专题3.7 扇形重难点题型专训（3个知识点+12大题型+2大提高题型+自我检测）2026-2027学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版）

专题3.7 扇形重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 求弧长】 6 【基础题型二 求扇形半径】 7 【基础题型三 求圆心角】 11 【基础题型四 求扇形面积】 17 【基础题型五 求图形旋转后扫过的面积】 20 【基础题型六 求弓形面积】 26 【基础题型七 求其他不规则图形的面积】 30 【基础题型八 求圆锥侧面积】 38 【基础题型九 求圆锥底面半径】 43 【基础题型十 求圆锥的高】 46 【基础题型十一 求圆锥侧面展开图的圆心角】 50 【基础题型十二 圆锥的实际问题】 54 第二部分·练提高题型 【提高题型一 圆中动点、动线问题】 61 【提高题型二 求解扇形相关问题综合应用】 63 第三部分・自我检测 知识点01 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 【即时训练】 1．（2026九年级上·江苏扬州）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由等边三角形的性质得到，然后利用圆周角定理求出，最后利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵的半径为，即， ∴的长为． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为6，则其底面圆半径为___________． 【答案】3 【分析】设底面圆半径为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：如图所示， 设该圆锥底面圆半径为， 由题意得，侧面展开半圆的弧长为， 根据侧面展开扇形弧长等于圆锥底面周长，可得， 解得， 该圆锥底面圆半径为． 知识点02 扇形及扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，点B在半圆O上，直径，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积，圆周角定理，三角形的中线的性质．先根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形得到的面积与的面积相等，从而把阴影部分的面积转化为扇形的面积，再根据扇形面积计算公式求出即可． 【详解】解：点是的中点， 线段是的中线， ， ， ， ， 直径， ， ， 故选：A． 2．（25-26九年级上·江苏南京·章节测试）已知扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的面积为________． 【答案】 【分析】直接利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵扇形的半径为4，弧长为， ∴扇形的面积是：． 故答案为：． 【点睛】本题考查计算扇形的面积，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键． 知识点03 圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形，那么由勾股定理得：． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【即时训练】 1．（2026九年级上·江苏镇江·周测）已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：圆锥的侧面积． 2．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为______． 【答案】5 【分析】本题考查了弧长、圆周长的知识．结合题意，根据弧长公式，得圆锥的底面圆周长；再根据圆形周长的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：∵母线长为，扇形的圆心角， ∴圆锥的底面圆周长， ∴圆锥的底面圆半径， 故答案为：5． 【基础题型一 求弧长】 【例1】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意确定为等边三角形，从而得出的度数，结合，代入弧长运算公式即可得出答案． 【详解】 解：， ， 又， 为等边三角形， ， ， 则运动路径的长度． 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是根据题意判断为等边三角形，另外要求同学们熟练掌握弧长的计算公式． 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·章节测试）如图，折扇骨柄长为，小鸣完全张开折扇时的度数为，此时弧的长是____． 【答案】 【详解】解：∵折扇骨柄长为，小鸣完全张开折扇时的度数为， ∴弧的长是． 1．（2023九年级上·江苏无锡·阶段测试）如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，由圆内接四边形的性质得出，由直径所对的圆周角等于90度得出，由三角形内角和定理得出，由圆周角定理得出，最后由弧长公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵四边形内接于，， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·章节测试）如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长公式，掌握圆周角定理是解决本题的关键．先根据圆内接四边形对角互补求出，根据三角形内角和求出，再求所对的圆心角，最后根据弧长公式求得的长． 【详解】解：在中，， ， ， 连接，则， 的半径为3， 的长为． 故选：． 3．（2026九年级上·江苏苏州·课后练习）如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的长度是______． 【答案】 【分析】根据旋转的性质和等腰三角形的性质可得，，设，求出，，根据等腰三角形的性质可得，据此列方程即可得解． 【详解】由旋转的性质可知，，，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度是． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标 ； (2)求弧的长（结果保留π）； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心； （2）利用弧长公式即可求解． 【详解】（1）解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心， 可以作弦和的垂直平分线，交点即为圆心． 如图所示，则圆心是． （2）解：弧的半径是． 圆心角， 则弧长是． 【基础题型二 求扇形半径】 【例1】（2026九年级上·江苏盐城·阶段测试）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将已知圆心角和弧长代入弧长公式，即可求解出的半径． 【详解】解：设的半径为， ∵，，， 代入公式得， 解得，即的半径为． 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为___________cm． 【答案】6 【分析】根据弧长计算公式，将其变形即可求出扇形半径． 【详解】扇形的弧长为， 解得，， 故答案为：6． 【点睛】本题考查扇形的弧长公式，解题的关键是熟记弧长公式． 1．（2025九年级上·江苏无锡·课后练习）如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了切线的性质，弧长公式，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质；连接，根据切线的性质得出，根据含度角的直角三角形的性质得出，进而得出是等边三角形，则，根据劣弧的弧长为，设，得出，进一步即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵切于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵劣弧的弧长为，设， ∴ 解得： ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．2π D．4π 【答案】A 【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：， ∴扇形的半径为2， 故选：A． 【点睛】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积公式． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 【答案】 【分析】本题考查弧长的计算．根据所给条件得到的值是解决本题的关键．易得的长度为，所对的圆心角为，根据弧长公式可得的值，进而可求得地球的周长． 【详解】解：如图， 由题意得：，，的长度为， ， 设地球的半径为， ， 解得：， 地球的周长为， 故答案为：40000． 4．（2026九年级上·江苏无锡·专题练习） 数学课堂上我们学习过切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，请完成下面证明题： (1)如图，中，，以为直径的半交于点，过点作于点．求证：是半的切线； 【数学与生活】 如图，无盖纸杯的侧面展开图是一个扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (2)某班兴趣小组要制作如图2所示的纸杯，规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线（）为，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图拼接处不重叠，则侧面展开图中所在的圆的半径为______； (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁图中纸杯的侧面（即：矩形纸片的一边与相切，点、在对边上，点，分别在另外两边上，求这个矩形纸片的边与的长； 【答案】(1) 证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是半的切线． (2) (3)，． 【分析】（1）连接，由等边对等角，等量代换可得，由平行线的判定和性质，可得，即可证得结论； （2）设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为，然后根据弧长公式得，，从而求解； （3）延长，交于点，连接，过点作于，交于，由（）知，从而可得和都为等边三角形，所以，然后通过勾股定理得，可得，，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，所在圆的半径为，则所在圆的半径为， ∴，， ∴，， ∴侧面展开图中所在的圆的半径为． （3）解：如图，延长，交于点，连接，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 由（2）知， ∵，， ∴和都为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 【基础题型三 求圆心角】 【例1】（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用弧长公式，将已知半径与弧长代入，计算求出圆心角度数． 【详解】解：设圆心角为，根据题意，得 ， ∴． 即这条弧所对的圆心角为． 【例2】（25-26九年级上·上海·章节测试）如果一条弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为________度． 【答案】 【分析】根据弧长占所在圆周长的比例等于弧所对的圆心角占周角的比例，可得这条弧所对的圆心角是的，计算即可得到结果． 【详解】解：一条弧长是其所在圆周长的， 这条弧所对的圆心角是． 1．（2026九年级上·江苏淮安·课后练习）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据弧长公式得到，即可得到答案． 【详解】解：重物上升， 故， 即， 解得，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为． 2．（25-26九年级上·上海·期末）把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 【答案】 【分析】同一个圆的半径相等，结合扇形弧长公式可知，弧长之比等于圆心角度数之比，先求出另一个扇形的圆心角，再化简比即可得到结果． 【详解】解：设原圆的半径为， ∵其中一个扇形的圆心角是， ∴另一个扇形的圆心角为：， ∵扇形弧长公式为，且两个扇形的半径相同， ∴弧长之比等于圆心角之比， ∴则该扇形与另一个扇形的弧长之比是． 3．（2026九年级上·江苏淮安·课后练习）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 【答案】 【分析】根据皮带传动无滑动的特点，主动轮与从动轮转过的弧长相等，先计算主动轮转过的弧长，再利用弧长公式求出从动轮转动的圆心角． 【详解】解：设从动带轮转动的圆心角为． ∵主动带轮半径，转动的圆心角为， ∴主动带轮转过的弧长． ∵从动带轮半径，转动的圆心角为， ∴从动带轮转过的弧长． ∵皮带传动无滑动，两轮转过的弧长相等， ∴，即． ∴． ∴． ∴从动带轮转动的圆心角为． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为． (1)如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数） (2)已知的长为，求的度数．（结果精确到） 【答案】(1)的长为及扇形的面积为 (2) 【分析】（1）直接根据弧长公式和扇形面积公式即可得出结论； （2）根据弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：∵，的半径为， ∴， 答：的长为及扇形的面积为； （2）解：∵的长为，的半径为， ∴， ∴， 答：的度数约为． 【基础题型四 求扇形面积】 【例1】（2026九年级上·江苏淮安阶段测试）小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】已知扇形的圆心角和面积，利用扇形面积公式即可计算出半径，得到正确选项. 【详解】设该扇形的半径为米， ∵扇形面积公式为，本题中，， ∴代入公式得， 化简得， 等式两边同时除以，得， 整理得， ∵半径为正数， ∴米， 故选：D． 【例2】（2026九年级上·江苏苏州·专题练习）图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形的面积．已知，，则该银杏叶的面积约为_________．（结果保留） 【答案】 【分析】把已知数据代入扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：扇形的面积． 1．（2023九年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正六边形的内角公式，求得，进而求出、，于是可求出扇形的圆心角，再在中过点作于，利用已知条件先求出，再求出，最后利用扇形的面积公式即可求得结果． 【详解】解：正六边形的边长为1， ，， ， 同理可得：， ， 过点作于， ， ， ， ， ， ， 扇形（阴影部分）的面积． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点C、D是以为直径的半圆的三等分点．的长为，则图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，交于点E，根据点C、D是以为直径的半圆的三等分点，以及半径相等可证得是等边三角形，再证明，可得，即图中阴影部分的面积为扇形的面积，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】连接，交于点E， ∵点C、D是以为直径的半圆的三等分点， ， ， 是等边三角形， ， ， 在和中， ， ， ∴图中阴影部分的面积为扇形的面积， ∵的长为， ∴的周长为， 半径为2， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握以以上知识点是解题的关键． 3．（2026九年级上·江苏连云港·周测）如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 【答案】 【分析】连接,根据,,可求得,由于与同底等高，用替换，阴影部分的面积就变成了求扇形的面积，所以求出扇形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，连接． ∵点是切点， ∴, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴为等腰三角形， ∴, ∴, ∵与同底等高， ∴， ∵半径，圆心角， ∴扇形面积． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在扇形中，，，正方形的顶点C、D、E、F分别在、上． (1)求正方形的边长； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)正方形的边长为1 (2) 【分析】（1）连接，设正方形的边长为x，推导出为等腰直角三角形，得到，再根据勾股定理求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：连接，如图 ∴， 设正方形的边长为x，有， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴ 解得或（不符合题意，舍去）， ∴正方形的边长为1； （2）解：由（1），得， ∴，， ∴． 【基础题型五 求图形旋转后扫过的面积】 【例1】（23-24九年级上·青海西宁·周测）如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出，根据旋转的性质得出，，根据，利用扇形面积公式即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴ ． 【例2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质可得，边扫过的区域面积等于扇形的面积减去扇形的面积，利用勾股定理求出的长，再根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 由勾股定理得， 由旋转的性质可知，，， ， 阴影部分的面积 ． 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查扇形面积的计算．首先根据钟面的特点求出时针转过的圆心角度数，再结合时针长度（即半径），利用扇形面积公式求解即可． 【详解】解：钟面一圈为，共有12个大格，时针每小时转过的角度为， 从点到点半，经过了30分钟，即小时， 时针转过的圆心角， 时针长，即扇形半径， 时针扫过的面积． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由扫过的部分为：扇形与，再进一步求解即可. 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的部分为：扇形与， ∴扫过的面积为：. 3．（24-25九年级上·江苏苏州·章节测试）如图，在中，．将绕点B按顺时针方向旋转到的位置，使A，B，三点在同一直线上，则边扫过的面积为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、扇形面积公式等知识点，掌握扇形的面积公式成为解题的关键． 根据旋转的性质得，由于点A、C、三点共线，即，可得；根据直角三角形的性质可得，最后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵将绕点B按顺时针方向旋转到的位置， ∴， ∵A，B，三点在同一直线上， ∴， ∵在中，， ∴， ∴边扫过的面积为． 故答案为：． 4．（26-27九年级上·全国·周测）根据要求画一画，算一算． (1)把①号图形按的比例放大画在方格中． (2)画出②号三角形绕点逆时针旋转后的图形． (3)算出②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积． 【答案】(1)如图所示，号图形即为所求； (2)如图所示，号图形即为所求； (3) 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：号三角形中线段在旋转过程中所扫过的路径是：以为圆心，以长为半径的扇形， ∵， ∴， 即号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积为． 【基础题型六 求弓形面积】 【例1】（23-24九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据弓形面积等于扇形面积减去三角形面积求解即可． 【详解】由题意得，， 弓形的面积=扇形OAB的面积-的面积 故选：A． 【点睛】本题考查弓形的面积，牢记弓形的面积等于扇形面积减去三角形面积是解题的关键． 【例2】（2026九年级上·北京·专题练习）已知半径为2的扇形圆心角为，则此弓形的面积是______． 【答案】 【分析】根据弓形的面积求解． 【详解】解：如图：过作， ， ， ， ， ，， 此弓形的面积是． 1．（2023九年级上·江苏徐州·专题练习）如图，是的直径，为弦，，D为直径上一点，且，连接并延长交于点E，现假设可以随意在圆中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 【答案】 【分析】连接，设圆的半径为用r表示出阴影的面积和圆的面积，用概率公式计算即可． 【详解】连接，如图， 设的半径为 ∴的面积为 阴影的面积为 ∴点取在阴影部分的概率为：， 故答案为： 【点睛】本题考查几何概率，解题的关键是用含r的代数式表示阴影部分的面积． 2．（2023九年级上 江苏南京）如图，已知的半径为1，内接于，，则弓形ACB（阴影部分）的面积为______．（结果保留或根号） 【答案】 【分析】在弦AB把分成的优弧上取一点D，连接OA，OB，AD，BD，过点O作OE⊥AB于E．根据圆内接四边形的性质和圆周角定理确定∠AOB=60°，进而求出扇形OAB的面积，根据等边三角形的判定定理和性质求出AB的长度，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出OE的长度，进而根据三角形面积公式求出△OAB的面积，最后用扇形OAB的面积减去△OAB的面积即可求出弓形OAB的面积． 【详解】解：如下图所示，在弦AB把分成的优弧上取一点D，连接OA，OB，AD，BD，过点O作OE⊥AB于E． ∵四边形ACBD内接于， ∴∠ACB+∠ADB=180°． ∵∠ACB=150°， ∴∠ADB=180°-∠ACB=30°． ∵∠AOB和∠ADB分别是所对的圆心角和圆周角， ∴∠AOB=2∠ADB=60°． ∵的半径是1， ∴OA=OB=1． ∴△OAB是等边三角形，S扇形OAB． ∴AB=OA=1． ∵OE⊥AB， ∴AE=BE． ∴． ∴． ∴． ∴S弓形OAB=S扇形OAB． 故答案为：． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定定理和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键． 3．（23-24九年级上 江苏南京）已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为________．(劣弧为弓形的弧) 【答案】 【分析】如图，过点作交于点，由弓形的弦长等于半径得出是等边三角形，故可得，求出和，计算． 【详解】 如图，过点作交于点， 弓形的弦长等于半径， ， 是等边三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查弓形的面积，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 4．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【答案】(1) 证明：连接， 是的直径， ， ， ， ，， ， ，即， ， 是的半径， 直线是的切线； (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定，求弓形面积，等边三角形的性质与判断，圆周角定理等等： （1）连接，根据圆周角定理可得，利用等腰三角形的性质和已知条件可求得，再根据切线的判定定理可得结论； （2）过点作于，连接，根据已知和第（1）小题可得，由题意求得，可得，进而判定是等边三角形，求出的度数，利用可求出答案． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于，连接， ， ， 由（1）得， ， ， ， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ， 是等边三角形， ， ， ， ． 【基础题型七 求其他不规则图形的面积】 【例1】（2026九年级上·浙江·周测）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接圆心和正六边形的顶点，将阴影部分转化为扇形面积减去等边三角形面积进行计算． 【详解】解：设圆的圆心为，正六边形的一条边为，连接， 多边形为正六边形， 圆心角 正六边形的边长为， 圆的半径 为等边三角形 过点作于点，则 在中， 阴影部分的面积． 【例2】（25-26九年级上·江苏·章节测试）如图，将半径为5cm的扇形沿西北方向平移cm，得到扇形．若，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】设交于点，交于点，连接，，过点作于点．求出，再根据，求解即可． 【详解】解：如图，设交于点，交于点，连接，，过点作于点． 将半径为的扇形沿西北方向平移，即将半径为的扇形向西平移，再向上平移， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积． 1．（24-25九年级上·重庆江津·章节测试）如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接，可得，由是半圆的直径，可得，根据平行线的性质可得，根据特殊角三角函数值得到，即可得出，利用勾股定理求出的长，根据即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，、为扇形的半径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵是半圆的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积、平行线的性质，特殊角三角函数值求角度及勾股定理，熟练掌握扇形面积公式并正确作出辅助线是解题关键． 2．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了求不规则图形的面积、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、圆的性质，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，，证明得到弓形的面积弓形的面积，则，进行计算即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，设与半圆交于点，半圆的圆心为，连接，， ，四边形是正方形， ， ， ， ， 垂直平分， ， 弓形的面积弓形的面积， ， 故选：A． 3．（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 【答案】 【分析】根据题意求得是等腰直角三角形，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ．， ，的面积为1， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∴， ， ， ∴图中阴影部分的面积． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，过点D作于点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为4，，求阴影部分的面积． 【答案】(1) 解：与相切，理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点D在上， ∴是的切线； (2) 【分析】（1）连接，先证，得，再由，得，即可得出结论； （2）连接，求出，由等腰三角形的性质得出，则，由扇形面积公式和三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定和等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 【基础题型八 求圆锥侧面积】 【例1】（2026九年级上·江苏南通·阶段测试）已知某圆锥的底面直径为6cm，母线长4cm，则它的全面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件得到底面半径，再分别计算底面积和侧面积，求和后即可得到结果． 【详解】解：由圆锥底面直径为可得底面半径，则底面积为， 圆锥侧面积公式为，则， 则圆锥的全面积为， A选项符合题意． 【例2】（2024九年级上·江苏泰州·专题练习）底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为___________ 【答案】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是展开图扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．根据圆锥的底面半径求出底面周长，根据勾股定理求出母线长，然后根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为， 由勾股定理得：圆锥的母线长为：， ∴圆锥的侧面展开图的面积为：， 故答案为：． 1．（25-26九年级上·上海松江·期末）一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积，只需根据已知条件推导出计算侧面积所需的量，即可判断能否计算侧面积． 【详解】解：设圆锥底面半径为，母线长为，侧面展开图圆心角为，圆锥侧面积，且侧面展开扇形弧长等于底面周长，即， ① 已知和，由扇形面积公式，可直接计算侧面积，①符合要求； ② 已知底面圆面积，由可求出，又已知，代入，可计算侧面积，②符合要求； ③ 已知和，由可求出，代入可计算侧面积，③符合要求； ④ 已知和底面周长，由可求出，再由扇形面积公式可计算侧面积，④符合要求。 因此①②③④都能计算圆锥侧面积． 2．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）若圆锥的高为，母线长为，则圆锥的全面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出底面圆的半径，然后根据圆锥的全面积为底面积与侧面积的和列式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的高为，母线长为， ∴底面圆的半径为， ∴底面圆的面积为，圆锥的侧面积为， ∴圆锥的全面积为， 故选：C． 【点睛】此题主要考查圆锥的计算，解题关键在于掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 3．（2026九年级上·江苏徐州·周测）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 【答案】 【分析】圆锥的侧面展开图是扇形，该扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，利用扇形面积公式求解； 【详解】解：设圆锥底面半径为，扇形半径为， 由题意得，， ∴圆锥底面周长， ∴扇形面积． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，锚标浮筒是打捞作业中用作标记锚或沉船位置的常用工具，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌多少千克（结果保留小数点后一位）？ 【答案】35.9千克 【分析】由图可得该几何体是上下两个圆锥和中间一个圆柱组成的，利用圆柱和圆锥的侧面积计算公式求出1个锚标浮筒的表面积，进而可求解． 【详解】解：由图知，圆柱和圆锥的底面半径为， 两个圆锥的高均为，圆柱的高为， ∴圆锥的母线长为， ∴两个圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， ∴1个锚标浮筒的表面积为， ∵每平方米用锌， ∴电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌（千克）． 【基础题型九 求圆锥底面半径】 【例1】（2026九年级上·江苏镇江·课后练习）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握圆锥的侧面展开图及弧长计算公式是解题的关键；根据圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆的周长可进行求解． 【详解】解：由题意得：扇形的半径等于正方形的边长，即，圆心角， 扇形的弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长， ， ． 【例2】（2026九年级上·江苏扬州·课后练习）用圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为____________． 【答案】4 【分析】根据圆锥侧面展开图的性质，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，先利用扇形弧长公式求得圆锥底面周长，再根据圆的周长公式计算底面圆半径． 【详解】解：圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，扇形弧长为， 设圆锥底面圆的半径为， 根据圆的周长公式可得． 解得． 1．（2023九年级上·江苏苏州·阶段测试）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】结合斐波那契数的规律，及扇形的弧长公式进行转化是解题关键．根据斐波那契数的规律，求出下一个圆弧的半径和弧长，结合圆锥的侧面积性质进行求解即可． 【详解】解：根据斐波那契数的规律可知，从第三项起，每一个数都是前面两个数之和， ∴接下来的扇形半径为， 对应的弧长， 设圆锥底面半径为r，则． ． 2．（25-26九年级上·江苏无锡·章节测试）将半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用圆锥侧面展开图的性质：扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设此圆锥底面圆的半径为， ∵扇形的半径为，圆心角为，且扇形弧长等于圆锥底面周长， ∴可得 ， 化简得：， 解得：． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·章节测试）圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，则圆锥底圆半径为_________． 【答案】 【分析】设圆锥底圆半径为，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据扇形的面积公式列方程即可求解． 【详解】解：设圆锥底圆半径为， 由题意得 ， 解得， ∴圆锥底圆半径为， 故答案为： 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·章节测试）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．    (1)求阴影部分面积； (2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【答案】(1)； (2)该圆锥的底面圆的半径是． 【分析】本题考查了扇形的面积计算，圆锥的底面圆的半径． （1）是圆O的直径，求出求得，进而利用扇形的面积公式可得阴影部分的面积； （2）求出的长度，即圆锥底面圆的周长，继而可得出底面圆的半径． 【详解】（1）解：连接，    ∵， ∴是圆O的直径， ∴点A、O、B三点共线， ∴， 又∵， ∴， ∵圆的直径为2， 则， 故． ∴； （2）解：的长， 则， 解得：． 故该圆锥的底面圆的半径是． 【基础题型十 求圆锥的高】 【例1】（2023九年级上·贵州黔东南·阶段测试）如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，根据圆的周长公式求出圆锥底面圆半径，再利用勾股定理求出圆锥的高． 【详解】解：如下图所示， 扇形的半径为， ， 阴影扇形的弧长是， ， ， ． 【例2】（2026九年级上·云南昭通·专题练习）数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 【答案】 【分析】先求得，即圆锥的底面圆的周长为，进而求得，然后再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∴圆锥的底面圆的周长为， ∴圆锥的底面圆的半径为，即， 在中，． 1．（2026九年级上·山东德州·周测）如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】分别根据等边三角形的性质求出，根据圆锥侧面展开图的弧长等于底面周长求出圆锥底面半径，再利用勾股定理求出 ，最后比较大小即可． 【详解】解： 扇形圆心角为 ，半径为 是等边三角形， ∴， 过点作于点， 设圆锥底面半径为 扇形弧长等于圆锥底面周长 ， 圆锥如图，取底面圆的中点，连接， ∵， ∴， ∴由勾股定理得： ． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面半径，由弧长公式求出圆锥的母线，再由勾股定理计算圆锥的高即可． 【详解】解：圆锥的底面半径为，圆锥的母线为， ∴ ． 3．（2024九年级上·云南·专题练习）已知圆锥的母线长是10，侧面积是，则此圆锥的高是__________． 【答案】8 【分析】本题考查了圆锥的计算，一元一次方程的应用，勾股定理，设圆锥的底面半径为r，根据侧面积公式列方程求出半径r，再根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设圆锥的底面半径为r， 则， 解得：， 圆锥的高， 故答案为：8． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·章节测试）把一个底面直径是6分米，高4分米的圆柱体钢材，熔铸成一个圆锥体，这个圆锥的底面积是12.56平方分米，高是多少分米？（取3.14） 【答案】 27分米 【分析】熔铸前后钢材的体积不变，先根据圆柱体积公式计算出圆柱体积，即为圆锥的体积，再利用圆锥体积公式求出圆锥的高即可． 【详解】解：已知圆柱底面直径是6分米， 因此圆柱底面半径为分米， 又圆柱的高是4分米，取3.14， 所以圆柱体积立方分米， 所以圆锥的体积也为113.04立方分米， 已知圆锥底面积是12.56平方分米， 则由圆锥体积公式为，可得圆锥的高分米， 答：这个圆锥的高是27分米． 【基础题型十一 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例1】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，若这个圆锥的底面半径长是，则这个圆锥的母线长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了圆锥的计算，用到的知识点为：圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：．先算圆锥的底面周长，也就是侧面展开图的弧长，进而利用弧长公式即可求得圆锥的母线长． 【详解】解：圆锥的底面周长， 则：， 解得． 故选：C． 【例2】（25-26九年级上·江苏南通·章节测试）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为9cm，底面圆的半径为3cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角是 ___________度． 【答案】120 【分析】根据题意可知，圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是， ， 解得， 即这种圆锥的侧面展开图的圆心角度数是120°， 故答案为：120． 【点睛】本题考查圆锥的计算、一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确圆锥的底面圆的周长扇形的弧长． 1．（2026九年级上·江苏南通·专题练习）一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 【详解】解：圆锥底面半径，高， 由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长， 设扇形圆心角度数为， 则， 解得：， 即圆心角度数为． 2．（2023九年级上·江苏无锡·课后练习）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 【答案】C 【分析】易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可． 【详解】解：将圆锥的侧面展开成扇形，连接，则蜘蛛爬行的最短路程就是线段的长度． 由题意知，， ， 设，根据弧长公式可求， 则最短路程为：在中，． 3．（2024九年级上·江苏无锡·阶段测试）从如图的一块半径为的铁圆盘上剪出一个圆周角为扇形，若将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆锥的母线、底面半径和高的关系，圆锥侧面展开图的圆心角计算公式，圆锥的体积，熟练掌握圆锥的相关计算公式是解题的关键．圆锥的母线、底面半径和高的关系：；圆锥侧面展开图的圆心角计算公式：；圆锥的体积是．连结，，证明是等边三角形，继而求得的长，然后利用圆锥侧面展开图的圆心角计算公式，求出底面半径，根据母线、底面半径和高的关系，求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式计算即可作答． 【详解】连结，， ，为半径， ， 是等边三角形， ， 即圆锥的母线长， ， ， ， ， ， 解得， ， 即该圆锥的体积为． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，圆锥母线的长等于底面半径的倍， (1)求它的侧面展开图的圆心角． (2)当圆锥的底面半径时，求从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径的长 【答案】(1)它的侧面展开图的圆心角为； (2)． 【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后求出的值即可； （2）连接，如图，根据两点之间线段对短得到为从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径，然后利用为等腰直角三角形得到的长． 【详解】（1）解：设它的侧面展开图的圆心角为， 根据题意得， 而， 所以，解得， 所以它的侧面展开图的圆心角为； （2）连接，如图， 此时为从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆锥侧面求最短路径问题，解答关键是根据公式计算求出圆心角和将立体问题转化为平面问题加以解决． 【基础题型十二 圆锥的实际问题】 【例1】（2026九年级上·江苏无锡·阶段测试）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设正方体棱长为，分别计算正方体体积和最大圆锥的体积，再求圆锥体积与正方体体积的比值即可得到结果。 【详解】解：设正方体的棱长为， ∴， ∵正方体削出的最大圆锥，底面直径等于正方体棱长，圆锥的高等于正方体棱长， ∴圆锥底面半径，圆锥高， ∴， ∴， 即圆锥的体积占正方体体积的． 【例2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________． 【答案】6 【分析】根据扇形的弧长等于圆锥的底面周长，利用扇形的弧长公式即可求得圆锥的底面周长，然后根据圆的周长公式即可求解． 【详解】设该扇形的半径为，根据题意，得， 解得， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长． 1．（25-26九年级上·江苏镇江 周测）“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可． 【详解】解： ∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为， ∴底面半径， ∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为， ∴根据勾股定理有， ∴， ∴圆锥的侧面积为： ∴该斗笠锅盖的表面积大约为． 2．（2023九年级上·江苏常州·专题练习）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了圆锥的相关计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可． 【详解】解：设，则， 根据题意，得： ， 整理得： ∴ 解得：， 即：． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏镇江 周测）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l：l＝1：3（l表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为____ 【答案】2：9 【分析】连接OD，能得∠AOB的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解． 【详解】解：连接OD交OC于M． 由折叠的知识可得：OM＝OA，∠OMA＝90°， ∴∠OAM＝30°， ∴∠AOM＝60°， ∵且l：l＝1：3， ∴∠AOB＝80° 设圆锥的底面半径为r，母线长为l， ＝2πr， ∴r：i＝2：9． 故答案是2：9． 【点睛】本题运用了弧长公式和轴对称的性质，关键是运用了转化的数学思想． 4．（25-26九年级上·江苏常州·周测）工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 【答案】 【分析】根据圆锥的体积为，求解即可； 【详解】解：根据题意，得圆锥底面圆的半径为：，高为， 根据题意，得； 答：这堆沙子的体积大约是； 【提高题型一 圆中动点、动线问题】 【例1】（23-24九年级上·江苏常州·章节测试）如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，先导角得到，作的外接圆，记为，连接，那么点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度，则，连接，解直角三角形得到，路径长为． 【详解】解：连接， 由题意得，， ∴为等边三角形， ∴， 当弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转时， 即， ∴此时点D与点B，P重合， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 作的外接圆，记为，连接， ∴点P的轨迹为劣弧，即路径长劣弧的长度， ∴， 连接，∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴路径长为：， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，弧长公式，解直角三角形，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题的关键在确定点P的运动轨迹． 【例2】（2026九年级上·江苏盐城·章节测试）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 【答案】 【分析】先分析得出点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为，在由已知条件根据勾股定理，求出，最后运用弧长公式求出点A经过的路径长． 【详解】∵将绕点O顺时针旋转，得到， ∴点A经过的路径为圆弧，其圆心为点O，半径为，圆心角为， ∵点A的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点A经过的路径长为的长， ∴． 1．（24-25九年级上·江苏扬州·章节测试）如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法： ①的最小值为； ②在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积； ③在运动过程中，点H的运动路径的长为． 其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查矩形的性质，弧长和扇形面积计算，取中点，根据得到点H在以为直径，为半径的圆上运动，据此判断各个选项即可． 【详解】解：取中点，连接，，， ∵矩形中，，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴点H在以为直径，为半径的圆上运动， ∵， ∴当A，H，在同一直线上时，最短， 此时， 即的最小值为，故①正确； 如图所示，当运动到时， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴点H的运动路线（轨迹）长为，故③正确； 在运动过程中，扫过的面积， 扫过的面积， ∴扫过的面积不等于扫过的面积，故②错误； 综上所述，正确①③， 故选：B． 2．（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）如图所示，把绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好是边的中点，，则点运动到点的位置时，所经过的路线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，弧长的求解，含角直角三角形的性质，解题的关键是正确求得和． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∵为的中点， ∴ ∴，即为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理可得： ∴点运动到点的位置时，所经过的路线长为 故选：A 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在等腰中，斜边，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是_________． 【答案】 【分析】本题考查了中位线的性质，求弧长，勾股定理，圆周角定理；连接、，取、的中点、，连接、、．首先证明，推出点的轨迹是半圆，由此即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、，取、的中点、，连接、、． 是直径， ， ，， ，同理， ，， ， ， 点的轨迹是半圆 ，，， ，， 点运动的路径长是 故答案为：． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·章节测试）【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； (3)若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 【答案】(1) 证明：在正方形中，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2) (3) 【分析】（1）先证明，可得，从而得到，即可求证； （2）根据，可得点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则，以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则，进而得到点在上，继而得到点G的路径为，求出的长度，即可求解； （3）根据点I是的内心，可得，作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动，再证得是等腰直角三角形，可得，进而得到是等腰直角三角形，可得到，连接，与交于点，当点I与点重合时，此时线段最短，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：如图②，由（1）得， 点G在以为直径的圆上运动，取的中点O，则， 以点O为圆心，以2为半径画，连接相交于点，连接，则，连接，则， ∴点在上， 当E与B重合时，F与C重合，则G与B重合， 当E与C重合时，F与D重合，则G与重合， ∴点G的路径为， ∵，O为的中点， ∴， ∴， ∴的长度为， 即点G经过的路径为； 故答案为： （3）解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作的外接圆，连接，过点O作的延长线于点M，则点I在上运动， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 连接，与交于点， 当点I与点重合时，此时线段最短， ∵， ∴， 即线段最小值为． 故答案为： 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，垂直的定义，圆周角定理，弧长公式，三角形出内心及外接圆，等腰直角三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【提高题型二 求解扇形相关问题综合应用】 【例1】（23-24九年级上·江苏·阶段检测）如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理求得的长，再根据直角三角形的性质可得，，即旋转角为．根据即可求出阴影部分的面积．本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质和扇形的面积．熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键．扇形的面积，其中n表示圆心角的度数，r表示扇形的半径． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， 根据旋转的性质可得，， ∴ ． 【例2】（2026九年级上·江苏苏州·章节测试）如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点、的两条切线交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径m，，则图中危险区（阴影部分）面积为__________． 【答案】/ 【分析】连接，先求出圆心角，进而求出扇形的面积，再求出，根据三角函数得到，然后求出四边形面积，由四边形面积减去扇形面积即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ，是圆的切线， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 危险区（阴影部分）的面积为． 1．（2025九年级上·江苏·周测）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可． 【详解】如图所示，过点A作于点D ∵是直径 ∴ ∵ ∴是等腰直角三角形 ∵ ∴， ∴ ∴， ∴该粒米落在扇形内的概率为． 故选：D． 【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2023九年级上·江苏盐城·课后练习）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（     ） A．60 平方步 B．90 平方步 C．120 平方步 D．240 平方步 【答案】C 【分析】根据扇形面积公式，即进行计算即可． 【详解】由题意可知，扇形的弧长为30步，扇形所在的圆直径为16步， 所以扇形的面积为（平方步）， 故选：C． 【点睛】本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算公式是正确解答的前提． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，扇形的半径，将扇形绕点逆时针旋转得扇形，当点落在上时旋转停止，则扇形中空白部分的面积为 ______（结果保留）． 【答案】 【分析】连接，由旋转的性质得，，扇形的面积扇形的面积，即得扇形中空白部分的面积扇形中空白部分的面积，又由可得是等边三角形，得到，利用扇形面积公式求出扇形的面积，过点作于，根据等边三角形的性质和勾股定理求出等边三角形的面积，进而即可求解． 【详解】解：连接， 由旋转的性质得，，扇形的面积扇形的面积， ∴扇形中空白部分的面积扇形中空白部分的面积， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴扇形的面积， 过点作于，则， ∴， ∴等边三角形的面积， ∴扇形空白部分的面积扇形的面积的面积， ∴扇形空白部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，扇形的面积，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（2026九年级上·江苏泰州·章节测试）已知是的直径，点为上一点，平分交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图（1）作出过点的的切线（其中圆规仅使用一次画弧写出简要的作图步骤，保留必要的作图痕迹）； (2)如图（2），设（1）中的交的延长线于点，连接，当时，求线段，与围成的图形的面积． 【答案】(1)如图所示，作图步骤如下： 1、连接交于点； 2、连接，并延长交射线于点； 3、把圆规两只脚分别与点重合，即此时圆规两脚的距离为线段长，以点为圆心以长为半径画弧交线段于点； 4、作直线即为过点的的切线； (2) 【分析】（1）由切线的定义可得，作出过点的的切线，即要作，题意要求圆规仅使用一次画弧，常规尺规作，需要不止一次使用圆规画弧，所以需要利用现有的点、线来作图，连接交于点；连接，并延长交射线于点；以点为圆心以长为半径画弧交线段于点；作直线即为过点的的切线； （2）连接，可得四边形是菱形，得出，从而得出，则线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积，由是等边三角形，得出扇形的面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，作图步骤如下： 1、连接交于点； 2、连接，并延长交射线于点； 3、把圆规两只脚分别与点重合，即此时圆规两脚的距离为线段长，以点为圆心以长为半径画弧交线段于点； 4、作直线即为过点的的切线； 在作图步骤中只在第3步中使用圆规画了一次圆弧，符合题意， 此时直线为过点的的切线，理由如下： 连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴，，即，， ∴，即， 由垂径定理可得：点为的中点， 在与中 ∴， ∴，即点为中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∵， ∴点是中点， ∴， ∵， ∴， ∴直线为过点的的切线． （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点是中点， 由（1）得：，， 在中，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积， ∵， ∴是等边三角形，即， ∴， ∴线段，与围成的图形的面积即是扇形的面积为． 1．（2023九年级上·江苏苏州·周测）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：由图可知，总面积为：5×6=30，， ∴阴影部分面积为：， ∴飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件发生的概率． 2．（23-24九年级上·江苏南京·章节测试）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由AQ⊥BQ，得点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC，代入弧长公式即可． 【详解】∵AQ⊥BQ， ∴点Q在以AB为直径的⊙O上运动，运动路径为，连接OC， ∵∠ACB＝90°，OA＝OB， ∴CO＝OA＝1， ∴∠COB＝2∠CAB＝60°， ∴的长为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，确定点Q在以AB为直径的⊙O上运动是解题的关键． 3．（2023九年级上·江苏常州·专题练习）如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，作于，根据平行线的性质求出，利用等腰三角形的性质可得，从而求出，，再利用计算即可． 【详解】解：连接，作于，如图， ∵，， ∴， ， ， ， ，， ， 扇形的面积为：， ， 阴影部分的面积为：． 故选A． 【点睛】本题考查弓形面积求法，解题的关键是掌握弓形面积的表示方法． 4．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得围成的圆锥的母线长，然后利用勾股定理求得其高即可． 【详解】解：∵圆的半径为r，扇形的弧长等于底面圆的周长得出2πr． 设圆锥的母线长为R，则=2πr， 解得：R=3r． 根据勾股定理得圆锥的高为r， 故选：A． 【点睛】本题主要考查圆锥侧面面积的计算，正确理解圆的周长就是扇形的弧长是解题的关键． 5．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积和圆心角分别是（    ） A．4π  60° B．4π  90° C．2π  90° D．8π  60° 【答案】B 【分析】由三视图先确定几何体为圆锥，利用圆锥侧面积公式计算，根据侧面展开图扇形弧长与底面圆周长列方程，解方程即可． 【详解】解：从三视图看几何体为圆锥，母线长为4，底面圆的半径为1， ∴圆锥侧面积为：， ∴， ∴圆心角为：． 故选择B． 【点睛】本题考查三视图还原几何体，圆锥侧面面积与侧面展开图扇形圆心角，掌握三视图还原几何体的方法，熟记圆锥侧面积公式，弧长公式是解题关键． 6．（2024九年级上·江苏·阶段测试）如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角定理和弧长公式，熟练掌握圆周角定理和弧长公式是解题的关键；根据圆周角定理和弧长公式解答即可． 【详解】解：是直径， ， ， ， ， ∴的长π． 故选：A 7．（23-24九年级上·江苏无锡·章节测试）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及逆定理，扇形面积的计算．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，进而得出，再根据旋转可得旋转的圆心角为，半径，根据扇形面积的计算方法进行计算即可． 【详解】解：连接，如下图：    ∵，， ∴， ∴， 又∵点为的中点， ∴， 弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，就绕着点逆时针旋转，扫过的部分为下图中的阴影部分，    由题意可得：， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 扫过的部分的面积就是， 故选：D． 8．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设空白部分的面积为，则，，得到，根据，即可求解． 【详解】解：设空白部分的面积为， ，， ， ， ， 故选：D． 9．（2023九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，交于E，先确定是等边三角形，进而求出，然后根据阴影部分的面积得出答案． 【详解】解：连接，交于E， ∵沿对折O和D重合，， ∴， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴阴影部分的面积 ． 10．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 【答案】B 【分析】连接，交于，证明，根据角所对直角边等于斜边的一半得出，由即可得出点与点重合，进而得出结论． 【详解】解：由题意可得，点是的中点，连接，交于， ， ， ， 中，， A，B，C依次是的四等分点， ， ， ，即点与点重合． 11．（2026九年级上·江苏扬州·课后练习）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为_____． 【答案】 【分析】令圆心为O，连接，，，证明是等边三角形，推出，最后根据弧长公式求解． 【详解】解：如图，令圆心为O，连接，，， 直径为，， ， 是等边三角形， ， 的长为． 12．（2026九年级上·江苏泰州·阶段测试）“黄金螺旋”的画法通常以斐波那契数列为边长作正方形，再画四分之一圆弧连接而成．若换用数列（从第三项起，每一项等于前两项之和）作为正方形的边长，按同样方式构造螺旋线．如图，最小的正方形边长为2，依次得到边长分别为2，2，4，6，10的五个正方形，并在每个正方形内画圆心角为的圆弧，连成一段螺旋线，则这段螺旋线的长度为___________．（结果保留） 【答案】 【分析】这段螺旋线由5段圆心角为的圆弧组成，每段圆弧的半径等于对应正方形的边长，利用弧长公式计算各段弧长后求和即可得到总长度． 【详解】解：根据弧长公式，其中为圆心角度数，为圆弧半径， 由题意得，5段圆弧的半径依次为2，2，4，6，10， 分别计算各段弧长： ，，，，， 总螺旋线长度为：． 13．（2024九年级上·江苏苏州·课后练习）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是________．    【答案】/ 【分析】利用证明得出，，，即可求得，根据等腰三角形三线合一的性质得出，且BO=DO，进一步求得，即可求得，根据含角的直角三角形的性质即可求得，然后根据弧长公式求得即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为：， 设圆锥的底面半径为r， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆锥的计算，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，弧长的计算等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 14．（26-27九年级上·江苏·周测）已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， ∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：． 15．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在轴的正半轴上，，，点，将绕点顺时针旋转得到，则的长度为__，线段的长为__，图中阴影部分面积为__． 【答案】 14 【分析】根据弧长公式即可求出的长度；根据旋转的特点得到AE=AD，再根据坐标的特点求出AD的长即可求解；根据图形的特点可知图中阴影部分面积，根据扇形的面积公式可求解． 【详解】解：等边的顶点在轴的正半轴上， ， ，， ，， ， ， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，； 的长度为； 图中阴影部分面积 ． 故答案为：；14；． 【点睛】此题主要考查圆与旋转综合，解题的关键是熟知扇形面积与弧长公式、旋转的定义． 16．（2025九年级上·江苏扬州·课后练习）如图，中，，D是的中点，P是上的一点，且弧弧，为的外接圆． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若是等边三角形，，求弧的长． 【答案】(1) 直线与相切，理由： 连结、，交于E，如图， ∵弧弧， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，D是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴直线与相切； (2) 【分析】（1）连结、，交于E，则，，，有，进一步得，结合已知得，即； （2）根据题意得和，则，，证明是等边三角形，设的半径为r，则，在中利用勾股定理求得r，再结合弧长公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是等边三角形，， ∴，， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， 设的半径为r，则， 在中，，即，解得， 则弧的长． 【点睛】本题主要考查切线的判定、等腰三角形的性质、等边三角形的判定和性质、垂径定理、弧长公式和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉圆的性质和三角形的性质． 17．（23-24九年级上·江苏盐城·章节测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为6，∠C＝67.5°，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）9π-18 【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质证明∠ODB＝∠C，则，得∠ODF＝∠DFC＝90°，根据切线的判定理可证明DF是⊙O的切线； （2）连接OE，先求出∠A的度数，再由OE＝OA，求得∠AOE＝90°，再根据阴影部分的面积等于扇形的面积减去直角三角形的面积求出阴影部分的面积． 【详解】解（1）证明：如图，连接OD， ∵OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∴∠ODB＝∠C， ∴， ∵DF⊥AC于点F， ∴∠ODF＝∠DFC＝90°， ∵DF经过⊙O的半径OD的端点D，且DF⊥OD， ∴DF是⊙O的切线． （2）解：如图，连接OE，则OE＝OA， ∵∠B＝∠C＝67.5°， ∴∠OEA＝∠A＝180°﹣67.5°﹣67.5°＝45°， ∴∠AOE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∵OA＝OE＝6， ∴S阴影＝， ∴阴影部分的面积为9π﹣18． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，圆的基本性质，切线的判定，扇形面积的计算，解本题的关键是（1）证明 （2）证明. 18．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是、将△AOB绕点O逆时针旋转后得到． (1)点的坐标为______；的度数为______ (2)在旋转过程中，点B经过的路径为，求的长 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查旋转的性质和弧长公式，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质求解即可； （2）根据弧长公式进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 点的坐标为， （2）解：， ， 的长． 19．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，． (1)请用直尺（不含刻度）与圆规在上作一点，使得直线平分的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) 直线即为所求； (2) 【分析】（1）延长，在延长线上截取，作的中垂线，垂足为，作直线即可得； （2）连接，由作图知是中位线，据此知，继而由为等腰直角三角形得出，利用勾股定理求出的长，最后利用即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，延长，在延长线上截取，作的中垂线，垂足为，作直线， ∴， ∵， ∴， 即：直线平分的周长， （2）解：如图，连接， ∵为的中位线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵ ∴， ∴由勾股定理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．（2025九年级上·江苏·课后练习）如图，在中，是的直径． (1)尺规作图：作半径的垂直平分线，交于两点，交半径于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若的半径是4，连接，沿着半径剪开，把和构成的扇形围成圆锥的侧面，求这个圆锥的底面周长． 【答案】(1)如图所示，直线为所求： (2) 【分析】（1）根据线段的垂直平分线的基本作图解答即可． （2）根据弧长公式，圆锥的展开图性质解答即可． 本题考查了线段的垂直平分线的基本作图，圆锥的展开图，弧长公式，熟练掌握基本作图，弧长公式是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：连接， ∵直线是线段的垂直平分线，的半径是4； ∴； ∴； ∴；                            ∵； ∴； ∴； ∵的长为； 又∵扇形围成圆锥的侧面时，圆锥的底面周长等于扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.7 扇形重难点题型专训 （3个知识点+12大题型+2大提高题型+自我检测） 目录 第一部分・练基础题型 【基础题型一 求弧长】 3 【基础题型二 求扇形半径】 4 【基础题型三 求圆心角】 5 【基础题型四 求扇形面积】 7 【基础题型五 求图形旋转后扫过的面积】 9 【基础题型六 求弓形面积】 11 【基础题型七 求其他不规则图形的面积】 12 【基础题型八 求圆锥侧面积】 14 【基础题型九 求圆锥底面半径】 16 【基础题型十 求圆锥的高】 17 【基础题型十一 求圆锥侧面展开图的圆心角】 19 【基础题型十二 圆锥的实际问题】 20 第二部分·练提高题型 【提高题型一 圆中动点、动线问题】 23 【提高题型二 求解扇形相关问题综合应用】 23 第三部分・自我检测 知识点01 弧长公式 在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的弧长就是圆周长，所以的圆心角所对的弧长是，即，于是的圆心角所对的弧长为，弧长为l的弧所对的圆心角为度． 【即时训练】 1．（2026九年级上·江苏扬州）如图，等边三角形内接于．若的半径为，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）已知一个圆锥侧面展开图是一个半圆，其母线长为6，则其底面圆半径为___________． 知识点02 扇形及扇形的面积公式 1. 扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形． 2. 扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积，所以圆心角是的扇形面积是，于是圆心角为的扇形面积是，还可以用弧长表示扇形面积，其中l为扇形的弧长． 【即时训练】 1．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）如图，点B在半圆O上，直径，，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏南京·章节测试）已知扇形的半径为4，弧长为，则该扇形的面积为________． 知识点03 圆锥的侧面积和全面积 1. 圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线． 2. 圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高． 3. 圆锥的基本特征 （1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面． （2）圆锥的母线长都相等． （3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形，那么由勾股定理得：． 4. 圆锥的侧面积和全面积：母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即． 【即时训练】 1．（2026九年级上·江苏镇江·周测）已知圆锥的底面圆半径为5，母线长为12，则该圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏徐州·阶段检测）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为______． 【基础题型一 求弧长】 【例1】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）将两块全等的三角板和按如图所示的位置放置．，，若三角板绕点C沿逆时针方向旋转，使点E恰好落在斜边上，则点A运动路径的长度为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·章节测试）如图，折扇骨柄长为，小鸣完全张开折扇时的度数为，此时弧的长是____． 1．（2023九年级上·江苏无锡·阶段测试）如图，为的直径，点C，D是上的两点，连接，，，若，，则长是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏镇江·章节测试）如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·江苏苏州·课后练习）如图，在中，，，将绕点B顺时针旋转得到，且点落在边上，连接．若，则的长度是______． 4．（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，过格点A、B、C作一圆弧． (1)直接写出该圆弧所在圆的圆心D的坐标 ； (2)求弧的长（结果保留π）； 【基础题型二 求扇形半径】 【例1】（2026九年级上·江苏盐城·阶段测试）在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏盐城·期末）一个扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的半径为___________cm． 1．（2025九年级上·江苏无锡·课后练习）如图，切于点，弦，若，劣弧的弧长为，则线段的长为(   ) A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏无锡·期末）若一个扇形的圆心角是90°，面积为π，则这个扇形的半径是（    ） A．2 B．4 C．2π D．4π 3．（24-25九年级上·江苏泰州·期末）埃拉托色尼是一位古希腊的杰出数学家，他首创了“地理学”这个词，被尊称为“地理学之父”．他的名著《对地球大小的修正》中提出了一种测量地球周长的设想，如图，塞伊尼点和亚历山大点是几乎在同一条经线上的两座城市，两地相距约，在塞伊尼城有一口垂直于地面的水井，夏至日中午12点太阳光可直射井底，同一时刻在亚历山大城竖起一根垂直于地面的木棍，利用影子测出太阳光线与木棍所在直线的夹角约为，据此可以估算地球的周长约为______ 4．（2026九年级上·江苏无锡·专题练习） 数学课堂上我们学习过切线的判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，请完成下面证明题： (1)如图，中，，以为直径的半交于点，过点作于点．求证：是半的切线； 【数学与生活】 如图，无盖纸杯的侧面展开图是一个扇环纸片（可以看作扇形纸片剪去扇形纸片后剩余的部分）． (2)某班兴趣小组要制作如图2所示的纸杯，规格要求：杯口直径为，杯底直径为，杯壁母线（）为，并且在制作过程中纸杯的侧面展开图拼接处不重叠，则侧面展开图中所在的圆的半径为______； (3)若用一张矩形纸片，按图的方式剪裁图中纸杯的侧面（即：矩形纸片的一边与相切，点、在对边上，点，分别在另外两边上，求这个矩形纸片的边与的长； 【基础题型三 求圆心角】 【例1】（2026九年级上·江苏·专题练习）已知一条弧的半径为，弧长为，那么这条弧所对的圆心角为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·上海·章节测试）如果一条弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为________度． 1．（2026九年级上·江苏淮安·课后练习）一滑轮装置如图，滑轮的半径为，假设绳索与滑轮之间没有滑动（取），当重物上升时，滑轮的一条半径绕轴心按逆时针方向旋转的角度约为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·上海·期末）把一个圆剪成两个扇形，其中一个扇形的圆心角是，则该扇形与另一个扇形的弧长之比是______． 3．（2026九年级上·江苏淮安·课后练习）如图是某机器的皮带传动装置，由主动带轮和从动带轮组成，皮带紧绷且传动时无滑动．已知主动带轮半径为，从动带轮半径为，当主动带轮转动的圆心角为时，从动带轮转动的圆心角为______． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，的半径为． (1)如果，求的长及扇形的面积．（结果保留一位小数） (2)已知的长为，求的度数．（结果精确到） 【基础题型四 求扇形面积】 【例1】（2026九年级上·江苏淮安阶段测试）小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【例2】（2026九年级上·江苏苏州·专题练习）图中的银杏叶的面积可近似地看成扇形的面积．已知，，则该银杏叶的面积约为_________．（结果保留） 1．（2023九年级上·江苏宿迁·阶段测试）如图，正六边形的边长为1．扇形（阴影部分）的面积为（     ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，点C、D是以为直径的半圆的三等分点．的长为，则图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 3．（2026九年级上·江苏连云港·周测）如图，是的切线，是切点，过点作的平行线，交于点，若，，则图中阴影部分的面积为__________（结果保留）． 4．（25-26九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，在扇形中，，，正方形的顶点C、D、E、F分别在、上． (1)求正方形的边长； (2)求图中阴影部分的面积． 【基础题型五 求图形旋转后扫过的面积】 【例1】（23-24九年级上·青海西宁·周测）如图，将绕点逆时针旋转得到，阴影部分为线段扫过的区域，已知，，则阴影部分面积为（     ） A． B． C． D．9 【例2】（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，在中，，，现将绕着点顺时针旋转得到，其中，的对应点分别为，，则边扫过的区域（图中阴影部分）的面积为________． 1．（25-26九年级上·江苏徐州·期末）如图，钟面上的时针长，从点到点半，时针在钟面上扫过的面积是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·江苏苏州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，若将绕点O顺时针旋转得到，则扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·章节测试）如图，在中，．将绕点B按顺时针方向旋转到的位置，使A，B，三点在同一直线上，则边扫过的面积为________． 4．（26-27九年级上·全国·周测）根据要求画一画，算一算． (1)把①号图形按的比例放大画在方格中． (2)画出②号三角形绕点逆时针旋转后的图形． (3)算出②号三角形中线段在旋转过程中所扫过的面积． 【基础题型六 求弓形面积】 【例1】（23-24九年级上·吉林白城·阶段检测）如图，网格中的小正方形边长都是1，则以O为圆心，为半径的弧和弦所围成的弓形的面积等于（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026九年级上·北京·专题练习）已知半径为2的扇形圆心角为，则此弓形的面积是______． 1．（2023九年级上·江苏徐州·专题练习）如图，是的直径，为弦，，D为直径上一点，且，连接并延长交于点E，现假设可以随意在圆中取点，则这个点取在阴影部分的概率是______． 2．（2023九年级上 江苏南京）如图，已知的半径为1，内接于，，则弓形ACB（阴影部分）的面积为______．（结果保留或根号） 3．（23-24九年级上 江苏南京）已知弓形的弦长等于半径R，则此弓形的面积为________．(劣弧为弓形的弧) 4．（2025九年级上·江苏无锡·专题练习）如图，是的直径，点是上一点（与点，不重合），过点作直线，使得． (1)求证：直线是的切线； (2)过点作于点，交于点，若的半径为3，点为的中点，求图中阴影部分（弓形）的面积． 【基础题型七 求其他不规则图形的面积】 【例1】（2026九年级上·浙江·周测）我国很多古建筑，如图1所示的六角亭运用了简单的几何图形，如圆和正多边形．如图2，已知圆的内接正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【例2】（25-26九年级上·江苏·章节测试）如图，将半径为5cm的扇形沿西北方向平移cm，得到扇形．若，则阴影部分的面积为______． 1．（24-25九年级上·重庆江津·章节测试）如图，在圆心角为的扇形中，半径，以为直径作半圆O．过点O作的平行线交两弧于D、E，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·山东济宁·期末）如图，正方形的边长为6，以为直径在正方形内部画半圆，连接对角线，则阴影部分的面积是（    ） A．9 B．6 C．3 D．12 3．（26-27九年级上·江苏·单元测试）如图，在矩形中，以B为圆心，为半径画弧交于点C，连接，，的面积为1，则图中阴影部分的面积为_______．（结果保留π和根号） 4．（25-26九年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，以为直径的与边、分别交于D、E两点，过点D作于点F． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若的半径为4，，求阴影部分的面积． 【基础题型八 求圆锥侧面积】 【例1】（2026九年级上·江苏南通·阶段测试）已知某圆锥的底面直径为6cm，母线长4cm，则它的全面积为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2024九年级上·江苏泰州·专题练习）底面圆半径为、高为的圆锥的侧面展开图的面积为___________ 1．（25-26九年级上·上海松江·期末）一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（     ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 2．（25-26九年级上·山西大同·阶段检测）若圆锥的高为，母线长为，则圆锥的全面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2026九年级上·江苏徐州·周测）如图，用一张半径为的扇形纸板做一个圆锥形帽子（接缝忽略不计），若做成的圆锥形帽子的底面半径为，则该扇形纸板的面积为__________． 4．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，锚标浮筒是打捞作业中用作标记锚或沉船位置的常用工具，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌多少千克（结果保留小数点后一位）？ 【基础题型九 求圆锥底面半径】 【例1】（2026九年级上·江苏镇江·课后练习）小红在一张边长为的正方形纸板上，按如图方法裁出一个扇形（阴影部分），并用它围成圆锥形礼帽（粘贴部分忽略不计），则该圆锥形礼帽的底面半径为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026九年级上·江苏扬州·课后练习）用圆心角为，半径为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计），则该圆锥底面圆的半径为____________． 1．（2023九年级上·江苏苏州·阶段测试）斐波那契螺旋线也称“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列1，1，2，3，5，…画出来的螺旋曲线．如图，在每个边长为1的小正方形组成的网格中，阴影部分是依次以1，1，2，3，5为半径的一个四分之一圆做圆锥的侧面，则该圆锥的底面半径为（     ） A． B．2 C． D．4 2．（25-26九年级上·江苏无锡·章节测试）将半径为8，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，则此圆锥底面圆的半径是（   ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·章节测试）圆锥侧面积为，侧面展开扇形的半径为，则圆锥底圆半径为_________． 4．（23-24九年级上·江苏泰州·章节测试）如图，在直径为2的圆形纸片上裁剪出圆心角的扇形．    (1)求阴影部分面积； (2)用所裁剪的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求圆锥底面圆的半径． 【基础题型十 求圆锥的高】 【例1】（2023九年级上·贵州黔东南·阶段测试）如图，从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将余下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），则这个圆锥的高是（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026九年级上·云南昭通·专题练习）数学课上，老师展示了将下图的半圆围成一个无底圆锥，和重合，已知等于，求所围成的圆锥高=_____． 1．（2026九年级上·山东德州·周测）如图，在圆心角为 ，半径为 的扇形纸片 中，点到 的距离记为 ，把这张扇形纸片卷成一个圆锥的侧面，记这个圆锥的高为 ，下列关于 和 的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高为（     ） A． B． C． D． 3．（2024九年级上·云南·专题练习）已知圆锥的母线长是10，侧面积是，则此圆锥的高是__________． 4．（25-26九年级上·江苏无锡·章节测试）把一个底面直径是6分米，高4分米的圆柱体钢材，熔铸成一个圆锥体，这个圆锥的底面积是12.56平方分米，高是多少分米？（取3.14） 【基础题型十一 求圆锥侧面展开图的圆心角】 【例1】（23-24九年级上·江苏盐城·阶段检测）已知一个圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，若这个圆锥的底面半径长是，则这个圆锥的母线长为（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【例2】（25-26九年级上·江苏南通·章节测试）某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥．他们制作的圆锥，母线长为9cm，底面圆的半径为3cm，这种圆锥的侧面展开图的圆心角是 ___________度． 1．（2026九年级上·江苏南通·专题练习）一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2023九年级上·江苏无锡·课后练习）如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（     ） A．12 B．18 C． D．24 3．（2024九年级上·江苏无锡·阶段测试）从如图的一块半径为的铁圆盘上剪出一个圆周角为扇形，若将剪下的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的体积为____________． 4．（23-24九年级上·江苏南通·期末）如图，圆锥母线的长等于底面半径的倍， (1)求它的侧面展开图的圆心角． (2)当圆锥的底面半径时，求从点出发沿圆锥侧面绕一圈回到点的最短路径的长 【基础题型十二 圆锥的实际问题】 【例1】（2026九年级上·江苏无锡·阶段测试）一个正方体木料削成最大的圆锥，圆锥的体积占正方体体积的（） A． B． C． D． 【例2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段检测）现有一个圆心角为的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥（接缝忽略不计），底面半径为．该扇形的半径为___________． 1．（25-26九年级上·江苏镇江 周测）“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（     ） A． B． C． D． 2．（2023九年级上·江苏常州·专题练习）如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片，分别裁出扇形和半径最大的圆．若它们恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则_______． 3．（23-24九年级上·江苏镇江 周测）如图，点C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l：l＝1：3（l表示的长），若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为____ 4．（25-26九年级上·江苏常州·周测）工地上有一堆沙子，形状近似于一个圆锥（如图）．这堆沙子的体积大约是多少？ 【提高题型一 圆中动点、动线问题】 【例1】（23-24九年级上·江苏常州·章节测试）如图，是半径为3半圆O的直径．是圆中可移动的弦，且，连接相交于点P，弦从C与A重合的位置开始，绕着点O顺时针旋转，则交点P运动的路径长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（2026九年级上·江苏盐城·章节测试）如图，中，，将绕点O顺时针旋转，得到，若点A的坐标为，则点A经过的路径长为_________． 1．（24-25九年级上·江苏扬州·章节测试）如图，矩形中，，，动点P从点A出发向终点D运动，连接，并过点C作，垂足为H．有下列说法： ①的最小值为； ②在运动过程中，扫过的面积始终等于扫过的面积； ③在运动过程中，点H的运动路径的长为． 其中正确的有（   ） A．①② B．①③ C．①②③ D．②③ 2．（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）如图所示，把绕点按逆时针方向旋转得到，若点恰好是边的中点，，则点运动到点的位置时，所经过的路线长为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，在等腰中，斜边，点在以为直径的半圆上，为的中点，当点沿半圆从点运动至点时，点运动的路径长是_________． 4．（23-24九年级上·江苏宿迁·章节测试）【模型提出】如图①，已知线段的长度为4，在线段所在直线外有一点C，且．想确定满足条件的点C的位置，可以以为底边构造一个等腰直角三角形，再以点O为圆心，长为半径画圆，则点C在的优弧上．即：若线段的长度．已知的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【模型应用】如图②，在正方形中，，点E、F分别是边上的动点，，连接，与交于点G． (1)求证：； (2)点E从点B到点C的运动过程中，点G经过的路径长为______； (3)若点I是的内心，连接，则线段的最小值为______． 【提高题型二 求解扇形相关问题综合应用】 【例1】（23-24九年级上·江苏·阶段检测）如图所示，中，，，在以的中点为坐标原点、所在直线为轴建立的平面直角坐标系中，将绕点顺时针旋转得，点旋转至轴正半轴上的处，则图中阴影部分面积为（     ） A． B． C． D． 【例2】（2026九年级上·江苏苏州·章节测试）如图，某转弯车道设计了一段圆弧转弯路线（即圆的一部分），机动车在经过这一转弯车道时从圆弧起点行驶至终点，过点、的两条切线交于点，机动车在从点到点行驶过程中的转角为．若这段圆弧的半径m，，则图中危险区（阴影部分）面积为__________． 1．（2025九年级上·江苏·周测）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2023九年级上·江苏盐城·课后练习）我国古代数学专著《九章算术》中记载：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”注释： 宛田是指扇形状的田，下周是指弧长，径是指扇形所在圆的直径．那么，这口宛田的面积是多少平方步？ 计算可知，这块田的面积是（     ） A．60 平方步 B．90 平方步 C．120 平方步 D．240 平方步 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，扇形的半径，将扇形绕点逆时针旋转得扇形，当点落在上时旋转停止，则扇形中空白部分的面积为 ______（结果保留）． 4．（2026九年级上·江苏泰州·章节测试）已知是的直径，点为上一点，平分交于点． (1)请用无刻度的直尺和圆规在图（1）作出过点的的切线（其中圆规仅使用一次画弧写出简要的作图步骤，保留必要的作图痕迹）； (2)如图（2），设（1）中的交的延长线于点，连接，当时，求线段，与围成的图形的面积． 1．（2023九年级上·江苏苏州·周测）如图，在的长方形网格飞镖游戏板中，每块小正方形除颜色外都相同，小正方形的顶点称为格点，扇形OAB的圆心及弧的两端均为格点．假设飞镖击中每一块小正方形是等可能的（击中扇形的边界或没有击中游戏板，则重投1次），任意投掷飞镖1次，飞镖击中扇形OAB（阴影部分）的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·江苏南京·章节测试）如图，△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2，点P从C点出发，沿CB运动到点B停止，过点B作射线AP的垂线，垂足为Q，点Q运动的路径长为（　　） A． B． C． D． 3．（2023九年级上·江苏常州·专题练习）如图，点A、B、C在圆O上，，直线，，点O在BD上．若圆O的半径为3，则图中阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·江苏常州·期末）如图，在纸上剪下一个圆形和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型，若圆的半径为，扇形的圆心角等于120°，则围成的圆锥模型的高为（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·江苏镇江·期末）一个几何体的三视图如下：其中主视图和左视图都是腰长为4，底边为2的等腰三角形，则这个几何体侧面展开图的面积和圆心角分别是（    ） A．4π  60° B．4π  90° C．2π  90° D．8π  60° 6．（2024九年级上·江苏·阶段测试）如图，是的直径，，是的弦，连接，，．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·江苏无锡·章节测试）如图，半圆的直径，弦，弦在半圆上滑动，点从点开始滑动，到点与点重合时停止滑动，若是的中点，则在整个滑动过程中线段扫过的面积为（    ） A．π B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏连云港·期末）如图，长方形的长和宽分别为和，图中阴影部分面积，则图中扇形面积为（     ） A． B． C． D． 9．（2023九年级上·江苏镇江·阶段测试）如图，在扇形中，，半径，将扇形沿过点B的直线折叠，点O恰好落在弧上的点D处，折痕交于点C，则阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段检测）新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 11．（2026九年级上·江苏扬州·课后练习）如图，在三星堆文物挖掘工作中，考古人员发现一件珍贵的圆形陶器，可惜其部分破损，经测量得知，该圆形陶器完整时的直径为，而破损处的缺口两端点，之间的距离为，则的长为_____． 12．（2026九年级上·江苏泰州·阶段测试）“黄金螺旋”的画法通常以斐波那契数列为边长作正方形，再画四分之一圆弧连接而成．若换用数列（从第三项起，每一项等于前两项之和）作为正方形的边长，按同样方式构造螺旋线．如图，最小的正方形边长为2，依次得到边长分别为2，2，4，6，10的五个正方形，并在每个正方形内画圆心角为的圆弧，连成一段螺旋线，则这段螺旋线的长度为___________．（结果保留） 13．（2024九年级上·江苏苏州·课后练习）我们把两组邻边分别相等的四边形称“筝形”．如图，在筝形中，，，对角线相交于点O，，．以点C为圆心，长为半径画弧交于点E，F．用扇形围成一个圆锥，则这个圆锥的底面半径是________．    14．（26-27九年级上·江苏·周测）已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 15．（23-24九年级上·江苏泰州·期末）如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在轴的正半轴上，，，点，将绕点顺时针旋转得到，则的长度为__，线段的长为__，图中阴影部分面积为__． 16．（2025九年级上·江苏扬州·课后练习）如图，中，，D是的中点，P是上的一点，且弧弧，为的外接圆． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若是等边三角形，，求弧的长． 17．（23-24九年级上·江苏盐城·章节测试）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O与边BC、AC分别交于D、E两点，过点D作DF⊥AC于点F． （1）求证：DF是⊙O的切线； （2）若⊙O的半径为6，∠C＝67.5°，求阴影部分的面积． 18．（23-24九年级上·江苏南京·期末）如图，在边长为1的正方形网格中，的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是、将△AOB绕点O逆时针旋转后得到． (1)点的坐标为______；的度数为______ (2)在旋转过程中，点B经过的路径为，求的长 19．（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）如图，为半圆的直径，为半圆上一点，． (1)请用直尺（不含刻度）与圆规在上作一点，使得直线平分的周长；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，求图中阴影部分的面积． 20．（2025九年级上·江苏·课后练习）如图，在中，是的直径． (1)尺规作图：作半径的垂直平分线，交于两点，交半径于点；（保留作图痕迹，不要求写作法） (2)若的半径是4，连接，沿着半径剪开，把和构成的扇形围成圆锥的侧面，求这个圆锥的底面周长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $