专题3.10 圆常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题）-2026-2027学年苏科版九年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题3.10 圆常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 与圆相关的运动问题 题型二 三角形的外接圆判断与证明 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系证明 题型四 垂径定理相关证明 题型五 圆周角定理 题型六 圆的切线性质定理与切线长定理 题型七 圆与其他图形的综合应用 题型八 求不规则图形的面积 【经典例题一 与圆相关的运动问题】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．将绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？ 【答案】 【分析】先得出点经过路径的长是的长，所在圆的圆心为，半径长为的长，再求出的长和的度数，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，点经过路径的长是的长，所在圆的圆心为，半径长为的长，如图所示： ∵在中，，，， ∴， 由旋转的性质可知，， ∵，，三点在同一条直线上， ∴， ∴的长度为， 即点经过路径的长是． 【答案】(1) (2)解：， 理由如下： 如下图所示，延长交于点， 四边形和四边形是正方形， ，，， 在和中，， ， ， ， 在中，， ； (3)最少费用为元 【分析】（1）作的外接圆，过点作，交于点，连接，根据等边三角形的性质可知，利用的余弦求出的长度，即可得到外接圆的半径； （2）延长交于点，可证，根据全等三角形的性质可证，即可证明； （3）可证，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可以求出，设，根据垂径定理可知，根据弧长公式可得：，所以当最小时的长度最小，设米，则米，过点作于点，过点作，由勾股定理可得，可知的最小值是米，所以半径的最小值是米，即可求出修建弧形跑道的最少费用． 【详解】（1）解：如下图所示，作的外接圆，过点作，交于点，连接， 是等边三角形， ， 则， 是的直径， ， ， ， ， ， 的外接圆的半径为； （2）略 （3）解：如下图所示， 是等边三角形， ，米， 米， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ， 过点作，则， 设， ， ， ， 当最小时，的长度最小， 设米，则米， 过点作于点， ，， 米， ， ， 整理得：， 当时，有最小值， 的最小值为， ， 米， ， 慢跑道的成本为元/米， 修建弧形跑道的最少费用是元． 【答案】(1)证明：，， 四边形是平行四边形， 由旋转可得， 四边形是菱形； (2) (3)线段扫过的面积为或或或 【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，由旋转得，即可得证； （2）根据勾股定理求出，当时，四边形是正方形，即可求解； （3）分当时，当时，当时，当时，四种情况求解． 【详解】（1）略 （2）解：矩形纸片的边，， ， 当时，四边形是正方形， 四边形的面积为； （3）当时，，线段扫过的面积为； 当时，，线段扫过的面积为， 当时，，则，线段扫过的面积为； 当时，，线段扫过的面积为； 线段扫过的面积为或或或． 【答案】(1)点转动到点的路径长为 (2)点到直线的距离约为 【分析】本题考查圆的弧长、等边三角形的判定和性质、勾股定理的应用，解题的关键是掌握弧长公式． （1）由，求出，可得，根据弧长公式即可求出点D转动到点的路径长； （2）过点作于点，先证是等边三角形，结合等边三角形的性质与勾股定理可得的长，即点到直线的距离． 【详解】（1）解：，且， ． ， ． ， ， 点转动到点的路径长为． （2）解：如图，过点作于点， 由（1）知， ， 是等边三角形． ， ． ，， ． 点到直线的距离约为． 【答案】(1)证明：点E，点F分别从点B，点C同时出发，在线段上做等速运动， ， ，即， ， ， 在和中， ， ； (2) (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外心、三角形内角和定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． （1）根据题意可得，进而得到，根据等腰三角形的性质得到，利用“”证明即可； （2）先由，结合等腰三角形内角和计算的度数，再结合（1）的全等结论得到角的等量关系，进而推导的度数； （3）根据三角形外心在内部的性质，判断为锐角三角形，得到三个内角均小于的约束，求解出的取值范围，再根据与的等量关系得到最终范围． 【详解】（1）略； （2）解：， ， 由（1）知，， ，， ， ； （3）解：的外心在其内部， 是锐角三角形， ， ， ， ， ． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用已知条件证明，根据全等得到新的条件证得，从而证得答案； （2）将绕点顺时针旋转得到，可证点三点共线，过点作交于点，过点作交于点，可得四边形为矩形，利用三角函数得到，再根据三角形的面积公式，可得，将求的最小值转化为求面积的最小值，根据定角定高模型来求面积的最小值； （3）同（2）的方式一样，得到与面积之比，将求面积的最小值转化为求的最小值即可． 【详解】（1）解：四边形为正方形 ， ， ， ， 又点在的延长线上， ， 在与中： ，，， ， ， ， 在与中： ，， ， 又点在线段上， 即； （2）解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，过点作交于点，过点作交于点， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点三点共线； ∵，，， ∴， 即； 在中，， ∴， ∵，， ∴，即，； ∴当最小时，最小， 如图，作的外接圆，圆心为，连接，过点作于点， ∵ ∴ ∴ ∴， 设，则， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 即的最小值为 ∴， ∴面积的最小值为，． （3）解：如图，过点作的垂线，垂足分别为，过点作交的延长线于点， ∴ ∴四边形是矩形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 同理可得，则 ∵，设， ∴， ∵ ∴ 过点分别作的垂线，垂足分别为 则 ∴ ∴取得最小值时取得最小值， 由（2）可得时，取得最小值，此时垂直平分 如图所示，作的外接圆，圆心为， ∵ ∴ ∴ ∵，设，则 ∴， ∴ ∵，则 设，则，， ∴，则 ∴， ∴ 连接 ∵ ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 内心是三角形三条角平分线的交点，故平分，平分．在中，，因此，再由三角形内角和定理得． （2）设半径为r，由切线长定理得，，．于是三边可表示为，，．利用勾股定理建立关于的方程，即可求得答案． （3）由（2）知，，．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边的中点为，则到切点的距离为，而且，在中利用勾股定理可求得外心与内心的距离． 【详解】（1）解：是的内切圆， 平分，平分， 在中，， ， ， ． （2）解：设半径为r，连接、， 是的内切圆，切点分别为、、， 由切线长定理得：，，， ，，， 四边形是正方形，， ，， ， 在中，由勾股定理得： ， 解得： 或 （舍去负值）， 的半径． （3）解：由（2）知，，， 设斜边的中点为，则是的外心， 分别连接， ，， ， ， 是内切圆半径，， ， 在中，由勾股定理得： ， 的外心和内心的距离为． 【答案】(1) 点和圆即为所求： (2) 【分析】本题考查了尺规作图——作线段的垂直平分线，外接圆的圆心，矩形的判定与性质，勾股定理等知识点． （1）先作出的垂直平分线与相交，交点即为点，再连接，作的垂直平分线交的垂直平分线于点，再以点为圆心，为半径作圆即可； （2）可得，证明四边形是矩形，则，设圆O的半径为，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）略 （2）解：连接， 由（1）可知，垂直平分，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是矩形， ， 设圆O的半径为，则， ， 在中，，即， 解得， 即圆O的半径为． 故答案为：． 【答案】证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据两个等弧同时加上同一段弧后两弧仍然相等，再通过同弧所对的弦相等，即可证明． 【详解】略 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． (2)证明：∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵ ∴，， ∴，． (3)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对应的弦心距相等；反过来，在同圆或等圆中，弦心距相等，所对应的圆心角相等，所对应的弦相等． 【分析】（1）求出，，证明，即可推出． （2）证明，推出，根据等腰三角形三线合一求出，，进而可得出答案． （3）根据（1）（2）用文字语言把上述结论表述出来即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， 即， ∴； (2)． 【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角． （1）利用弧、弦、圆心角的关系得出，进而可得； （2）利用圆周角定理求得，再利用直角三角形的性质即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【答案】(1) 连接， ∵是的直径，， ∴， ∵是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴直线是的切线； (2) 【分析】本题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握相关的性质与定理是解题的关键． （1）连接，由已知可得，根据证明，根据全等三角形的对应角相等可得，继而可证明直线是的切线； （2）由（1）的全等可知，利用勾股定理求出的长，然后由，即可求出． 【详解】（1）略 （2）解：∵，由（1）得：， ， ， ， 即， ∴． 【答案】(1)5 (2)证明：如下图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）首先证明，再在中由勾股定理解得，可得的长度，即可获得答案； （2）过点作于点，证明，进而证明，由全等三角形的性质可得，根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴在中，可得，即， ∵，且， ∴， 解得，即的半径为5； （2）略 【答案】1 【分析】过点O作于点F，交于点E，根据垂径定理，勾股定理，求得，根据距离的意义，求解即可． 【详解】解：过点O作于点F，交于点E， ， ， ， ，， ， 连接， ， ， ， 故这两条平行弦之间的距离为1． 【答案】(1) (2)8 【分析】此题考查了圆周角定理以及垂径定理．解题的关键是注意相关定理的应用． （1）由，根据垂径定理可得，然后由圆周角定理，即可求得的度数； （2）根据，，由勾股定理可求得的长度，继而可得出的值． 【详解】（1）解：， ， ． （2）， 在中，， ， ． 【答案】(1) 证明：连接，交于点Q，如图所示： ∵平分， ∴， ∴，即点B为的中点， ∵是直径， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴； (2) 证明：连接，如图所示： ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴； (3) 【分析】（1）连接，交于点Q，由题意易得，然后根据垂径定理的推论可得垂直平分线段，进而问题可求证； （2）连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求证； （3）连接，由（2）可知：，，即，由题意易得四边形是矩形，则有，然后可得，，根据角的和差关系可得，设，则，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接，如图所示： 由（2）可知：，，即， ∵是直径， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，， ∵， ∴， 由可设，则， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆周角的相关性质，熟练掌握垂径定理的推论、全等三角形的性质与判定、勾股定理及弧、弦、圆周角的相关性质是解题的关键． 【答案】(1)证明：∵由折叠的性质得， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又∵，， ∴． (2)证明：，理由如下： 如图所示，过点作交于点，连接， ∴， 又∵四边形是正方形， ∴， 由（1）知，， 在和中，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中，， ， ∴， 又， ∴， 由折叠知，所在直线是线段的垂直平分线， ∴， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）利用折叠的性质，得到，根据“等角减去相等的角仍相等”证明即可； （2）过点作交于点，利用正方形的性质证得与，从而证得，再根据折叠的性质证出是等腰直角三角形，利用勾股定理求解即可； （3）由（2）可知多边形的面积，根据，边上的高等于正方形的边长得到当时，最小，此时最大，然后利用正方形的性质与等腰三角形及勾股定理求解． 【详解】（1）证明：见答案 （2）证明：见答案 （3）解：由（2）知，，， ∴，多边形的面积， 在中，，边上的高等于正方形的边长， ∴作的外接圆，连接，过点作， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴，则， 欲最小，则需最小， 当过圆心时，最小，最小，此时， ∴当时，最小，此时最大， 如图所示， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 由折叠的性质知，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的边长为， ∴， ∴． 【答案】(1)6 (2)证明：， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ； (3)存在，的长为3或 【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得，进而证明，即可求得； （2）根据直角三角形两锐角互余得，由，证明，进而得，结合，即可证明； （3）分两种情况：①当时，证明，在中，设，得，即可求得；②当时，同法可得． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， ； （2）略 （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形 ①如图1，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ， ， 即； ②如图2，当时，则， 四边形为圆内接四边形， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，设， ， ，． 综上所述，存在点，使是以为腰的等腰三角形，的长为3或． 【答案】(1)①；② (2) 解：如图所示，过点作于点，过点作于点， 由（1）可得四边形是正方形， ∵， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是直径， 又∵是直径， ∴是圆心， ∴． 【分析】本题考查的是圆的知识的综合运用，掌握圆周角定理、垂径定理、切线的判定定理以及相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据直角所对的圆周角是直角可得是直径，进而可得，根据点是所对的弧的中点得出，即可求解； ②过点作于点，证明得出，，进而得出四边形是正方形，求得，进而根据勾股定理，求得，即可求解； （2）过点作于点，过点作于点，同（1）得出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，结合已知，得出，根据等边对等角可得，进而得出是直径，即可得出是圆心，即可得证． 【详解】（1）解：①∵，是外接圆上的一点， ∴是直径，， 又∵点是所对的弧的中点， ∴， ∴， 故答案为：． ②如图所示，过点作于点， ∵， ∴， 又∵ ∴四边形是矩形， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 在中，， ∵是直径， ∴外接圆的半径为； （2）略 【答案】（1）①；②； （2）证明：延长交圆于点，连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 为该圆的圆心； （3）证明：过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点D，连接，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， 是直径， ， ， ， ， ， ， . 【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②构造直角三角形； （2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可； （3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等． 【详解】（1）解：①，， ， ． ②连接，过作，垂足为， ，， 是等腰直角三角形，且， ，， 是等腰直角三角形， ， 在直角三角形中，， ； （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了圆周角定理，并对圆周角定理的逆命题进行了创新，还考查了解直角三角形和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线； (2)①3；② 【分析】（1）根据切线的性质，只要证明即可得证； （2）根据题意，由勾股定理可得，连接，由切线长定理及切线性质，结合勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）根据切线性质，利用三角形全等的性质得到，最后利用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：①∵， ∴， 连接，如图所示：    ∵与都为的切线， ∴， ∴， 在中，设，则有，由勾股定理得，解得，即圆的半径为3； ②延长相交于点，如图所示：   ， ， 与都为的切线， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∴， 在中，，则， ∴． 【点睛】本题考查圆综合，涉及切线的证明、勾股定理、切线性质、切线长定理、三角形全等的判定与性质等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用性质证明圆的相关综合问题是解决问题的关键． 【答案】 （1）证明：点、、、四点也在同一个圆上；理由如下： 如图1：点是的中点．、的交点为点，点、、、四点也在同一个圆上．连接，， ， 、是△的高， △，△均为直角三角形， ， ， 点、、、四点也在同一个圆上； 点、、、四点在同一个圆上；理由如下： 如图2，连接，取的中点，连接，， 则， 、是△的高， △，△均为直角三角形， ， ， 点、、、四点在同一个圆上； （2） （3）如图所示，即为所求． 是的直径， ，即，， 根据三角形的三条高交于同一点可得：． ． ． 由（1）中的结论可得：点、、、在同一个圆上，如图所示． ． ， ． ∴． ． ， ，即． 【分析】（1）作辅助线构造直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到相等的线段，最后根据等量代换及圆的定义解答即可； （2）根据题意可知点是在以为直径的圆上运动，点是在以为圆心，以2为半径的圆上运动，所以当最大，最小，最大，再根据已知长度计算就可以． （3）先画出图形，根据是圆的直径可得出点是三条高的交点，进而得到；根据（1）中的结论可得点、、、在同一个圆上，则有，再结合点、、、在上，推出，等量代换，结合平行线的判定可证明，至此问题不难解答． 【详解】（1）略． （2）解：， ， 点是在以为直径的圆上运动， ，且是绕点旋转， 点是在以为圆心，以2为半径的圆上运动， ， 如图3，当与圆相切于点，且在外部时，最大，最小，最大， ， ， ， ， ∴ ， 此时，即的最小值为， ∵， 此时的最大值为． 故答案为：． （3）略． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、直角三角形斜边上的中线的性质、切线的性质、勾股定理等知识点，正确画出图形、掌握并灵活运用四点共圆成为解题的关键． 【答案】(1)证明：如图中，连接． 是切线， ， ， 在和中， ， ， ， ， ∵为半径， 是的切线． (2)证明：如图中，设． ， ， ， ， ， 垂直平分， ， ， 平分． (3) 【分析】（1）证明，推出，可得结论； （2）设，通过导角计算证明，即可解决问题； （3）图中，设交于点，、是的切线，推出平分，因为平分，推出点是的内心，设的内切圆交于，点到上各点的最大距离为，求出即可解决问题． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图中，设交于点． 是的切线， 平分， 平分， 点是的内心，设的内切圆交于， 的直径为， ， 垂直平分， ， ， ， ， 点到上各点的最大距离为， 最大距离． 【答案】(1)相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）证明：与相切，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即， 又∵是的半径， ∴与相切； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【答案】(1)证明：如图， 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∵点C为上一点， ∴直线是的切线． (2)的直径为 【分析】（1）连接，则，即可得，根据角平分线性质得，等量代换即可得，再根据垂线定义得，进而得，等量代换即可得，进而可证明直线是的切线． （2）连接，，根据勾股定理结合已知求出，再根据圆内接四边形性质、平角定义即可得，再根据等角的余角相等即可得，根据角平分线性质得，进而得，即可证明，，根据相似性质列式计算得，进而可计算出的直径． 【详解】（1）略 （2）解：如图， 连接，，则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为． 【答案】(1)过点作于点，连接、． ∵是等腰三角形，是底边中点， ∴，且平分． ∵与相切于， ∴． ∵， ∴． ∵是的半径， ∴也等于的半径， ∴是的切线． (2)①是等腰直角三角形，证明如下： ∵是的直径 ∴． ∵平分， ∴． ∴， ∴． ∴是等腰直角三角形． ②． 【分析】（1）过点作的垂线，记垂足为点H，因为与相切，所以到的距离等于半径，结合等腰三角形三线合一、角平分线的性质，证明到的距离等于半径即可． （2）①因为是的直径，所以先由直径所对圆周角是直角确定为直角，再结合角平分线的条件得到弧和弧相等，所以对应弦，据此判断三角形形状．②先在中用勾股定理求长度，得到的半径，再结合角平分线定义求出度数，根据圆周角定理求出的度数，最后用扇形的面积减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】（1）略． （2）①略． ②连接， ∵在中，，，， ∴， ∴的半径． ∵平分， ∴， ∴． ∴扇形的面积：． ∵的面积：： ∴． 【答案】(1)证明：四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ， ， ， ， ， ， 平分； (2)8 【分析】（1）根据圆的内接四边形，得到，可推导出，继而推导出，即可解答； （2）过作于，推导出，可证明，得到，继而推导出，可求出，进而求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：过作于， 平分，，， ， 在和中 ， ， 在和中 ， ， ， ， ， 答：的长为． 【答案】(1) 证明∶过点O作于点F， ∵与相切， ∴， ∵平分， ∴， ∵为半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）过点O作于点F，根据切线的性质可得，再由角平分线的性质可得，即可； （2）设的半径为r，则，根据平行四边形的性质可得，，，再由平分，可得，从而得到，根据，，可得，再由切线长定理可得，从而得到，再由勾股定理求出r的长，然后根据弧、线段和组成的图形面积，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解∶设的半径为r，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵与相切，与相切， ∴，，， ∴，， ∴， ∴，解得：或3， 当时，，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴弧、线段和组成的图形面积 ． 【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，切线长定理，求扇形面积，平行四边形的性质等知识，熟练掌握切线的判定和性质，切线长定理，扇形面积公式，平行四边形的性质是解题的关键． 【答案】 【分析】根据进行解答即可． 【详解】解：∵和为互相垂直的直径．的半径为r， ∴， 在中，由勾股定理可得，， ，， ∴， ∵， ∴． 【答案】(1)证明：连接， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又是半径， 是的切线． (2) 【分析】（1）连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）连接，，，由题意易得，则有，然后可得是等边三角形，进而根据扇形面积公式及等积法可进行求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接，，， 点是劣弧的中点， ， ，， ， ， ， ， 又， ， 又， ， 是等边三角形， ， 又， ， ， ． 【答案】(1)连接， 是的切线， ， 又， ， 过圆心， ∴， ， 平分． (2) 【分析】（1）连接， 根据圆的切线性质和平行线性质得， 由垂径定理得， 得， 即得平分． （2）由直径性质得，得.设交于，证明，得，得，，得．由，得，即得． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， ∵AD是的直径， ， ∴. 设交于， ，， ，， ∵， ∴． ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴弓形弓形， ∴， ∴． 【答案】(1) 与相切，理由如下： 如图，连接、，    ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵是半径， ∴与相切； (2) 【分析】（1）连接、，由等边三角形的性质可得，由圆周角定理可得，由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由平行线的性质可得，再证明，即可得证； （2）先求出，，再由计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：如图，作于点，    ∵圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理、证明直线是圆的切线、等边三角形的性质、扇形面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【答案】相等 【分析】连接，，根据矩形的性质，易得，，再根据半径相等，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， 四边形，均为矩形，，， ，， 点A，N在半圆O上， ， 则a和b的大小关系是相等． 【答案】(1) (2)证明： 延长至点，使，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交与点，连接，则：， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∵，， ∴， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）角的和差关系求出的度数，等边对等角求出的度数，三角形的外角求出的度数即可； （2）延长至点，使，连接，以为圆心，的长为半径画弧，交与点，连接，证明四边形为平行四边形，得到，推出，证明，即可得证； （3）过点作，作点作，作直线，证明，推出，得到，进而得到点在射线上运动，过点作，交于点，连接，垂线段最短，得到点与点重合时，最短，求出的长，得到点在以为圆心，为半径的圆上运动，得到当三点共线时，的值最大，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）过点作，作点作，作直线，则：， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点在射线上运动， 过点作，交于点，连接，则：，，， ∴当点与点重合时，最短， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴点在以为圆心，为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，的值最大为． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，求一点到圆上一点的距离的最值，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形和全等三角形，确定动点的位置，是解题的关键． 【答案】(1) 如图①中，点O即为所求； 理由：取格点D，连接交于点O， 根据题意得：四边形是矩形， ∴，点O为的中点， ∴点O为的外心； (2) 如图②中，点P即为所求． 理由：连接，由作法得：平分，点E到的距离为2 ∵，，， ∴， ∴是直角三角形， 设点E到的距离为h， ∵， ∴， 解得：， ∴点E到，的距离相等， ∴点E在的平分线上， ∴点P为，的平分线交点， 即点P为的内心． 【分析】本题考查作图—复杂作图，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）线段的垂直平分线与的交点O即为所求； （2）取格点E，F，作射线交于点P，点P即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【答案】(1) 证明：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，证明，从而得出，即可得证； （2）连接，由题意得出的度数为，从而得出，再由圆周角定理即可得解． 【详解】（1）略． （2）解：如图，连接， ， ∵为的直径，C、D是半圆的两个三等分点， ∴的度数为， ∴， ∴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于点，作于点，连接，，用垂径定理得到，算出长，在中利用勾股定理求出，由三个直角判定四边形为矩形，得到、长度，再在利用勾股定理求出，最后由求得； （2）沿用（1）的辅助线与矩形结论，设，，将整理为，由勾股定理得到，利用完全平方公式推出的最大值，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴； （2）解：如图，过点作于点，作于点，连接，， 同（1）得，，四边形是矩形， 设，，则， ∴， 故求的最大值，只需求的最大值， 在中，，即， ∵，即， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴当且仅当时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为． 【答案】(1)； (2)证明：连接， ∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是半径， ∴是的切线。 【分析】（1）连接，先求出长度，利用垂径定理得，再在中由勾股定理算出，进而求出； （2）连接，由垂直平分线性质得，等边对等角得，结合推出，再利用得，等量代换证明，依据切线判定定理证为切线。 【详解】（1）解：连接， ∵半径为， ∴， ∵， ∴， ∵，为直径， ∴，， 在中，， ∴； （2）略 【答案】(1)2 (2) 证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； (3)D 【分析】（1）根据垂径定理勾股定理求解即可； （2）连接，导角证明，利用等角对等边求得，再利用等腰三角形的性质即可证明； （3）作直径，连接，，，，证明四边形是平行四边形，推出，在中，利用勾股定理求得，得到，据此判断即可． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径，， ∴， ∵的半径为10， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； （2）略 （3）解：作直径，连接，，，， 在中，，， ∴点是的垂心， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴ ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴的长随的增大而不变． 【答案】(1)4 (2)①；② (3)存在，定值68， 【分析】（1）连接，由，得到的直径为10，半径为5，从而，在中，根据勾股定理即可求出； （2）①过点O作于点H，则，在中，根据含角的直角三角形的性质与勾股定理求出，因此当以点为圆心，为半径画圆时，与相切，再根据即可得到的取值范围； ②连接，，由得到，设，，则，，根据，得到，从而，得到，根据弧长公式即可求解； （3）设，，且规定点C在点O的左边时，；点C在点O的右边时，，则，．连接，过点C作于点C，根据勾股定理得到，，，则，根据值保持不变，即与t的取值无关，则得到，进而即可求解． 【详解】（1）解：连接， ∵， ∴， 即的直径为10， ∴的半径为5， ∴， ∴， ∵， ∴在中，． （2）解：①过点O作于点H，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当以点为圆心，为半径画圆时，与相切， ∵， ∴当所画圆与线段有两个公共点时，的取值范围为． ②连接，， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：存在定点N，在点运动过程中，使值保持不变．理由如下： 设，，且规定点C在点O的左边时，；点C在点O的右边时，． ∴，， 连接，过点C作于点C， ∴在中，． ∴在中，， 在中，， ∴， ∵在点运动过程中，使值保持不变， ∴，解得， 此时，， ． 【点睛】本题考查勾股定理，弧与圆心角的关系，等腰三角形的性质，弧长公式，垂径定理，切线的判定，直线与圆的关系，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【答案】(1)证明：连接，如图， ∵， ∴， ∴． ∵是的切线，是圆的半径， ∴． ∴， ∴， ∴． (2) 【分析】（1）连接，利用圆周角定理可得，利用切线的性质定理可得，得出，等边对等角和等量代换可得结论； （2）利用三角形的内角和定理的推论可得，则得，利用勾股定理可求的长，则结论可求． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴． ∴． ∴． ∵的直径为2， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 【答案】问题提出：（1），； （2）如下图所示，连接，      ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内角和等于， ∴； 深入探究：（1）；（2）；（3） 【分析】问题提出： （1）根据直径所对的圆周角为直角可得，再结合四边形内角和等于即可得到答案； （2）连接，根据圆周角定理可得，，结合可得，再根据四边形内角和等于即可得到答案； 深入探究： （1）根据切线定理可得，可推算出； （2）连接，根据切线的性质可得切角为直角，结合四边形内角和知识推算出，再根据圆周角定理得到，最终推算出，从而得到答案； （3）先根据切线的性质证明四边形是正方形，且边长为，再证明，，先计算出，再根据计算出圆I的半径，从而计算出圆I的面积，最终得到阴影部分的面积=． 【详解】问题提出： （1）∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形内角和等于， ∴． 故答案为：；； （2）略 深入探究： （1）∵点、、、是的切点， ∴， ∴ ∴； （2）， 证明:如下图所示，连接,设交于点M， ∵点、、、是的切点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如下图所示，连接 设半径为， ∵点、、、是的切点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形，且边长为， ∴，， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积=． 【点睛】本题考查圆、四边形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用圆周角定理、切线定理． 【答案】(1)①，是；②； (2)或 【分析】（1）①连接，设与轴交于点，勾股定理求得的长得出点的坐标，进而勾股定理求得得出，是等边三角形，结合新定义，即可求解； ②根据新定义可得，则是等边三角形，根据点是线段上的点，最小值即为垂线段的长度，结合图形，即可求解；根据切线的性质可得轴，根据等边三角形的性质可得，即可得出点的坐标； （2）设是上任意一点，根据新定义将顺时针得到的点在上，分析旋转后的线段与圆弧的位置关系，以及点的位置，解直角三角形，求得最值，进而求得的范围，即可求解． 【详解】（1）解：①连接，设与轴交于点， ∵的半径为2， ∴，， ∴ ∴ ∵， ∴，则， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴ ∴点是点关于弦的“等边旋转点” 故答案为：，是； ②根据新定义可得，则是等边三角形， ∴到的距离最小值即的长， ∵，， ∴的最小值为； 如图所示，当与相切时，轴，此时点与点重合， ∵是等边三角形， ∴ ∴ 故答案为：；． （2）解：由（1）可得，，则是半径为的圆的一条切线在半径为的圆的内部， 如图所示，连接，则， 当运动时，构成的图形是以为圆心，半径为，的同心圆的圆环 ∵若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”， 设是上任意一点， ∵，即点为轴上的点，则绕上一点顺时针得到的点在上，即是等边三角形， ∴在以为圆心，半径为，的同心圆的圆环内时（包括边界），符合题意， 如图所示， 当时，先求得最小值，如图所示，其中旋转后对应的线段在圆环内， 当与重合，且时，在半径为的上，此时 当距离最远时，此时重合，如图所示，连接，过点作轴于点， ∵是等边三角形，，， ∴， 在中， ∴ 解得：（负值舍去） ∴ 当时，∵上任意一点旋转后对应的点在圆环内，则线段在圆环内， 先求得最小值，即的最大值，则重合， 如图所示，在半径为的上时，是等边三角形则最小值， 如图所示，当在半径为的上且与其相切时，取得最大值时，如图所示，连接， ∴， ∵ ∴ 解得： ∴ 综上所述：的取值范围为：或 【点睛】本题考查了几何新定义，旋转的性质，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，坐标与图形，解直角三角形，分析理解新定义是解题的关键． 【答案】证明：平分， ， 、都是的圆周角， 且对，对， ， 同理，平分， ， ， ， 且，， ， 即， 为，即、为的一条直径的两个端点， 为的直径． 【分析】根据圆内接四边形性质得到，结合角平分线得到两组相等圆周角，进而推出，，再求出的度数为，证明是直径． 【详解】证明过程见答案处． 【答案】（1）（2）（3）， 【分析】（1）设与的交点为E，连接，根据圆周角定理，得，根据，得到，解答即可． （2）根据（1）证明可得当点E是的外接圆与直线的切点时，最大，设的外接圆圆心为点N，连接并延长交于点O，则，,过点C作于点M，，,根据余弦函数的定义，得． （3）当经过A，B的与相切于点P时，最大；连接，过点T作于点H，交于点Q，设，又，故，解答即可． 本题考查了圆的综合问题，掌握矩形的性质、切线的性质以及判定定理、含的直角三角形的性质、圆周角定理、勾股定理，等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：设与的交点为E，连接，根据圆周角定理，得， 又是的一个外角， 故， 故 故答案为：． （2）解：根据（1）证明可得当点E是的外接圆与直线的切点时，最大， 设的外接圆圆心为点N，连接并延长交于点O，则， 由矩形， 故，， 故, ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 过点C作于点M， ∴， ∴， ∴, ∴． （3）解：当经过A，B的与相切于点P时，最大； 连接，过点T作于点H，交于点Q， 根据垂径定理，得； 故， 又， 故，， 故， 设， 又， 故， 又， 故， 整理，得 ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∴， ∴． 【答案】(1)4 (2) (3)当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再证明，当与边相切时，切点即为点C，此时是的直径，由此求解即可； （2）如图所示，当与边相切时，设切点为点E，连接PE，由切线长定理求出的长进而求出的长，即可利用勾股定理求出答案； （3）分别讨论当与相切前，与相切时，与相切后到与相切前，与相切时，与相切后未经过点D时，经过点D后，画出对应的图形求解即可． 【详解】（1）解：∵平行四边形中，，，， ∴，， ∴，即， ∴当与边相切时，切点即为点C，则此时是的直径， ∴， 故答案为：4 （2）解：如图所示，当与边相切时，设切点为点E，连接PE， ∴， ∵， ∴是的切线， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴； （3）解：由（2）可知当时，与相切，此时与平行四边形四边的公共点的个数为3个； 如图3-1所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个； 由（1）可知当时，与相切，此时与平行四边形四边的公共点的个数为4个； 如图3-2所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个； 如图3-3所示，当恰好经过点D时，此时与平行四边形四边的公共点的个数为3个 ，连接，设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得， 如图3-4所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个； 如图3-5所示，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个； 综上所述，当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为4个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为3个；当时，与平行四边形四边的公共点的个数为2个； 【点睛】本题主要考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键。 【答案】(1)①；② (2)见解析 (3) 【分析】（1）①由圆周角定理可得,可证是等边三角形，即可求解；②由题意可得当点到距离最大时，的面积最大，即可求解； （2）由同弧所对圆周角相等可得，由三角形的外角的性质可得结论； （3）以边作等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆，可得当点在上方的圆上时，，分别求出点在圆和线段与圆相切时，的值，即可求解． 【详解】（1）解：①如图1，设为圆心，连接，， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，即半径为， 故答案为： ②∵以为底边，， ∴当点到的距离最大时，的面积最大， 如图1，过点作的垂线，垂足为，延长，交圆于， ∴，， ∴ ∴， ∴的最大面积为 故答案为： （2）解：如图，延长，交圆于点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （3）解：如图2，以为边作等腰直角三角形，以点为圆心，为半径作圆， （，）， ∴，， ∴当点在上方的圆上时，， 当点或点在圆上时，，即， 当与圆相切时，， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，圆的有关知识，解题关键是理解题意，正确寻找点的运动轨迹． 1．（2023九年级上·江苏无锡·阶段测试）综合与实践 问题探究： (1)如图1，已知等边的边长为，则的外接圆的半径为__________． (2)如图2，点为线段上任意一点（不与、重合），分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、，请探索与有怎样的位置关系，并说明理由． 问题解决： (3)如图3，某城市有一块空地，经测量是边长为米的等边三角形，城市规划部门准备把这块空地建成一个公园，边已建成栅栏，规划部门准备在和上再修建一段米的栅栏、（即），连接、交于点，在点处修建一个凉亭，过、、修建一个弧形慢跑道，慢跑道的成本为元/米，求修建弧形跑道的最少费用． 2．（2023九年级上·江苏南京·阶段测试）图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)当时，求四边形的面积． (3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． (1)求点D转动到点的路径长； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【经典例题二 三角形的外接圆判断与证明】 【例2】（2026九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 1．（2026九年级上·江苏无锡·阶段测试）解决以下问题 (1)问题思考 如图1，正方形中，点、在线段上，且满足，作交的延长线于点，则利用全等三角形的知识可知______（填，，）． (2)变化研究 如图2，正方形中，，点、在线段上，当时，试探究与、的关系，并直接写出的最小值为______． (3)拓展探索 如图3，，，，点、在线段上，且满足，若当取最小值时，，则线段的长为______． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，如图，四边形是矩形， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：为中点，画圆，使该圆过点、、（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (2)若，，则（1）中所画圆的半径为__________ 【经典例题三 利用弧、弦、圆心角的关系证明】 【例3】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A，B，C，D在上，，求证：． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． (1)若，求证：． (2)若，求证：，． (3)用语言文字把上述结论表述出来． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交于点D，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 【经典例题四 垂径定理相关证明】 【例4】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 2．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，是的弦，于点，交于点，点在上．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：是直径，为的弦，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为上一点，连接，点G为上一点，连接交于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，于点H，连接，若，．求线段的长． 【经典例题五 圆周角定理】 【例5】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)探究，的数量关系，并证明； (3)当面积最大时，请直接写出的值． ， 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 2．（2026九年级上·江苏扬州·单元测试）中，，D是外接圆上的一点，且点D是所对的弧的中点． (1)如图1，过点D作于点E． ①连接，则的度数为 ； ②若，求外接圆的半径． (2)如图2，连接，过点B的直线交于点F，交该外接圆于点I，交的延长线于点G；的延长线交于点H．若，，求证：． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知：为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，P为圆内一点，且．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．在上找一点D，使点D满足，请证明． 【经典例题六 圆的切线性质定理与切线长定理】 【例6】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，点是的边上一点，以为直径的切于点，交延长线于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的半径； ②连接，求的长． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？小明在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【灵活应用】 （2）如图3，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 【拓展延伸】 （3）如图4，小明完成上面的问题后发现的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图5，过圆上一点C，仅用无刻度的直尺，能否画出已知直径的垂线？请画出图形并说明理由． 2．（2023九年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 3．（2026九年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，内接于，是的直径，D是上的一点，连接，交于点F，平分，交的延长线于点E． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求长； 【经典例题七 圆与其他图形的综合应用】 【例7】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 1．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点 (1)求证：与相切 (2)如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积． 【经典例题八 求不规则图形的面积】 【例8】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 1．（2023九年级上江苏常州·阶段测试）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 2．（2026九年级上·江苏宿迁·单元测试）已知内接于，与相切，交的延长线于E．且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，当为直径时，若，求图中阴影部分的面积之和． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．    (1)判断直线与的位置关系．并说明理由； (2)若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点A，N在半圆O上，四边形，均为矩形，，．a与b的大小关系是怎样的？ 2．（24-25九年级上·重庆大足·期末）在中，为边上一点（不与端点重合），在外取一点，使，连接． (1)如图1，点在右侧，交于点，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在下方，为边上一点，若，连接交于点．若为的中点，求证：； (3)如图3，点在上且，过点作于点，点在直线上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，平面内有一点，满足，连接，当最小时，直接写出的最大值． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，画出的外心O； (2)在图②中，画出的内心 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，的弦、相交于点P，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，为的直径，C、D是半圆的两个三等分点，求的度数． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 6．（2026九年级上·江苏连云港·阶段测试）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 7．（2026九年级上·江苏南京·单元测试）如图①，在半径为10的中，弦，点在优弧上，过点作分别交、弦于点、．连接，过点作分别交、弦于点、、． (1)如图②，当为的直径时，求的长； (2)求证：； (3)当点运动时，关于的长的描述，正确的是_____． A．的长随的增大而增大 B．的长随的增大而减小 C．的长随的增大先增大后减小 D．的长随的增大而不变 8．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，点M是直径上一点，，点是半圆上一动点． (1)如图1，如果，求的长； (2)如图2，延长，交于点，． ①以点为圆心，为半径画圆．当所画圆与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如果，求的长； (3)如图3，点N是线段上的一点，连接．探究：在图3中是否存在定点N，在点运动过程中，使值保持不变，如果存在，求其值和的长；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是直径，点是上一点，．点为延长线上一点，且是的切线． (1)求证：； (2)过点作交于点E，的延长线交于点，若的直径为2，求线段的长． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）问题提出： 苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？ （1）小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： ∵是的直径， ∴__________________， ∴， ∵四边形内角和等于， ∴__________________． （2）请回答问题2，并说明理由． 深入探究： 如图3，的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，． （1）直接写出四边形边满足的数量关系_________； （2）探究、满足的位置关系； （3）如图4，若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 11．（24-25九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”． (1)如图，点，直线与交于点，． ①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”； ②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______； (2)已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 13．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图①，内接于，过点作的切线，在上任取一点（不与点重合）连接、，则___________（填“>”“<”或“=”）； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点为边上一点，当最大时，求的值； 【问题解决】 （3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大，已知：米，米，问在OD边上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数；若不存在，请说明理由． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，平行四边形中，，，，点P在对角线上运动（点P不与点A重合），以P为圆心，为半径作． (1)当与边相切时，　　． (2)当与边相切时，求的值． (3)随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化．请根据的取值范围探索与平行四边形四边的公共点的个数． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）【实验操作】 已知线段BC＝2，用量角器作，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）． (1)请你帮助解决小丽同学提出的问题： ①该弧所在圆的半径长为______； ②面积的最大值为______； (2)【类比探究】 小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为，请你证明； (3)【问题拓展】 结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，过点B作轴，轴，垂足分别为A、C，若点P在线段上滑动（点P可以与点A、B重合），使得的位置有两个，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.10 圆常考几何模型专训（8大题型+15道拓展培优题） 题型一 与圆相关的运动问题 题型二 三角形的外接圆判断与证明 题型三 利用弧、弦、圆心角的关系证明 题型四 垂径定理相关证明 题型五 圆周角定理 题型六 圆的切线性质定理与切线长定理 题型七 圆与其他图形的综合应用 题型八 求不规则图形的面积 【经典例题一 与圆相关的运动问题】 【例1】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，．将绕点B顺时针旋转到的位置，使A，B，三点在同一条直线上，那么点A经过路径的长是多少？ 1．（2023九年级上·江苏无锡·阶段测试）综合与实践 问题探究： (1)如图1，已知等边的边长为，则的外接圆的半径为__________． (2)如图2，点为线段上任意一点（不与、重合），分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、，请探索与有怎样的位置关系，并说明理由． 问题解决： (3)如图3，某城市有一块空地，经测量是边长为米的等边三角形，城市规划部门准备把这块空地建成一个公园，边已建成栅栏，规划部门准备在和上再修建一段米的栅栏、（即），连接、交于点，在点处修建一个凉亭，过、、修建一个弧形慢跑道，慢跑道的成本为元/米，求修建弧形跑道的最少费用． 2．（2023九年级上·江苏南京·阶段测试）图①，矩形纸片的边，，将矩形纸片沿对角线剪开，得到和．如图②，将绕点逆时针方向旋转，（，且）得到，过点作的平行线，过点作的平行线，两直线交于点． (1)求证：四边形是菱形． (2)当时，求四边形的面积． (3)当四边形有一个角是度时，直接写出线段扫过的面积． 3．（25-26九年级上·湖南长沙·期中）“五一”国际劳动节即将来临，小谷同学倡导劳动最光荣，为落实劳动培养计划，决定利用五一假期清洗厨房的油烟机，于是去商店购买了一瓶去油喷雾，善于观察的他发现其还蕴含了数学知识．如图1，为喷嘴，为按压柄，为伸缩连杆，和为导管，其示意图如图2，，．当按压柄按压到底时，转动到，此时（如图3）． (1)求点D转动到点的路径长； (2)求点D到直线的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【经典例题二 三角形的外接圆判断与证明】 【例2】（2026九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，在平行四边形中，，点，点分别从点，点同时出发，在线段上做等速运动，到达点，点后运动停止． (1)求证：； (2)若，求的度数； (3)若的外心在其内部时，求的取值范围． 1．（2026九年级上·江苏无锡·阶段测试）解决以下问题 (1)问题思考 如图1，正方形中，点、在线段上，且满足，作交的延长线于点，则利用全等三角形的知识可知______（填，，）． (2)变化研究 如图2，正方形中，，点、在线段上，当时，试探究与、的关系，并直接写出的最小值为______． (3)拓展探索 如图3，，，，点、在线段上，且满足，若当取最小值时，，则线段的长为______． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，在中，，是的内切圆，切点分别是、、． (1)连接、，则______． (2)若，，求的半径． (3)在（2）的条件下，的外心和内心的距离等于______． 3．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，如图，四边形是矩形， (1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图：为中点，画圆，使该圆过点、、（不写作法，保留作图痕迹，标注相应的字母） (2)若，，则（1）中所画圆的半径为__________ 【经典例题三 利用弧、弦、圆心角的关系证明】 【例3】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，点A，B，C，D在上，，求证：． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，与是的两条弦，，，垂足分别是E，F．，分别叫作弦，的弦心距． (1)若，求证：． (2)若，求证：，． (3)用语言文字把上述结论表述出来． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，、是的两条弦，与相交于点E，． (1)求证：； (2)若，，求的度数 3．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是的直径，，E是的中点，连接并延长到点F，使．连接交于点D，连接，． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的长． 【经典例题四 垂径定理相关证明】 【例4】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，是的直径，是的两条弦，点C与点D在的两侧，E是上一点（），连接，且． (1)如图1，若，求的半径； (2)如图2，若，求证：． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为5，，为两条平行的弦，且在圆心的同侧，，，求这两条平行弦之间的距离． 2．（2026九年级上·江苏·专题练习）如图，是的弦，于点，交于点，点在上．    (1)若，求的度数； (2)若，，求的长． 3．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知：是直径，为的弦，平分． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为上一点，连接，点G为上一点，连接交于点F，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，于点H，连接，若，．求线段的长． 【经典例题五 圆周角定理】 【例5】（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，点为正方形边上的一动点（不与点、点重合）将正方形纸片折叠，折痕为，使点落在处，点落在处，交于，连接，，与交于点． (1)求证：； (2)探究，的数量关系，并证明； (3)当面积最大时，请直接写出的值． 1．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在中， 为边上的一个动点，连接，以为直径的交于点，过点作，交于点，连接 ． (1)当时，求的长； (2)求证： ； (3)是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出此时的长；若不存在，请说明理由． 2．（2026九年级上·江苏扬州·单元测试）中，，D是外接圆上的一点，且点D是所对的弧的中点． (1)如图1，过点D作于点E． ①连接，则的度数为 ； ②若，求外接圆的半径． (2)如图2，连接，过点B的直线交于点F，交该外接圆于点I，交的延长线于点G；的延长线交于点H．若，，求证：． 3．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段检测）已知：为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 知识回顾 （1）如图①，中，位于直线异侧，． ①求的度数； ②若的半径为5，，求的长； 逆向思考 （2）如图②，P为圆内一点，且．求证：P为该圆的圆心； 拓展应用 （3）如图③，在（2）的条件下，若，点C在位于直线上方部分的圆弧上运动．在上找一点D，使点D满足，请证明． 【经典例题六 圆的切线性质定理与切线长定理】 【例6】（23-24九年级上·江苏镇江·期中）如图，点是的边上一点，以为直径的切于点，交延长线于点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若． ①求的半径； ②连接，求的长． 1．（24-25九年级上·江苏南京·阶段检测）【回归教材】 （1）苏科版数学九年级教材第42页第4题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？小明在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．请对教材原题或小明提出的问题进行解答．（选择一个解答即可） 【灵活应用】 （2）如图3，在中，，，线段绕点C在平面内旋转，过点B作的垂线，交射线于点E．若，则的最大值为________． 【拓展延伸】 （3）如图4，小明完成上面的问题后发现的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F．则为的边上的高．即三角形的三条高所在直线交于同一点．如图5，过圆上一点C，仅用无刻度的直尺，能否画出已知直径的垂线？请画出图形并说明理由． 2．（2023九年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，是外一点，是的切线，是切点，是上一点，且，射线交于、两点． (1)求证：是的切线； (2)求证：平分； (3)若的直径是，，则点与的内切圆上各点之间距离的最大值为______ ． 3．（2026九年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，内接于，是的直径，D是上的一点，连接，交于点F，平分，交的延长线于点E． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求长； 【经典例题七 圆与其他图形的综合应用】 【例7】（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，为直径，点C为上一点，平分，，垂足为H，交于点D． (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 1．（23-24九年级上·河北邢台·期末）如图1，是等腰三角形，是底边的中点，腰与相切于点． (1)求证：是的切线； (2)如图2，与边交于点、点，连接、，作的平分线交于点，连接、． ①求证的形状，并说明理由； ②若，，求弦与劣弧围成的阴影的面积． 2．（26-27九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，圆内接四边形满足，连结、，是延长线上的一点，过点作于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 3．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图1，中，为上一点，平分，以为圆心，为半径的圆，与相切于点 (1)求证：与相切 (2)如图2，若与相切于点，，，且，求弧、线段和组成的图形面积． 【经典例题八 求不规则图形的面积】 【例8】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为r，和为互相垂直的直径．以点B为圆心、为半径作，交于点E，求图中阴影部分的面积． 1．（2023九年级上江苏常州·阶段测试）如图，在中，，平分交于点，点在上，以为直径的经过点． (1)求证：是的切线； (2)若点是劣弧的中点，且，求阴影部分的面积． 2．（2026九年级上·江苏宿迁·单元测试）已知内接于，与相切，交的延长线于E．且． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，当为直径时，若，求图中阴影部分的面积之和． 3．（25-26九年级上·广东东莞·期末）如图，为正三角形的外接圆，直线经过点，．    (1)判断直线与的位置关系．并说明理由； (2)若圆的半径为4，求图中阴影部分的面积． 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，点A，N在半圆O上，四边形，均为矩形，，．a与b的大小关系是怎样的？ 2．（24-25九年级上·重庆大足·期末）在中，为边上一点（不与端点重合），在外取一点，使，连接． (1)如图1，点在右侧，交于点，若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)如图2，点在下方，为边上一点，若，连接交于点．若为的中点，求证：； (3)如图3，点在上且，过点作于点，点在直线上运动，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，平面内有一点，满足，连接，当最小时，直接写出的最大值． 3．（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，A，B，C为三个格点．仅用无刻度直尺在网格中完成作图．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (1)在图①中，画出的外心O； (2)在图②中，画出的内心 4．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段检测）已知，的弦、相交于点P，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，为的直径，C、D是半圆的两个三等分点，求的度数． 5．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知，如图：的半径，弦．点在上交于点． (1)若，求线段的长． (2)若点在弦上运动，则的最大值________． 6．（2026九年级上·江苏连云港·阶段测试）如图，是的直径，弦，垂足为．为上一点，连接交于点，的垂直平分线交的延长线于点，连接． (1)若的半径为，，求的长； (2)求证：是的切线． 7．（2026九年级上·江苏南京·单元测试）如图①，在半径为10的中，弦，点在优弧上，过点作分别交、弦于点、．连接，过点作分别交、弦于点、、． (1)如图②，当为的直径时，求的长； (2)求证：； (3)当点运动时，关于的长的描述，正确的是_____． A．的长随的增大而增大 B．的长随的增大而减小 C．的长随的增大先增大后减小 D．的长随的增大而不变 8．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在中，点M是直径上一点，，点是半圆上一动点． (1)如图1，如果，求的长； (2)如图2，延长，交于点，． ①以点为圆心，为半径画圆．当所画圆与线段有两个公共点时，求的取值范围； ②如果，求的长； (3)如图3，点N是线段上的一点，连接．探究：在图3中是否存在定点N，在点运动过程中，使值保持不变，如果存在，求其值和的长；若不存在，请说明理由． 9．（24-25九年级上·江苏盐城·阶段检测）如图，是直径，点是上一点，．点为延长线上一点，且是的切线． (1)求证：； (2)过点作交于点E，的延长线交于点，若的直径为2，求线段的长． 10．（23-24九年级上·江苏扬州·期中）问题提出： 苏科版九年级（上册）教材在探究圆内接四边形对角的数量关系时提出了两个问题： 1．如图（1），在的内接四边形中，是的直径．与、与有怎样的数量关系？ 2．如图（2），若圆心不在的内接四边形的对角线上，问题（1）中发现的结论是否仍然成立？ （1）小明发现问题1中的与、与都满足互补关系，请帮助他完善问题1的证明： ∵是的直径， ∴__________________， ∴， ∵四边形内角和等于， ∴__________________． （2）请回答问题2，并说明理由． 深入探究： 如图3，的内接四边形恰有一个内切圆，切点分别是点、、、，连接，． （1）直接写出四边形边满足的数量关系_________； （2）探究、满足的位置关系； （3）如图4，若，，，请直接写出图中阴影部分的面积． 11．（24-25九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，的半径为2，对于点，和的弦，给出如下定义：若弦上存在点，使得点绕点逆时针旋转后与点重合，则称点是点关于弦的“等边旋转点”． (1)如图，点，直线与交于点，． ①点的坐标为______，点______（填“是”或“不是”）点关于弦的“等边旋转点”； ②若点关于弦的“等边旋转点”为点，则的最小值为______，当与相切时，点的坐标为______； (2)已知点，，若对于线段上的每一点，都存在的长为的弦，使得点是点关于弦的“等边旋转点”，直接写出的取值范围． 12．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，已知四边形内接于，、的角平分线分别交于点、，连接．求证：为的直径． 13．（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）【问题提出】 （1）如图①，内接于，过点作的切线，在上任取一点（不与点重合）连接、，则___________（填“>”“<”或“=”）； 【问题探究】 （2）如图②，在矩形中，，点为边上一点，当最大时，求的值； 【问题解决】 （3）某儿童游乐场的平面图如图③所示，场所工作人员想在边上点处安装监控装置，用来监控边上的段，为了让监控效果最佳，必须要求最大，已知：米，米，问在OD边上是否存在一点，使得最大，若存在，请求出此时的长和的度数；若不存在，请说明理由． 14．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，平行四边形中，，，，点P在对角线上运动（点P不与点A重合），以P为圆心，为半径作． (1)当与边相切时，　　． (2)当与边相切时，求的值． (3)随着的变化，与平行四边形的边的公共点的个数也在变化．请根据的取值范围探索与平行四边形四边的公共点的个数． 15．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）【实验操作】 已知线段BC＝2，用量角器作，合作学习小组通过操作、观察、讨论后发现：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的圆弧上（点B、C除外），小丽同学画出了符合要求的一条圆弧（图1）． (1)请你帮助解决小丽同学提出的问题： ①该弧所在圆的半径长为______； ②面积的最大值为______； (2)【类比探究】 小亮同学所画的角的顶点在图1所示的弓形内部，记为，请你证明； (3)【问题拓展】 结合以上探究活动经验，解决新问题：如图2，在平面直角坐标系的第一象限内有一点，过点B作轴，轴，垂足分别为A、C，若点P在线段上滑动（点P可以与点A、B重合），使得的位置有两个，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $