第1章 微专题1 利用勾股定理列方程求边长（校本作业）-【宝典训练】2026-2027学年八年级上册数学高效课堂Word教师用书（北师大版·新教材）

微专题1　利用勾股定理列方程求边长 ☞类型1　单直角三角形列方程 1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝4，∠ABD＝∠BAD，求BD的长。 解：设AD＝BD＝x， CD＝8－x。 在Rt△ADC中，(8－x)2＋42＝x2， 解得x＝5，故BD＝5。 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，CD＝3，BD＝5，求AC的长。 解：过点D作DE⊥AB于点E，如答图， ∵AD平分∠BAC，∴DE＝DC＝3。 又∵∠C＝∠AED＝90°，AD＝AD， ∴Rt△ACD≌Rt△AED，所以AE＝AC。 在Rt△BDE中，BD＝5，DE＝3，则BE＝4。 设AE＝AC＝x，则AB＝4＋x， ∴在Rt△ABC中，(4＋x)2＝x2＋82，解得x＝6，即AC＝6。 3．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地。送行二步恰竿齐，五尺板高离地……”翻译成现代文为：如图，秋千OA静止的时候，踏板离地高一尺(AC＝1尺)，将它往前推进两步(EB＝10尺，EB⊥OA于点E)，此时踏板升高离地五尺(BD＝5尺)，求秋千绳索(OA或OB)的长度。 解：设OA＝OB＝x尺， ∵EC＝BD＝5尺，AC＝1尺，∴EA＝EC－AC＝5－1＝4(尺)， OE＝OA－AE＝(x－4)尺。 在Rt△OEB中，OE＝(x－4)尺，OB＝x尺，EB＝10尺， 根据勾股定理，得x2＝(x－4)2＋102， 整理，得8x＝116，即2x＝29，解得x＝14.5， 故秋千绳索的长度为14.5尺。 ☞类型2　双直角三角形列方程 4．如图，在△ABC中，AC＝4，AB＝8，BC＝6，AE，AD分别是边BC上的高和中线，求EC的长。 解：设EC＝x， 则EB＝x＋6，AC2－EC2＝AB2－EB2， 即42－x2＝82－(x＋6)2， 解得x＝1，即EC＝1。 5．如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D，BD＝8，CD＝6，求AB的长。 解：设AB＝x， 则AB＝AC＝x。 ∵CD＝6，所以AD＝x－6， ∵AB2＝BD2＋AD2， 所以x2＝82＋(x－6)2， 解得x＝， ∴AB＝，∴AB的长为。 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB。 (1)若BC＝3，AC＝4，求AD的长； (2)若AD＝4，BD＝1，求CD的长； (3)若CD＝3，AD＝4，求BD的长。 解：(1)AD＝； (2)设CD＝x， 则(x2＋1)＋(x2＋16)＝25， 解得x＝2，即CD＝2； (3)∵CD⊥AB，CD＝3，AD＝4， ∴AC＝5。 设BD＝x，则(x2＋9)＋25＝(x＋4)2， 解得x＝，即BD＝。 7．如图，笔直的河流一侧有一个旅游景点C，河边有两个游船码头A，B，其中AB＝AC。由于某种原因由C到A的路不通，为方便游客，决定在河边新建一个游船码头D，并修建一条路CD，测得BC＝5 km，CD＝4 km，BD＝3 km，求原来的路线AC的长。 解：在△CDB中，CD＝4 km，BD＝3 km，BC＝5 km， ∵CD2＋BD2＝42＋32＝25，BC2＝25， ∴CD2＋BD2＝BC2， ∴△DBC是直角三角形，∠CDB＝90°。 设AC＝AB＝x km，则AD＝AB－BD＝(x－3) km。 在Rt△ACD中，AC＝x km，AD＝(x－3) km，CD＝4 km， 由勾股定理，得AC2＝AD2＋CD2， ∴x2＝(x－3)2＋42，解得x＝。 答：原来的路线AC的长为 km。 学科网（北京）股份有限公司 $