第1章 第5课时 问题解决策略：反思（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

第5课时　问题解决策略：反思 ☞类型1　选择最佳地址 1．如图，铁路上A，B两点相距17 km，C，D两点为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝12 km，CB＝5 km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等。 (1)E站应建在距A点多少千米处？ (2)求C，D两个村庄之间的直线距离(结果保留根号)。 解：(1)设AE＝x km，则BE＝(17－x)km。 在Rt△ADE中，由勾股定理得DE2＝AD2＋AE2。 在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2＝BC2＋BE2。 ∵C，D两村到E站的距离相等，∴DE＝CE，即DE2＝CE2， ∴AD2＋AE2＝BC2＋BE2，∴122＋x2＝52＋(17－x)2，解得x＝5，∴AE＝5 km。 答：E站应建在距A点5 km处。 (2)由(1)可得AE＝5 km，BE＝17－5＝12(km)，∴AE＝BC，AD＝BE， ∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，∴△ADE≌△BEC(SAS)，∴∠AED＝∠BCE， ∵∠BEC＋∠BCE＝90°，∴∠AED＋∠BEC＝90°，∴∠CED＝90°。 在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝＝13(km)，∴CE＝DE＝13 km。 在Rt△CDE中，由勾股定理得CD＝＝＝13(km)。 答：CD两个村庄之间的直线距离为13 km。 ☞类型2　立体图形中的最短路径 2．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为20 cm，3 cm，2 cm，A和B是一个台阶两个相对的端点。老师让同学们探究：如图1，若A点处有一只蚂蚁要到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶A爬到B点的最短路程是多少？ 【探究】 (1)同学们经过思考得到如下解题方法：如图2，将三级台阶展开成平面图形，可得到长为20 cm、宽为15 cm的长方形，连接AB，经过计算可得蚂蚁沿着台阶点A爬到点B的最短路程AB的长为25 cm。 【应用】 (2)如图3是一只圆柱形玻璃杯，该玻璃杯的底面周长是30 cm，高是8 cm，若蚂蚁从点A出发沿着玻璃杯的侧面到点B，求蚂蚁爬行的最短距离。 解：(2)将圆柱体展开，由题意得AB＝＝17 cm， 故蚂蚁爬行的最短距离为17 cm。 【拓展】 (3)如图4，圆柱形玻璃杯高9 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁离杯底4 cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁上，离杯上沿1 cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程是10cm。(杯壁厚度不计) ☞类型3　平面图形中的最短路径 3．如图，一个牧童在小河的南4 km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8 km、北7 km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家。他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 解：如答图，做出点A关于小河MN的对称点A′，连接A′B交MN于点P，则A′B就是牧童要完成这件事情所走的最短路程长度。 由题意知：A′D＝4＋4＋7＝15 km，BD＝8 km，∠D＝90°。 在Rt△A′DB中，由勾股定理求得 A′B＝＝17 km， 故他要完成这件事情所走的最短路程是17 km。 4.【综合与实践】 【问题情景】 (1)如图1，点C为线段BD上一动点。分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC。已知AB＝6，DE＝2，BD＝10。设CD＝x，用含x的代数式表示AC＋CE的长。 解：(1)∵BD＝10，CD＝x，∴BC＝BD－CD＝10－x。 ∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°。 在Rt△ABC中，∵AB＝6， ∴由勾股定理，得AC＝＝。 在Rt△EDC中，∵DE＝2， ∴由勾股定理，得CE＝＝， ∴AC＋CE＝＋。 【数学思考】 (2)如图2，在某河道l一侧有A，B两家工厂，它们到河道的距离AD，BC分别是4 km和6 km，两工厂之间的距离AB是6 km。为了方便工厂用水，需要在河道上建立一个抽水点P，且使得抽水点P到A，B两家工厂的距离之和最短。求PA＋PB的最小值。 【深入探究】 (3)请结合上述思路，求代数式＋(0≤x≤9)的最小值。 (2)如答图1，作点A关于河道l的对称点A′，过点A′作A′E⊥BC交BC的延长线于点E，过点A作AF⊥BC于点F，连接A′P，A′B，则易得四边形ADCF，四边形DA′EC和四边形AA′EF都是长方形，且AD＝A′D，PA′＝PA， ∴PA＋PB＝PA′＋PB≥A′B， ∴PA＋PB的最小值为A′B的长。 ∵AD＝4 km，BC＝6 km，AB＝6 km， ∴EC＝A′D＝AD＝FC＝4 km， ∴BE＝BC＋CE＝10 km，BF＝BC－FC＝2 km。 在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝＝＝4(km)，∴A′E＝AF＝4 km。 在Rt△A′BE中，由勾股定理，得A′B＝＝＝2(km)， ∴PA＋PB的最小值为2 km。 (3)构造图形如答图2所示，其中点C为线段BD上一点，分别过点B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC，EC， 其中AB＝10，DE＝2，BD＝9，CD＝x，BC＝9－x，CE＝ ＝， AC＝＝。 连接AE。 ∵AC＋CE≥AE， ∴代数式＋(0≤x≤9)的最小值为AE的长，过点E作EF⊥AB，交AB的延长线于点F， 易知EF＝BD＝9，BF＝DE＝2，∴AF＝AB＋BF＝12。 在Rt△AEF中，由勾股定理，得AE＝＝＝15， ∴代数式＋(0≤x≤9)的最小值为15。 学科网（北京）股份有限公司 $