第1章 微专题2 利用勾股定理列方程解决折叠问题（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

微专题2　利用勾股定理列方程解决折叠问题 ☞类型1　直接运用折叠性质 1．如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6，BC＝8，点D在BC边上，将直角边AC沿直线AD折叠，点C恰好落在斜边AB上的点E处。设DE的长为x，则CD＝x，BD＝8－x(用含x的代数式表示)。 ☞类型2　设未知数，运用勾股定理列方程 (一)三角形中的折叠 2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10。在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，求CE的长。 解：由勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝100－36＝64， 即AC＝8。 由折叠的性质，可得BD＝AB＝10，EA＝ED， 所以CD＝BD－BC＝10－6＝4， 设CE＝x，则EA＝ED＝8－x。 在Rt△DCE中，由勾股定理，得x2＋42＝(8－x)2， 解得x＝3，所以CE的长为3。 3．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，将△ABC折叠，使点B恰好落在斜边AC上的点B′处，AD为折痕，求DB′的长。 解：在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，故△ABC为直角三角形。 由折叠知AB′＝AB＝3，DB′＝BD， ∠B＝∠AB′D＝∠CB′D＝90°， 所以CB′＝2。 设B′D＝BD＝x，则CD＝4－x， 因为DB′2＋CB′2＝CD2， 所以x2＋22＝(4－x)2，解得x＝，所以DB′＝。 (二)四边形中的折叠 4．如图，折叠长方形ABCD，使点D恰好落在对角线AC上的点F处。若AB＝6，AC＝10，求梯形ABCE的面积。 解：在△ABC中，∠B＝90°，由勾股定理，得BC2＝AC2－AB2＝102－62＝64， 所以BC＝8，所以AD＝BC＝8。 由折叠知CF＝CD＝AB＝6，DE＝EF，∠AFE＝∠CFE＝∠CDE＝90°。 设DE＝EF＝x，AF＝AC－CF＝4，AE＝8－x。 在Rt△AEF中，(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3， 所以EF＝3，AE＝8－3＝5，所以S梯形ABCE＝·AB＝(5＋8)×6÷2＝39。 5．如图，折叠长方形纸片ABCD，使点D落在边BC上的点F处，AB＝6，AD＝10，求EC的长。 解：由折叠知AF＝AD＝10， EF＝DE。 因为AB＝6，AF＝10，∠B＝90°， 由勾股定理，得BF＝8， 所以CF＝2。 设EC＝x，则EF＝DE＝6－x。 在Rt△EFC中，x2＋22＝(6－x)2， 解得x＝， 所以EC＝。 6．如图，长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF。求△ABE的面积。 解：设BE＝x cm，由折叠的性质可得DE＝BE＝x cm， 所以AE＝AD－DE＝(9－x)(cm)。 在Rt△ABE中，BE2＝AE2＋AB2， 所以x2＝(9－x)2＋32， 解得x＝5， 所以DE＝BE＝5 cm，AE＝9－5＝4(cm)， 所以S△ABE＝AB·AE＝×3×4＝6(cm2)。 7．如图，将长方形纸片沿着CE所在直线对折，B点落在点B′处，CD与EB′交于点F，如果AB＝10 cm，AD＝6 cm，AE＝2 cm，求EF的长。 解：如答图，过点F作∠CFE的平分线，交CE于点H， 所以∠CFH＝∠EFH， 根据题意，得∠CEF＝∠CEB， 因为AB∥CD， 所以∠CEB＝∠ECD， 所以∠CEF＝∠ECD， 又因为∠CFH＝∠EFH，FH＝FH， 所以△CFH≌△EFH(AAS)， 所以EF＝CF。 如答图，过点E作EG⊥CD于点G，则DG＝AE＝2 cm。 设EF＝CF＝x cm， 则GF＝AB－AE－EF＝10－2－x＝(8－x)cm。 在Rt△EFG中，EF2＝GF2＋EG2， 所以x2＝(8－x)2＋62， 所以x＝，所以EF＝ cm。 学科网（北京）股份有限公司 $