江苏无锡市宜兴市东氿中学2026-2027学年九年级上学期第一次小练习数学卷

宜兴市东氿中学2026-2027学年第一学期 初三数学第一次小练习（试题卷） 出卷： 审稿：初三数学组 2026.09 选择题（每小题3分，共30分） 下列方程中，属于一元二次方程的是（　▲　） A．3x+5y＝0 B．5x+2＝0 C．3x2﹣2026＝0 D． 2．下列函数中，不是反比例函数的是（　▲　） A． B． C． D． 3.用配方法解一元二次方程x2﹣6x+3＝0时，下列变形正确的是（　▲　） A．（x﹣3）2＝3 B．（x﹣3）2＝6 C．（x+3）2＝6 D．（x﹣3）2＝12 4.关于x的一元二次方程x2+mx﹣8＝0的根的情况是（　▲　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判断 5.下列说法正确的是（　▲　） A．弧是半圆 B．三点可以确定一个圆 C．直径是弦 D．相等的圆周角所对的弦相等 6．关于反比例函数 的图象，下列说法中错误的是（　▲　） A．点（1，﹣1）在它的图象上 B．图象位于第二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象的两个分支关于原点对称 7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，且AC＝BD，若∠BOD＝84°，则∠ACO的度数为(　▲　) A．42° B．44° C．46° D．48° 8．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（　▲　） A．（1﹣x）2＝50% B．（1+x）2＝50% C．1﹣2x＝50% D．（1﹣x）（1+x）＝50% 9.如图①，区间测速，是指通过监测机动车在相邻两个测速监控点之间路段（测速区间）的行驶时间，来计算其平均行驶速度的测速方式．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v（km/h）与行驶所用时间t（h）成反比例函数关系，如图②所示．已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120km/h，最低车速不得低于90km/h，小聪按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是（ ▲ ） A．18min B．15min C．11min D．10min 10.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一根是另一根的n倍，则称这样的方程为“n倍方程”，以下关于n倍方程的说法正确的有（　▲　）个 ①方程x2﹣3x+2＝0是2倍方程； ②若（x﹣3）（mx+1）＝0为3倍方程，则 ； ③若p，q满足pq＝8，则关于x的方程px2﹣6x+q＝0为2倍方程； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝0为n倍方程，则nb2＝（n+1）2ac． 1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.已知关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根为﹣1，则另一个根 为 ▲ ． 12．在反比例函数 图象的每一支曲线上，y都随x的增大而增大，则k的取值范围是 ▲ 13．如图是反比例函数 的图象的一部分，已知 点P（2，3），则k的值可能是 ▲ ． 14.关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x+1＝0有实数根，则k的取值范围 为 ▲ 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是 ▲ 米． 16.已知一元二次方程x2﹣7x+11＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为 ▲ ． 17.我们知道：若关于x的一元二次方程x2+px+q＝0有两个实数根x1，x2，则x1+x2＝﹣p，x1•x2＝q，已知a2+3a﹣7＝0，b4﹣3b2﹣7＝0，且a+b2≠0，则代数式 的值等于 ▲ ． 18.如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例函数 的图象在第一象限的分支交AB于点P，交BC于点E，直线PE交y轴于点D，交x轴于点F，连接AC． （1）DA　 　 CE（填“＞”“＜”或“＝”）． （2）若S△CEF＝1，S△PBE＝9，则k＝ 　 　 ． 三、解答题（共10小题，96分） 19.（16分）解方程： （1）x2﹣x﹣1＝0． （2）x2﹣4x+1＝0； （3）（x﹣3）2＝5（x﹣3）． （4）x2﹣2x﹣8＝0； 20．（6分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AD＝BC．求证：EQ \O\AL(AB,\S\UP5(⌒))＝EQ \O\AL(CD,\S\UP5(⌒)) 21.（8分）如图1所示的脚踏摇摇凳可以放到办公桌下，脚踩在上面能随意前后晃动，对长期伏案办公的工作人员的下肢有很好的放松作用，上面是可以脚踩的平板，平板下部左右两侧各有一段相同的圆弧支撑．如图2是脚踏摇摇凳侧面的截面图，其中EQ \O\AL(AB,\S\UP5(⌒))是平板下部的圆弧支撑，已知当弦AB平行于地面时，弦AB到地面的距离是圆半径的一半， cm． （1）尺规作图：确定EQ \O\AL(AB,\S\UP5(⌒))所在圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求圆的半径； 22.（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根， （1）求k的取值范围； （2）若方程的两个实数根之积为k，求k的值． 23．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2﹣m）x+1﹣m＝0． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若m＞0，且该方程的两个实数根的差为2，求m的值． 24.（10分）反比例函数 图象经过点A（1，－6），B（a，3）． （1）求a的值； （2）若点C（x，y）在反比例函数 图象上，其中当y＜3时，直接写出x的取值范围． （3）若 ，点P（m﹣2，b1）和点Q（m﹣3，b2）是该反比例函数图象上的两点，请你判断b1与b2的大小关系，并说明理由． 25.（10分）已知，学校准备在教学楼后面搭建两个连在一起的简易矩形自行车车棚（如图），一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为28m），另外的边利用学校现有总长55m的铁栏围成，其中平行于墙的BC边开有两个长为1米的木质门． （1）若围成的面积为270m2，试求出自行车车棚的长和宽； （2）能围成面积为300m2的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 26．（10分）国家规定，如果驾驶人员血液中每100毫升的酒精含量大于或等于20毫克且小于80毫克，则被认定为饮酒后驾车、如果血液中每100毫升的酒精含量大于或等于80毫克，则被认定为醉酒后驾车，且此时肝部正被严重损伤．实验数据显示，一般成人饮用低度白酒0.25kg后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫升）与时间x（时）的关系可近似地用正比例函数y＝100x刻画：1.5小时后（包括1.5小时）y与x可近似地用函数 刻画（如图所示）． （1）k＝　 　 ； （2）求饮用低度白酒0.25kg后，肝部被严重损伤持续多少时间； （3）假设某驾驶员晚上20：00在家饮用完低度白酒0.25kg，第二天早上7：00能否驾车去上班？请通过计算说明理由． 27．（10分）已知反比例函数 的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点． （1）求反比例函数的表达式； （2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与 的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标； （3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在 的图象上时，求点E的坐标． 28．（10分）阅读材料： 材料1：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，b2﹣4ac≥0）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）： ， ． 材料2：有些数学问题虽然表面与一元二次方程无关，但是我们能够通过构造一元二次方程，并利用一元二次方程的有关知识将其解决．下面介绍两种基本构造方法： 方法1：利用根的定义构造．例如，如果实数m，n满足m2﹣m﹣1＝0，n2﹣n﹣1＝0，且m≠n，则可将m，n看作是方程x2﹣x﹣1＝0的两个不相等的实数根． 方法2：利用韦达定理逆向构造．例如，如果实数a，b满足a+b＝3，ab＝2，则可以将a，b看作是方程x2﹣3x+2＝0的两实数根．根据上述材料解决下面问题： （1）已知一元二次方程x2+5x﹣2026＝0的两根x1，x2，则 　 　 ； （2）已知实数m，n满足3m2﹣m﹣2＝0，3n2﹣n﹣2＝0，求 的值； （3）已知实数a，b，c满足a+b＝c﹣5， ，且c＜5，求c的最大值． 第7题 第13题 第15题 第18题 $