精品解析：江苏宿迁市泗洪县山河路实验学校2026-2027学年度第一学期九年级练习数学试卷

2026-2027学年度第一学期九年级练习 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 3. 关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 图象位于第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 图象的两个分支关于原点对称 4. 将关于的一元二次方程化为一般形式为（　　） A. B. C. D. 5. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 7. 若，则的值是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③只有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 10. 反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 11. 方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 12. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 13. 某校九年级学生开展了以“凝聚力量、赋能成长”为主题心理团建活动，第一阶段每两个班级之间都进行一场“锣鼓击球”比赛，共计比赛场次，则第一阶段参加比赛有_____个班级． 14. 如图，在平面直角坐标系中，曲线C关于原点O成中心对称，点A的对称点是点，轴，轴，点A在反比例函数的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线ly轴，且直线l与反比例函数和分别交于P,Q两点，若，则k的值为________． 16. 将正方形沿虚线（其中）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则_____． 17. 若一元二次方程的两个根分别为，那么一元二次方程的根为____． 18. 如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 三、解答题：（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 22. 师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度是横截面积的反比例函数，其图象（如图所示）经过点． （1）求与之间的函数关系式； （2）若竹升面的横截面面积不超过，则其总长度至少是多少？ 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 24. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线与x轴，y轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． （1）________；________；________； （2）根据图象写出不等式的解集是________； （3）在反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 25. “乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 26. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，线段的长为？ （2）是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 27. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 （1）请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 （2）关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 28. 如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为． （1）如图①，求反比例函数和直线的函数表达式； （2）如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标； （3）如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期九年级练习 数学试卷 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题纸相应位置上） 1. 下列关于的方程，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A选项方程为，含两个未知数，不符合题意； B选项方程为，只含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合题意； C选项方程为，不是整式方程，不符合题意； D选项方程为，最高次数为1，不符合题意． 2. 若是方程的一个根，则实数m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】把代入方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程，得， 解得：． 3. 关于反比例函数的图象，下列说法中正确的是（ ） A. 点在它的图象上 B. 图象位于第二、四象限 C. y随x的增大而增大 D. 图象的两个分支关于原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式，将点的坐标代入解析式中，可判断A； 根据反比例函数的解析式，可得出其图象的位置，可判断B； 根据反比例函数的解析式，结合增减性，可判断C； 根据反比例函数的解析式，可判断其对称性，可判断D． 【详解】解：反比例函数， 当时，， ∴点不在它的图象上， 故A错误； ∵， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内随的增大反而减小， 故B错误，C错误； 由反比例函数的对称性可知，图象的两个分支关于原点对称，故D正确． 4. 将关于的一元二次方程化为一般形式为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先去括号，再通过移项整理成一元二次方程一般形式． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴关于的一元二次方程化为一般形式为． 5. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数横纵坐标乘积为定值的性质，先判断定值的符号，再结合两点纵坐标的符号推导横坐标的符号，即可比较大小． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴ ，； ∴． 6. 《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？” 译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？” 若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解． 【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺 由题意可知：尺，尺，则尺，则尺， 由勾股定理可得：， 则可列方程为：． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出 的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方． 7. 若，则的值是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将视为整体换元，转化为一元二次方程求解，结合的非负性筛选结果． 【详解】解：设，则， 原方程化为， 整理得， 因式分解得， 解得，， ∵ ， ∴ ，即． 8. 如图，在边长为的正方形中，点E在边上，且，动点P从点C出发，以的速度沿边向终点D运动；动点Q从点D同时出发，以的速度沿边，边，向终点B运动．连接和，设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③只有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】分别表示出， 等线段长，根据平行线的判定判断①；根据三角形面积公式列出函数关系式，利用二次函数性质求最值判断②；分段讨论Q的位置，列方程求解判断③． 【详解】解：∵正方形边长为， ，P的速度为，Q的速度为， ∴ ，， 当时，Q在上，； 当时，Q在上，； ①如图：当时，P在上，，则 ，Q走过的路程为，此时Q在上，， ∵， ∴不垂直于，即不平行于，故①错误； ②如图：当时，Q在上，； ∵， ∴，即P在E右侧； ∴， ∴，  ∵， ∴当时，的最大面积为，故②正确； ③当时，由②可得， 令，解得或（不符合题意舍去）； 当时，Q在上，的高为8，， ∴， 令，解得或． ∴满足条件的t值有，5，7，共3个，故③错误． 综上，正确的结论只有②，个数为1． 二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题纸相应位置上） 9. 某电器的电阻（单位：）与流经的电流（单位：）之间的函数关系式为，则电流随电阻的增大而__________．（填“增大”或“减小”） 【答案】 减小 【解析】 【分析】中电阻，根据反比例函数的性质判断增减性即可． 【详解】解：由实际意义可知， 是反比例函数，比例系数． 当反比例函数的比例系数大于，且自变量大于时，函数值随自变量的增大而减小． 因此电流随电阻的增大而减小． 10. 反比例函数y=的图象经过点A，若A点在第二象限，则k的取值范围是__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图象所在象限与比例系数的关系列不等式求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限，反比例函数经过点， ∴该反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴可得不等式 ，解得 ． 11. 方程是关于x的一元二次方程，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为，且二次项系数不为，据此列等式和不等式求解即可. 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 解方程，得，即或， ∵， ∴， ∴. 12. 已知α，β是一元二次方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义降次，再结合根与系数的关系代入计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． ∵由根与系数的关系可得，， ∴． 13. 某校九年级学生开展了以“凝聚力量、赋能成长”为主题心理团建活动，第一阶段每两个班级之间都进行一场“锣鼓击球”比赛，共计比赛场次，则第一阶段参加比赛有_____个班级． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设参加比赛的班级数为，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设第一阶段参加比赛有个班级， 由题意得，， 整理得，， 解得，（不合，舍去）， ∴第一阶段参加比赛有个班级， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，曲线C关于原点O成中心对称，点A的对称点是点，轴，轴，点A在反比例函数的图象上，则阴影部分的面积之和为____________． 【答案】2026 【解析】 【分析】将第三象限的阴影部分绕着点O旋转后与第一象限的阴影部分拼成矩形，然后根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：如图，将第三象限的阴影部分绕着点O旋转后与第一象限的阴影部分拼成矩形． 点A在反比例函数的图象上， ∴， 阴影部分的面积之和为2026． 15. 如图，在平面直角坐标系中，点M为x轴正半轴上一点，过点M的直线ly轴，且直线l与反比例函数和分别交于P,Q两点，若，则k的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，根据题意得到，，根据列出关于k的方程，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 解得． 故答案为： 16. 将正方形沿虚线（其中）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算与图形面积，一元二次方程的根的计算，理解图示，掌握整式的运算，求根公式的计算是关键． 根据图示，把正方形面积，拼接矩形的面积运用整式的混合运算表示出来，再根据一元二次方程的求根公式的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为， 拼成一个矩形（非正方形）如下图， ∴矩形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴等式两边同时除以，整理得，， 令，则， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 17. 若一元二次方程的两个根分别为，那么一元二次方程的根为____． 【答案】或 【解析】 【分析】把一元二次方程变形为，将看成一个新的未知数，则关于的方程的解等于关于x的一元二次方程的解，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ∵一元二次方程的两个根分别为， ∴关于的方程两个根分别为，， 解得：，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，两点在反比例函数的图象上，延长交轴于点，且是第二象限一点，且，若的面积是6，则的值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】过作轴于，过作轴于，连接，证明，可得，设，而，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：过作轴于，过作轴于，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又， ∴， 设，而， ∴的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 解得． 三、解答题：（本大题共10小题，共96分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ∴， ，． 20. 已知点在反比例函数的图象上． （1）求这个反比例函数的表达式． （2）判断点和点是否在这个反比例函数的图象上． 【答案】（1） （2）点在该反比例函数的图象上，点不在该反比例函数的图象上． 【解析】 【分析】（1）将代入求解即可； （2）分别将和代入判断即可． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：将代入，得， ∴点在该反比例函数的图象上； 将代入，得， ∴点不在该反比例函数的图象上． 21. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：不论为何值，该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是1，求的值及方程的另一个根． 【答案】（1）证明：∵一元二次方程为， ∴，，， ∴ ， ∵不论为何值，，即， ∴不论为何值，该方程总有两个实数根； （2），方程的另一个根为． 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）先把代入原方程求解m，代入原方程，求解另一个根即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：把代入，得： ， 解得：． 则方程为， 方程变为：， 或， 解得：，， ∴方程的另外一个根为2． 22. 师傅制作岭南特色传统美食竹升面时，将质量一定的面团擀拉成细面，面条的总长度是横截面积的反比例函数，其图象（如图所示）经过点． （1）求与之间的函数关系式； （2）若竹升面的横截面面积不超过，则其总长度至少是多少？ 【答案】（1） （2）这根竹升面的总长度至少有 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义进行计算即可； （2）先计算出时，的值，结合反比例函数的增减性判断的范围即可． 【小问1详解】 解：设， 将点代入，得， ∴与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得，， 当时，， 由图象可知，当时，随的增大而减小， ∴当时，． 答：这根竹升面的总长度至少有． 23. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求实数的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解分式方程，完全平方公式，解不等式等，解题的关键是掌握以上定义和运算法则． （1）利用根据的判别式列出不等式，然后求解即可； （2）利用根与系数的关系列出代数式，利用完全平方公式进行整理化简，然后求解分式方程即可． 【小问1详解】 解：方程有两个不相等的实数根， 且， 解得， 的取值范围为且； 【小问2详解】 解：由根与系数的关系得，，， ， 即， 解得或， 经检验，，都是原分式方程的解， 由（1）可得，且 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是，，过A，B两点的直线与x轴，y轴分别交于点C，D，双曲线与该直线交于A，B两点． （1）________；________；________； （2）根据图象写出不等式的解集是________； （3）在反比例函数图象上有一点P，满足，求点P的坐标． 【答案】（1）1；1；2 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入反比例函数解析式，求出k，再将点B坐标代入反比例函数解析式，求出点B坐标，最后将A，B两点坐标代入一次函数解析式即可求解； （2）利用反比例函数以及一次函数图象即可求解； （3）根据与的面积关系，可求出点P的纵坐标，进而求解． 【小问1详解】 解：将代入得，， ∴， 反比例函数的解析式为． 将代入得，，则， 点B的坐标为． 将点A和点B的坐标代入得， ， 解得， 一次函数的解析式为； 综上，；；； 【小问2详解】 解：根据所给函数图象可知， 当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即， 不等式的解集为：或； 【小问3详解】 解：将代入得，， 点D的坐标为，则， ， ． 将代入，得， 点的坐标为，则， ， 解得． ∴， 将代入得，， 点P坐标为． 将代入得，， 点P坐标为． 综上所述，点P的坐标为或． 25. “乒乓球”被称作我国的国球，一直代表着全世界的最高水平．据统计在伦敦世乒赛结束后的两个月内，我市从事乒乓球运动的人数从3.2万人快速增加到了5万人． （1）求我市参加乒乓球运动人数的月均增长率； （2）为支持市民参与乒乓球运动，市政府决定从某公司购买一批乒乓球台．该公司规定：若购买不超过100台，每台售价1600元；若超过100台，每增加10台，售价每台可降低40元，但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种乒乓球台的台数． 【答案】（1） （2）购买的这种乒乓球台的台数为200台 【解析】 【分析】（1）设该市参加乒乓球运动人数的年均增长率为，利用在世乒赛结束后的两个月参加健身运动的人数在世乒赛结束后的首月参加乒乓球运动的人数该市参加乒乓球运动人数的年均增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设购买台这种乒乓球台，求出购买100台这种乒乓球台所需费用，由该值等于24万元，利用总价单价数量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合每台售价不得少于1000元，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为x， 由题意得：， 解得（不符合题意，舍去）， 答：我市参加乒乓球运动人数的月均增长率为； 【小问2详解】 解：（元）元， ∴购买的乒乓球台数超过100台． 设购买的这种乒乓球台的台数为m台， 由题意得：， 解得， 又， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：购买的这种乒乓球台的台数为200台． 26. 如图，在四边形中，，，，．点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为．连接，取中点，连接．设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，线段的长为？ （2）是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在，求的值；若不存在，说明理由； （3）是否存在某一时刻，使点在的垂直平分线上？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）或时，线段的长为 （2） 不存在，理由： 由题意：， 整理得， ， 方程无解，故不存在； （3）存在， 【解析】 【分析】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用勾股定理构建方程求解； （2）根据题意构建方程，再利用根的判别式求解即可； （3）建立如图平面直角坐标系．，利用中点坐标公式表示出点的坐标，根据点在的垂直平分线，可得，构建方程求解． 【小问1详解】 解：由题意，，， ， ， ，， ， 解得或， 故或时，线段的长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：存在，建立如图平面直角坐标系． 由题意，，， ， ， 点在线段的垂直平分线上， ， ， 解得或（舍去）． 故时，点在的垂直平分线上． 27. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求现学现用，更多地考查阅读理解能力、应变能力和创新能力． 【学习研究】材料1：定义：若关于的一元二次方程的两个实数根为，（），以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点． 材料2：解决含参数（如，，等）直线方程过定点问题时，定点坐标与参数数值无关，即无论参数取何值，定点都满足直线方程．如直线可化为，所以直线恒过点． 【初步思考】 （1）请直接写出一元二次方程的衍生点的坐标为_________． 【尝试应用】 （2）关于的一元二次方程． ①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；并求出该方程的衍生点的坐标． ②由①得到的所有衍生点都在同一条直线上，直接写出直线解析式_________． ③利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式最大值、最小值问题．在②的条件下，若已知另一个函数，请求出的最大值． 【拓展提高】 （3）是否存在、，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上．若有请直接写出、，的值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）； （2）①∵这个方程根的判别式为， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根； ， 因式分解，得， 解得，（满足）， ∴该方程的衍生点的坐标为． ②；③； （3）存在，， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法求出方程的解，再根据一元二次方程的衍生点的定义即可得； （2）①利用一元二次方程根的判别式即可得证；再利用因式分解法求出方程的解，由此即可得； ②根据这个一元二次方程的衍生点的坐标即可得； ③先求出，再根据可得，由此即可得； （3）先求出直线的图象经过定点，则可得关于的方程的两个根为，，再代入计算即可得． 【小问1详解】 解：， 因式分解，得， 解得，（满足）， 则这个方程的衍生点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：① 略 ②∵该方程的衍生点的坐标为， 设衍生点在直线上，则， 解得，， ∴所有衍生点都在同一条直线上，这条直线的解析式为， 故答案为：． ③∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【小问3详解】 解：直线可化为：， ∴直线的图象经过定点， 要使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上， 则关于的方程的两个根为，， ∴， ∴，， 故存在，，使得不论为何值，关于的方程的衍生点始终在直线的图象上，此时，． 28. 如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为． （1）如图①，求反比例函数和直线的函数表达式； （2）如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标； （3）如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）反比例函数为；直线的函数表达式为 （2）的最小值为，此时 （3）的值为 【解析】 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得反比例函数解析式；把点B的纵坐标代入所求反比例函数式中，求得点B的横坐标，从而求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）作点A关于x轴的对称点E，连接，则当三点共线，且时，的值最小；设点，则得，由此可求得最小值，得到点P的坐标； （3）由M在反比例函数图像上得；求出直线的函数解析式，则可得，从而知四边形是平行四边形，若要使它为菱形，则即可，由勾股定理建立关于m的方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）的图像经过点， ∴，即， ∴； ∵点B的纵坐标为3，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴； 设直线的函数表达式为，把B、C两点坐标分别代入其中， 得：，解得：， ∴． 即直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：如图，作点A关于x轴的对称点E，连接， 则，， ∴， 则当三点共线，且时，的值最小； 设点，由勾股定理得， ∵， ∴， 当时，有最小值18，则有最小值； 当时，，即， ∴的最小值为，此时； 【小问3详解】 解：存在，理由如下； ∵点M在反比例函数的图像上，且， ∴； 设直线解析式为，则有，解得：， ∴直线解析式为； 同理求得直线的解析式为； 由两直线解析式的系数相等得，且， ∴四边形是平行四边形； ∵四边形是菱形， ∴， 而， ∴， 解得（舍去）， 即的值为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，垂线段最短，对称问题，菱形的判定等知识点，掌握这些知识是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $