取到最值时和满足的关系式及应满足的条件. 【答案】(1)，. (2)证明：若，设， 由定义可知：且， 所以“”是“”的必要条件； 若，对任意，均有， 即对任意，均有， 由任意性可知，则， 所以“”是“”的充分条件； 综上所述：“”是“”的充要条件. (3)实数的取值范围.若取到最大值，则，. 【分析】（1）根据的定义直接运算求解； （2）根据的定义结合充分必要条件分析证明； （3）设，则，，结合基本不等式求的取值范围，并结合根式分析求解. 【详解】（1）由题意可得：， . （2）略； （3）设， 则，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以实数的取值范围. 若取到最大值，则，即， 可得，即， 所以. 42．某数学兴趣小组在学习了《基本不等式》一章后，对不等式产生了浓厚的兴趣，小组成员经过查阅资料发现如下事实:基本不等式可以推广至阶.即:若实数均大于0，那么请利用上述事实解决下列问题: (1)若，求的最大值，并指明取最大值时的值； (2)将一个边长为2的正方形纸板四个角各减去一个边长为的小正方形后折成一个无盖长方体（如图），若要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为多少? (3)试证明，对任意的正整数，不等式成立. 【答案】(1)， (2) (3) 证明：当时，左式，右式，且； 当时， ， 显然，所以等号不能取， 所以； 综上可知，恒成立. 【分析】（1）由，结合基本不等式即可求解； （2）由，结合基本不等式即可求解； （3）根据结论得到，然后化简变形可完成证明. 【详解】（1）， 当且仅当时，取等号， 所以最大值为， （2）由题意， 长方体的体积为：， 当且仅当时取等号， 所以要使得长方体的体积最大，则减去的小正方形的边长应为. （3）略 知识点八 函数的实际应用题 43．“春节”期间，某商场进行如下的优惠促销活动： 优惠方案1：一次购买商品的价格，每满60元立减5元； 优惠方案2：在优惠1之后，再每满400元立减40元． 例如，一次购买商品的价格为130元，则实际支付额元，其中表示不大于x的最大整数．又如，一次购买商品的价格为860元，则实际支付额元． (1)小明计划在该商场购买两件价格分别是250元和650元的商品，他是分两次支付好，还是一次支付好？请说明理由； (2)已知某商品是小明常用必需品，其价格为30元/件，小明趁商场促销，想多购买几件该商品，其预算不超过500元，试求他应购买多少件该商品，才能使其平均价格最低？最低平均价格是多少？ 【答案】(1)一次支付好，理由如下： 分两次支付：支付额为 元; 一次支付：支付额为元, 因为，所以一次支付好； (2)购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件 【分析】（1）计算两种支付方式的支付额，比较可得答案； （2）先确定在优惠条件下最多可以购买的件数，然后依据优惠方案2进行分类讨论，比较每种情况下的平均价格，可得答案. 【详解】（1）一次支付好，理由略； （2）设购买件，平均价格为y元/件．由于预算不超过500元，但算上优惠，最多购买19件， 当时，不能享受每满400元再减40元的优惠 当时，，， 当时，，； 当时，，． 所以当时，购买偶数件时，平均价格最低，为27.5元/件． 当时，能享受每满400元再减40元的优惠 当时，， 当，时，; 当时，， y随着n的增大而增大，所以当，时，． 综上，购买15件或16件时，该生活日用品的平均价格最低，最低平均价格为25元/件． 44．为保护环境，污水进入河流前都要进行净化处理.某工业园区污水先排入净化池.然后加入净化剂进行净化处理．根据实验得出，在一定范围内，每放入1个单位的净化剂，在污水中释放的浓度（单位：毫克／立方米）随着时间（单位：小时）变化的函数关系如下：当时，；当时，.若多次加入净化剂，则某一时刻净化剂在污水中释放的浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当净化剂在污水中释放的浓度不低于4（毫克／立方米）时，它才能起到有效净化污水的作用. (1)若一次投放4个单位的净化剂，则有效净化时间可达几小时？ (2)若第一次投放2个单位的净化剂，6小时后再投放个单位的净化剂，设从第二次投放起，经小时后污水中净化剂浓度为（毫克／立方米），其中. （i）求的解析式： （ii）要使第二次投放后的4小时内能够持续有效净化，试求的最小值. 【答案】(1)8； (2)（i）（ii）． 【分析】（1）解出不等式即可； （2）设从第二次投放起，经小时，净化剂浓度，然后利用函数单调性得出最大值即可求解. 【详解】（1）因为一次投放4个单位的净化剂，所以污水中释放的浓度为， 当时，令，解得，所以； 当时，令，解得，所以． 综上，可得，即一次投放4个单位的净化剂，有效净化时间可达8小时． （2）设从第二次投放起，经小时，净化剂浓度，， 因为，要使第二次投放后的4小时内能够持续有效净化，净化剂浓度恒成立， 当时，净化剂浓度恒成立，即得， 当时，恒成立，所以， 令，， 当单调递增，单调递减， 所以当时，取最大值，所以，且，所以， 综上，， 所以的最小值为． 45．在2023年杭州亚运会最后两个竞技项目男女马拉松比赛中，中国选手何杰以2小时13分02秒夺得男子组冠军，这是中国队亚运史上首枚男子马拉松金牌．人类长跑运动一般分为两个阶段，第一阶段为前1小时的稳定阶段，第二阶段为疲劳阶段．小明想通过数学建模的方式研究运动员的运动时长与其剩余体力的关系.通过查找资料，小明得知：一位60kg的复健马拉松运动员进行4小时长跑训练，稳定阶段平均速度为30km/h，该阶段每千克体重消耗体力（表示该阶段所用时间），疲劳阶段由于体力消耗过大，在原有基础上随时间变大，速度降低，比例系数为．同时，疲劳阶段速度降低，体力得到一定恢复，该阶段每千克体重消耗体力，（表示该阶段所用时间）.同时，根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，产生上下5％～10％的速度浮动，其对于运动员的体力影响也更为复杂.已知该运动员初始体力为，请帮助小明补充完善数学建模的过程： (1)对于数学建模，我们需要给出合理假设. 假设一：假设该运动员稳定阶段作速度为的匀速运动；疲劳阶段做的减速运动 假设二：_________________ (2)提出问题一：该运动员剩余体力Q关于时间t有何关系？请写出函数； 提出问题二：该运动员在4小时内何时体力达到最低值，最低值为多少？ (3)总结运用：请根据以上计算结论，给出一定的实际建议. 【答案】(1)根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，速度浮动为0. (2)当时,最低值为多少 (3)由上面分析可知，体力的最小值在后期出现，运动员可以在后期补充相应的水分以提高补充的效率，坚持就是胜利. 【分析】（1）结合条件，提出合理的假设即可. （2）由条件求解析式，结合基本不等式求求最小值. （3）第三小问属于开放式试题,合理的建议即可. 【详解】（1）根据比赛现场的环境，其他运动员的平均配速，以及比赛策略等各方面因素，速度浮动为0. （2）稳定阶段: 疲劳阶段: 故. 当时， 当时， 当且仅当时，即时取等号. 比较可知，当时 故最低值为多少 （3）由上面分析可知，体力的最小值在后期出现，运动员可以在后期补充相应的水分以提高补充的效率，坚持就是胜利. 【点睛】分段函数要找到分段点，时间的变化要带入数学式子中计算,以免产生错误. 46．提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况.在一般情况下，隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）满足关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车道速度是0千米/小时. （1）若车流速度不小于50千米/小时，求车流密度的取值范围； （2）隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）. 【答案】（1）；（2）隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米. 【分析】（1）把代入已知式求得，解不等式可得的范围． （2）由（1）求得函数，分别利用函数的单调性和基本不等式分段求得最大值，比较可得． 【详解】（1）由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时）， 代入，得，解得， 所以. 当时，，符合题意； 当时，令，解得，所以. 综上，. 答：若车流速度不小于50千米/小时，则车流密度的取值范围是. （2）由题意得， 当时，为增函数，所以，等号当且仅当成立； 当时， . 即，等号当且仅当，即，即成立. 综上，的最大值约为3792，此时约为87. 答：隧道内车流量的最大值约为3792辆/小时，此时车流密度约为87辆/千米. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数模型的应用，对于已经给出函数模型的问题，关键是直接利用函数模型列出方程、不等式或利用函数性质求解，考查学生的逻辑推理与运算能力，属于较难题. 47．某学校计划改造一间高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的运动场地. 因场地的背面靠墙，无须建造费用，设运动场地前面墙体的长为米（）. 现有甲、乙两支工程队参加竞标，甲队的报价方案为：场地前面新建墙体每平方米元，左右两面新建墙体每平方米元，屋顶和地面以及其他共计元；乙队给出的整体报价为元（）. 假设甲、乙工程队均不考虑其他因素. (1)若项目由甲工程队完成，则至少要付给甲工程队多少费用？ (2)若乙工程队要确保竞标成功，求实数的取值范围. 【答案】(1)57600元 (2) 【分析】（1）甲工程队整体报价为，利用基本不等式求解即可； （2）若乙队要确保竞标成功则恒成立，先参变量分离化为恒成立，再求函数的最小值即可求解. 【详解】（1）若运动场地前面墙体的长为米（），则左右两面墙宽度为， 则甲工程队整体报价为， ，当且仅当时，“=”成立， 因此至少要付给甲工程队57600元； （2）若乙队要确保竞标成功则， 所以， 则， 因为，所以函数， 函数在上单调递增，故， 故，则，所以实数的取值范围是. 48．在当下中国足球的版图中，省内城市联赛宛如一股炽热的新兴力量，以燎原之势迅速蔓延，苏超、赣超等联赛的火爆场景，成为了各地体育文化生活中一道最为亮丽的风景线，如同一幅绚丽多彩的画卷，生动地展现着足球运动的无限魅力与城市发展的蓬勃生机.某奥体中心计划在场内建造一个高为3米，宽度为（单位：米），地面面积为81平方米的长方体形状的媒体采访区，经过谈判，工程施工单位给出两种报价方案：方案一：媒体采访区的墙面报价为每平方米200元，屋顶和地面报价共计7200元，总计报价记为；方案二：其给出的整体报价为元，. (1)求的函数解析式，并求报价的最小值； (2)若对任意的时，方案二都比方案一省钱，求的取值范围. 【答案】(1)，，最小值为28800． (2) 【分析】（1）设地面长为，由采访区宽度为，可得采访区长度为，根据已知条件可得函数解析式，然后利用基本不等式求解最小值即可； （2）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立，分离参数得，结合换元法，利用对勾函数的单调性求解最值即可得解. 【详解】（1）设地面长为，， 所以墙面面积为，     所以，，     因为，当，即时等号成立，     所以，，最小值为28800． （2）对任意的时，方案二都比方案一省钱， 即时，恒成立， 整理得，要使此不等式对任意恒成立， 则须小于函数在区间上的最小值. 因为，， 设，则， 又由对勾函数性质可得在上单调递增， ， 又，所以，即的取值范围为 知识点九 新定义函数问题 49．给定函数，若实数使得，则称为函数的不动点，若实数使得，则称为函数的稳定点，函数的不动点一定是该函数的稳定点. (1)求函数的不动点： (2)设，，且恰好有两个稳定点和. （i）求实数的取值范围， （ii），，求实数的取值范围. 【答案】(1)不动点为－2和3 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）令，求出或，得到答案； （2）（i），变形得到，此方程恰好有两个不同的实数解，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出的取值范围； （ii）法一：在（i）知，的两个稳定点为和1，分和两种情况，换元，再根据对称轴分为，，和四种情况，求出每种情况下的值域，得到不等式，求出答案； 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1，取，得， 解得，所以，，结合（i）知，，故，有，换元，根据对称轴得到函数单调性，求出值域，得到不等式，求出实数的取值范围为. 【详解】（1）令，得，整理得，解得或， 经检验知均满足要求，故函数的不动点为－2和3. （2）（i）令，得， 即，得， 所以有，此方程恰好有两个不同的实数解. ①当，即时，方程化为， 仅有一个实数解，不满足题意； ②当时，要么方程无实数解， 要么方程仅有一个实数解为1或者. 故或或， 解得或. 综上，当恰好有两个稳定点时，实数的取值范围为. （ii）法一：由（i）知，的两个稳定点为和1， 当时，，故，， 于是，. 此时函数的对称轴，令. ①当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，无解. ②当时，在单调递增， 当时，，， 即的值域为，不满足题意，舍去. 当时，，故，， 于是，，此时函数的对称轴， 令. ③当时，，在单调递增， 当时，，，即的值域为， 于是有，解得； ④当时，，在单调递减，在单调递增， ，，故， 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为.于是由题意得，解得. 综上，实数的取值范围为. 法二：由（i）知，的两个稳定点为和1， 因为，，故取，得， 解得，所以，， 因为，解得， 由（i）知，，故， 故有，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时的值域为， 即的值域为. 于是由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 【点睛】方法点睛：新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 50．三叉戟是希腊神话中海神波塞冬的武器，而函数的图象恰如其形.牛顿最早研究了函数的图象，所以也称的图象为牛顿三叉戟曲线. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)已知两个不相等的正数m，n满足：，求证：； (3)是否存在实数a，b，使得在上的值域是？若存在，求出所有的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)在单调递增，证明如下： 设，且，则 ， ，，， ，， 在单调递增. (2)得：， 化简得：， 又，， 而，， ， . (3)存在，， 【分析】（1）根据函数单调性的定义证明； （2）由可得，再由基本不等式得证； （3）根据已知结合函数的单调性求解. 【详解】（1）略 （2）略 （3）不妨设存在满足题意的实数，b， ，或 当时，由（1）同理可证：在单调递减， 在上的最小值为， 故，，在上单调递增， ，是在的两根. 由，得 即：，， 又，，， 当时，由（1），当时，，故在单调递减， ，即：，即：， ，，矛盾， 综上所述，存在满足题意的正实数：，. 【点睛】关键点点睛：假设存在满足题意实数a，b，由定义域中无0，分类讨论， 再由定义法判断函数的单调性，利用单调性建立方程求解是解题的关键. 51．已知函数的定义域为D，对于任意，均有，则称为定义在D上“p阶增函数” (1)若，函数为定义在区间上的“1阶增函数”，求：实数的取值范围 (2)若为定义在区间上的“1阶增函数”，且，其中，求证： (3)如果存在常数，对于任意，都有，则称在D上有上界，问：是否存在常数M，使得对于所有定义在区间上且有上界的“2阶增函数”，都有，若存在，求：M的最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)因为为定义在区间上的“1阶增函数”，且， 则， 即，. 可得，所以. (3)存在，0 【分析】（1）分析可知为上的严格增函数，即可得结果； （2）根据题意可得，进而分析证明； （3）根据题意利用反证法可得，再举例说明不恒成立，进而分析求解. 【详解】（1）若为定义在区间上的“1阶增函数”， 可得对任取，均有， 可知为上的严格增函数，所以. （2）略 （3）假设存在，使，则， 因为为定义在区间上的“2阶增函数”， 则对任意的，都有， 令，则对任意的，都有，与有上界矛盾， 若“2阶增函数”有上界，则对任意，都有. 假设存在，使， 则对任意的，都有，故，矛盾， 所以“2阶增函数”有上界，都有恒成立，即存在均满足题意， 假设存在符合题意，例如， 则在上是严格增函数， 且，则是有上界的“2阶增函数”. 但当时，有，矛盾， 所以的取值范围为，即的最小值为0. 【点睛】关键点点睛：对于（2）中问题：直接说明比较麻烦，可以利用反证法，说明，再举例说明不恒成立. 52．已知函数，其中，定义集合．对于点，定义集合．若对任意，均有，则称点P为平衡点． (1)当时，判断点是否为平衡点； (2)当时，求实数b的取值范围，使得点是平衡点； (3)求所有实数a和b，使得点是平衡点． 【答案】(1)是，理由如下： 由题设，而， 当，则，即，故， 所以点是平衡点； (2)； (3) 由题意，对于，都有， 当，即时，在上单调递增，则， 所以，易知，显然不满足前提； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，故，则， 所以时，； 当，即时，在上单调递减，则， 所以，易知，显然不满足前提； 综上，时，；时，. 【分析】（1）根据平衡点的定义判断即可； （2）根据平衡点定义有、，即可得参数范围； （3）由题设，都有，结合二次函数的性质，讨论对称轴与区间位置研究最值，列不等式求参数范围. 【详解】（1）是，理由略. （2）由题设，若是平衡点，则，即， 此时恒成立，则； （3）略 53.已知函数，若存在非零常数k，对于任意实数x，都有成立，则称函数是“类函数”． (1)若函数是“类函数”，求实数的值； (2)若函数是“类函数”，且当时，，求函数在时的最大值和最小值； (3)已知函数是“类函数”，是否存在一次函数（常数，），使得，其中，说明理由． 【答案】(1) (2)，. (3)存在，使得函数. 【分析】（1）由题知，对于任意实数x，有成立，解方程组即得解； （2）求出，，，，再利用二次函数求得最值，即得解； （3）求出，得到时，，即得解. 【详解】（1）由题得，对于任意实数x，都有， 即，所以， 即，所以. 所以 （2）由题得，对于任意实数x，都有， ，， 因为，所以，设，所以， 所以，， 所以，， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 同理，， 对称轴为，在上单调递增，在上单调递减； 由题得， 所以，. （3）由题得， 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 令得，， ， 所以，所以是周期函数. 所以，所以. 所以存在，使得函数. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，函数的值域，判断证明抽象函数的周期性，解题的关键是理解“类函数”的定义，及函数周期性的定义，考查学生的理解思维能力及运算求解能力，属于较难题. 54.对于定义域为R的函数以及非空数集S：若对任意，，当时，都有，则称是S关联的. (1)设，写出符合条件的三个开区间，使得是关联的； (2)设，若存在一个闭区间（）使得是关联的，求； (3)证明：是关联的等价于是关联的. 【答案】(1)，，.（答案不唯一） (2)， (3) 一方面，若是关联的，所以时，. 令，，，； 令，，，， 令，，，， 又，所以. 则有. 设，令，其中，且. 首先对进行变形：. 因为，根据已知条件，可以得到. 对于， 由于，，所以.   当时，同样可以根据已知条件推出，所以是关联的. 若是关联的，根据关联的性质有： . 因为是关联的，所以（），则. 又因为是关联的，所以， 结合取等条件可知，即. 对于，， 因为，所以， 又因为，则，且显然有， 所以是关联的. 综上所得，原命题证毕. 【分析】（1）根据已知条件，分别考虑和的情况.当，让接近，接近，但要在内，出现矛盾；同理时也矛盾.所以区间中有，再检验三类开区间满足题意. （2）由是关联的得出.当时，和能取任意值，也能取任意值，矛盾，所以，式子变为.若，最值差不符合条件，所以，最后验证满足条件得出结果. （3）分两步：已知是关联的，即时，.通过令不同的、取值，得出和. 对于，将拆成（，且），对变形，利用前面结论得到，结合范围推出.再验证时也满足，从而证明是关联的. 【详解】（1）已知对，. 若，让接近，就有接近，要满足，则，这不可能. 若，让接近，有接近，要满足，则，也不可能. 所以、中有，经检验、、这三类开区间满足题意，如，，. （2）若是关联的,. 当，且时，能取任意值，也能取任意值， 那么能取任意值，矛盾，则，则. 若，时，最值差为， 与矛盾，所以， 取，易验时，满足条件， 综上所得，所求，. （3）略 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $